9. Landeswettbewerb Mathematik Bayern

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1 9 Landeswettbewerb Mathematik aern ufgaben und Lösungsbeispiele Runde 006/00 ufgabe us Streichhölzern wird wie in der bbildung ein (6 3) Rechteckgitter gelegt ür die ganze igur sind 6² 3² Streichhölzer nötig Zeige, dass es beliebig viele (a b) Rechteckgitter dieser rt gibt, bei denen die erfrderliche nzahl vn Streichhölzern a² b² beträgt Lösung: Sei u > eine beliebige natürliche Zahl und a u (u ), b u (u ) ann benötigt man für das (a b) Rechteckgitter in der beschriebenen rm Streichhölzer Smit gibt es unendlich viele slche Rechteckgitter a b eweis: ür die b Reihen mit waagerechten Streichhölzern benötigt man a (b ) Hölzer ür die a Spalten mit senkrechten Streichhölzern benötigt man ( a ) b Hölzer ür ein (a b) Rechteckgitter sind demnach ( a ) b a (b ) Hölzer erfrderlich Seien nun für eine beliebige Zahl u > die Zahlen a und b gegeben durch a u (u ) und b u (u ) Es ist zu zeigen, dass für jede Wahl vn u> für diese Zahlen an und natürliche Zahlen sind und dass ( a ) b a (b ) a b gilt Ist u ungerade, s sind u und u- gerade, ist u gerade, s sind u und u- ungerade eshalb sind u (u) und u (u-) gerade und daher a und b natürlich us a u (u ) und b u (u ) flgt a b u und a b u Smit flgt: ( a b) u a b bzw a a b b a b araus ergibt sich: a b a b b a b a ( a ) b a ( b ) ies war zu zeigen 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite vn

2 ufgabe Im Sehnenviereck mit dem iagnalenschnittpunkt S gilt swie S estimme die Größen der Innenwinkel des Vierecks Lösung: ie Innenwinkelweiten im Viereck sind und 80 Lösungsmöglichkeit: Wir bezeichnen den Winkel wie in der nebenstehenden Zeichnung mit α, den Winkel mit β ehauptung: as reieck S ist gleichschenklig eweis der ehauptung: α, denn beide Winkel sind Umfangswinkel über dem Kreisbgen über [] (Umfangswinkelsatz) α, denn diese beiden Winkel sind asiswinkel im gleichschenkligen reieck α, denn beide Winkel sind Umfangswinkel über dem gen über [] (Umfangswinkelsatz) α, denn beide Winkel sind asiswinkel im gleichschenkligen reieck α, denn beide Winkel sind Umfangswinkel über dem gen über [] as reieck S ist als gleichschenklig, denn die beiden Winkel S sind gleich grß amit ist die ehauptung bewiesen S und 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite vn

3 er Punkt T liege nun auf der Strecke [], s dass T amit sind die beiden reiecke ST und S nach dem Kngruenzsatz SWS kngruent, denn T, TS S α und [S] ist eine gemeinsame Seite Smit ist nach der ehauptung auch das reieck ST gleichschenklig mit S ST und ST TS α Wegen der Vraussetzung S (ufgabenstellung), flgt aus T und T T auch T S ST Smit ist auch das reieck ST gleichschenklig ann ist TS β, denn ST und TS sind asiswinkel im gleichschenkligen reieck ST us der Winkelsumme im reieck ergibt sich: β 80 3 α ußerdem ist TS 80 α, denn TS ist Nebenwinkel vn ST α ür die Winkelsumme im gleichschenkligen reieck ST ergibt sich nun: β 80 α 80 3 α 80 α 540 α 80 ( ) 360 ls α 80 und β 80 3 α 80 Um die Innenwinkel im Viereck zu berechnen, fehlt nch Es ist β, denn und β sind Umfangswinkel über dem Kreisbgen über [] Smit sind die Größen der Innenwinkel im Viereck : 4 3 α 80 und α β 80 Variante zum eweis der ehauptung in der Lösungsmöglichkeit (hne Umfangswinkelsatz): ie Punkte,,, liegen auf einem gemeinsamen Kreis k a und, liegt auf dem Kreis k um vm Radius und auf dem Kreis k um vm Radius ei der Spiegelung der Strecke [] an der Mittelsenkrechten g der Strecke [] ist der Punkt das ild des Punktes und der Kreis k das ild des Kreises k er Kreis k ist ikreis der Spiegelung Smit geht bei dieser Spiegelung der Schnittpunkt der Kreise k und k in den Schnittpunkt der ildkreise k und k über ist smit der ildpunkt vn bei dieser Spiegelung amit ist die Strecke [] rthgnal zur Spiegelachse g bzw parallel zur Strecke [] araus flgt: as Sehnenviereck ist ein achsensmmetrisches Trapez 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite 3 vn

4 a der Schnittpunkt S der Vierecksdiagnalen auf der Spiegelachse liegt, ist g Smmetrieachse des reiecks S, dieses ist als achsensmmetrisch und smit gleichschenklig ezeichnet man den Winkel wieder mit α, s ergibt sich: α, denn und liegen smmetrisch bezüglich der Spiegelachse g α, denn und sind Wechselwinkel an den Parallelen und α, denn und sind asiswinkel im gleichschenkligen reieck Ähnlich flgt aus Smmetriegründen: α amit ist die ehauptung aus der Lösungsmöglichkeit bewiesen er Rest des eweises erflgt wie in der Lösungsmöglichkeit Lösungsmöglichkeit: Sei der Schnittpunkt des Kreises um mit Radius S und der Verlängerung der Strecke [] über hinaus er Winkel Wird wieder mit α bezeichnet Wie im ersten Lösungsvrschlag der der Variante dazu, erkennt man, dass der Winkel α an den in der Zeichnung markierten Stellen vrliegt ie reiecke S und S sind nach dem Kngruenzsatz SWS kngruent, denn S S, S und der eingeschlssene Winkel ist beide Male α us der Kngruenz der reiecke S und S flgt: S β Es ist auch β, denn und ST sind Umfangswinkel über dem Kreisbgen über [] a das reieck S gleichschenklig ist, gilt: S S β us der Winkelsumme im reieck ergibt sich: β 80 3 α us der Winkelsumme im gleichschenkligen reieck S ergibt sich: β 80 α 80 der α β urch Einsetzen vn α β in β 80 3 α ergibt sich: β 80 der β 80 Smit ist α β 80 α β 80 ie Innenwinkel im Viereck sind als 4 3 α 80 und α β 80 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite 4 vn

5 ufgabe 3 ür welche natürlichen Zahlen n nimmt der größte gemeinsame Teiler vn n und (n3) seinen maimalen Wert an? Lösung: er größte gemeinsame Teiler vn n 3 nimmt seinen maimalen Wert 50 für die Zahlen n 50 m (m eine beliebige natürliche Zahl) an eweis: n und ( ) Es wird gezeigt, dass () 50 der maimal mögliche Wert für den größten gemeinsamen Teiler vn n und ( n 3) ist; () für die Zahlen der rm n 50 m der größte gemeinsame Teiler vn n und ( n 3) tatsächlich 50 ist; (3) für alle natürlichen Zahlen, die nicht die rm n 50 m haben, dieser größte gemeinsame Teiler vn 50 verschieden ist Zum eweis vn (): Sei t ein gemeinsamer Teiler vn n und ( n 3) ann eistieren natürliche Zahlen p und q mit (I) t p n (II) t q ( n 3) n 6 n 9 Subtrahiert man Gleichung (I) vn Gleichung (II), s ergibt sich: der 6 n t ( q p) 8 (II)-(I) t q t p 6 n 8 urch Quadrieren dieser Gleichung und dditin vn 36 auf beiden Seiten ergibt sich us n ( n ) t ( q p) 6 t ( q p) t p flgt ( q p) 6 t ( q p) t p t ie linke Seite dieser Gleichung ist durch t teilbar, als muss auch 00 durch t teilbar sein er größte gemeinsame Teiler ist als ein Teiler vn 00 ür t 00 gilt nach ivisin vn 36 t p t ( q p) 6 t ( q p) p 00 ( q p) 6 ( q p) durch t00: ie linke Seite dieser Gleichung ist gerade, die rechte ungerade ls ist t 00 als gemeinsamer Teiler vn n und ( n 3) unmöglich Smit ist der größte mögliche gemeinsame Teiler höchstens 50 ür n ist n 50, ( n 3) 00 er größte gemeinsame Teiler ist als 50 Smit kmmt 50 als größter gemeinsamer Teiler wirklich vr und der maimale Wert für diesen größten gemeinsamen Teiler ist smit 50 amit ist () beweisen 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite 5 vn

6 Zum eweis vn (): ür n 50 m (m beliebige natürliche Zahl) ist n 3 50 m m 000 m und ( ) ( ) 00 n ( 50 m ) 500 m 00 m 50 eide Zahlen sind durch 50 teilbar, als ist der größte gemeinsame Teiler mindestens 50 a er nach dem eweis vn () nicht größer als 50 sein kann, nimmt er für alle Zahlen der rm n 50 m den maimalen Wert 50 an amit ist () bewiesen Zum eweis vn (3): Sei n 50 m (m beliebige natürliche Zahl, 0 49 ) ann ist n 50 m ( ) 500 m 00 m 00 ( 5 m m ) a 00 ( 5 m m ) eine Hunderterzahl ist, ist wenn mit den Ziffern 49 der 99 endet n nur dann durch 50 teilbar, Eine Quadratzahl endet aber nur auf 9, wenn auf 3 der endet n auf 6 und damit endet auch ( 3) Wenn auf 3 endet, s endet 3 sicher nicht durch 50 teilbar Es muss als auf enden n auf 6, ist als Vn den fünf verbleibenden Möglichkeiten für, nämlich,,, 3 und 4, endet aber nur für die Quadratzahl auf 49 amit ist gezeigt, dass nur für die Zahlen der rm n 50 m der maimale Wert 50 für den größte gemeinsamen Teiler vn n und ( n 3) möglich ist Smit ist auch (3) beweisen Lösungsvariante zum eweis vn (): Sei s ein gemeinsamer Teiler vn n 3 und n ann gibt es natürliche Zahlen, mit n 3 s und n s us n s 3 flgt durch Einsetzen: n ( s 3) s 6 s 0 s araus ergibt sich: 0 s ( s 6 ) Smit ist s Teiler vn 0 amit ist jeder gemeinsame Teiler vn (n3) und n ein Teiler vn 0 00 n kann aber nicht durch 00 teilbar sein, denn dann wäre diese Zahl insbesndere auch durch 4 teilbar Smit müsste n bei der ivisin durch 4 den Rest 3 haben lle Quadratzahlen haben aber bei der ivisin durch 4 den Rest 0 der den Rest, denn wenn n gerade ist, s ist n durch 4 teilbar, wenn n m ungerade ist, s ist n ( m ) 4 m 4 m und lässt als bei der ivisin durch 4 den Rest n 3 und n Smit ist 50 der maimal möglich Teiler vn ( ) amit ist () bewiesen 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite 6 vn

7 ufgabe 4 Gegeben ist ein knvees Viereck, das kein Parallelgramm ist ür welche Punkte P im Viereck ist die Summe der lächeninhalte der reiecke P und P ebens grß wie die Summe der lächeninhalte der reiecke P und P? ntwrt: Seien M der Mittelpunkt der iagnalen [], N der Mittelpunkt der iagnalen [] ür alle Punkte P, die im Viereck auf der Geraden g durch M und N liegen, ist die in der ufgabe gefrderte Eigenschaft erfüllt ür andere Punkte ist sie nicht erfüllt Lösungsmöglichkeit: er eweis gliedert sich in drei Schritte: Schritt : ie Mittelpunkte M und N vn [] und [] haben die gefrderte Eigenschaft Schritt : lle Punkte P, die auf der Geraden g durch M und N im Inneren des Vierecks liegen, erfüllen die gefrderte Eigenschaft Schritt 3: lle Punkte im Inneren des Vierecks, die nicht auf g liegen, erfüllen die gefrderte Eigenschaft nicht eweis vn Schritt : ie reiecke M und M haben den gleichen lächeninhalt, da sie gleich lange Grundlinien [M] und [M] und eine gemeinsame Höhe (bstand vn zu ) haben ie reiecke M und M haben den gleichen lächeninhalt, da sie gleich lange Grundlinien [M] und [M] und eine gemeinsame Höhe (bstand vn zu ) haben 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite vn

8 ie Summe der lächeninhalte der reiecke M und M ist daher genaus grß wie die Summe der lächeninhalte der reiecke M und M nalg ergibt sich, dass die Mitte N der iagnalen [] ebenfalls die gefrderte Eigenschaft hat eweis vn Schritt : a das vrgegebene Viereck kein Parallelgramm ist, fallen die iagnalenmittelpunkte M und N nicht zusammen Smit eistiert die Gerade g durch M und N eindeutig ie Gerade g schneidet das Viereck in zwei gegenüberliegenden Seiten egründung: Würde g zwei benachbarte Seiten in ihrem Inneren schneiden, s hätte g mit einer iagnalen keinen Punkte gemeinsam; dies ist nach der estlegung vn g nicht möglich Wir nehmen hne eschränkung der llgemeinheit an, dass g [] und [] schneidet a M der Mittelpunkt vn [] ist, hat jede Gerade durch M vn und den gleichen bstand (d d ) a N der Mittelpunkt vn [] ist, hat jede Gerade durch N vn und den gleichen bstand (d d ) lglich gilt für die Geraden g MN: d d und d d ls gilt für jeden Punkt P, der im Inneren vn auf g liegt: PM PM d PM d PM PM PM d PM d PM P P M m PM m PM M ± PM ± PM (*) M M ( PM ± PM ) ( PM ± PM ) m m 4 3 emerkung: Liegt P zwischen M und [], s gelten in (*) die Vrzeichen - -, liegt P zwischen M und [], s gelten in (*) die Vrzeichen LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite 8 vn

9 eweis vn Schritt 3: Vrbemerkung: Zunächst wird gezeigt: Schneidet wie d angenmmen werden kann MN die Seiten [] und [] in den Punkten E und, s können diese Seiten nicht parallel sein etrachten wir reieck : a M der Mittelpunkt vn [] ist, schneidet die Parallele p M zu durch M die Seite [] in deren Mittelpunkt etrachten wir reieck : a N der Mittelpunkt vn [] ist, schneidet die Parallele p N zu durch N die Seite [] in deren Mittelpunkt ie beiden genannten Parallelen p M und p N schneiden sich als im Mittelpunkt vn [] a MN weder zu p M nch zu p N parallel und M N ist, können p M und p N und damit auch und nicht parallel sein eweismöglichkeit : a [MN] [E] ist, flgt (siehe bige Zeichnung): ie Parallele zu durch schneidet die Parallele zu durch E außerhalb des Vierecks Ihre Schnittpunkte mit [] nennen wir H und G amit gilt: - Ist P ein beliebiger Punkt des ünfecks H, s schneidet die Parallele zu durch P die Strecke [E] - Ist P ein beliebiger Punkt des ünfecks EG, s schneidet die Parallele zu durch P die Strecke [E] ls: urch jeden Punkt P im Viereck gibt es eine Parallele zu und eine Parallele zu ; vn diesen schneidet mindestens eine [E] in einem Punkt P Ist nun P ein beliebiger Punkt des Vierecks, der nicht auf [E] liegt Nach Obigem können wir hne eschränkung der llgemeinheit annehmen, dass die Parallele zu durch P die Strecke [E] in P schneidet 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite 9 vn

10 () a PP parallel zu ist gilt: P d(p; ) d(p';) P ' () a P auf E liegt, gilt nach Schritt : P' P' (3) a PP parallel zu und nicht parallel zu ist, ist PP nicht parallel zu araus flgt: d(p ;) d(p;); als: P P' us () bis (3) flgt: P P P' P P' P' eweismöglichkeit : a und nicht parallel sind, scheiden sie sich in einem Punkt, der mit Z bezeichnet wird Ist P ein Punkt im Viereck, der nicht auf [E] liegt, s schneidet die Gerade ZP die Strecke [E] in einem Punkt P amit eistiert eine zentrische Streckung S(Z;m) mit Zentrum Z und Streckungsfaktr m (m>0 und m ), die P auf P abbildet ie bstände vn P zu bzw werden dadurch auf die bstände vn P auf bzw abgebildet, d h d(p ;) m d(p;) und d(p ;) m d(p;) a P' [E], gilt mit Schritt : P ' P' d(p';) d(p';) m d(p;) m d(p; ) m d(p;) d(p;) m P da m ( P ) P P amit ist gezeigt, dass die gefrderte edingung für keinen Punkt des Vierecks, der nicht auf [E] liegt, erfüllt wird, 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite 0 vn

11 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite vn Lösungsvrschlag: Vrbemerkung: In einem Krdinatensstem ist das reieck ( ), ( ) und ( ) gegeben ann hat das reieck den lächeninhalt ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] eweis der Vrbemerkung: ür die in der neben stehenden bbildung dargestellte Lage vn, und ergibt sich, wenn man die Inhalte der drei äußeren reiecke vm Rechtecksinhalt abzieht: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) urch usmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt sich die ehauptung uch für andere Lagen vn, und erhält man in analger Weise die bige rmel Zum eigentlichen eweis: Es wird ein Krdinatensstem s gewählt, dass die Eckpunkte und des Vierecks die Krdinaten (0 0) und ( ) haben ie anderen Eckpunkte haben die Krdinaten ( ) und ( ) ann ergibt sich aus der Vrbemerkung: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) (I)

12 9 LWM 006/00 Lösungsbeispiele Runde Seite vn Sei nun P( ) ein Punkt im Viereck ür den lächeninhalt des reiecks P gilt: P (II) ür den lächeninhalt des reiecks P ergibt sich nach Vrbemerkung: P ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) (III) er Punkt P hat die in der ufgabenstellung gefrderte Eigenschaft, wenn [ ] P P Nach (I), (II), (III) ergibt sich: ( ) ( ) der Umfrmen und usklammern liefert: ( ) ( ) (*) all : In diesem all ist, da snst [] und [] zwei gleich lange, parallele, gegenüberliegende Seiten des Vierecks wären Es läge als ein Parallelgramm vr ies ist nach ufgabenstellung ausgeschlssen Smit stellt (*) die Gleichung einer Geraden g parallel zur -chse dar, denn g: ( ) all : In diesem all stellt (*) die Gleichung der Geraden g mit g: dar In jedem all liegen die gesuchten Punkte als auf einer Geraden g Nun wird nch gezeigt, dass auch die iagnalenmittelpunkte M und N auf dieser Geraden liegen er Mittelpunkt M vn [] hat die Krdinaten M, der Mittelpunkt N vn [] hat die Krdinaten N Einsetzen vn M in (*) liefert: ( ) ( ), d h g M urch Einsetzen vn N in (*) zeigt man analg: g N a eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig festgelegt ist, ist die in der ufgabenstellung gefrderte Eigenschaft genau für alle Punkte P, die im Viereck auf der Geraden g durch die Mittelpunkte M und N liegen, erfüllt