mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Baumann

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1 mentor Lernhilfen mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Geometrie: Dreieckkonstruktionen, Kongruenzsätze, Kreis und Gerade, Raumgeometrie von Rolf aumann 1. uflage mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse aumann schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FHUHHNDLUNG Mentor 2008 Verlag.H. eck im Internet: ISN

2 Inhalt Vorwort Die Einstiegstests Ortslinien Ortsbereiche Einstiegstest Mittelparallele Parallelenpaar Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Kreis Dreiecke Einstiegstest Formen und ezeichnungen Größenzusammenhänge Linien im Dreieck Mittelsenkrechte, Umkreis des Dreiecks Winkelhalbierende, Inkreis des Dreiecks Seitenhalbierende, Schwerpunkt des Dreiecks Höhen im Dreieck Zusammengesetzte Kongruenzabbildungen Kongruenzsätze Kongruenzsatz (sss) Kongruenzsatz (sws) Kongruenzsatz (wsw, wws) Kongruenzsatz (Ssw) Gemischte ufgaben zu den Kongruenzsätzen Dreieckskonstruktionen Konstruktionen mit Dreieckshöhen Konstruktionen mit Umkreisradius Konstruktionen mit Inkreisradius Flächeninhalt Einstiegstest Quadrat und Rechteck Parallelogramm Dreieck Raute Trapez Drachen D Kreis und Gerade Einstiegstest Relative Lage und Tangenten Relative Lage von Kreis und Gerade

3 1.2 Relative Lage zweier Kreise Tangentenkonstruktion Winkel am Kreis Mittelpunktswinkelsatz Sätze zum Umfangswinkel Satz zum Sehnen-Tangenten-Winkel Konstruktionen mit den Kreiswinkel-Sätzen Der Fasskreis Reguläres Sechseck E Einführung in die Raumgeometrie Einstiegstest Grundlegende egriffe Schrägbilddarstellung Prismen Pyramiden Rauminhalt Lösungen Zeichnungsvorlagen Mathematische Zeichen und bkürzungen Stichwortverzeichnis Die folgenden uttons helfen dir bei der Orientierung: Näheres zu den Einstiegstests findest du auf Seite 6. Merke klar: Das musst du dir merken! Definition legt fest, was ein egriff bedeutet. Tipp gibt dir Hinweise und nleitungen. Regel bringt eine mathematische Gesetzmäßigkeit zum usdruck. chtung! Pass auf, dass du hier keine Fehler machst! 4

4 Ortslinien Ortsbereiche 17 Die Motorschiffe nton und erta werden von dem Fischerboot äsar wegen eines drohenden Maschinenschadens über Funk zu Hilfe gerufen. Die Kapitäne tauschen ihre jeweiligen Positionen aus, die hier zur Vereinfachung als Koordinaten angegeben sind: ntons Position ist (1 5), erta befindet sich bei (5 3) und äsars Position ist ( 4 5). Welchen Punkt im Koordinatensystem steuern alle drei Schiffe an, damit sie jeweils die gleiche Strecke zurücklegen müssen? a) Konstruiere im Zeichnungsteil den Treffpunkt T (Figur 24). b) Lies die Koordinaten von T ab: T ( ) Der Kreis, auf dem die Eckpunkte eines Dreiecks liegen, heißt Umkreis des Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt M ergibt sich als Schnittpunkt der - senkrechten zu den Dreiecksseiten. Für den Radius r des Umkreises gilt: r = M = M = M eispiel 25 Figur Zeichne den Umkreis des Dreiecks und die drei Radien M, M und M ein. M 18

5 Dreiecke 1. a) Konstruiere das gleichseitige mit a = 7 cm. 6 P. b) estimme die Größe der Innenwinkel: = ; = ; = 3 P. 2. Ergänze: a) In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber dem 90 -Winkel. 3 P. b) Die beiden anderen Seiten heißen. 3 P. c) Setze (die beiden gefundenen Worte) ein und entscheide: Die ist größer/kleiner als jede der beiden. 3 P. 3. Gegeben ist das mit ( 5 3), (4 1) und (3 8). a) Zeichne das. Konstruiere den Inkreismittelpunkt M I des Dreiecks und lies seine Koordinaten ab: M I ( ). 10 P. b) Zeichne den Inkreis des Dreiecks. 10 P. 4. Gegeben ist das mit ( 5 3), (4 1) und (3 8). a) Zeichne das. b) Konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks und lies seine Koordinaten ab: S( ). 10 P. Fortsetzung auf der nächsten Seite! 19

6 Dreiecke Die beiden Dreiecke und 1 1 sind gleichsinnig / ungleichsinnig. Die beiden Dreiecke 1 1 und sind gleichsinnig / ungleichsinnig. Für die nächste chsenspiegelung soll gelten: 1 O h E Die Spiegelachse h ist die senkrechte zu [ 1 ]. Da und 1 von gleich weit entfernt sind, geht die Mittelsenkrechte zu [ 1 ] durch. Zeichne h ein sowie 1 mit 1 1 O h E 1. Wenn du genau gezeichnet hast, hast du als Spiegelpunkt von 1 an h den Punkt erhalten. Diese Erkenntnis gilt allgemein und deshalb kannst du dich an folgenden Satz halten (der hier nicht bewiesen wird): Jedes Dreieck, das zu einem anderen Dreieck gleichsinnig kongruent ist, lässt sich durch zwei hintereinander ausgeführte chsenspiegelungen auf das andere Dreieck abbilden. Zusatz: Wie du aus dem and für die 7. Klasse (ml 625) vielleicht noch weißt, ergeben zwei hintereinander ausgeführte chsenspiegelungen entweder eine Drehung oder, falls die Spiegelachsen sich nicht schneiden, eine Verschiebung. Da sich in der Figur 58, die du ergänzt hast, die chsen g und h schneiden, entspricht die Gesamtabbildung dort einer. ezeichne den Schnittpunkt von g und h mit D und zeichne gestrichelt die Kreisbögen um D ein, auf denen 1, 1 und 1 nach, und gedreht wurden. Fall 2 Zu zwei ungleichsinnig kongruenten Dreiecken und werden bbildungen gesucht, durch die das auf das abgebildet werden kann. Wieder sorgen wir dafür, dass durch die erste bbildung zunächst ein Dreieckspunkt mit seinem ildpunkt zur Deckung gebracht wird. 36

7 Dreiecke a Figur Das soll an einer chse g gespiegelt werden mit 1 O g E. Die chse g ist die senkrechte zu [ 1 ]. (Wieder hätten wir als Spiegelachse natürlich auch die Mittelsenkrechte zu [ 1 ] oder auch zu [ 1 ] wählen können.) Zeichne g ein sowie 1 1 mit O g E 1 1. Verkleinert sieht deine Zeichnung so aus: 1 l 1 l g b Figur Die beiden Dreiecke und 1 1 sind gleichsinnig / ungleichsinnig. Die beiden Dreiecke 1 1 und sind gleichsinnig / ungleichsinnig. 37

8 Teil Dreiecke Seite 19 Lösungen Teil 1. a) b) = = = 60 Maßstab = 1:2 2. a) In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber dem 90 -Winkel Hypotenuse. b) Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. c) Die Hypotenuse ist größer als jede der beiden Katheten. 3. a) y b) M I (1,2 1,1) M I x verkleinert auf 45 % 4. a) y b) S(0,7 1,3) S x 1 3 verkleinert auf 45 % 103