37 II.1. Abbildungen

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1 37 II.1. Abbildungen "Abbildung" und "Funktion" sind verschiedene Namen für denselben Begriff, der charakterisiert ist durch die Angabe der Definitionsmenge ("Was wird abgebildet?"), der Wertemenge ("Wohin wird abgebildet?") und der Abbildungs- oder Funktionsvorschrift ("Wie wird abgebildet?"). In unserem Fall besteht sowohl die Definitions- wie die Wertemenge aus den Punkten der Ebene und später aus den Punkten des Raumes. Wir betrachten dabei nur bijektive Abbildungen, d.h. solche, die jeden Punkt einem und nur einem Punkt zuordnen. Man spricht auch von umkehrbar eindeutigen Zuordnungen. Solche Abbildungen besitzen immer eine Umkehr-Abbildung. Die Hintereinanderausführung ("HAF") von Abbildung und Umkehr-Abbildung ergibt die identische Abbildung, bei der jeder Punkt auf sich selbst abgebildet wird. Wir werden Abbildungen (außer der identischen Abbildung id) mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen: σ (Sigma), τ (Tau), δ (Delta) und ihre Umkehr-Abbildungen mit σ -1 etc.. Die HAF von σ und τ ("erst σ, dann τ") bezeichnen wir mit σ ο τ. Demnach gilt: τ ist Umkehr-Abbildung von σ genau dann, wenn σ ο τ = τ ο σ = id. Die HAF ist assoziativ, d.h. wenn man drei beliebige Abbildungen σ, τ, δ hintereinander ausführt, dann kann man zum einen σ ο τ als neue Abbildung ϕ auffassen und erst ϕ und dann δ ausführen (ϕ ο δ), oder man fasst τ ο δ als neue Abbildung ψ auf und führt sie nach σ aus (σ ο ψ): Die resultierende Abbildung ist die selbe. Kurz: Es gilt immer (σ ο τ) ο δ = σ ο (τ ο δ). σ ο τ σ τ δ τ ο δ Die HAF ist i.a. nicht kommutativ, d.h. σ ο τ τ ο σ. Bisher ist noch keinerlei geometrische Struktur ins Spiel gekommen. Wir betrachten nur solche Abbildungen, die Geraden in Geraden abbilden ("geradentreue Abbildungen" oder "Kollineationen"). Selbst diese Menge von Abbildungen ist für unsere Zwecke noch zu groß, so dass wir weitere Einschränkungen vornehmen. Dabei spielen Fixelemente eine besondere Rolle, das sind Punkte, aber auch Linien oder Figuren, die bei der Abbildung unverändert ("invariant") bleiben, d.h. auf sich selbst abgebildet werden.

2 38 II.2. Zentrische Streckung Definition : Eine geradentreue Abbildung der Ebene auf sich, die einen Fixpunkt S besitzt und jede Gerade g auf eine parallele Gerade g' abbildet, heißt zentrische Streckung. Einfache Folgerungen aus dieser Definition sind: a) Punkt, Bildpunkt und S liegen auf einer Geraden. b) Winkel werden in gleich große Winkel abgebildet ("Winkeltreue"). Daraus folgt, dass Dreiecke in ähnliche Dreiecke abgebildet werden. c) Sind ein Punkt A ( S) und sein Bildpunkt A' bekannt, dann kann man zu jedem anderen Punkt B den Bildpunkt B' wie folgt konstruieren: Verbinde A und B, zeichne dazu die Parallele durch A'. Zeichne die Gerade durch S und B: Der Schnittpunkt mit der Parallelen ist B'. d) Es gibt eine Konstante k ( 0), so dass alle Bild-Strecken k-mal so lang sind wie die Original-Strecken. Dabei ist k negativ, wenn S zwischen Punkt und Bildpunkt liegt. Es gibt folgende Fälle: k > 1: Figuren werden vergrößert; k < 1: Figuren werden verkleinert; k = -1: Punktspiegelung; k = 1: identische Abbildung. S B' A' B A k > 1 B' A' k < -1 S A B Den Zusammenhang zwischen der Ähnlichkeitslehre und der zentrischen Streckung stiftet der Satz von den zentrisch ähnlichen Dreiecken: Zwei Dreiecke, deren entsprechende Seiten parallel aber nicht gleich lang sind, lassen sich durch eine zentrische Streckung aufeinander abbilden.

3 39 Als Folgerung eine abschließende Betrachtung zu den "besonderen Linien und Punkten im Dreieck". Die Dreiecke ABC und A'B'C' sind in einem tiefen Sinne verwandt: Man kann jedes aus dem anderen erzeugen (wie?). Die Mittelsenkrechten des Dreiecks A'B'C' sind die Höhen des Dreiecks ABC. Aus dem Satz von den Mittelsenkrechten folgt der Satz von den Höhen im Dreieck: In einem Dreieck schneiden sich die Höhen in einem Punkt. B' A C' C B A' Eine beziehungsreiche Figur Nach dem Satz von den zentrisch ähnlichen Dreiecken gibt es eine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck A'B'C' abbildet; der Streckfaktor ist k = -2. Das Streckzentrum ist der Schnittpunkt der Strecken AA' und BB' und liegt auch auf CC'. Diese Strecken sind die Seitenhalbierenden im Dreieck A'B'C' (und im Dreieck ABC). Damit haben wir einen neuen Beweis für den Satz von den Seitenhalbierenden, wobei der Schwerpunkt gleich dem Streckzentrum ist. Bei der genannten zentrischen Streckung wird der Umkreis-Mittelpunkt des Dreiecks ABC auf den Umkreis-Mittelpunkt des Dreiecks A'B'C' abgebildet (warum?). Dieser ist aber zugleich Höhen-Schnittpunkt im Dreieck ABC. Also gilt der Satz von der Eulerschen Geraden: Höhen-Schnittpunkt, Schwerpunkt und Umkreis-Mittelpunkt liegen auf einer Geraden. Der Schwerpunkt teilt die Strecke zwischen Höhen-Schnittpunkt und Umkreis- Mittelpunkt im Verhältnis 2:1.

4 40 Mit Hilfe von zentrischen Streckungen folgt mit deutlich mehr Aufwand der Satz vom Feuerbachschen Neun-Punkte-Kreis: In einem Dreieck liegen die drei Seitenmitten, die drei Höhen-Fußpunkte und die drei Mitten der Verbindungsstrecken von den Ecken zum Höhen-Schnittpunkt auf einem Kreis. Der Radius des Feuerbachschen Kreises ist halb so groß wie der Umkreis des Dreiecks. Der Mittelpunkt des Feuerbachschen Kreises liegt auf der Eulerschen Geraden in der Mitte zwischen dem Höhen-Schnittpunkt und dem Umkreis-Mittelpunkt. Der Feuerbachsche Kreis berührt sowohl den Inkreis wie die drei Ankreise.

5 41 II.3. Bewegungen Die zentrischen Streckungen sind geraden- und winkeltreu, aber i.a. nicht längentreu. Bewegungen oder Kongruenz-Abbildungen sind Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, die auch diese Eigenschaft noch besitzen und damit Figuren oder Körper in deckungsgleiche Figuren oder Körper abbilden. Eine besondere Rolle spielen dabei die Spiegelungen. In der Ebene sind es die Geraden-Spiegelungen, im Raum die Ebenen-Spiegelungen (Spiegelungen an Ebenen). Wir betrachten im folgenden zunächst nur ebene Bewegungen. Definition: Eine Abbildung heißt (Geraden-)Spiegelung an der Geraden g, wenn sie - Geraden in Geraden, - Strecken in gleich lange Strecken, - rechte Winkel in rechte Winkel abbildet, - die Gerade g punktweise auf sich abbildet ("Fixpunktgerade") - und Umkehr-Abbildung von sich selber ist. Eine einfache Folgerung aus der Definition der Spiegelung ist die übliche Konstruktion: Ein Punkt A, der nicht auf g liegt, soll gespiegelt werden. Zeichne das Lot von A auf g mit dem Fußpunkt F. - Der Bildpunkt A' muss auf der Geraden durch A und F liegen, denn... - Der Bildpunkt A' muss auf der anderen Seite von g im gleichen Abstand von F wie der Punkt A liegen, denn... Kurz gesagt: Die Spiegelgerade g ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'. Weitere einfache Folgerungen sind: a) Parallelen werden auf Parallelen abgebildet. b) Die einzigen Fixgeraden sind die Spiegelgerade g und alle dazu senkrechten Geraden. c) Wird eine Gerade h gespiegelt, dann ist die Spiegelgerade g entweder Mittel- Parallele zwischen h und Bild-Gerade h' oder Winkelhalbierende des Winkels zwischen h und h'. d) Das Bild eines Dreiecks ist ein dazu kongruentes Dreieck mit entgegengesetztem Umlaufsinn. Merke also: Eine Geradenspiegelung ist längentreu und winkeltreu.

6 42 Definition: Eine durch Hintereinaderausführung von Spiegelungen entstehende Abbildung heißt Bewegung. Einfache Folgerungen aus der Definition der Bewegung zusammen mit unserem Wissen über Spiegelungen sind: a) Eine Bewegung bildet geraden-, parallelen-, längen- und winkeltreu ab. b) Das Bild eines Dreiecks ist ein dazu kongruentes Dreieck. Bei HAF einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist der Umlaufsinn von Dreieck und Bild-Dreieck gleich, bei einer ungeraden Anzahl entgegengesetzt. Satz von den drei Spiegelungen Zwei kongruente Dreiecke können durch Hintereinanderausführung von höchstens drei Spiegelungen aufeinander abgebildet werden. Sind die Dreiecke gleichsinnig kongruent, reichen zwei Spiegelungen. B F E B E F C A D C A D Beweis: a) Seien ABC und DEF zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke. 1. Spiegelung σ 1 : Wähle als Spiegelachse die Mittelsenkrechte von AD: σ 1 bildet A auf D, B auf B' und C auf C' ab; die Dreiecke DB'C' und DEF sind gegensinnig kongruent. Fallunterscheidung: (i) B' = E : Dann ist C' F. 2. Spiegelung σ 2 an der Geraden durch DE. (ii) B' E: 2. Spiegelung σ 2 an der Winkelhalbierenden des Winkels B'DE: σ 2 bildet D auf sich, B' auf E und C' auf C'' ab; die Dreiecke DEC'' und DEF sind gleichsinnig kongruent, also C'' = F.

7 43 b) Seien ABC und DEF zwei gegensinnig kongruente Dreiecke.1. Spiegelung wie oben Fallunterscheidung: (i) B' = E : Dann ist C' = F. D.h. eine Spiegelung reicht. (ii) B' E: 2. Spiegelung σ 2 an der Winkelhalbierenden des Winkels B'DE: σ 2 bildet D auf sich, B' auf E und C' auf C'' ab; die Dreiecke DEC'' und DEF sind gleichsinnig kongruent, also C'' F. 3. Spiegelung σ 3 an der Geraden durch DE. Wir wollen nun die Bewegungen systematisch untersuchen. Zuerst ein wichtiger Sonderfall. Definition: Eine Punkt-Spiegelung ist eine Bewegung, die durch Hintereinanderausführung von zwei Spiegelungen an senkrechten Spiegel-Geraden entsteht.

8 44 Einfache Folgerungen aus der Definition der Punkt-Spiegelung liefern die übliche Konstruktion: a) Der Schnittpunkt P der beiden Spiegel-Geraden ist Fixpunkt der Punkt-Spiegelung; denn... P ist der einzige Fixpunkt; denn angenommen, es gäbe noch einen zweiten Fixpunkt Q... (zeige: dann ist jeder Punkt der Ebene Fixpunkt; das kann nicht sein, denn...) b) Ein Punkt A P soll abgebildet werden. - Der Bildpunkt A' muss auf der Geraden durch A und P liegen, denn... - Der Bildpunkt A' muss auf der anderen Seite von P im gleichen Abstand von P wie der Punkt A liegen, denn... Kurz gesagt: P ist Mittelpunkt der Strecke AA'. c) Alle Geraden durch P sind Fixgeraden. d) Gerade und Bildgerade sind parallel (oder gleich). e) Sind g 1 und h 1 zueinander senkrechte Geraden und g 2 und h 2 ebenfalls und gehen alle vier Geraden durch denselben Punkt P, dann bilden die beiden HAF σ g1 ο σ h1 und σ g2 ο σ h2 dieselbe Punkt- Spiegelung. Die Aussage e) hat folgende praktische Bedeutung: Wenn wir eine Punkt- Spiegelung als HAF zweier (Geraden-) Spiegelungen darstellen wollen, ist die einzige Bedingung, die wir erfüllen müssen, dass die beiden Geraden senkrecht stehen und durch das Zentrum der Punkt-Spiegelung gehen; ansonsten dürfen sie beliebig liegen, und die Reihenfolge bei der HAF ist auch egal. Definition: Eine Drehung ist eine Bewegung, die durch Hintereinanderausführung von zwei Spiegelungen an sich schneidenden Spiegel-Geraden entsteht.

9 45 Einfache Folgerungen aus der Definition der Drehung liefern die übliche Konstruktion: a) Der Schnittpunkt D der beiden Spiegel-Geraden ist Fixpunkt der Drehung; denn... b) Ein Punkt A D soll abgebildet werden. - Der Bildpunkt A' muss gleich weit von D entfernt sein wie A, also auf einem Kreis um D durch A liegen, denn... - Der Winkel ADA' muss doppelt so groß sein wie der Schnittwinkel der beiden Spiegel-Geraden; denn... Beachte: Die Orientierung des Winkels richtet sich nach der Reihenfolge der beiden Spiegel- Geraden bei der HAF. Kurz: Eine Drehung ist festgelegt durch den Drehpunkt D und den (orientierten) Drehwinkel. c) Alle Kreise um D sind Fixkreise. d) Schneiden sich die Geraden g 1 und h 1 unter dem Winkel α und die Geraden g 2 und h 2 ebenfalls (bei gleicher Orientierung!) und gehen alle vier Geraden durch denselben Punkt D, dann bilden die beiden HAF σ g1 ο σ h1 und σ g2 ο σ h2 dieselbe Drehung. Die Aussage d) hat folgende praktische Bedeutung: Wenn wir eine Drehung um den Winkel a als HAF zweier (Geraden-) Spiegelungen darstellen wollen, ist die einzige Bedingung, die wir erfüllen müssen, dass die beiden Geraden durch den Drehpunkt D gehen und sich dort unter einem Winkel von a/2 (unter Beachtung der Orientierung!) schneiden; ansonsten dürfen sie beliebig liegen. Eine Punkt-Spiegelung ist eine spezielle Drehung, nämlich mit dem Drehwinkel 180 ("Halbdrehung") um das Spiegel-Zentrum P.

10 46 Definition: Eine Verschiebung oder Translation ist eine Bewegung, die durch Hintereinanderausführung von zwei Spiegelungen an parallelen Spiegel-Geraden entsteht. Einfache Folgerungen aus der Definition der Translation liefern die übliche Konstruktion: a) Die Translation besitzt keinen Fixpunkt ; denn... b) Ein Punkt A soll abgebildet werden. - Der Bildpunkt A' liegt auf einer Senkrechten zu den Spiegel- Geraden durch A, denn... - Die Strecke AA' muss doppelt so groß sein wie der Abstand der beiden Spiegel-Geraden; denn... Beachte: Die Richtung der Translation richtet sich nach der Reihenfolge der beiden Spiegel- Geraden bei der HAF. Kurz: Eine Translation ist festgelgt durch Richtung und Länge der Verschiebung. c) Alle Geraden in Verschiebungsrichtung sind Fixgeraden. d) Gerade und Bildgerade sind parallel (oder gleich). e) Sind g 1 und h 1 zueinander parallele Geraden und g 2 und h 2 ebenfalls und mit gleichem Abstand wie g 1 und h 1, dann bilden die beiden HAF σ g1 ο σ h1 und σ g2 ο σ h2 dieselbe Translation. Damit haben wir alle Fälle einer Doppel-Spiegelung untersucht. Aus dem Satz von den drei Spiegelungen folgt: Satz von den gleichsinnigen Kongruenz-Abbildungen: Zwei (nicht identische) gleichsinnig kongruente Dreiecke können entweder durch eine einzige Drehung (im Spezialfall durch eine Punkt-Spiegelung) oder durch eine einzige Translation aufeinander abgebildet werden.

11 Nun zu den Dreifach-Spiegelungen. 47 Definition: Eine Schubspiegelung ist eine Bewegung, die durch Hintereinanderausführung einer Spiegelung und einer Translation in Richtung der Spiegel-Geraden entsteht. Einfache Folgerungen aus der Definition der Schubspiegelung sind: a) Vertauscht man die Reihenfolge der HAF, erhält man dieselbe Bewegung; denn... b) Die Schubspiegelung besitzt keinen Fixpunkt ; denn... c) Die Spiegelgerade ist die einzige Fixgerade; denn... d) Gerade und Bildgerade sind parallel (oder gleich); denn... Die Bedeutung der Schubspiegelung wird deutlich in folgendem Satz von den gegensinnigen Kongruenz-Abbildungen: Zwei gegensinnig kongruente Dreiecke können entweder durch eine einzige Spiegelung oder durch eine einzige Schubspiegelung aufeinander abgebildet werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten der Beweisführung: 1. Möglichkeit: Mache aus einem Dreieck durch Spiegelung ein zum zweiten gleichsinnig kongruentes Dreieck. Das gespiegelte Dreieck kann nach dem Satz von den gleichsinnigen Kongruenzabbildungen entweder durch eine Drehung oder durch eine Translation oder durch die identische Abbildung auf das zweite Dreieck abgebildet werden. Bleibt also zu untersuchen: Was ergibt die HAF einer Spiegelung mit einer Drehung, was mit einer beliebigen Translation?

12 48 2. Möglichkeit: Nach dem Satz von drei Spiegelung braucht man zur Abbildung zweier zueinander gegensinnig kongruenten Dreiecke entweder eine oder drei Spiegelungen. Bleibt die HAF der drei beliebigen Spiegelungen zu untersuchen: σ 1 ο σ 2 ο σ 3 g 1 g 1 g 1 g 2 g 2 g 2 g 3 g 3 g 3 1. Fall 2. Fall 3. Fall 1. Fall: Die Spiegel-Geraden g 1, g 2, g 3 liegen im Büschel, d.h. sie gehen alle drei durch einen Punkt. Behauptung: Dann kann man die HAF der drei durch eine einzige Spiegelung ersetzen. Beweisidee: Betrachte σ 1 ο σ 2 als Drehung. Man erhält die selbe Drehung, wenn man zwei andere Spiegel-Geraden g' 1, g' 2 nimmt, die ebenfalls in dem Büschel liegen und den selben Schnittwinkel haben; wähle sie so, dass g' 2 = g 3 ist. Dann Fall: Die Spiegel-Geraden g 1, g 2, g 3 sind parallel. Behauptung: Auch dann kann man die HAF der drei Spiegelungen durch eine ersetzen; denn...

13 49 3. Fall: g 1 und g 2 schneiden sich im Punkt P, g 2 und g 3 nicht. Behauptung: Dann kann man die HAF der drei Spiegelungen durch eine Schubspiegelung ersetzen. Beweisidee: Betrachte σ 1 ο σ 2 als Drehung. Man erhält die selbe Drehung, wenn man zwei andere Spiegel-Geraden g' 1, g' 2 nimmt, die ebenfalls durch P gehen und den selben Schnittwinkel haben. Wähle sie so, dass g' 2 senkrecht zu g 3 ist: σ 1 ο σ 2 ο σ 3 = σ' 1 ο σ' 2 ο σ 3. Dann ist σ' 2 ο σ 3 eine Punkt-Spiegelung am Schnittpunkt P' von g' 2 und g 3. Man erhält dieselbe Punkt-Spiegelung, wenn man zwei andere senkrechte Spiegel-Geraden g'' 2, g'' 3 durch P' nimmt; Wähle sie so, dass g'' 2 parallel zu g' 1, folglich g'' 3 senkrecht zu g' 1 ist: σ 1 ο σ 2 ο σ 3 = σ' 1 ο σ'' 2 ο σ'' 3. Dann ist σ'' 3 eine Spiegelung und σ' 1 ο σ'' 2 eine Translation in Richtung der Spiegelachse. Fassen wir zusammen: Neben der identischen Abbildung sind Drehung, Translation, Spiegelung und Schubspiegelung die einzigen (ebenen) Bewegungen. Jede HAF von zwei dieser Bewegungen kann durch eine einzige ersetzt werden.