Fächerverbindender Unterricht Renaissance

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1 Fächerverbindender Unterricht Renaissance Bereich Mathematik THEMA: Der Goldene Schnitt Zeit: Schüler bestimmen das Arbeitstempo selbst, müssen aber alle Aufgaben fertig stellen Bei 14 Tagen FvU haben wir 8h Mathe, möglicherweise etwas weniger da Exkursion oder andere Unwägbarkeiten 2 h (einschl. HA) Was ist der Goldene Schnitt und entdecke den Goldenen Schnitt 2 h Konstruktionen des Goldenen Schnitts, Fünfeck, Goldene Spirale 3 bis 4 h Kreative Aufgabe Bewertung: Bewertet werden die Beispiele zum Goldenen Schnitt Bewertet werden die Konstruktionen

2 In der Renaissance entdeckten die Europäer auch den Goldenen Schnitt wieder. Ein besonderes Seitenverhältnis, das sich in verschiedenen Kunstwerken, Gebäuden, in Proportionen am Menschen, in der Natur, bei Zahlen und in der Geometrie wiederfindet. Im Rahmen des fächerverbindenden Unterrichts lernt ihr die mathematischen Grundlagen des Goldenen Schnitts kennen. Er wird euch bestimmt in anderen Fachbereichen wieder begegnen. Im ersten Teil könnt ihr an verschiedenen Beispielen den Goldenen Schnitt entdecken. Im zweiten Teil lernt ihr die Konstruktionsmethode kennen, um den Goldenen Schnitt zu finden. An weiteren Beispielen zeichnet und konstruiert ihr geometrische Figuren. Im dritten Teil habt ihr die Möglichkeit, eurer Kreativität freien Lauf zu lassen. In jedem Teil gibt es Aufgaben, die bewertet werden. Sie sind mit einem Rahmen besonders gekennzeichnet: Aufgabe... Ziele: Die Schüler kennen den Goldenen Schnitt als ein bestimmtes Streckenverhältnis Die Schüler entdecken, dass der Goldene Schnitt in sehr unterschiedlichen Bereichen vorkommt und können diesen dort bestimmen Die Schüler wenden das Teilungsverhältnis im Bereich der Kunst mit an (Querverbindung) Die Schüler wenden den Goldenen Schnitt bei Konstruktionen an. Sie wiederholen dabei das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und das Beschreiben von Konstruktionen

3 TEIL 1: Lange und kurze Strecken (Frontalunterricht) EINSTIEGSVARIANTEN: Experiment: Ihr braucht dazu einen Tisch und eine Blumenvase. Fordert eure Partner auf, die Blumenvase so auf den Tisch zu stellen, dass es schön und attraktiv aussieht. Wenn ihr anschließend nachmesst, werdet ihr feststellen, dass in vielen Fällen die Blumenvase nicht genau in der Mitte der Tisches steht, sondern etwas versetzt. Umfrage: Welches Rechteck findet ihr am proportioniersten Basteln: Schneide einen Streifen Papier etwa 2 cm breit. Mache einen Knoten und drückt diesen vorsichtig flach (siehe Bild). Messt an den Papierstreifen die Strecken M und m. WEITERE BEISPIELE

4 Papierstreifen, griechische Tempel, Blätter und Ameisen haben eine Gemeinsamkeit Schon die griechischen Mathematiker haben diese entdeckt. Die langen und kurzen Stücke haben bislang recht unterschiedlich Längen. Jetzt setzen wir sie aber ins Verhältnis zueinander, d.h. wir dividieren die lange Strecke durch die kurze Strecke, also m M Und was passiert, wenn wir jeweils das Verhältnis der Gesamtstrecke zur längeren M + m Strecke M, also, berechnen? M Die Gemeinsamkeit unserer Beispiele ist ein gleiches Streckenverhältnis. Es ist in Durchsschnitt... Haben zwei Strecken diese Eigenschaft, dann sagt man, dass sie sich im Goldenen Schnitt befinden. Übrigens, bei exakter Messung und genauer Konstruktion kommt für das Verhältnis des Goldenen Schnitts diese Zahl heraus ein unendlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch Im Zuge der Verherrlichung der griechischen Leistungen bürgerte sich die Bezeichnung Phi für das Verhältnis des Goldenen Schnitts ein. Phi bezieht sich auf den griechischen Bildhauer und Architekten Phidias, der auch den Pantheon-Tempel von Athen entworfen hat. Die nebenstehende Münze zeigt ein anderes Werk von Phidias, eines der sieben Weltwunder: die Zeus-Statue von Olympia. ENTDECKT DEN GOLDENEN SCHNITT! Es gibt eine riesige Zahl von Beispielen, in denen sich der Goldene Schnitt wiederfindet, in Kunst, Architektur, Natur, Musik, Geometrie, aber auch an euch selbst: Zum Beispiel stehen die Abstände zwischen Ellenbogen und Fingerspitzen und zwischen Handgelenk und Fingerspitzen im Verhältnis des Goldenen Schnitts. ZUR AUFGABE: Findet möglichst viele Beispiele, bei denen sich Seiten im Goldenen Schnitt befinden. (z.b. an euch selbst, an Gegenständen, im Schulhaus). Dokumentiert diese in geeigneter und ordentlicher Form! Skizze, Messergebnisse, Überprüfung des Seitenverhältnisses Die Dokumentation wird abgegeben und bewertet.

5 TEIL 2 Mathematische Konstruktionen und der Goldene Schnitt (selbst. Schülerarbeit, Partnerarbeit) Die fertigen Konstruktionen und Zeichnungen werden bewertet. Jeder gibt seine eigene Arbeit ab. Abzugeben sind die markierten Aufgaben! Konstruieren heißt immer, dass nur ein Zirkel und ein Lineal ohne Zentimetereinteilung vorgegeben ist. Wer also ganz exakt arbeitet, der wird bei keinem Schritt messen. Zeichnen heißt, dass ihr auch Winkelmesser, Geodreieck und andere Hilfsmittel verwenden dürft. Bei den Konstruktionen bzw. Zeichnung kommt es auf exaktes und sauberes Arbeiten an. Aufgabe 1: Gesucht ist der Punkt S, der eine gegebene Strecke einer beliebigen Länge a im Goldenen Schnitt teilt. KONSTRUKTIONSBESCHREIBUNG: 1. Zeichne eine beliebig lange Strecke [A,B]. Die Länge sei a. 2. Errichte eine Senkrechte im Fußpunkt B auf die Strecke [A,B]. 3. Auf dieser Senkrechte tragen nun ausgehend von B die Länge a/2 ab (Mittelsenkrechte konstruieren!). Du erhältst so den Hilfspunkt C. 4. Verbinde nun die Punkte A und C. 5. Schlage einen Kreis mit Radius CB = a/2 um C. Den Schnittpunkt dieses Kreises mit der Strecke [A,C] nennen wir D. 6. Nun zeichnen wir den Kreis mit Radius AD um A. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Ausgangsstrecke [A,B] ist S. a. Probiert die Konstruktion erst einmal aus. b. Konstruiert den Punkt S mit Hilfe der Konstruktionsbeschreibung abgabefertig auf weißem Papier. c. Messt anschließend nach und überprüft, ob S die Strecke AB wirklich im Goldenen Schnitt teilt. Schreibt die Rechnung auf.

6 Aufgabe 2: Das Goldene Rechteck und Spiralen Textquellen: Quelle: Das ist ein Goldenes Rechteck : Das Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und a der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt sich in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck zerlegen. Durch wiederholte Teilung erhält man eine Figur, in die sich eine Spirale einzeichnen lässt, die Goldene Spirale. Die schneckenförmigen Kalkgehäuse einiger Tierarten haben eine ähnliche Steigung, wie beispielsweise das der Nautilus. Bei den meisten dieser Tierarten ist die Steigung jedoch eher geringer. Die Darstellung der Goldenen Spirale 1. Gesucht ist ein goldenes Rechteck. Zeichnet ein goldenes Rechteck, indem ihr die Seitenlängen durch Berechnung bestimmt. Schreibt die Rechnung mit auf. 2. Zeichnet ein zweites goldenes Rechteck (nicht zu klein) und entwickelt eine Goldene Spirale. Achtet auf genaues und exaktes Zeichnen; je genauer, desto tiefer reicht die Spirale Und eine Nautilus-Muschel im Querschnitt

7 Aufgabe 3: Der Goldene Schnitt im regelmäßigen Fünfeck (PENTAGON) Das ist ein regelmäßiges Fünfeck Ein regelmäßiges Fünfeck oder regelmäßiges Pentagon ist ein Vieleck mit fünf Ecken, fünf gleich langen Seiten und fünf gleich großen Innenwinkeln. a. Bestimme durch Überlegungen die Größe der Winkel im regelmäßigen Fünfeck c. Aufgabe a gelöst? Dann kannst du jetzt mit Hilfe eines Zirkels, dem Winkelmesser und Lineal ein regelmäßiges Fünfeck zeichnen. Zeichnet abgabefertig auf weißen Papier ein regelmäßiges Fünfeck und schreibt die Konstruktionsbeschreibung auf. d. Das ist noch keine richtige Konstruktion gewesen, denn ein Winkelmesser ist dabei ja nicht erlaubt. Hier hilft der Goldene Schnitt weiter. Es gilt, das sich die Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck im Goldenen Schnitt teilen Konstruiere jetzt mit Hilfe der Konstruktionsbeschreibung das Fünfeck nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal, zuerst Probe und dann abgabefertig! KONSTRUKTIONSBESCHREIBUNG: 1. Zeichne die Diagonale d=ab des Fünfecks. 2. Teile diese im Verhältnis des Goldenen Schnittes (Siehe Konstruktion b ei 1.). Die Punkte A,B und T sind also gefunden 3. Trage die Strecke AT von B aus auf AB ab. P 1 entsteht. 4. Zeichne um T und P 1 Kreise mit dem Radius TB. P 2 und P 3 entstehen. 5. Zeichne die Geraden P 1 P 2, P 2 T, AP 3 und BP 3. Es entsteht ein Stern. 6. Verbinde die Spitzen des Sterns. Übrigens: Das Verteidigungsministerium der USA ist ein neoklassizistischer Bau mit Pentagon-Grundriss. Es daher oft "das Pentagon" genannt.

8 TEIL 3 Kreatives Arbeiten mit dem Goldenen Schnitt Bei der echten Konstruktion habt ihr bestimmt den besonderen Stern entdeckt, der sich aus den Diagonalen des Fünfecks ergibt. Die Fünfsternfigur heißt auch Pentagramm oder Drudenfuß Beim Drudenfuß soll die Spitze nach unten zeigen. Es galt in der Antike als Heils- und Gesundheitssymbol, im Mittelalter als wirksames Abwehrmittel gegen dämonische Mächte. In Goethes Faust schreckt Mephisto vor diesem Zeichen zurück: MEPHISTO: Gesteh' ich's nur! Dass ich hinausspaziere, Verbietet mir ein kleine Hindernis: Der Drudenfuß auf Eurer Schwelle --- FAUST: Das Pentagramma macht dir Pein? Ei, sage mir du Sohn der Hölle: Wenn dich das bannt, wie kamst du den herein? Das Pentagon und das Pentagramm sind im mathematischen Sinn- an Schönheit nicht zu überbieten. Nicht nur seine Diagonalen, bzw. Seiten) schneiden sich im Goldenen Schnitt. Es gibt in beiden Figuren Tausende Goldene-Schnitt-Verhältnisse! Zeichnet ein Pentagramm und gestaltet es! ODER Konstruiert / entwickelt ein gemeinsam ein Haus, ein Phantasiebild oder eine eigene Idee, die den Goldenen Schnitt möglichst oft beinhaltet. Eine der beiden fertigen Arbeiten werden abgegeben