Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/

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Käte Simen
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1 14. November 2006 Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/ Präsenzaufgaben: 1) Welche rationale Zahl wird durch a) x = 1, 234 bzw. durch b) x = 1, dargestellt? Gesucht sind (möglichst gekürzte) Brüche p q. Lösung: a) x = 1, , 4/100, 0, 4 = 4/9 (weiß man), also x = 1, /900 = 123/ /900 = 1111/900. b) Was ist y = 0, 432? Trick: 1000y = y ergibt y = 432/999 = 48/111. Also ist x = 123/ /11100 = 13701/11100 = 4567/ ) Welcher periodische Dezimalbruch wird durch x = 27/7 dargestellt? Lösung: x = 3, ) (a) Wie kann man die Aussage von Aufgabe 3 mit Hilfe des modulo-operators formulieren? Lösung: a 2 mod 8 = 1, falls a ungerade ist. (b) Wie kann man die Aussage 3 teilt den Vorgänger einer jeden Zehnerpotenz mit Hilfe modulo-operators formulieren? Lösung: 10 k mod 3 = 1 für alle natürlichen Zahlen k. Übrigens gilt sogar (und das sieht man noch einfacher ein: 10 k mod 9 = 1 für alle natürlichen Zahlen k. 4) Schreiben Sie in die Kästchen zu den folgenden Aussagen ein w (wahr) bzw. ein f (falsch), falls die Aussage wahr bzw. falsch ist: (a) ist eine Primzahl (b) 1 ( 2 1)( 2+1) ist rational 1

2 (c) C.F. Gauss ist der Sohn von L. Euler (d) Es gibt eine komplexe Zahl, deren Quadrat die imaginäre Einheit i ist Lösung: z = 1 2 (1 + i). (e) Eine rationale Zahl in Gestalt eines gekürzten Bruches p ist genau dann durch einen q endlichen Dezimalbruch darstellbar, wenn der Nenner q ein Vielfaches von 10 ist. (f) Das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite eines DIN A4 - Blattes ist 2 2 (g) Eine nur durch ungerade Zahlen teilbare Zahl ist ungerade (h) Eine durch drei teilbare Zahl ist ungerade (i) Der Ellbogen teilt den Arm im Goldenen Schnitt (j) Trennt man von einem Goldenen Rechteck ein Quadrat ab, so erhält man wieder ein Goldenes Rechteck. (k) π = 22 7 (l) e = ( )5 (m) Ein Pentagon enthält ein Pentagramm (n) ggt (2 7, 3 7 ) = 7 Übungsaufgaben: (Abgabe in den Übungen) Aufgabe 5: (a) (4) Beweisen Sie: Eine natürliche Zahl n ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (in der Dezimaldarstellung) durch 3 teilbar ist. Benutzen Sie hierbei explizit die folgenden zwei Aussagen (ohne diese zu beweisen): Ist k eine natürliche Zahl, so ist 10 k 1 stets durch 3 teilbar. Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn sie nach Addition oder Subtraktion eines Vielfachens von drei durch 3 teilbar ist. 2

3 Sie dürfen sich auf bis zu vierstellige Dezimalzahlen beschränken. Hinweis: Benennen Sie die vier Ziffern mit a, b, c und d. Lösung: Seien a, b, c, d die vier Ziffern in der Dezimaldarstellung von n, also z.b. n = 1000a + 100b + 10c + d. Nun subtrahiere die folgende durch 3 teilbare Zahl (erster Hinweis!) m := 9c + 99b + 999a. Dann ist n m = a + b + c + d die Quersumme von n, die wegen des zweiten Hinweises durch 3 teilbar ist, wenn n durch drei teilbar ist. Hinweis: Alle Schlüsse lassen sich umkehren. D.h, dass die Quersumme durch 3 teilbar ist, wenn die Ausgangszahl n es ist. Die Schlüsse gelten ebenfalls für 9 an Stelle von 3. (b) (6) Die alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl in Dezimaldarstellung ist wie die normale Quersumme definiert, nur, dass jede zweite Ziffer subtrahiert statt addiert wird (z.b. ist S := = 5 die alternierende Quersumme von n = 1754). Zeigen Sie für eine vierstellige Dezimalzahl n (mit Ziffern a, b, c, d und Quersumme S := d c + b a), dass n durch 11 teilbar ist, wenn S es ist. Hinweis: S = 0 ist durch jede Zahl teilbar. Lösung: Sei wieder n = 1000a + 100b + 10c + d. Ziehe die durch 11 teilbare Zahl a b 99 + c 11 ab. Man erhält die alternierende Quersumme S. Wegen des 2. Hinweises (gilt analog natürlich für den zweiten Teil) ist n durch 11 teilbar, wenn S es ist. Übrigens ist 209 die kleinste durch 11 teilbare Zhal mit nicht verschwindnender alternierender Quersumme. Die kleinste Zahl mit alternierender Quersumme 22 ist Robin Koch verdanke ich diese Hinweise. Aufgabe 6: (a) (6) Aus der Abbildung 1 kann man eine mit Zirkel und Lineal durchführbare Konstruktion einer Goldenen-Schnitt-Teilung entnehmen. Präzisieren Sie dies und beweisen Sie es. Lösung: Konstruktion: Zeichne erst AB und nenne die Länge a. Dann halbiere man a und konstruiere C (Wie das geht, ist relativ elementare Schulmathematik). Schlage sodann eine Kreis um C mit Radius a/2. Man erhält D. Schließlich schlage man einen Kreis um 3

4 Abbildung 1: Konstruktion eines Goldenen Schnittes (b) (4) A mit Radius AD und erhält S, der, wie wir zeigen werden, AB im Goldenen Schnitt teilt. Bezeichne die Länge der Strecke AS mit c. Dann ist (mit a :=Länge von AB) a/c = ( 5+1)/2 (große Goldene-Schnittzahl Φ) zu zeigen. Pythagoras: a 2 +(a/2) 2 = (c+a/2) 2. Setzt man x := a/c, so erhält man x 2 x 1 = 0. Also ist x = Φ = ( 5 + 1)/2. Schauen Sie sich die Seite Das Pentagramm und Pythagoras (Uni Bayreuth) 1 an und beantworten Sie die folgenden Fragen: Wann lebte Pythagoras? Wie nannte er die natürliche Zahl? Wer hat entdeckt, dass die Goldene-Schnitt-Zahl irrational ist? Wie ist dieser ums Leben gekommen? Welches der 4 Tempel hat die goldenen Proportionen? Lösung: v.chr. Urprinzip aller Dinge. Hippasos. Er ertrank. Der untere Tempel links. Aufgabe 7: Sei n eine natürliche Zahl. Wir stellen die folgende Frage: Für welche natürliche Zahlen k < n gibt es eine Potenz k m (mit natürlicher Zahl m) mit k m mod n = 1? (a) (4) Beantworten Sie diese Frage zunächst für den Spezialfall n = 8. Lösung: Es kommen nur die ersten 7 natürlichen Zahlen in Frage. Die Antwort ist: k = 1, 3, 5, 7. Es ist nämlich 3 2 mod 8 = 1, 5 2 mod 8 = 1, 7 2 mod 8 = 1. Dies sind alle zu 8 teilerfremden Zahlen! Für gerade Zahlen k = 2, 4, 6 ist k m stets gerade, so dass sich bei Division durch n = 8 niemals der Rest 1 ergibt

5 (b) (3) (c) (3) Von diesem Spezialfall ausgehend, versuchen Sie sich an einer Vermutung für eine Antwort für allgemeine n (ohne Beweis) und stellen Sie eine Beziehung zur Präsenzaufgabe 3 (b) her. Lösung: n und k sind teilerfremd. Präsenzaufgabe 3 (b): n = 3, k = 10, m beliebig (Achtung: Man muss die Bezeichnungen umtaufen) Allerdings ist dann k > n, dieser Teil ist weniger glücklich formuliert (bleibt bei der Korrektur unberücksichtigt). Zeigen Sie: Wenn n und k < n beide gerade Zahlen sind, gibt es keine natürliche Zahl m mit k m mod n = 1. Lösung: Die entscheidenden Beobachtungen sind, dass k m stets gerade ist, wenn k gerade ist. Und dass der Rest bei Division einer geraden Zahl durch eine gerade Zahl niemals 1 sein kann. Letzteres muss nicht bewiesen werden. Aufgabe 8: (a) Stellen Sie die folgenden periodischen Dezimalbrüche durch (möglichst gekürzte) Brüche dar (dabei erläutern Sie Ihren Lösungsweg): (2) 2, 4527 Lösung: = 2, 45+x/100 mit x = 0, 27. Es gilt 100x = 27+x, also x = 27/99 = 3/11. Ergebnis 245/ /9900 = 49/20 + 3/1100 = 2698/1100 = 1349/550. Wer den Dezimalbruch 2, 4523 umgerechnet hat, hat von einem früheren Lösungsblatt abgeschrieben. (3) 0, Lösung: = 0, x/1000 mit x = 0, Es gilt x = x, also x = 86451/99999 = 28817/ Ergebnis: 561/ / , also ( )/ = / = / (b) Stellen Sie die folgenden Brüche durch Dezimalbrüche dar (mit Rechenweg): (3) 1/17 Lösung: 0, (2) 3/13 Lösung: 0,

6 (3) (Schwierige) Zusatz-Aufgabe: (5 Sonderpunkte) Zeigen Sie, dass eine (fermatsche) Primzahl 2 n + 1 zwingend eine Zweierpotenz n = 2 k besitzen muss. Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass die folgende Aussage gleichwertig ist: Besitzt die natürliche Zahl n einen ungeraden Teiler u 3, so ist 2n + 1 keine Primzahl. Lösung: Zu zeigen ist, dass 2 n + 1 keine Primzahl ist, wenn n = u v mit ungeradem u 3. Zwischen-Beh.: 2 uv + 1 wird von 2 v geteilt, bzw. allgemeiner (mit x = 2 v ): Ist u eine ungerade Zahl, so ist x u + 1 durch x + 1 teilbar. Das liegt an (x u 1 x u 2 + x u 3 x 3 + x 2 x + 1)(x + 1) = x u + 1, falls u ungerade. Also besitzt 2 n + 1 (=2 uv + 1) den Teiler 2 v und ist daher keine Primzahl. Siehe Primzahlgeheimnisse (Uni Wuppertal). 6

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Schülerinfotag 1. Man zeige, dass keine rationale Zahl ist. Das heißt lässt sich nicht als p q schreiben, wobei p und q ganze Zahlen sind. Proof. Wir werden das Prinzip Beweis durch Widerspruch verwenden.