Geometrie I - Winkeljagd

Transkript

1 Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Geometrie I - Winkeljagd aniel Sprecher ktualisiert: 1. ezember 2015 vers Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Winkel im reieck 2 3 Winkel im Kreis 5 4 Sehnenvierecke 9 5 Tipps für die rüfung 12

2 1 Einleitung ieses Skript soll einen ersten Überblick über die Geometrieaufgaben geben, wie sie an Mathematik-Olympiaden gestellt werden. ie zur Lösung der ufgaben benötigte Theorie ist weder viel noch schwierig zu verstehen, sondern recht intuitiv. ie Schwierigkeit der ufgaben liegt vielmehr darin, einen vernünftigen nsatz zu nden, das Wesentliche in einer Skizze zu erkennen und die gefundenen Tatsachen so zu verknüpfen, dass ein vollständiger eweis entsteht. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser sich mit dem Konstruieren von geometrischen Figuren auskennt (sp. Thaleskreis). Insbesondere sollten die Existenz, Konstruktion und wichtigsten Eigenschaften der folgenden speziellen unkte im reieck bekannt sein: Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt (Welche der genannten unkte können auch ausserhalb des reiecks liegen? Wie sieht dann das reieck aus?). Zudem wird erwartet, dass elementare Sätze wie der Satz von ythagoras und Grundbegrie wie spitzwinklig (< 90 ) und stumpfwinklig (zwischen 90 und 180 ) bekannt sind. In jedem Kapitel hat es einige eispiele mit Lösungen. Sie sollen dich ins Thema einstimmen und die gegebenen Sätze in ktion zeigen. ie Lösungen der espiele sind eher ausführlich geschrieben, an den rüfungen müsst ihr die eweise nicht so ausführlich geben, es dürfen aber auch keine Schritte oder Fälle fehlen (siehe Kapitel 5). 2 Winkel im reieck Wir beginnen gleich mit dem ersten eispiel. eispiel 1. eweise, dass in einem beliebigen reieck die Summe der drei Innenwinkel 180 beträgt. Lösung. Seien wie üblich =, β =, γ = und sei g die Gerade parallel zur Geraden durch den unkt (bb. 1). a die drei Winkel bei zusammen eine Gerade bilden, gilt (g, ) + γ + (, g) = 180. Nun ist (g, ) gleich gross wie und (, g) = β, da sie jeweils Gegenwinkel an den arallelen g und bilden. amit ergibt sich + β + γ = 180. a sich jedes konvexe n-eck aus n 2 reiecken aufbauen lässt, ist die Winkelsumme für ein beliebiges n-eck (n 2) 180 (genauer eweis geht mit vollständiger Induktion). us eispiel 1 folgt unmittelbar der ussenwinkelsatz, den man sich anhand einer Zeichnung am besten selber klar macht. Satz 2.1 (ussenwinkelsatz). Ein ussenwinkel eines reiecks ist gleich gross wie die Summe der beiden nicht-anliegenden Innenwinkel. 2

3 γ β g ε a β a bbildung 1: Lösung zu eispiel 1 bbildung 2: eispiel 2 eispiel 2. Im reieck sei die Seite länger als die Seite. er unkt liege so auf der Strecke, dass = ist (bb. 2). Wie gross ist ɛ =, wenn man weiss, dass = 30 gilt? Lösung. Wieder seien und γ die Eckwinkel von bei bzw.. er Winkel ist ussenwinkel von und somit gleich gross wie die Summe der beiden Innenwinkel bei und (bb. 3): = + ɛ. (1) Nach Voraussetzung ist gleichschenklig und darum gilt = = γ ɛ. (2) Kombiniert man nun die Gleichungen (1) und (2) erhält man + ɛ = = γ ɛ + 2ɛ = γ 2ɛ = γ = 30 ɛ = 15 ie Nebenbedingung des letzten eispiels scheint auf den ersten lick recht seltsam und man weiss zuerst nicht so recht, was man damit anfangen soll. ies ist häug so und es gibt kein atentrezept, wie man jeweils vorgehen soll. In dieser ufgabe waren wir erfolgreich, indem wir eine edingung am nfang einfach mal ignorierten. Erst nachdem wir eine eziehung zwischen den in der ufgabe erwähnten Winkel (, γ, ɛ) hergestellt hatten, wurde klar wie man die Nebenbedingung verwenden kann. Manchmal ist es aber auch so, dass man aus den Nebenbedingungen Hinweise zur Lösung der ufgabe herauslesen kann. 3

4 ε γ-ε a a a w +ε a bbildung 3: Lösung zu eispiel 2 bbildung 4: eispiel 3 eispiel 3. Sei ein rechtwinkliges reieck mit Hypotenuse (bb. 4). er unkt habe die Eigenschaft, dass die Geraden und rechtwinklig aufeinander stehen und = gilt. Zeige, dass die Gerade entweder rechtwinklig oder parallel zur Winkelhalbierenden w von Winkel = ist. Lösung. Es gibt zwei unkte, welche die edingungen für erfüllen. Sei 1 diejenige Möglichkeit, die auf der selben Seite von Gerade liegt wie (bb. 5) und 2 diejenige Möglichkeit, welche auf der gegenüberliegenden Seite von liegt (bb. 6). a γ = 90 ist, gibt es eine direkte eziehung zwischen und β: und somit ist β = 90 1 =. as reieck 1 ist nach Voraussetzung gleichschenklig und es gilt darum 1 = 1. Für die Winkelsumme in diesem reieck erhalten wir = = Sei Q der Schnittpunkt von w und. a Q = 2 ist, bekommen wir Q = 90 2 = 1. Q und 1 sind also Gegenwinkel und darum sind w und 1 parallel. etrachten wir nun noch die Situation für 2. Es gilt 2 = 180 und darum 2 = 2. Sei nun R der Schnittpunkt von w mit 2. In QR gilt QR + RQ = 2 + (90 Q) = = 90. lso ist RQ = 90 und w 2. 4

5 ½ 90 -½ 90 -½ 1 R Q w ½ ½ ½ 90 -½ Q w 2 bbildung 5: Lösung zu eispiel 3, Fall 1 bbildung 6: Lösung zu eispiel 3, Fall 2 n diesem eispiel sieht man schön, was Winkeljagd überhaupt ist. m nfang wird ein Winkel mit einem latzhalter ersetzt (hier:. = ) und dann werden alle weiteren Winkel in der Figur in bhängigkeit dieses Winkels ausgedrückt (z.. Q = 90 2 )..h. hier ist die ganze Figur bestimmt, wenn man bestimmt. ei anderen ufgaben ist es manchmal nötig mehrere latzhalter einzuführen. 3 Winkel im Kreis Sei O der Mittelpunkt eines Kreises und seien und zwei unkte auf der Kreislinie. er Winkel O wird Zentriwinkel über dem ogen  genannt. eachte, dass es für  immer zwei Möglichkeiten gibt, einmal ist O 180 und einmal O 180. Meistens ist es aus dem Zusammenhang klar, welche von beiden Möglichkeiten gemeint ist, besser ist es jedoch, dies unmissverständlich zu deklarieren (wie im folgenden Satz). Satz 3.1 (eripherie-zentriwinkelsatz). Sei O der Umkreismittelpunkt eines beliebigen reiecks mit =. er Zentriwinkel des ogens, welcher den unkt nicht enthält, ist dann gleich 2. eweis. Wir beweisen den Fall, wenn spitzwinklig ist (bb. 7), der andere Fall funktioniert analog. Weil spitzwinklig ist, liegt O innerhalb von und wir können in zwei kleinere Winkel aufteilen, indem wir 1 = O und 2 = O setzen. a O der Umkreismittelpunkt ist, sind O und O gleichschenklig, d.h. O = 1 O = 2. Verlängern wir die Gerade O und schneiden sie mit dem Umkreis in, sehen wir, dass O der ussenwinkel von O und O der ussenwinkel von O ist. Wir 5

6 t H O 2 1 O bbildung 7: eripherie-zentriwinkelsatz bbildung 8: Tangentenwinkelsatz erhalten darum nach ussenwinkelsatz O = O + O = = 2( ) = 2. nalog zum Zentriwinkel wird der Winkel in bb. 7 eripheriewinkel über dem ogen genannt. Überlege dir, was mit der Grösse des eripheriewinkels passiert, wenn du den unkt auf dem Umkreis herumschiebst. u kommst so direkt zum nächsten Satz. Satz 3.2 (eripheriewinkelsatz). Sei ein beliebiger ogen auf einem Kreis k. lle eripheriewinkel über sind gleich gross. eweis. Wir betrachten wieder bb. 7 und wählen den ogen, der enthält. er Zentriwinkel O ist oensichtlich unabhängig von der Wahl von, somit ist nach eripherie-zentriwinkel klar, dass auch der etrag von konstant bleiben muss, solange nicht die Seite von der Geraden wechselt. Satz 3.3 (Tangentenwinkelsatz). Im beliebigen reieck sei k der Umkreis mit Mittelpunkt O. Sei t die Tangente in zum Kreis k (bb. 8). unterteilt t in zwei Halbgeraden; man wähle einen beliebigen Hilfspunkt H auf derjenigen Halbgeraden, die auf der anderen Seite von liegt als. Es gilt = H. eweis. (bb. 9) Mit dem eripherie-zentriwinkelsatz berechnen wir O = 2. O ist gleichschenklig und wir können darum mit Hilfe der Winkelsumme den Winkel O berechnen: O = =

7 Tangenten stehen stets rechtwinklig auf dem jeweiligen Radius, d.h. OH = 90. er letzte Schritt ist nun nicht mehr schwierig: H = 90 O = 90 (90 ) =. er Tangentenwinkelsatz ist bei komplizierten ufgaben sehr nützlich, denn er erlaubt es ohne das Zentrum des Kreises einzuführen Winkel am Kreis zu berechnen. ie Skizze bleibt damit viel übersichtlicher. Wir machen als nächstes ein eispiel, das dies veranschaulichen soll. t F t 90 - H O 2 E G bbildung 9: eweis des Tangentenwinkelsatzes bbildung 10: eispiel 4 eispiel 4. ie beiden Sehnen und schneiden sich innerhalb des Kreises in E (bb. 10). Sei ein beliebiger unkt auf der Strecke E. ie Tangente t zum Kreis durch, und E in E schneide die Gerade in F und in G. Zeige F G =. Lösung. (bb. 11) ls erstes setzen wir E =, E = β (es spielt nicht so eine grosse Rolle, welche Winkel wir substituieren). Nun können wir ganz gezielt weitere Winkel herleiten. So ist nach dem Tangentenwinkelsatz GE = welches ein ussenwinkel von EG ist. amit kriegen wir direkt F G = β. 7

8 Nach dem eripheriewinkelsatz ist = β und mit Hilfe des ussenwinkels E = von erhalten wir = β also gleich F G. t F β Q β E s s M s s G O N bbildung 11: Lösung von eispiel 4 bbildung 12: eispiel 5 ie Lösung dieser ufgabe sieht so recht einfach aus, man kann sich aber leicht in den vielen Geraden und Kreisen verlieren. Immer die Übersicht über die ganze Situation zu behalten stellt eine der Hauptschwierigkeiten in der Geometrie dar. ie Geduld sorgfältig, mit Lineal und Zirkel, eine grosse Skizze zu konstruieren macht sich darum oft bezahlt! ei der Lösung dieses roblems haben wir zu eginn zwei Winkel substituiert ( und β). Möchte man alle Winkel in der Figur bestimmen, braucht man noch mehr latzhalter. robier doch mal als Übung alle Winkel in der Figur zu bestimmen. Wie viele Winkel musst du minimal substituieren? (ntwort: die Figur hat vier Freiheitsgrade (wenn man Translation, Skalierung und rehung ignoriert); durch vier Substituenten kann man alle in bb. 11 vorhandenen Winkel ausdrücken.) eispiel 5. Sei O ein rechter Winkel mit einem unkt M auf der Halbgeraden O und einem unkt N auf der Halbgeraden O (bb. 12). Ergänze M und N so zu einem Quadrat MN Q, dass auf der anderen Seite von MN liegt als O. Finde den geometrischen Ort des Mittelpunktes von Quadrat MN Q, wenn man die beiden unkte M und N frei auf ihren Halbgeraden bewegt? 8

9 Lösung. Wir zeichnen als erstes die beiden iagonalen des Quadrates ein und benennen deren Schnittpunkt mit (bb. 13). uf den ersten lick würde man erwarten, dass sich wie und Q auf einer unendlichen Fläche bewegt. Wir zeigen nun, dass dies nicht so ist. Q Q M M E O N O N bbildung 13: Lösung 5, erster Teil bbildung 14: Lösung 5, zweiter Teil ie beiden Winkel M ON und M N sind beide rechtwinklig und es macht darum Sinn den Thaleskreis über der Strecke M N einzuzeichnen. Jetzt liegen nämlich die beiden unkte O und ebenfalls auf diesem Kreis. a MN Q ein Quadrat ist, misst NM = 45. Nach dem eripheriewinkelsatz gilt OM = NM = 45. ie Mittelpunkte des Quadrates liegen also unabhängig von der Wahl von M und N auf der Winkelhalbierenden von O. Wir sind damit aber noch nicht fertig, da noch nicht bewiesen ist, dass auch alle unkte auf der Winkelhalbierenden einmal Quadratmittelpunkt sein können. Um dies zu zeigen, wählen wir einen beliebigen unkt E auf der Winkelhalbierenden von O und zeichnen das Quadrat MONE mit M auf O und N auf O (bb. 14). Wenn man nun das Quadrat MN Q zeichnet ist oensichtlich E dessen Mittelpunkt. Es ist damit gezeigt, dass sich der Quadratmittelpunkt auf der ganzen Winkelhalbierenden (hier eine Halbgerade) von O bewegen kann. 4 Sehnenvierecke amit sind wir beim wichtigsten Kapitel angelangt, denn in fast allen Wettbewerbsaufgaben kommen Sehnenvierecke vor. Ein Sehnenviereck ist ein konvexes Viereck, das von vier unkten, die auf einem Kreis liegen, gebildet wird. Wir untersuchen zunächst eine wichtige Eigenschaft. 9

10 Satz 4.1. In einem Sehnenviereck ergibt die Summe von zwei gegenüberliegenden Innenwinkeln immer 180. eweis. Hat man mit Sehnenvierecken zu tun, ist es meistens ratsam die beiden iagonalen einzuzeichnen und die Innenwinkel so zu teilen (bb. 15). Wir benennen dann = und = β. Mit dem eripheriewinkelsatz ergibt sich =, = β und mit der Winkelsumme im weiter = 180 β = 180 Okay, das war jetzt noch nicht so spektakulär. Überraschender ist, dass auch die Umkehrung des Satzes gilt! Satz 4.2. Gegeben vier unkte,,,, die in dieser Reihenfolge ein konvexes Viereck bilden. Gilt + = 180, so liegen die vier unkte auf einem Kreis. β β bbildung 15: Lösung zu Satz 5 bbildung 16: Lösung zu Satz 6 eweis. (bb. 16) Wir zeichnen als erstes den Umkreis k von. ngenommen liege nicht auf k. Wenn diese nnahme zu einem Widerspruch führt, ist der Satz bewiesen. Wir betrachten zuerst den Fall, wenn innerhalb des Kreises k liegt. er Schnittpunkt der Geraden mit k sei. a ein Sehnenviereck ist, wissen wir (Satz 4.1) + = 180. Könnten wir nun zeigen, dass grösser ist als, hätten wir den gewünschten Widerspruch, weil dann die Summe + unmöglich auch 180 sein könnte, 10

11 was nach Voraussetzung aber gegeben ist. Intuitiv ist es klar, dass in bb. 16 > gilt, beweisen kann man das so: Weil innerhalb des reiecks liegen muss, ist < und <. amit ergibt sich aus den Winkelsummen = 180 > 180 =. er Fall, wenn ausserhalb von k liegt, funktioniert völlig analog. as hier verwendete rgument macht auf den ersten lick einen etwas unsauberen Eindruck, tatsächlich hat die eweismethode aber sogar einen Namen. Man nennt es 'Working ackward' und kommt recht häug vor. Es lohnt sich also, sich das Schema zu merken. Ein einfaches eispiel mit einem Sehnenviereck hatten wir übrigens schon. In eispiel 5 zeichneten wir den Thaleskreis ein, weil dort beide gegenüberliegende Winkel 90 waren. Zum Schluss machen wir noch ein schwieriges eispiel, bei dem es ganz zentral ist, die Sehnenvierecke zu entdecken. F F E E bbildung 17: eispiel 6 bbildung 18: Lösung zu eispiel 6 eispiel 6. ie unkte E und F liegen auf der Strecke des konvexen Vierecks, wobei E näher bei ist als F (bb. 17). Es gelte E = F und EF = F E. Zeige F = E. Lösung. (bb. 18) ei solchen ufgaben verliert man sich oft in unzähligen Hilfsgeraden und -winkeln. Es lohnt sich also, sich Zeit zu nehmen für eine anständige Skizze. Ich 11

12 mache es oft so, dass ich das Grundgerüst mit Kugelschreiber sorgfältig zeichne und den Rest mit leistift je nach Wichtigkeit verschieden dick eintrage. as hat den Vorteil auch mal radieren zu können, ohne wieder ganz von vorn beginnen zu müssen. Was bei diesem eispiel als erstes auällt, ist, dass die beiden Winkel über der Strecke EF gleich gross sind: eine Situation, wie beim eripheriewinkelsatz! Mit dessen Umkehrung können wir schliessen, dass EF ein Sehnenviereck sein muss. ass die Umkehrung des eripheriewinkelsatzes gilt, könnten wir wie Satz 6 mit Working ackward beweisen, ist aber auch allgemein bekannt und wir sparen uns deshalb den eweis. Nun kommt der schwierige Teil der ufgabe. Wir haben nun ein Sehnenviereck gefunden und natürlich müssen wir auch die zweite Voraussetzung noch irgendwie verwenden. Wie kann man das nur geschickt kombinieren? Kommt man nicht mehr weiter, ist als Inspirationshilfe oft die folgende Überlegung hilfreich: Wir nehmen an, was wir schlussendlich zeigen wollen, sei richtig (hier F = E). Was folgt nun daraus? Zusammen mit der Voraussetzung und der Umkehrung des eripheriewinkelsatzes folgt daraus, dass ein Sehnenviereck ist. ies ist natürlich noch kein eweis, aber wir können uns nun sicher sein, dass dies so ist! Wir versuchen nun dies direkt aus den Voraussetzungen zu beweisen. Mit der Umkehrung der vorherigen Überlegung können wir dann die ufgabe fertig lösen. Wir beweisen, dass ein Sehnenviereck ist, indem wir zeigen, dass + = 180 gilt. = 180 E E = E E Für die nächsten Schritte brauchen wir zuerst die Voraussetzung E = F, dann dass EF ein Sehnenviereck ist = E E = E F = 180 F F = 180 ist also wirklich ein Sehnenviereck, daraus folgt nun ziemlich schnell das Gesuchte: F = F = F = E = E 5 Tipps für die rüfung 1. Nehmt unbedingt einen brauchbaren Zirkel und ein Lineal oder Geodreieck mit. Oft fällt einem ein zur Lösung wichtiger geometrischer Zusammenhang erst auf, wenn man eine Figur genau konstruiert hat. uch verschiedene Farben zu verwenden ist gut für die Übersicht. 2. Sich nicht scheuen viele verschiedene Skizzen zu zeichnen. Wenn man die Übersicht verloren hat, hartnäckig bleiben und halt einen neuen Versuch starten. 3. Hat man den eweis anhand einer Skizze gefunden, muss dieser noch korrekt aufgeschrieben werden, sonst kann es grosse unktabzüge geben. Ihr müsst uns in eurem 12

13 eweis klar machen, dass ihr alle zur Lösung nötigen Schritte gesehen habt. ies gilt auch für die ufgaben der anderen Themen. m besten den eweis am Schluss nochmals durchgehen und ergänzen, wenn ihr denkt, dass etwas fehlen könnte (lieber zu viel schreiben). In der Geometrie dürfen speziell die folgenden unkte nicht vergessen gehen: (a) Hast du latzhalter eingeführt (wie z..,...) musst am nfang des eweises auch schreiben, wie diese deniert sind (z.. Sei = N, β =...). usnahme: Ist ein reieck gegeben so ist, falls nichts anderes deniert wird, =, = β, = γ. (b) as selbe gilt für verwendete Hilfspunkte, -geraden, -kreise, usw. Sobald ein nicht in der ufgabenstellung erwähntes Objekt verwendet wird, muss klar sein, wie dieses deniert ist. (c) lle in diesem Skript erwähnten Sätze dürfen, ohne jedesmal ihren Namen zu erwähnen, verwendet werden (weil man sie dauernd braucht). as heisst aber nicht, dass man nicht jeden Schritt aufschreiben muss. Ist beispielsweise ein Sehnenviereck, so könnte man einfach schreiben = (ogen ) und müsste den eripheriewinkelsatz gar nicht erwähnen. 13