Das Jahr der Mathematik

Transkript

1 Das Jahr der Mathematik Eine mathematische Sammlung - kinderleicht Thomas Ferber Forschung und Lehre Sun Microsystems GmbH

2 Die Themen 1 2 Sind die Zahlen universell? π-day 3 Die Eine Million $-Frage 4 Das unendliche Hotel

3 1 Sind die Zahlen universell?

4 Sind die Zahlen universell? Bis Mitte März 2008 waren 277 extrasolare Planeten in 234 Systemen bekannt. Der bisher erdähnlichste Exoplanet ist der im April 2007 von Astronomen der Europäischen Südsternwarte (ESO) entdeckte zweite Begleiter des Sterns Gliese 581, Gliese 581c mit schätzungsweise dem 1,5-fachen der Erdgröße und einer geschätzten Oberflächentemperatur zwischen 0 und 40 C (siehe Bei der Frage nach außerirdischem Leben sind zumindest zwei wichtige Voraussetzungen schon erfüllt: Es gibt Planeten außerhalb unseres Sonnensystems. Es gibt erdähnliche Planeten außerhalb unseres Sonnensystems. Wenn es also außerirdisches Leben gäbe, wie auch immer geartet, und dieses auch noch intelligent wäre, stellt sich die Frage wie außerirdische und Menschen miteinander kommunizieren könnten. Finden sich bei Sprache und Zeichen Möglichkeiten der Verständigung? Betreiben unsere hypothetischen intelligenten Außerirdischen überhaupt die gleiche Mathematik wie wir? Am Beispiel der Zahlen möchte ich zeigen, das die Mathematik universell ist und auch in einem anderen Teil der Galaxis gesprochen wird.

5 Natürliche Zahlen Wir betrachten die AnZAHLEN beliebiger Objekte.... N = {,,,...} Damit haben wir die Menge der natürlichen Zahlen gefunden. Und es ist völlig gleich ob wir als Objekte Äpfel, Eier, pangalaktische Donnergurgler oder Sandkörner auf Gliese 581c nehmen. N = { 1, 2, 3, 4,... }

6 Rechnen mit natürlichen Zahlen Nachdem wir die natürlichen Zahlen gefunden haben, entdecken wir auch sehr schnell unsere erste Operation, die Addition. + = + =... + = Die Addition macht so richtig Spaß. Mit ihr können wir immer größere Zahlen konstruieren. Und jede noch so große Zahl ergibt durch die Addition mit Eins eine noch größere Zahl. Das geht immer so weiter und damit entdecken wir auch noch die Unendlichkeit. Doch das ist ein anderes Thema. Wir sehen, das die Addition zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ergibt.

7 Rechnen mit natürlichen Zahlen Die Addition allein reicht aber nicht aus, wir benötigen auch die Subtraktion, d.h. Wir geben etwas her, wir ziehen etwas ab. - = - = Die Subtraktion funktioniert damit auch. Wir sehen, das die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ergibt. Oder? - =? Jetzt haben wir ein Problem. Die Menge der natürlichen Zahlen reicht nicht aus.

8 Von den natürlichen zu den Ganzen Zahlen Wir führen ein neues Zahlenelement ein, die NULL und erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die Zahl Null. N 0 = N + { 0 } Doch was ist mit Subtraktionsaufgaben des folgenden Typs bei dem wir mehr abziehen als wir haben. - =? Wir führen weitere neue Zahlenelemente ein, die negativen Zahlen und erweitern die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null mit den negativen Zahlen und nennen diese neue Menge die Menge der ganzen Zahlen. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

9 Die Ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Mit den ganzen Zahlen können wir nun nach Herzenslust rechnen. Ob Addition oder Subtraktion jede Zahlenkombination ist möglich. Eine beliebige ganze Zahl mit einer beliebigen ganzen Zahl addiert oder subtrahiert, ergibt wieder eine ganze Zahl. Damit könnten wir jetzt aufhören wenn nicht ein Apfel durch mehrere geteilt werden müßte.

10 Die rationalen Zahlen : = Durch das Teilen kommen wir zu einem neuen Zahlbegriff den Bruchzahlen und damit zur Menge der rationalen Zahlen, also aller Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Q = { m/n m, n ε Z, n 0 } Und mit diesen Zahlen können wir nun alles machen (außer durch Null teilen): addieren, subtrahieren, dividieren, multiplizieren (die Multiplikation habe ich stillschweigend eingeführt). Die Menge der rationalen Zahlen reicht aus. Durch keine dieser Operationen erhalten wir eine Zahl, die nicht in der Menge der rationalen Zahlen enthalten wäre. Und die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet alle bisher von uns entdeckten Zahlenmengen. Denn jede ganze Zahl läßt sich als Bruch schreiben, z. B. 5 = 5/1.

11 Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen 5/3 1/2 17/4 N N 0 Q Z 1, 2, 3, 4,... -3/2 0 m/n -1, -2, -3,...

12 Das Wurzel von Zwei Problem Damit könnten wir das Kapitel schließen, wenn nicht, ja wenn nicht die Äpfel in eine Kiste müssten, die Kiste eine quadratische Grundfläche hätte und wir die Diagonale der quadratischen Kiste berechnen möchten. Ein Quadrat mit der Seitenlänge von Eins hat eine Diagonale von der Länge Quadratwurzel von Zwei. 2 1 Können wir Quadratwurzel von Zwei als rationale Zahl darstellen, also als Bruchzahl? 2 = p/q? 1

13 Mit Hilfe eines indirekten Beweises kann man sehr schön und sehr schnell zeigen, dass die Wurzel von zwei keine rationale Zahl ist und somit nicht als Bruch darstellbar ist. Dazu nimmt man an Wurzel Zwei wäre als nicht mehr teilbarer Bruch darstellbar und zeigt dann das dies zu einem Widerspruch führt. Damit ist dann die Annahme falsch. Die Wurzel von Zwei ist also nicht rational. Die neu gefundenen Zahlen nennen wir irrationale Zahlen. Weitere irrationale Zahlen, Zahlen die sich nicht als Bruch darstellen lassen, sind z.b. Wurzel von Drei, Wurzel von Fünf,... und natürlich die Zahl Pi. Damit sind wir auch gleich bei unserem nächsten Kapitel. Haben wir mit den irrationalen Zahlen den größtmöglichen Zahlenbegriff gefunden. Für dieses Kapitel und diesen Vortrag ja, in der Welt der Mathematik geht es aber weiter mit komplexen Zahlen, Quaternionen, Oktonionen und hyperkomplexen Zahlen.

14 Zurück zu unserer Eingangsfrage: Ist die Mathematik universell? Wir haben gesehen wie einfach Mathematik mit einem Apfelmodell aufbaubar ist. Auch wenn es auf Gliese 581c oder sonstwo im Universum keine Äpfel gibt, das Zählen, die Entdeckung der Zahlen, der Operationen, der Eigenschaften der Zahlen usw. Funktioniert auch mit anderen Objekten. Die Mathematik ist also überall im Universum die gleiche. Und was nützt jetzt die Erkenntniss, das außerirdische Intelligenzen zu den gleichen mathematischen Erkenntnissen kommen? Wie kommunizieren wir miteinander. Wir verwenden eine konstruierte Sprache wie z. B. Lincos (lingua cosmica), die 1960 von dem Mathematiker Hans Freudenthal entwickelt wurde. Das Wörterbuch von Lincos, das am Anfang einer Kommunikation stehen soll, enthält zunächst einige sehr einfache Muster, um Begriffe für die natürlichen Zahlen und einfache arithmetische Vorgänge (z. B. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) vorzustellen. (siehe

15 2 π-day

16 Pi = 3, Der 14. März ist Pi-Tag. Wieso der 14. März? In amerikanischer Schreibweise lautet dieses Datum 3/14. Und das sind die ersten Ziffern der berühmten Kreiszahl Pi. Diese Zahl ist eine mathematische Konstante deren numerischer Wert π = 3, beträgt. Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Zur Zeit sind 1,2 Billionen Stellen von Pi bekannt.

17 Bestimmung von Pi Die wichtigsten geometrischen Methoden zur Bestimmung von Pi basieren auf dem Verhältnis Kreis-Umfang zu -Durchmesser, dem Verhältnis Kreis-Durchmesser zu -Fläche, Dem Verhältniss Kreisfläche zu Quadratfläche

18 Die π-zza-salami-methode

19 Die π-zza-salami-methode

20 Pi = 3, Umfang = π * Durchmesser π = Umfang Durchmesser π = 22 Salamischeiben 7 Salamischeiben = 3, Man nehme eine Pizza und eine Salami von geeigneter Größe (7 x Durchmesser der Salami = Durchmesser der Pizza). Von der Salami schneidet man 29 Stücke ab. Das Verhältnis Umfang zu Durchmesser ergibt mit der π-zza-salami-methode schon ein sehr gutes Ergebnis. Die beiden ersten Nachkommastellen sind richtig.

21 Pi = 3, Mit Smarties, die wir auf einen Kreis mit Durchmesser von 170 cm legen, bekommen wir einen noch besseren Näherungswert für Pi. Umfang = π * Durchmesser π = Umfang Durchmesser π = 355 Smarties 113 Smarties = 3, Das Verhältnis Umfang zu Durchmesser ergibt mit der Smarties- Methode ein sehr gutes Ergebnis mit sechs richtigen Nachkommastellen.

22 3 Fortsetzung folgt...

23 Thomas Ferber