5 Sphärische Trigonometrie

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1 $Id: sphaere.tex,v /07/08 13:57:53 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.3 Kleinkreise als sphärische Kreise In der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die sphärischen Kreise auf einer Sphäre K genau die Kleinkreise von K sind, d.h. die Schnitte K e wobei e eine nicht durch den Mittelpunkt M von K gehende Ebene ist die K in mehr als einem Punkt schneidet. Hatten wir einen Punkt A K und einen Winkelradius 0 < ϱ < π/2 so bezeichnete N den Punkt zwischen M und A mit MN = R cos ϱ und e die auf MA senkrechte Ebene durch N. Dann war der sphärische Kreis k mit Mittelpunkt A und Winkelradius ϱ genau der Durchschnitt k = K e und k ist in e ein euklidischer Kreis mit Mittelpunkt N und Radius R sin ϱ. Nun sei = ABC ein spärisches Dreieck bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Sei e die Ebene durch A, B, C. Dann ist k = K e ein Kleinkreis durch die drei Ecken von und k ist zugleich der Umkreis des euklidischen Dreiecks ABC in der Ebene e. Ist N der Lotfußpunkt von M in e, so haben alle Punkte von k = K e nach dem Satz des Pythagoras den Abstand r := R 2 MN 2 zu N, d.h. N ist der Mittelpunkt des euklidischen Kreises k und r ist sein Radius. Ist weiter Z der Schnitt der Halbgeraden MN mit K, so ist k der sphärische Kreis mit Mittelpunkt Z und Winkelradius ϱ gegeben durch cos ϱ = MN R also auch sin ϱ = r R. Damit haben alle Ecken von denselben Winkelabstand ϱ zu Z und wir nennen Z den Umkreismittelpunkt von, ϱ den Umkreisradius von und k den Umkreis von. Insbesondere ist der Umkreisradius wieder im Sinn des Winkelabstands gemeint. Satz 5.9 (Umkreis eines sphärischen Dreiecks) Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 und = ABC ein spärisches Dreieck auf K mit Seiten a, b, c bezeichnet gemäß den Standardbezeichnungen. Weiter sei S der Eckensinus von. Dann hat den Umkreisradius ϱ gegeben durch S tan ϱ = 4 sin a 2 sin b 2 sin c 2. Beweis: Sei Z der Umkreismittelpunkt von. Der Umkreis k von ist dann der sphärische Kreis mit Mittelpunkt Z und Winkelradius ϱ und nach Lemma 8 ist k = K e ein Kleinkreis, wobei e die auf MZ senkrechte Ebene zwischen M und Z im 24-1

2 Abstand d = R cos ϱ zu M ist, und weiter ist k in e ein euklidischer Kreis mit Radius U = R sin ϱ. Sei N := MZ e der euklidische Mittelpunkt von k, also MN = d. Wegen A, B, C k ist k auch der Umkreis des euklidischen Dreiecks Λ := ABC in e, d.h. U ist auch der Umkreisradius von Λ. Ist F := A(Λ) die Fläche des Dreiecks Λ, so gilt nach 1.Satz 18 U = ã b c 4F, wobei ã, b, c die Seitenlängen von Λ sind. Wenden wir den Cosinussatz 1.Satz 4 im Dreieck MAB an, so ergibt sich c 2 = 2R 2 (1 cos c) = 4R 2 sin 2 c 2, also c = 2R sin c 2. Analog sind also ã = 2R sin a 2 und b = 2R sin b 2, U = 2R3 sin a sin b sin c F Betrachte nun das Simplex T := co({m, A, B, C}. Nach Lemma 7 ist dann vol(t ) = 1 6 R3 S. Andererseits können wir T als einen Kegel mit Grundfläche Λ und Höhe d auffasen, also ist vol(t ) = 1 3 F d, und es wird und somit F = 3 vol(t ) d = R3 S 2d, und wegen d = R cos ϱ ist schließlich R sin ϱ = U = 4d sin a 2 sin b 2 sin c 2 S S tan ϱ = 4 sin a 2 sin b 2 sin c

3 5.4 Elliptische Geometrie Wir haben bisher gesehen das die Geometrie einer Sphäre sehr ähnlich zur euklidischen Geometrei ist, wir haben Abstände, Winkel, Flächen, Kreise, Dreiecke und all diese Dinge die sich weitgehend wie ihre euklidischen Gegenstücke verhalten. Den euklidischen Geraden entsprechen dabei die Großkreise, allerdings gibt es bezüglich dieser Geraden keine eindeutige Verbindbarkeit von Punkten mehr. Durch je zwei verschiedene und nicht diametrale Punkt geht zwar genau ein Großkreis, durch ein Paar diametraler Punkte laufen allerdings mehrere, sogar unendlich viele, solcher Großkreise. Man kann dieses Problem beseitigen, und damit wieder die eindeutige Verbindbarkeit herstellen, wenn wir zu einem Quotienten der sphärischen Geometrie übergehen. Hierzu erinnern wir uns an die in 4.6 eingeführte projektive Ebene, diese war definiert mit der Punktmenge P 2 R := {U R 3 dim U = 1}, die Punkte von P 2 R sind also die eindimensionalen Untervektorräume des R 3 und als Geraden hatten wir die zweidimensionalen Untervektorräume des R 3 verwendet. Sei jetzt K eine Kugel mit Mittelpunkt im Nullpunkt und einem Radius R > 0. Dann betrachten wir die Abbildung p : K P 2 R; x R x die jedem Punkt der Sphäre den von ihm aufgespannten Untervektorraum zuordnet. Diese ist surjektiv aber nicht injektiv, da für jedes x K stets p(x) K = {x, x} gilt haben wir (x, y K) : p(x) = p(y) y {x, x}. Die Kernrelation von p identifiziert also diametrale Punkte. Über die Projektion p kann die sphärische Geometrie auf P 2 R übertragen werden. Zunächst definieren wir für alle x, y K den Abstand p(x)p(y) := d(p(x), p(y)) := min{ xy, x( y) } und als eine Übungsaufgabe kann man sich überlegen das dies eine wohldefinierte Metrik auf P 2 R ist. Bezüglich dieser Metrik stimmt der in 4.6 diskutierte projektive Abschluß von Kegelschnitten übrigens mit dem gewöhnlichen Abschluß bezüglich einer Metrik überein. Die Großkreise k auf K haben die Form k = K e wobei e eine Ebene durch den Mittelpunkt 0 von k ist, d.h. e ist ein zweidimensionaler Untervektorraum des R 3 und damit wird p(k) eine projektive Gerade. Da je zwei verschiedene eindimensionale Untervektorräume einen zweidimensionalen Untervektorraum aufspannen haben wir damit die Eindeutigkeit der Verbindungsgerade wiederhergestellt. Auch die Winkel lassen sich mit p übertragen. Haben wir zwei Geraden g, h in P 2 R die sich in einem projektiven Punkt A schneiden, so entsprechen diesen zwei Großkreise g, h die sich in einem Paar diametraler Punkt schneiden und wir definieren den Winkel zwischen diesen Großkreisen als den Winkel zwischen g und h. Dabei spielt es keine 24-3

4 Rolle in welchem der beiden diametralen Schnittpunkte wir diesen Winkel betrachten da sie beide übereinstimmen. Ist k ein Großkreis auf K und h eine der beiden durch k bestimmten Hemisphären so ist p h injektiv und sogar eine isometrische Einbettung. Alle Sätze über sphärische Dreiecke in der Hemisphäre h übersetzen sich also in Sätze über Dreiecke in P 2 R. Damit gelten für projektive Dreiecke die beiden Formen des sphärischen Cosinussatzes und der sphärische Sinussatz und die Winkelsumme in solchen Dreiecken ist immer echt größer als π. Man nennt P 2 R verstehen mit diesem Abstand, Winkeln, Dreiecken und so weiter eine elliptische Geometrie. Dies ist eine der sogenannten nicht-euklidischen Geometrien, sie erfüllt alle Axiome der euklidischen Geometrie bis auf das Parallelenaxiom. Da wir die Axiome der euklidischen Geometrie nicht eingeführt haben können wir dies an dieser Stelle nicht exakt ausführen. Dass das Parallelenaxiom verletzt ist ist allerdings klar, in P 2 R haben je zwei verschiedene Geraden genau einen Schnittpunkt, dies bedeutet ja nur das sich je zwei verschiedene zweidimensionale Untervektorräume des R 3 in einem eindimensionalen Untervektorraum schneiden. In der elliptischen Geometrie gibt es also gar keine Parallelen. Man kann zeigen das dies der Tatsache das die Winkelsumme in elliptischen Dreiecken größer als π ist entspricht. Es gibt eine zweite Sorte nicht-euklidischer Geometrien, die sogenannten hyperbolischen Ebenen, und in diesen gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt A / g stets mehrere zu g parallele Geraden durch A und entsprechend ist die Winkelsumme in hyperbolischen Dreiecken kleiner als π. Wir können die Abbildung p dazu verwenden eine weitgehend anschauliche Vorstellung der reellen projektiven Ebene zu erhalten. Hierzu wählen wir eine abgeschlossene Hemisphäre h mit berandenden Großkreis k auf unserer Sphäre K. Dann ist auch die Einschränkung p h : h P 2 R noch surjektiv und die Kernrelation von p h identifiziert diametrale Punkt auf den Großkreis k. Projizieren wir die Hemisphäre h auf einen Vollkreis, so wird k auf den Ramd dieses Vollkreises abgebildet, wir können P 2 R also als den Quotienten P 2 R = B/{(x, y) B B y {x, x}} auffassen wobei B der ebene Kreis mit Mittelpunkt in 0 und Radius 1 ist. Wir denken uns B nun in drei Teile zerlegt, zum einen den mittleren Streifen { M := (x, y) B 1 2 y 1 } 2 und zum anderen die beiden Kreissegmente { B + := (x, y) B y 1 } und B + := 2 { (x, y) B y 1 2 Weiter kann M zum Rechteck R := [ 1, 1] [ 1/2, 1/2] deformiert werden so, dass die diametralen Punktepaare auf dem Rand gerade als {( 1, t), (1, t)} für 1/ }.

5 t 1/2 gegeben sind. Beim Übergang zu P 2 R werden also die linke und die rechte Seite des Rechtecks R gegenläufig miteinander verklebt und es entsteht ein Möbiusband M := p(m ) P 2 R. Kommen wir nun zu den beiden Kreisteilen. Jedem zum Rand von B gehörenden Randpunkt von B + entspricht ein Randpunkt von B als Diametralpunkt. Bei Anwendung von p werden also B + und B zu einer Kreissscheibe D := p(b + B ) P 2 R verklebt deren Rand mit dem Rand des Möbiusbandes M übereinstimmt. Die reelle projektive Ebene entsteht also indem die berandende Kreislinie eines Möbiusbandes durch eine Kreisscheibe abgedeckelt wird. 5.5 Geographische Koordinaten N N b γ a P α c β P 2 P 1 M λ ϕ M ϕ2 Längengrad λ und Breitengrad ϕ Abstand auf Großkreis Wir betrachten wieder eine Kugel, die wir uns diesmal als die Erdkugel vorstellen. Wir wollen die Punkte auf K durch Koordinaten beschreiben. Eine Gerade durch den Mittelpunkt M der Kugel sei vorgegeben, im Fall der Erde nimmt man hierfür die Rotationsachse der Erde. Die beiden Schnittpunkte der Achse mit K sind die beiden Pole, einen nennen wir Nordpol N, den anderen den Südpol S. Die Großkreise durch Nord- und Südpol, heißen dann die Längenkreise, oder Meridiane. Einer von diesen wird willkürlich als Nullmeridian ausgewählt, im Fall der Erde wurde hierfür der durch Greenwich laufende Meridian gewählt. Die erste geographische Koordinate λ eines Punktes P ist nun der Längengrad, dies ist der Winkel den der Meridian durch P mit dem Nullmeridian bildet. Dabei zählen wir die östliche Richtung als positiv, also mit steigenden Längengrad. Statt eines Vorzeichens wird übleicherweise der Zusatz E für östlich und W für westlich verwendet, d.h. ein Längengrad von 17 E meint den Meridian 17 östlich des Nullmeridians während 17 W den Meridian 17 westlich des Nullmeridians bezeichnet. Wird nichts weiter angegeben so ist in diesem Skript immer die positive, also östliche, Richtung gemeint. Die Ebene senkrecht auf der Achse durch M schneidet die Kugel K in einem Großkreis der der Äquator genannt wird, die Ebene heißt entsprechend die Äquatorebene. 24-5

6 Die zweite Koordinate eines Punktes P ist nun der Breitengrad ϕ, d.h. der Winkel den M P mit der Äquatorebene bildet. Die Punkte konstanten Breitengrades bilden einen zum Äquator parallelen Kleinkreis, einen sogenannten Breitenkreis. Die nördliche Richtung interpretieren wir beim Breitengrad als die positive Richtung und die südliche entsprechend als die negative Richtung. Wie beim Längengrad wird dies auch beim Breitengrad üblicherweise nicht durch ein Vorzeichen angegeben sondern durch die Zusätze N für nördlich und S für südlich. Liegt keine weitere Angabe vor so ist in diesem Skript immer die nördliche Richtung gemeint. Für die folgenden Beispiele schauen wir uns zwei Punkte an, den Punkt und den Punkt P 1 ist Kiel mit λ 1 = 10 08, ϕ 1 = 54 20, P 2 ist Peking mit λ 2 = , ϕ 1 = Die Nachkommastellen bei solchen geographischen Koordinaten werden traditionell sexagesimal zur Basis 60 dargestellt, d.h. 28 meint 28/60 Grad, weitere Nachkommastellen werden dann mit mehreren Strichen markiert. In dezimales Gradmaß umgerechnet sind auf vier Nachkommastellen λ 1 = 10, 1333, ϕ 1 = 54, 3333, λ 2 = 116, 4666, ϕ 2 = 39, 9. Angenommen wir haben zwei Punkte P 1 mit Koordinaten λ 1, ϕ 1 und P 2 mit Koordinaten λ 2, ϕ 2. Um den Abstand dieser beiden Punkte auszurechnen, betrachte des sphärische Dreieck P 1 P 2 N mit Seiten wie im obigen Bild markiert. Gesucht ist die Seite c. Setzen wir den Meridian durch P 2 bis zum Äquator fort, so entstehen insgesamt 90 und der Teil zwischen P 2 und dem Äquator ist dabei der Breitengrad ϕ 2, also haben wir a = π 2 ϕ 2 und analog b = π 2 ϕ 1. Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den Meridianen durch P 1 und P 2, und da der Längengrad der Winkel zum Nullmeridian ist, folgt γ = λ 2 λ 1. Damit haben wir genug Daten zusammen unser Dreieck zu berechnen. Mit dem Seitencosinussatz Satz 3 folgt cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) = cos 2 ϕ 2 cos 2 ϕ 1 + sin 2 ϕ 2 sin 2 ϕ 2 cos γ = sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(λ 2 λ 1 ). Mit dieser Formel lassen sich Abstände von in Längengrad und Breitengrad gegebenen Punkten berechnen. In unserem obigen Beispiel Kiel Peking wird cos c 0, also c 1,

7 Dies ist der Winkelabstand, um den metrischen Abstand zu kriegen müssen wir noch mit dem Radius unserer Kugel multiplizieren, also mit dem Erdradius R = 6371, 2km und der Abstand Kiel Peking längs des verbindenden Großkreises wird P 1 P 2 = Rc 7418, 4km. Auch die beiden Winkel α und β in unserem sphärischen Dreieck P 1 P 2 N haben eine Bedeutung. Unter dem Kurswinkel einer Kurve auf K in einem Punkt versteht man den Winkel zum durch den Punkt laufenden Meridian, dann sind α der Kurswinkel im Startpunkt P 1 der Strecke P 1 P 2 und β der Kurswinkel im Endpunkt P 2, man nennt α den Abfahrts- und β den Ankunftswinkel. Wir können diese beispielsweise mit dem sphärischen Sinussatz Satz 6 berechnen, es ist sin c/ sin γ 0, und somit sin α = sin a 0, = cos ϕ 2 0, , und der Abfahrtswinkel wird α 53, Für den Ankunftswinkel berechnen wir analog β 37, N α b γ a β P 2 P 1 M Beim Vorgehen über den Sinussatz ist allerdings etwas Sorgfalt erforderlich da sich der Sinus nur zwischen 0 und π/2 umkehren läßt, man muss also wissen ob der untersuchte Winkel größer oder kleiner als π/2 ist. Alternativ kann man α und β auch über den Seitencosinussatz berechnen, dies ist zwar rechnerisch etwas unangenehmer führt allerdings immer zum Erfolg. 24-7