4. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 2001/2002 Aufgaben und Lösungsbeispiele

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1 4. Landeswettbewerb athematik ayern. Runde 00/00 ufgaben und Lösungsbeispiele ufgabe In einem Viereck sind die Seiten [], [] und [] gleich lang. ie Seite [] hat die gleiche Länge wie die iagonale []. iese iagonale halbiert den Winkel. lanfigur Wie groß können die Innenwinkel eines solchen Vierecks sein? Lösung Nach den Voraussetzungen ist das reieck gleichschenklig mit der asis [], denn es gilt =. Somit sind die Winkel und gleich weit w() = w() =. a die iagonale [] den Winkel halbiert, gilt w() = w() =. ie Geraden und schließen mit der iagonalen [] Winkel der gleichen Weite ein und sind nach der Umkehrung des Satzes über Wechselwinkel an sich schneidenden Geraden deshalb zueinander parallel. as reieck ist nach ufgabenstellung ebenfalls gleichschenklig mit der asis []. Wegen der Winkelsumme in diesem reieck gilt + = 80. Im Viereck sind die Seiten [] und [] parallel und die Seiten [] und [] gleich lang. as Viereck ist deshalb entweder ein gleichschenkliges Trapez oder ein arallelogramm. Ist ein gleichschenkliges Trapez mit der asis [], so sind die asiswinkel und gleich weit. us = + = 80 folgt = 36, = 7. Ist ein arallelogramm, dann ergänzen sich die Winkel und zu 80. us = 80 + = 80 folgt = 60, = LW 00/00. Runde Lösungsbeispiele Seite

2 ufgabe Zeige: Ist eine Zahl n IN die Summe zweier verschiedener positiver uadratzahlen, so hat auch jede k otenz n (k IN, k > 0) diese Eigenschaft. Lösung Nach ufgabenstellung ist die natürliche Zahl n die Summe verschiedener positiver uadratzahlen. Es gibt also natürliche Zahlen a > b > 0 mit n = a + b. ls erstes wollen wir zeigen, dass auch n als Summe von zwei unterschiedlichen positiven uadratzahlen dargestellt werden kann. Es ist n = (a + b ) = a 4 + a b + b 4 = 4a b + a 4 a b + b 4 = (ab) + (a b ) eine Summe von zwei uadratzahlen. a 0 < b < a gilt, sind die beiden Zahlen positiv. Wären sie gleich, also x = ab = a b, so wäre n = x und somit wäre was bekanntlich nicht der Fall ist. Wir wissen also jetzt, dass es natürliche Zahlen c > d > 0 gibt, mit n = c + d. n = eine rationale Zahl, x Jetzt untersuchen wir als nächstes, ob wir auch n 3 bzw. n 4 als Summe verschiedener positiver uadratzahlen darstellen können. Es ist n 3 = n n = (a + b ) n = a n + b n = (an) + (bn) bzw. n 4 = n n = (c + d ) n = c n + d n = (cn) + (dn). a a > b > 0 bzw. c > d > 0 und n IN, ist auch an > bn > 0 bzw. cn > dn > 0, d. h. n 3 bzw. n 4 lässt sich als Summe zweier verschiedener positiver uadratzahlen darstellen. Genauso wie wir jetzt von der Zerlegung von n bzw. n auf die Zerlegung von n 3 bzw. n 4 geschlossen haben, können wir von der Zerlegung von n 3 bzw. n 4 auf die Zerlegung von n 5 bzw. n 6 schließen, davon wiederum auf die Zerlegung von n 7 bzw. n 8 usw. llgemein kann man von der arstellung von n k = e + f (e > f > 0) als Summe zweier verschiedener positiver uadratzahlen auf eine solche arstellung von n k+ schließen. an muss im gerade geführten eweis nur n k statt n bzw. n schreiben und n k+ statt n 3 bzw. n 4. Somit gibt es eine solche gesuchte arstellung für alle otenzen n k von n. 4. LW 00/00. Runde Lösungsbeispiele Seite

3 ufgabe 3 Gegeben sind drei verschiedene unkte, und, die nicht auf einer Geraden liegen. Es soll ein uadrat mit dem ittelpunkt konstruiert werden, so dass und auf zwei benachbarten Seiten des uadrats oder deren Verlängerungen liegen. Wie viele verschiedene uadrate gibt es in bhängigkeit von der gegenseitigen Lage der unkte, und?. Lösung Grundidee der Konstruktion us den gegebenen unkten, und soll ein uadrat mit den genannten Eigenschaften konstruiert werden. Wir können die ezeichnung der Eckpunkte des uadrats so wählen, dass auf der Geraden liegt. er unkt liegt dann auf der Geraden oder auf der Geraden. ie nachfolgenden ilder zeigen diese öglichkeiten, wobei die Lage der unkte und auf den jeweiligen Geraden und bzw. variieren kann. ' reht man die Strecke [] um mit 90 bzw. 70, dann liegen und bzw. und auf der Trägergeraden der uadratseite [] bzw. []. iese Eigenschaft folgt aus der rehsymmetrie des uadrats um seinen ittelpunkt als Zentrum. ie Gerade wird bei der rehung um und dem rehwinkel 90 auf die Gerade und bei rehung um 70 auf die Gerade abgebildet. er ildpunkt von liegt deshalb auf bzw.. Entsprechendes gilt für die rehung der Strecke [] um mit 90 bzw. 70. Es entstehen dabei Trägergeraden des gleichen uadrats. ie Gerade ' und die Gerade sind mögliche Trägergeraden von uadratseiten. it Kenntnis der Trägergeraden g einer uadratseite und der Lage des unktes kann man das uadrat konstruieren, da der bstand von zu g die Länge der halben uadratseite ist. ie Konstruktion ergibt sich aus dem nebenstehenden ild. as uadrat ist durch die Trägergerade g und den ittelpunkt eindeutig bestimmt. g 4. LW 00/00. Runde Lösungsbeispiele Seite 3

4 llgemeiner Fall Liegt der unkt nicht auf der Geraden ' = = ', so sind die Verbindungsgeraden ' und verschieden. Jede dieser Geraden ist die Trägergerade einer uadratseite. Es gibt also genau zwei verschiedene uadrate. ' Hinweis Liegt auf der Geraden ' (oder ), so ist die Gerade selbst eine Trägergerade des uadrats. Konstruiert man nun das zugehörige uadrat, dann sind, ' und Eckpunkte dieses uadrats. er unkt liegt als Eckpunkt gleichzeitig auf zwei benachbarten Seiten. ußerdem gibt es ein zweites uadrat mit einer Seite auf der Trägergeraden (oder '), falls ' (oder ). iese usganglage wird bei den Sonderfällen behandelt. ' Sonderfälle ) Fällt mit ' oder mit zusammen, so bilden die unkte, und ein gleichschenklig-rechtwinkliges reieck. ie Gerade ' oder die Gerade ist nicht mehr eindeutig bestimmt. Jede Gerade durch, die nicht durch geht, ist Trägergerade eines uadrats. as nebenstehende ild zeigt drei öglichkeiten. ei diesen beiden Lagen von gibt es jeweils unendlich viele Lösungen. ' = ) Liegt auf der Geraden ' = = ' und stimmt weder mit ' noch mit überein, so ist der bstand der Geraden ' = von gleich 0. Es existiert kein uadrat. 4. LW 00/00. Runde Lösungsbeispiele Seite 4

5 . Lösung Grundidee der Konstruktion Falls ein solches uadrat existiert, gibt es einen von verschiedenen Eckpunkt S des uadrats, für den die Geraden S und S orthogonal sind. urch den ittelpunkt und den Eckpunkt S ist das uadrat eindeutig bestimmt. Es gilt:. S liegt auf dem Thaleskreis über [].. Wegen w(s) = 45 oder w(s) = = 35 liegt S auf dem Fasskreisbogen über zu 45 bzw. 35. Um diese Fasskreise zu erhalten, konstruiert man über der Strecke [] nach beiden Seiten ein gleichschenklig rechtwinkliges reieck. ie der Strecke [] gegenüberliegenden unkte und sind die ittelpunkte der Fasskreise. ie Fasskreise mit den ittelpunkten bzw. und der Thaleskreis über mit dem ittelpunkt T schneiden sich auf Grund der Konstruktion immer in. Für die übrigen Schnittpunkte der Fasskreise mit dem Thaleskreis gibt es mehrere öglichkeiten: llgemeiner Fall er unkt liegt nicht auf dem Thaleskreis über []. ie Schnittpunkte S bzw. S der Fasskreise mit dem Thaleskreis sind dann von verschieden. S T Es gibt zwei verschiedene uadrate. as nebenstehende ild zeigt eine solche Situation. S Hinweis Wenn der ittelpunkt eines Fasskreises auf der Geraden liegt, aber nicht mit dem ittelpunkt der Strecke [] zusammenfällt, dann berührt dieser Fasskreis den Thaleskreis über [] in genau einem unkt. ieser unkt ist. er ittelpunkt des anderen Fasskreises liegt dann auf der Orthogonalen zu durch. S = S as nebenstehende ild zeigt die beiden möglichen uadrate, wobei in einem Fall der unkt selbst Eckpunkt des uadrates ist und zwei Seiten zugeordnet werden kann. Sonderfälle. er unkt ist der Schnittpunkt des Thaleskreises über [] und der ittelsenkrechten von []. as reieck ist gleichschenklig rechtwinklig. er ittelpunkt des einen Fasskreises fällt mit dem ittelpunkt des Thaleskreises zusammen, d.h. einer der Fasskreise ist mit dem Thaleskreis identisch. In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen. R Im nebenstehenden ild sind zwei dieser uadrate mit den beliebig auf dem Thaleskreis gewählten Eckpunkten R und R angegeben. R 4. LW 00/00. Runde Lösungsbeispiele Seite 5

6 . er unkt liegt auf dem Thaleskreis über [] aber nicht auf der ittelsenkrechten von []. ie Fasskreise und der Thaleskreis schneiden sich in den unkten und. ie öglichkeit = S scheidet aus, da in diesem Fall die Seitenlänge des uadrats 0 wäre. Für = S wäre die Gerade S und damit auch Trägergerade einer uadratseite. a weiterhin auf dem Thaleskreis über [] aber nicht auf der ittelsenkrechten von [] liegt, ist die Winkelweite von S von 45 verschieden. Es gibt deshalb kein uadrat mit dem Eckpunkt S und einer Seite mit der Trägergeraden S. ufgabe 4 Für natürliche Zahlen werden die beiden folgenden Operationen definiert: () n die Zahl kann eine der Ziffern 0, 4 oder 8 angehängt werden. () ie Zahl kann halbiert werden, wenn sie gerade ist. Zeige, dass von 4 ausgehend jede positive natürliche Zahl durch eine endliche nzahl dieser Operationen erreicht werden kann. Zum eispiel kann die Zahl 5 erreicht werden durch: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lösung Idee Es wird gezeigt, dass es zu jeder der genannten Operationen eine eindeutige Umkehrung gibt und dass man durch die nwendung dieser Umkehrungen von jeder beliebigen natürlichen Zahl n zur Zahl 4 gelangen kann. ieser Nachweis soll in zwei Teilen erfolgen. Im ersten Teil wird gezeigt, dass durch die nwendung der Umkehroperationen jede natürliche Zahl n verkleinert werden kann. Nach endlich vielen Schritten gelangt man dann zu einer einstelligen Zahl. Im zweiten Teil wird nachgewiesen, dass man von jeder einstelligen Zahl durch die nwendung der Umkehroperationen zur Zahl 4 gelangen kann. Teil ie drei unter () zusammengefassten Operationen werden zur einfacheren arstellung mit 0, 4 bzw. 8 bezeichnet, je nach dem ob die Ziffer 0, 4 oder 8 angehängt wird. Zu jeder der Operationen () und () gibt es eine eindeutige Umkehroperation: 0 : Von einer natürlichen Zahl n mit der Einerziffer 0 wird die Endnull abgeschnitten, d.h. 0 (n) = n : 0, 0 hat demnach den Verkleinerungsfaktor 0,. 4 : Von einer natürlichen Zahl n mit der Einerziffer 4 wird die Endziffer abgeschnitten, d.h. 4 (n) = ( n 4 ) : 0, 4 hat demnach einen Verkleinerungsfaktor kleiner als 0,, da vor der ivision durch 0 die Zahl 4 subtrahiert wurde. 8 : Von einer natürlichen Zahl n mit der Einerziffer 8 wird die Endziffer abgeschnitten, d.h. 8 (n) = ( n 8 ) : 0, 8 hat demnach einen Verkleinerungsfaktor kleiner als 0,. : n wird verdoppelt, d.h. (n) = n, hat demnach den Vergrößerungsfaktor. Jede beliebige Verkettung von Operationen 0, 4, 8 und kann durch Ersetzen von 0 durch 0, 4 durch 4 usw. rückgängig gemacht werden und umgekehrt. Gelingt also der Nachweis, dass es durch die nwendung von 0, 4, 8 und einen Weg von einer beliebigen Zahl n zur Zahl 4 gibt, so gibt es durch die nwendung von 0, 4, 8 und einen Weg von der Zahl 4 zur Zahl n. 4. LW 00/00. Runde Lösungsbeispiele Seite 6

7 Es wird nun am eispiel einer Zahl n mit der Einerziffer gezeigt, dass durch eine endliche nwendung der Umkehroperationen die Zahl verkleinert werden kann. Zweimaliges nwenden von, also zweimaliges Verdoppeln der Zahl n führt zu einer Zahl mit der Einerziffer 4. ie anschließende nwendung von 4 ergibt eine natürliche Zahl n'. er Wert von n' ist kleiner als 0,4 n, denn es gilt: n' = (n 4) :0 = 0,4 n 0,4 < 0,4 n it den oben angegebenen ezeichnungen kann man dies kurz so ausdrücken: 4 { [ (n)]}= ( n 4) :0 < 0,4 n Für die übrigen Einerziffern ist die Folge der Umkehroperationen, die zu einer Verkleinerung von n führen, in Kurzform in der nachfolgenden Tabelle angegeben. Endziffer von n ( n 0) Verkettung von Operationen Verkleinerungsfaktor 0 0 : n n:0 = 0, / 6 4 { [ (n)]}: n (n 4):0 < 0,4 / 7 4 [ (n)]: n (n 4):0 < 0, 3 4 ( { [ (n)]}): n (n 4):0 < 0,8 4 4 (n): n (n 4):0 < 0, 5 0 [ (n)]: n n :0 = 0, 8 8 (n): n (n 8):0 < 0, 9 8 [ (n)]: n (n 8):0 < 0, ie Tabelle zeigt, dass jede natürliche Zahl n durch die nwendung von höchstens vier geeigneten Umkehroperationen in eine kleinere Zahl n' übergeht. Wendet man nun auf die jeweils verkleinerte Zahl immer wieder die gleichen Verfahren an, so gelangt man schließlich zu einer einstelligen, von 0 verschiedenen Zahl. Teil ie folgende Tabelle zeigt, wie man von einer einstelligen Zahl zur Zahl 4 gelangt: einstellige Zahl Verkettung von Operationen { [ ()]} = 4 () = ( { [ (3)]}) =, weiter wie bei [ (5)] =, weiter wie bei. 6 4 { [ (6)]} =, weiter wie bei. 7 4 [ (7)] =, weiter wie bei. 8 4 ( { [ (8)]}) = 6, weiter wie bei [ (9)] =, weiter wie bei. 4. LW 00/00. Runde Lösungsbeispiele Seite 7