Konstruierbarkeit des Siebzehnecks

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1 Konstruierbarkeit des Siebzehnecks Der Kinofilm Die Vermessung der Welt war Anstoß, sich mit der Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks und damit den Gedankengängen des berühmten Mathematikgenies Carl Friedrich Gauß ( ) auseinanderzusetzen. Auch wenn Gauß die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal meines Wissens selbst nicht demonstriert hat, so ist die Tatsache überhaupt doch maßgeblich seiner Lösung der mathematischen Gleichung x 7 = 0 zu verdanken. Laut Literatur (siehe []) wurde die erste explizite Konstruktion durch Johannes Erchinger im Jahre 85 veröffentlicht. Die von mir hier später eingehend erläuterte und nachvollzogene Konstruktion wurde gemäß Literaturverzeichnis [] wohl erstmalig von Richmond im Jahre 893 geliefert. Dass überhaupt das Siebzehneck mit der Primzahl 7 konstruierbar sein sollte, war schon eine Überraschung, noch überraschender war die Erkenntnis über die Einfachheit und Freude bei der Nachvollziehung der Gedanken, die sich Gauß wohl bei der Lösung dieses mathematischen Problems gemacht haben mag. Nachweisbar ist, dass beispielsweise die regelmäßigen n-ecke für n=7, 9,, 3, nicht konstruierbar sind, alle anderen bis zur Zahl 7 jedoch sehr wohl. Der Beweis der Konstruierbarkeit des Siebzehnecks wurde allein dadurch schon gegeben, dass der Cosinus des Zentriwinkels geschlossen ausgedrückt werden kann. Diesen Ausdruck nachzuvollziehen und mathematisch herzuleiten, war die ursächliche Herausforderung und letztlich auslösender Grund meiner Überlegungen und für diese Abhandlung. Da die Wurzel aus 7 in dem obigen Ausdruck das grundlegende Element ist, war der erste Gedanke zumindest bei mir sofort, dass das rechtwinkelige Dreieck mit den Katheten und bzw. dem entsprechenden Seitenverhältnis im Einheitskreis eine wichtige Rolle spielen musste. 0

2 Konstruierbarkeit des Siebzehnecks An dieser Zeichnung erkennt man nicht nur, dass die Hypotenuse die Länge 7 bzw. 7 hat, sondern vielmehr sieht man leicht auch, dass nach der dritten binomischen Formel ebenfalls gilt: (7 ) = 6 6 = ( 7 ) ( 7 + ) = 6 Für spätere Überlegungen führen wir an dieser Stelle kurz den Beweis, dass die Ausdrücke ( 7 ) und ( 7 + ) exakt die Lösungen folgenden Gleichungssystems sind: p p = p + p = Aus II folgt p = p und damit: p ( p) = p p = bzw. p + p =. Die Lösung dieser doch recht einfachen quadratischen Gleichung ist: p + p + ( ) = + ( ) = 7 6 (p + ) = 7 und somit p 6, = ± 7 == ± 7 = (± 7 ), d.h. 6 p = ( 7 ) und p = ( 7 + ). Setzen wir nun p = p, dann folgt sofort p = p und umgekehrt. Nebenbei sei an dieser Stelle auch erwähnt, dass sich die Wurzel aus jeder beliebigen Zahl (natürlich nur solcher Zahlen, die sich mit Lineal bis zu einer entsprechenden Genauigkeit auf ein Blatt Papier übertragen lassen) konstruieren lässt. Zum Nachweis dieser Behauptung diene folgende Grafik. Nach dem Höhensatz des Euklid (leicht ableitbar von Pythagoras) gilt: h = p q, in unserem Fall also h = x = x und damit h = x. Zur Konstruktion bedient man sich dabei des Thaleskreises über der Strecke x + und dessen Mitte bei (x + ). Der Schnittpunkt des Lotes auf der Strecke x + mit dem Thaleskreis ergibt den gesuchten Wert h = x der Wurzel von x. Konstruktionsschritte des Siebzehnecks:

3 . Zeichne einen Kreis mit beliebigem Radius (wobei der Radius der Einheit entspricht);. Zeichne eine horizontale Linie als Durchmesser und dessen entsprechender Mittelsenkrechte; 3. Teile die Strecke OC in der Mitte bei E (Mittelsenkrechte bei ); O bezeichne den Ursprung bzw. den Mittelpunkt des Ausgangskreises;. Teile die Strecke OE nochmals in der Mitte bei F (also rechnerisch bei jetzt ); Verbinde die Punkte F und A, es entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck AOF mit den Kathetenlängen und und dem Winkel OFA = β = tan (), denn tan(β) = = ; ebenso gilt sin(β) = 7, cos(β) = 7, da FA = + ( ) = 7 6 = 7 ; 5. Zeichne die Winkelhalbierende w des Winkels OFA und nochmals dessen Winkelhalbierende w ; wir erhalten den Winkel OFG = β = tan (); damit gilt auch tan ( β ) = OG = OG ;

4 Konstruierbarkeit des Siebzehnecks 6. Ziehe das Lot zu w auf F; der Schnittpunkt mit dem horizontalen Durchmesser und den Punkten F und G bildet einen rechten Winkel; Die Winkelhalbierende dieses Winkels bildet den Schnittpunkt H auf der horizontalen Linie; und es gilt hierfür tan (5 β ) = OH ; 7. Mittels der Mittelsenkrechten ermitteln wir den Mittelpunkt M der Strecke HA = OH + ; 8. Zeichne einen Kreis (grün) um diesen Punkt M mit Radius r = HM = HA = (OH + ) ; 9. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Linie OC liefert den Punkt J ; 0. Zeichne einen Kreis (blau) um G mit dem Radius r 3 = GJ ;. Der Schnittpunkt mit dem horizontalen Durchmesser liefert den Punkt N (Achtung: dieser liegt sehr nahe bei M);. Schlussendlich zeichne das Lot auf N (Tangente an den blauen Kreis im Punkt N); der Schnittpunkt dieses Lotes mit dem Ausgangskreis liefert den Punkt P 3 ; der Bogen AP 3 = P 0 P 3 liefert das Dreifache des Winkels α = 360 π oder α =. 7 7 Der Beweis dieser letzten Behauptung ist allerdings hier noch zu erbringen, nämlich der Beweis von s = sin ( ), wobei s = P 0P 3. Diese Behauptung ist äquivalent zu der Behauptung cos(3α) = cos ( ) = ON. Es gilt: r = (OH + ) und OJ = r OM sowie OM = r OH, woraus folgt: OJ = r (r OH) = r (r r OH + OH ) = r OH OH = OH(r OH) r = (OH + ) und daher OJ = OH ( (OH + ) OH) = OH ; also kurz OJ = OH. Für den Kreisradius r 3 gilt: r 3 = GN oder r 3 = GJ und daher r 3 = GJ = OJ + OG = OH + OG ; Außerdem ON = OG + GN = OG + OH + OG ; wir merken uns also ON = OG + OH + OG sowie nach Pythagoras NP 3 = ON bzw. NP 3 = ON. Es bleibt nachzuweisen: cos(3α) = ON oder sin(3α) = NP 3. Ferner gilt ebenfalls (evtl. wird es an späterer Stelle benötigt): s = P 0 P 3 = NP3 + ( ON) = NP3 + ( ON + ON ) s = NP 3 + ON + ( NP3 ) = ( ON) bzw. 3

5 ON = s = (s ). Aus Punkt 8 der Konstruktionsbeschreibung können wir schließen: Wegen tan (5 β ) = tan(β ) = ( tan( β )) +tan( β ) tan ( β ) Also tan (5 β ) = sin(β )cos(β ) sin ( β ) = (cos( β ) sin(β )) cos ( β ) = (cos( β ) sin(β )) (cos ( β ) sin ( β )) cos ( β ) ( sin ( β )) = sin( β ) = tan cos( β ) cos( β ) (β) Wie wir gesehen haben, gilt: tan (5 β ) = OH, also auch OH = tan cos( β ) (β) Außerdem gilt allgemein: cos(α) = tan (α) +tan (α), und wegen cos(β) = 7 folgt daher cos(β) = = tan β ( ) 7 +tan ( β ) und damit ( + 7 tan ( β )) = tan ( β ), also tan ( β ) ( + ) = 7 und damit tan ( β ) = = 7 7 = ( 7 ) = ( 7 ) Des Weiteren gilt allgemein cos(α) = sin (α) und somit cos(β) = sin ( β ) bzw. cos(β) = cos ( β ). Damit gilt: cos ( β ) = (cos(β) + ) = ( cos ( β ) = ( 7 + ). OH = cos( β ) tan (β ) = (+ 7 7 ) 7 + ) bzw. 7 ( 7 ) = ( 7 ) + 7 OH = 7( 7 ) 7 7 ( 7 ) = ( 7 ) ( 7+) ( 7 ) OH = ( ) OH = 6 ( ) Nun gilt aber auch allgemein tan( ) = tan(α) β tan (α) und deshalb: ( 7 ) = tan (β) = tan( ) ; wir setzen p = tan tan ( β ) (β ) und erhalten p ( 7 ) = bzw. ( 7 ) ( p p ) = p und nun ( 7 ) ( p ) = 8p oder ( 7 ) p + 8p = ( 7 ). Durch Multiplikation der Gleichung mit dem Faktor ( 7 + ) wird daraus ( 7 )( 7 + ) p + 8( 7 + )p = ( 7 )( 7 + ) 6 p + 8( 7 + )p = 6 bzw. p + 7+ p = ; mitttels quadratischer Ergänzung lösen wir: p + 7+ p + ( 7+ ) = + ( 7+ ) = 6+(7+ 7+) =

6 Konstruierbarkeit des Siebzehnecks (p + ( 7+ )) = p, = ( 7+ ) ± p, = (± ( 7 + )) und damit p + ( 7+ ) = ± Wegen p = tan ( β ) > 0 folgt: p = ( ( 7 + )). Für OG erhalten wir dann aus tan ( β ) = OG OG = tan (β ) = 6 ( ( 7 + )). Nun können wir mit der obigen Gleichung ON = OG + OH + OG den Wert für ON ermitteln. Dazu vereinfachen wir zunächst OG = ( 6 ( ( 7 + ))) OG = ( 6 ) (( 7 + 7) ( 7 + ) ( 7 + ) ) OG = ( 6 ) ( 7( 7 + ) ( 7 + ) ( 7 + ) ) OG = ( 6 ) ( 7 + ) ( 7 ( 7 + 7) + ( 7 + )) OG = ( 6 ) ( 7 + ) ( ) Somit erhalten wir für ON ON = 6 ( ( 7 + )) + 6 ( ) + ( 6 ) ( 7 + ) ( ) ON = 6 ( ( 7 + ) + 6 ( ) + ( 7 + ) ( )) ON = 6 ( ( 7 + ) + 6 ( 7( 7 ) 7 + ) + ( 7 + ) ( )) ON = 6 ( ( 7 + ) ( 7 ) 6( 7 ) + ( ) ) ( 7 + ) ON = ( ( 7 + ) ( 7 ) ( 7 + 7) ( 7 + ) 7 + 7) 5

7 ON = 6 ( ( 7 + ) ( 7 ) ( 7 + ) ( 7 + ) 7 + 7) ON = 6 ( ( 7 + ) ( 7 ) ( 7 + ) ( )) Wegen ( 7 )( 7 + ) = 6 vereinfachen wir zu ON = 6 ( ( 7 + ) ( 7 ) + ( 7 + ) ( )) ON Ebenfalls ist cos(3α) = cos (3 360 ) , womit die Behauptung bewiesen 7 ist. Um genau zu sein, müssten wir jedoch noch die obige Gleichung für ON aus dem Ausdruck für cos( ) herleiten, indem wir umformen cos( ) cos( ) = cos(3 ) + cos( ) zu cos(3 ) = cos( ) cos(α) cos(α) = cos( ) (cos ( ) ) cos(α) cos(3 ) = cos( ) (cos ( ) ) cos(α) und schließlich zu cos(3 ) = cos 3 ( ) 3 cos(α). Den folgenden Ausdruck für cos(α) = cos ( 360 ) in diese Gleichung eingesetzt, müsste zu 7 dem obigen Ausdruck für ON führen. Aber wie ist Gauß überhaupt auf diesen Ausdruck gekommen? Die erste grundlegende Erkenntnis, die er sich hierbei zu Nutze machte, war die Tatsache, dass (wie übrigens für jedes regelmäßige n-eck) gilt: cos(α) + cos(α) + + cos(6α) + cos(7α) = 0 bzw. wegen cos(7α) = cos(0) = cos(α) + cos(α) + + cos(6α) = Außerdem gilt, wie man leicht sieht: 6

8 Konstruierbarkeit des Siebzehnecks cos(α) = cos(6α) cos(α) + cos(5α) cos(3α) + cos(α) cos(α) + cos(3α) cos(5α) + cos(α) cos(6α) + cos(α) cos(7α) + cos(0α) cos(8α) + cos(9α) Damit gilt cos(α) + cos(α) + + cos(8α) = cos(9) + cos(0α) + + cos(6α) =. Bei einem 5-Eck beispielsweise gilt so cos(α) + cos(α) =. Wegen cos(α) = cos (α) folgt cos( ) + cos ( ) = bzw. cos (α) + cos(α) = und daraus: cos(α) = ± Da hier α = = 7 muß 5 cos(α) > 0 sein, folglich cos(α) = + 5 = ( 5 ) und cos(α) = 5 = ( 5 + ). Im Falle des Siebzehnecks wählen wir p = cos(α) + cos(α) + cos(α) + cos(8α) und p = cos(3α) + cos(5α) + cos(6α) + cos(7α). Dann gilt: p + p = und p p =, denn (cos(α) + cos(α) + cos(α) + cos(8α)) (cos(3α) + cos(5α) + cos(6α) + cos(7α)) = cos(α) cos(3α) + cos(α) cos(5α) + cos(α) cos(6α) + cos( ) cos(7α) + cos(α) cos(3α) + cos(α) cos(5α) + cos(α) cos(6α) + cos(α) cos(7α) + cos(α) cos(3α) + cos(α) cos(5α) + cos(α) cos(6α) + cos(α) cos(7α) + cos(8α) cos(3α) + cos(8α) cos(5α) + cos(8α) cos(6α) + cos(8α) cos(7α) = (cos(α) + cos(α) +cos(6α) + cos(α) + cos(7α) + cos(5α) + cos(8α) + cos(6α)) + (cos(5α) + cos(α) +cos(7α) + cos(3α) + cos(8α) + cos(α) + cos(9α) + cos(5α)) + (cos(7α) + cos(α) +cos(9α) + cos(α) + cos(0α) + cos(α) + cos(α) + cos(3α)) + (cos(α) + cos(5α) +cos(3α) + cos(3α) + cos(α) + cos(α) + cos(5α) + cos(α)) = (cos(α) + cos(α) +cos(6α) + cos(α) + cos(7α) + cos(5α) + cos(8α) + cos(6α)) + (cos(5α) + cos(α) +cos(7α) + cos(3α) + cos(8α) + cos(α) + cos(8α) + cos(5α)) + (cos(7α) + cos(α) +cos(8α) + cos(α) + cos(7α) + cos(α) + cos(6α) + cos(3α)) + (cos(6α) + cos(5α) +cos(α) + cos(3α) + cos(3α) + cos(α) + cos(α) + cos(α)) = [cos(α) + cos(α) +cos(3α) + cos(α) + cos(5α) + cos(6α) + cos(7α) + cos(8α)] = [cos(α) + cos(α) +cos(3α) + cos(α) + cos(5α) + cos(6α) + cos(7α) + cos(8α)] = ( ) =. Weiter oben hatten wir ja bereits gezeigt, wenn für p, p gilt: : p + p = und p p =, dann gilt auch: p = ( 7 ) und p = ( 7 + ), d.h. p = cos(α) + cos(α) + cos(α) + cos(8α) = ( 7 ) und p = cos(3α) + cos(5α) + cos(6α) + cos(7α) = ( 7 + ). 7

9 Nun hat Gauß erneut diese beiden Ausdrücke geschickt so zerlegt, daß gilt: q = cos(α) + cos(α), r = cos(α) + cos(8α) mit q + r = p und q r =, da (cos(α) + cos(α)) (cos(α) + cos(8α)) = [cos(α) + cos(α) +cos(3α) + cos(α) + cos(5α) + cos(6α) + cos(7α) + cos(8α)] = ( ) =. Damit gilt q (p q) = q + pq = bzw. q pq = und daraus schlussendlich: q, = p ± + p, woraus wir folgern: q = p + + p und r = p + p. Ebenso zeigen wir mit q = cos(3α) + cos(5α), r = cos(6α) + cos(9α), dass q + r = p und q r =, weshalb folgt: q = p + + p und r = p + p. Nun gilt aber auch: cos(α) cos(α) = (cos(5α) + cos(3α)) = q und wegen q = cos(α) + cos(α) und cos(α) = q cos(α) = q q, dass cos(α) cos (α) q cos(α) = q cos(α) = q + q q Wir setzen ein und erhalten: und somit (cos(α) q ) = q + (q ), d.h. = (q + q q ). cos(α) = [ p + + p + ( p + + p ) ( p + + p ) ] q = p + + p = ( ( 7 ) + + ( ( 7 )) ) q = ( ( 7 ) + 6+( 7 ) ) = ( 7 ) ( 7 ) q = (( 7 ) ( 7 ) ) = (( 7 ) (7 7 + )) 8 8 q = 8 (( 7 ) + 7 7) ; q = p + + p = ( ( 7 + ) + + ( ( 7 + )) ) q = ( ( 7 + ) + 6+( 7+) ) = ( ( 7 + ) ) 6 q = 8 (( 7 + ) ) Damit erhalten wir wegen cos(α) = (q + q q ) und q = (p + + p ) = (p + p + p + + p ) = (p + p + p + ) 8

10 Konstruierbarkeit des Siebzehnecks q = ( 6 ( 7 ) + ( 7 ) + 6 ( 7 ) + ) q = ( (7 7 + ) + ( 7 ) 6+( 7 ) + ) 8 6 q = ( (7 7 + ) + ( 7 ) 6 + (7 7 + ) + ) 8 8 q = ( 8 (7 7 + ) + 8 ( 7 ) ) q = 3 ( ( 7 ) ) q = (p + + p ) = p + + p q = (p + + p ) = ( 7 + ) + + ( ( 7 + )) q = ( 7 + ) + + ( 7 + ) 6 q = ( 7 + ) ( 7 + ) == ( ) Damit ist q q = 3 ( ( 7 ) ) + ( ) q q = 3 ( ( 7 ) ) q q = 3 ( ( 7 ) ) q q = 6 ( ( 7 ) ) q q = ( 7 ) q q = Nun ist = und mit einem kleinen Trick = = ( 7 )( 7 + ) = ( 7 + ) ( 7 + 7) ( 7 ) = ( 7 + ) 7( 7 + ) ( 7 ) = ( 7 + ) 7(7 ) ( 7 ) = ( 7 + ) 7( 7 )

11 = ( 7 + ) Somit ergibt sich für q q = ( 7 + ) q q = q q = (q + q q ) = 6 [ ] und damit schlussendlich cos(α) = 6 [ ] 0