2. Isometrien oder Kongruenzabbildungen

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1 6 2. Isometrien oder Kongruenzabbildungen 2.1 Einführende Überlegungen Kongruente Figuren sind deckungsgleiche Figuren. Eine Figur wird so bewegt, dass sie mit einer anderen Figur zur Deckung gebracht werden kann. uf diese Weise wird der Kongruenzbegriff auf spezielle geometrische bbildungen zurückgeführt, die Kongruenzabbildungen oder Isometrien, die man auch ewegungen nennt. Eine Kongruenzabbildung ist somit eine bbildung, die eine geometrische Figur nur verlagert, ihre Grösse und Form aber unverändert lässt. llgemein interessiert man sich für das Verhalten geometrischer Figuren bei gewissen bijektiven bbildungen. Definition Eine bbildung ϕ der Ebene auf sich heisst bijektiv, falls ϕ umkehrbar ist; d.h. es gibt nicht nur für jeden Punkt X genau einen ildpunkt Y sondern umgekehrt gibt es für jeden Punkt Y genau einen Punkt X, sodass gilt: ϕ(x) = Y. Die bbildung, die jedem ildpunkt Y sein Urbild X zuordnet, heisst zu ϕ inverse bbildung und wird mit ϕ 1 bezeichnet. ϕ 1 (Y) = X. X ϕ Y ϕ 1 Identische bbildung Die bbildung, die jeden Punkt X auf sich selbst abbildet, nennt man die identische bbildung oder Identität. id(x) = X

2 Verknüpfung von bbildungen Sind ϕ 1 und ϕ 2 bbildungen, so nennt man ϕ 2! ϕ 1 die Verknüpfung (Hintereinanderschachtelung) von ϕ 1 und ϕ 2. (sprich: ϕ 2 nach ϕ 1, ϕ 2 Ring ϕ 1 ) ϕ 2! ϕ 1 bildet jeden Punkt X ab auf ϕ 2 [ϕ 1 (X)]: 7 (! 2!! 1 )(X) =! 2 [! 1 (X)] =! 2 (Y ) = Z Die Verknüpfung von bbildungen ist assoziativ.! 3! (! 2!! 1 ) = (! 3!! 2 )!! 1 Die Verknüpfung von bijektiven bbildungen ist wieder bijektiv. Definition Eine Isometrie oder Kongruenzabbildung ϕ der Ebene (oder des Raumes) auf sich ist eine bijektive, längentreue bbildung. Das heisst: Für zwei Punkte und und ihre ildpunkte ' = ϕ() und ' = ϕ () sind die Strecken und '' gleich lang: = ' ' Isometrien sind geradentreue bbildungen, sie bilden Geraden auf Geraden ab. Die Verknüpfung von Isometrien ist wieder eine Isometrie.

3 8 2.2 Geradenspiegelung S g P. S g (P) = P' g P' Da wir unsere bbildungsgeometrie auf der Geradenspiegelung aufbauen, untersuchen wir zuerst diese bbildung. Diese bbildung ist Ihnen von der Schule her sehr bekannt. Die wichtigsten Eigenschaften der Geradenspiegelung S g 1. Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau eine Geradenspiegelung, die P auf Q abbildet. Die Spiegelungsachse ist die Mittelsenkrechte von PQ. 2. Die Geradenspiegelung ist eine involutorische bbildung, d.h. sie ist zu sich selbst invers: S g! S g = id 3. Jeder Punkt von g ist Fixpunkt. 4. Jede zu g senkrechte Gerade ist Fixgerade. Für P g liegt der ildpunkt P' auf der anderen Seite von g. Die Verbindungsgerade PP' steht senkrecht zu g, ist also Fixgerade. 5. Eine geschlossene Figur und ihr ild haben entgegengesetzten Umlaufsinn. C C' ' '

4 1. eispiel Gesucht ist der kürzeste Weg vom Punkt nach via die Gerade g. 9 g 2. eispiel Gegeben sind eine Gerade g und zwei Kreise k 1 und k 2. Konstruieren Sie Quadrate, die zwei gegenüberliegende Ecken auf g haben und von denen je eine Ecke auf k 1 und k 2 liegen.

5 2.3 Isometrien der Ebene 10 Wir suchen alle Isometrien der Ebene auf sich und wollen die Strukturen dieser Isometrien untersuchen. us ihrem Unterricht in der Sekundarschule oder im Gymnasium kennen Sie die folgenden Isometrien: Geradenspiegelung Punktspiegelung Rotation (Drehung) Translation (Verschiebung) Schubspiegelung (Vielleicht bekannt!) Die Frage lautet: Sind das nun wirklich alle Isometrien der Ebene auf sich? ls erstes suche wir alle Isometrien, die einen Punkt festlassen, also einen Fixpunkt besitzen. Definition Ein Punkt P heisst Fixpunkt der bbildung ϕ, wenn gilt: ϕ (P) = P. Satz 1: Isometrien der Ebene mit mindestens einem Fixpunkt Ist ϕ eine Isometrie der Ebene und O ein Fixpunkt von ϕ: ϕ (O) = O. Dann gilt: - Entweder ist ϕ eine Drehung um O um einen Winkel α mit 0 < α < oder ϕ ist eine Spiegelung an einer Geraden durch O - oder ϕ = id. zum eweis Der eweis ist nur so präzis, wie die egriffe definiert sind (Ebene, Raum, Geradenspiegelung, Drehung,...). Wir gehen nicht auf das xiomensystem ein. (In Geometrie 2 werden wir das xiomensystem studieren) Voraussetzung: ϕ ist eine Isometrie mit einem Fixpunkt O: ϕ (O) = O. Fallunterscheidungen 1. Fall: ϕ besitzt noch einen zweiten Fixpunkt P ( O): ϕ (P) = P. Wir zeigen, dass ϕ dann entweder die Identität oder eine Geradenspieglung ist. 2. Fall: ϕ hat genau einen Fixpunkt O. Hier zeigen wir, dass dann ϕ eine Rotation ist. Der Satz 1 gibt einen Überblick über alle Isometrien der Ebene, die mindestens einen Punkt fest lassen.

6 Wie erhält man nun alle Isometrien der Ebene, auch z.. die Translationen? Dazu beweisen wir den folgenden Satz 11 Satz 2: alle Isometrien der Ebene Jede Isometrie der Ebene ist eine Verknüpfung einer Translation und einer Isometrie mit Fixpunkt.! " Iso #! = T! v "$, wobei $ eine Isometrie mit Fixpunkt Damit haben wir im Prinzip alle Isometrien gefunden. Die reine Translation ist die Verknüpfung der Translation mit der Identität; die Schubspiegelung die Verknüpfung einer Geradenspiegelung mit einer Translation (später). Sind 2 Punkte und ihre ilder bekannt, so beweisen wir, dass es genau zwei zugehörige Isometrien gibt. Satz 3: Ist und = ' ', so gibt es genau 2 Isometrien ϕ 1 und ϕ 2, die auf ' und auf ' abbilden und die sich nur durch eine Spiegelung an der Geraden g' = '' unterscheiden. ' ' ϕ 1 oder ϕ 2 = S g' ϕ 1 g' Mit 3 nicht kollinearen Punkten und ihren ildpunkten ist die Isometrie eindeutig bestimmt. C genau eine Isometrie ϕ C Satz 4: a) Eine Isometrie der Ebene auf sich ist eindeutig festgelegt durch die ilder dreier nicht kollinearer Punkte. b) Eine Isometrie der Ebene auf sich mit drei nicht kollinearen Fixpunkten ist die Identität.

7 12 Weiter folgt nun: Satz 5: a) Jede Isometrie der Ebene auf sich ist darstellbar als Produkt von höchstens 3 Geradenspiegelungen. b) Jede Verknüpfungt von endlich vielen Geradenspiegelungen ist eine Isometrie. c) Jedes Produkt von beliebig vielen Geradenspiegelungen lässt sich darstellen mit höchstens 3 Geradenspiegelungen. emerkungen Grundsätzlich unterscheidet sich eine Geradenspiegelung von der Verknüpfung zweier Spiegelungen schon wegen der Fixpunkteigenschaften. ei der Spiegelung an einer Geraden g sind alle Punkte auf g Fixpunkte, und es gibt keine weiteren Fixpunkte. ei der Verknüpfung von zwei Spiegelungen muss die Lage der beiden Geraden beachtet werden! Wie können die bekannten 5 Isometrien durch Geradenspiegelungen dargestellt werden? Dazu ist der im nächsten bschnitt behandelte Satz, der so genannte Dreispiegelungssatz sehr nützlich. Nachher wird es ein Leichtes sein, die bekannten Isometrien durch die Verknüpfung von höchstens 3 Geradenspiegelungen darzustellen.

8 2.4 Dreispiegelungssatz 13 Wir wissen nun, dass sich jede Isometrie der Ebene auf sich als Verknüpfung von höchstens drei Geradenspiegelungen darstellen lässt. Damit können wir einen Überblick über alle Isometrien der Ebene gewinnen. Die nzahl und die Lage der Spiegelungsachsen wird wesentlich. Zuerst beweisen wir den folgenden wichtigen Satz, der sich auf Dreifachspiegelungen bezieht. Satz 6: Dreispiegelungssatz Die Verknüpfung dreier Geradenspiegelungen, wobei die drei Geraden entweder parallel oder kopunktal (genau einen Schnittpunkt) sind, ist darstellbar mit einer Geradenspiegelung. Gilt für die 3 Geraden g, h, k : Entweder g //h //k oder g h k = {}, dann gibt es eine Gerade m, so dass gilt: S k S h S g = S m k g m h k g h m emerkungen 1. Die genaue Lage der Geraden m wird nachher bestimmt. Dazu brauchen wir noch den egriff der Orientierung. 2. Statt der obigen Gleichung S k S h S g = S,m kann man auch durch Verknüpfung von links mit S k (rsp von rechts mit S g ) die oft nützlichen äquivalenten Darstellungen erhalten. oder S h S g = S k S m S k S h = S,m S g Jetzt gibt es auf jeder Seite der Gleichung 2 Geradenspiegelungen. Man kann also statt an h und k auch an g und m spiegeln.

9 Orientierung Führt man den egriff der Orientierung ein, so kann man mehr über die Lage der vier Geraden g, h, k, m aussagen, die im Dreispiegelungssatz (Satz 6) vorkommen. Für Winkel und Dreiecke sind zwei Orientierungen möglich. Sie bleiben bei gleichsinnigen Isometrien erhalten, bei ungleichsinnigen werden sie umgekehrt. Im 2-dimensionalen Raum wählen wir die Orientierung positiv (im Gegenuhrzeigersinn) oder negativ (im Uhrzeigersinn). 14 C gleichorientierte Dreiecke C gleichorientierte Winkel orientierte Gerade: Punkte auf der Geraden sind mit der Relation "vor" streng linear geordnet; entweder P Q oder Q P. Ist die Relation "vor" (willkürlich) gegeben, z.., dann heisst die Gerade orientiert. g Zwei parallele Geraden g und h heissen gleichorientiert, wenn folgendes gilt: Seien, g und die Orientierung von g und sei C D die Orientierung von h. Sei nun k die Transversale, die g in und h in C schneidet. Liegen und D in derselben Halbebene von k, dann sind die parallele Geraden g und h gleichorientiert. g h C D k Diese Definition lässt sich übertragen auf Halbgeraden oder Vektoren, die auf parallelen Trägergeraden liegen. gleichorientierte Vektoren entgegengesetzt orientierte Vektoren

10 15 Satz 6: g, h, k und m seien vier parallele oder kopunktale Geraden, die nach Satz 6 die Gleichung erfüllen: S h S g = S k S m a) Ist g! h! k = {}, so ist der Winkel zwischen g und h gleich dem Winkel zwischen m und k. k m h g b) Ist g h k m und ist s eine Senkrechte zu diesen Geraden, die g in, h in,!!! "!!!" m in C und k in D schneidet, so sind die Vektoren = CD gleichorientiert und kongruent. C D s g h m k Damit kann man eine Verknüpfung von zwei Geradenspiegelungen ersetzen durch eine andere Verknüpfung mit den entsprechenden edingungen. Satz 7: Eine Verknüpfung von vier Geradenspiegelungen ist stets darstellbar als Verknüpfung von genau zwei Geradenspiegelungen. lso ist jede Verknüpfung einer geraden nzahl Geradenspiegelungen mit Hilfe von genau zwei Geradenspiegelungen darstellbar. emerkungen 1. Eine Verknüpfung von 3 Geradenspiegelungen kann aber nie durch zwei Geradenspiegelungen dargestellt werden.

11 2. Die Isometrien der Ebene lassen sich in 2 Klassen einteilen: ungleichsinnige Isometrien: Verknüpfung einer ungeraden nzahl Geradenspiegelungen (Umwendungen). gleichsinnige Isometrien: Verknüpfung einer geraden nzahl Geradenspiegelungen (echte ewegungen) Lage der Spiegelungsachsen ei den gleichsinnige Isometrien können die beiden Spiegelachsen parallel sein oder sich schneiden, speziell können sie senkrecht aufeinander stehen. Die ungleichsinnige Isometrien können als eine oder als 3 Geradenspiegelungen dargestellt werden.

12 2.5 Die 5 Typen von Isometrien 17 Geradenspiegelung: Diese bbildung haben wir schon untersucht. Punktspiegelung: Die beiden Spiegelungsachsen schneiden sich senkrecht. Rotation (Drehung): Die beiden Spiegelungsachsen schneiden sich unter einem beliebigen Winkel. Translation (Parallelverschiebung): Die beiden Spiegelungsachsen sind parallel. Schubspiegelung (Gleitspiegelung): Verschiebung und Spiegelung erhält man genau dann, wenn drei Geradenspiegelungen nicht durch eine ersetzt werden können. Wir werden jetzt die einzelnen bbildungen in obiger Reihenfolge behandeln. Dies führt zu relativ einfachen eweisen und zu wichtigen Sätzen der Elementargeometrie. Der Dreispiegelungssatz (Satz 6&), der 3 Geradenspiegelungen durch eine ersetzt, ist ein wichtiges eweismittel. Die Lage der Spiegelungsachsen kann dadurch transformiert werden Punktspiegelung P h M. g P ' Definition Eine bbildung S M der Ebene auf sich heisst Punktspiegelung, wenn sie genau einen Fixpunkt M besitzt und jedem Punkt P den ildpunkt P' so zuordnet, dass die Strecke PP' von M halbiert wird. M heisst das Zentrum der Punktspiegelung. Satz 8: Geradenspiegelung und Punktspiegelung Stehen die beiden Geraden g und h senkrecht aufeinander mit Schnittpunkt M, so gilt: S h S g = S M. Umgekehrt ist jede Punktspiegelung darstellbar als Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen an zueinander senkrechten chsen.

13 18 Die wichtigsten Eigenschaften der Punktspiegelung S M 1. Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau eine Punktspiegelung, die P auf Q abbildet. 2. Die Punktspiegelung ist eine involutorische bbildung, d.h. S M S M = id. 3. In einem Spiegelungsprodukt S h S g vertauschbar, wenn g = h oder g h. sind die beiden chsen genau dann s h! s g = s g! s h! g = h oder g"h 4. Jede Gerade durch das Zentrum M ist Fixgerade. Eine beliebige Gerade g wird auf eine zu g parallele Gerade g' abgebildet. P g M g' P' 5. Die Punktspiegelung als Produkt zweier Geradenspiegelungen ist eine gleichsinnige Isometrie. 6. ei einer Punktspiegelung sind eine Gerade und ihr ild entgegengesetzt orientiert. g M ' g' ' us diesen Eigenschaften lassen sich nun ussagen über das Parallelogramm folgern. Definition Ein Viereck, dessen Gegenseiten auf paarweise parallelen Geraden liegen, heisst Parallelogramm.

14 Haupteigenschaft Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch in ezug auf den Diagonalenschnittpunkt M als Mittelpunkt, d.h. mit der Punktspiegelung S M wird das Parallelogramm auf sich selbst abgebildet. D!!!!!!!!!!C M 19!!!!!!!!!!!!! Daraus lassen sich die weiteren Eigenschaften herleiten: Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang. Die Diagonalen halbieren sich. Die gegenüberliegenden Winkel sind gross. eispiel Es sind 3 Punkte M, P und Q gegeben. Konstruieren Sie ein Quadrat mit dem Mittelpunkt M, von dem 2 gegenüberliegenden Seiten durch P und Q gehen.

15 2.52 Rotation (Drehung) 20 P' M! P Definition Eine bbildung R M,! der Ebene auf sich heisst Rotation (Drehung), wenn sie einen Fixpunkt M besitzt und wenn für jeden von M verschiedenen Punkt P und sein ild P' gilt: MP = MP' und!(pmp') = ". Spezialfälle: 1.! = 0!, dann ist R m,! = id. 2.! = 180!, dann ist R M. a = S M.(Punktspiegelung ) Satz 9: Rotation und Geradenspiegelung a) Die Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen, deren chsen g und h sich in einem Punkt M schneiden, ist eine Drehung um M, deren Drehwinkel gleich dem doppelten Schnittwinkel der beiden chsen ist. Ist g! h ={M } und "(g, h) = #, dann gilt : S h! S g = R M,2#. b) Jede Drehung ist darstellbar als Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen, deren chsen sich im Drehpunkt unter dem halben Drehwinkel als Schnittwinkel schneiden. Die wichtigsten Eigenschaften der Rotation 1. Jede Rotation ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu). 2. Jede Rotation mit Drehwinkel α 0 besitzt genau einen Fixpunkt. 3. Eine Rotation mit α 0, 180 besitzt keine Fixgeraden. 4. Die zur Rotation R M,! inverse bbildung ist wieder eine Rotation um M aber um den Winkel α. eispiele ( R M,! ) "1 = R M, "! 1. Drehen Sie ein Quadrat CD um einen Punkt S um den Winkel Gegeben sind ein Punkt sowie zwei Geraden b und d. Konstruiere ein Quadrat CD, dessen Ecken auf b und D auf d liegen.

16 Translation (Parallelverschiebung) P' P v Definition Eine bbildung der Ebene auf sich heisst Translation (Parallelverschiebung),!!!" wenn für alle Punkte P der Ebene und ihre ildpunkte P' gilt: alle Vektoren PP' sind kongruent und gleichorientiert.!!!" ezeichnung: Translation um PP' = v " : T" v! Spezialfall: v = 0! : T 0! = id. emerkung Unter einem Vektor versteht!!!" man die ganze Äquivalenzklasse aller kongruenter und gleichgerichteter "Pfeile" PP'. Ein Vektor ist also nicht auf einen festen nfangspunkt bezogen, sondern kann beliebig in der Ebene (Raum) parallel verschoben werden. P' P PP' Satz 10: Zu zwei Punkten und gibt es genau eine Translation, die auf abbildet; sie ist gegeben durch den Vektor = v. = v Satz 11: Translation und Geradenspiegelung a) Die Verknüpfung zweier Spiegelungen an parallelen Geraden g und h ist eine Translation um den doppelten bstandsvektor von g und h. Ist g // h und! d der bstandsvektor von g und h, dann gilt: S h! S g = T 2 " d.

17 b) Umgekehrt ist jede Translation um einen Vektor v! darstellbar als eine Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen, deren chsen parallel sind und deren bstandsvektor 1! v 2 beträgt. 22 Die wichtigsten Eigenschaften der Translation 1. Jede Translation ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu). 2. Eine Translation, die nicht die Identität ist, besitzt keinen Fixpunkt 3. ei einer Translation werden Geraden auf parallele Geraden abgebildet. 4. Geraden, deren Richtung parallel zum Translationsvektor verlaufen, sind Fixgeraden. 5. Die zur Translation v! """! = inverse bbildung ist wieder eine Translation, aber um den Vektor! v! """! =, d.h. (T! v )!1 = T!! v. 6. Eine bijektive bbildung der Ebene auf sich, die jede Gerade auf eine parallele Gerade abbildet und die keinen Fixpunkt besitzt, ist eine Translation.! : g " g '! g ohne Fixpunkt #! Translation Satz 12: Translation und Punktspiegelung a) Die Verknüpfung zweier Punktspiegelungen ist eine Translation. " ####" S N! S M = T" v mit v = 2! MN b) Jede Translation um einen Vektor Vektor v! ist darstellbar als die Verknüpfung zweier!!!!" Punktspiegelunge S N! S M,wobei für die Zentren M und N gilt: MN = 1 " v. 2

18 23 nwendung: Mittelparallele im Dreieck PQ = 1 2 C P Q eispiel Gegeben sind zwei Kreise k 1 und k 2, sowie eine Gerade g. estimme je einen Punkt auf k 1 und auf k 2 mit bstand d, sodass die Verbindungsgerade () g.

19 Schubspiegelung (Gleitspiegelung) D v r g D' Definition Eine bbildung der Ebene auf sich heisst Schubspiegelung (Gleitspiegelung) genau dann, wenn sie aus einer Spiegelung an einer Geraden r und einer Translation um! v zusammengesetzt wird, wobei! v r. Die Gerade r heisst Schubspiegelachse. ezeichnung: S r,! v Das ist die letzte zu untersuchende Isometrie. Es müssen nur noch die Produkte von drei Geradenspiegelungen untersucht werden. Schneiden sich die drei Geraden in einem Punkt oder sind sie alle drei parallel, so kann das Produkt als eine einzige Geradenspiegelung dargestellt werden. (Dreispiegelungssatz) Wir untersuchen nun das Produkt von drei Spiegelungen an Geraden mit mehr als einem Schnittpunkt. S k S h S g für den Fall, dass g! h = {} und "(g, h) = #, aber h! k $ {}. 2 (Den Fall g h und g k = { } als Übungsaufgabe) h g k k* h' g'. M h' h* S k S h S g = S k S h' S g' = S M S g' = S k* S h* S g'

20 25 Damit ist das ursprüngliche Produkt S k S h S umgewandelt in ein Produkt g S k* S h* S aus zwei Spiegelungen an parallelen chsen g' und h* und einer dritten g' Spiegelung an einer zu den parallelen Geraden senkrechten Geraden k*. Da S h* S = g' T! v mit v! """""! = 2ig'h *, erhalten wir S k! S h! S g = S k*, " v Satz 13: Ein Produkt aus drei Geradenspiegelungen, das nicht als eine einzige Geradenspiegelung ersetzt werden kann, ist eine Schubspiegelung S r,! v Sie ist darstellbar als Spiegelungsprodukt S r,! v = S r " S q " S p p q r v P'! v! p q P v T (P) v Speziell Eine reine Geradenspiegelung ist auch eine Schubspiegelung mit! v =! 0. Eine Geradenspiegelung nennt man auch uneigentliche Schubspiegelung. Ist! v!! 0, so spricht man von einer eigentlichen Schubspiegelung. Damit ist jede ungleichsinnige Isometrie eine Schubspiegelung. Die wichtigsten Eigenschaften der Schubspiegelung S! r, v 1. Jede Schubspiegelung ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu). 2. Eine eigentliche Schubspiegelung besitzt keinen Fixpunkt.

21 26 3. Die Schubspiegelachse ist die einzige Fixgerade. 4. chsenparallele Geraden werden auf gleichorientierte parallele Geraden abgebildet. 5. Zur chse senkrechte Geraden werden um! v verschoben und entgegengesetzt orientiert. 6. ei S r,! v sind die Spiegelung an r und die Translation um! v vertauschbar. S T (P)! v P r M P! v T v! (P) 7. Liegt der Punkt P nicht auf der Spiegelachse und ist P' sein ild bei der Schubspiegelung, so wird die Strecke PP' von der Spiegelachse halbiert. 8. Ist S r,! v = S r "T! v, dann ist die Inverse (S r,! v )!1 = T!! v " S r. eispiele 1. Gegeben sind die beiden kongruenten Strecken und ''. Konstruiere die chse g und den Translationsvektor! v der Schubspiegelung, die in und in überführt. 2. Was für eine Schubspiegelung ist ϕ = S r S q S, wenn p, q, r ein gleichseitiges p Dreieck bilden?