Fertigungstechnik Technische Kommunikation - Technisches Zeichnen

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1 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Fertigungstechnik Technische Kommunikation - Technisches Zeichnen 11 Projektionszeichnen 11. Körperschnitte und Abwicklungen Kegelige Körper Verfahren zur Abwicklung schwach kegliger Körper Vielfach müssen schwach konische Kegelstümpfe abgewickelt werden, die nicht ohne weiteres zum vollen Kegel erweitert werden können, weil die Kegelspitze entweder nicht mehr auf das Zeichenblatt oder die Blechtafel passt oder aber so weit entfernt ist, dass man sie nicht mehr verwenden kann. In diesen Fällen ist die zeichnerische Abwicklung mit dem sonst üblichen Mantellinienverfahren nicht möglich. Das Dreiecksverfahren sollte wegen möglicher Ungenauigkeiten nur dann angewendet werden, wenn keine andere Methode zum Ziel führt. Als Voraussetzung für die Durchführung der Abwicklung solcher Körper werden die Zusammenhänge zwischen dem Kegel und dessen Abwicklung betrachtet. Bild 1 und : Zusammenhang zwischen Kegeln und deren Abwicklungen Der in Bild 1 dargestellten Kegel mit der gemeinsamen pitze in und den Grundkreisdurchmessern d und D sind einander ähnlich. Deshalb sind auch deren Abwicklungen ähnlich, wie in Bild zu sehen ist. h d Es gilt im Bild 1 H D und in der Abwicklung im Bild Aus beiden Verhältnisgleichungen folgt h H. CD d. D CD rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 1

2 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Die Durchmesser der Grundkreise verhalten sich wie die ehnen der abgewickelten Umfänge der Grundkreise im Kreisausschnitt mit dem Radius h bzw. H mit dem Mittelpunktswinkel α sin. R r β H h ind H, D, h und d bekannt, lässt sich der Mittelpunktswinkel α berechnen und ebenfalls die Längen der ehnen und CD, die Höhen der und CD, der Abstand der ehnen und anschließend die Breiten b und B der Kreisbögen. Mit diesen Werten konstruieren wir das Trapez DC. Die letzte Aufgabe besteht in der Konstruktion der Kreisbögen. Dazu wählen wir das Verfahren Zeichnen flacher Kreisbögen (vgl. Anlage Geometrische Grundkonstruktionen Zeichnen flacher Kreisbögen; Anm.: es werden 3 Methoden dargestellt.). Aufgabe: 1. Berechnen ie die für die Abwicklung des Kegelstumpfes erforderlichen Werte (s. Bild 3).. Konstruieren ie die Abwicklung der Mantelfläche des Kegelstumpfes. Bild 3: Kegelstumpf (Vorderansicht) rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite

3 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Anlage Geometrische Grundkonstruktionen Zeichnen flacher Kreisbögen Methode 1 Die Beschreibung der chritte erfolgt anhand der Zeichnung eite 4. chritt 1: 1.1 ehne (Länge l) zeichnen 1. ehne halbieren. Mittelpunkt M markieren. 1.3 Mittellinie der ehne durch den Mittelpunkt M zeichnen. 1.4 Von M die Breite b des Kreisbogens abtragen. Punkt C markieren. chritt :.1 Punkte A und C sowie B und C verbinden.. Parallele zur ehne durch Punkt C zeichnen. In den Punkten A und B jeweils eine enkrechte zu AC bzw. BC zeichnen. Die chnittpunkte D und E markieren (evtl. müssen die enkrechten zu AC bzw. BC und die Parallele zur ehne verlängert werden). chritt 3: 3.1 Die trecken MA, MB, CD und CE in gleiche Teile (z.b. n 5) einteilen. 3. Die chnittpunkte der ehne mit den chnittpunkten der Hypothenusen verbinden. chritt 4: 4.1 Von den Punkten A und B eine Lotrechte auf die trecke CD bzw. CE fällen. Den jeweiligen chnittpunkt markieren wir mit F und G. 4. Die Geraden AF und BE ebenfalls in n Teile einteilen (entspr. Einteilung in chritt 3). chritt 5: 5.1 Die in 4. ermittelten chnittpunkte der Geraden AF und BE mit dem Punkt C verbinden. 5. Die chnittpunkte der von den Teilungspunkten der Geraden AF und BE ausgehenden Geraden zum Punkt C mit den entsprechenden Geraden zwischen der ehne und den Hypothenusen CD bzw. CE ausstraken. Der trak ist der Bogen für den Kreisabschnitt mit der ehne, der Breite des Bogens b und dem unbekannten Radius r. Anmerkung: Diese Beschreibung enthält nicht die Beweisführung für die Richtigkeit des Konstruktionsverfahrens. rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 3

4 Eckleinjarten 13a Bremerhaven rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 4

5 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Nachweis für die Richtigkeit der Methode 1 Kreisbogen und Kreis Jedem Kreisbogen mit der Länge l ( ehne ) und der Breite b ( M C ) ist ein Kreis mit dem Radius R zuzuordnen. Zum Kreisbogen gehört der Peripheriewinkel β. atz des Thales Verbinden wir die Punkte A und P sowie A und C, erhalten wir das rechtwinklige Dreieck CAP mit dem rechten Winkel beim Punkt A, den Katheten AP und AC und der Hyapothenuse CP (Kreisdurchmesser D R). Parallele zur ehne durch Punkt C zeichnen. trecken AP und BP bis zu dieser Tangente verlängern. chnittpunkte D und E markieren. trecken AM und DC halbieren. Punkte 1 und 1 verbinden und bis zum Peripheriepunkt P verlängern. chnittpunkt dieser Geraden mit dem Kreisbogen ergibt den Punkt A. Verbinden wir diesen Punkt mit C, erhalten wir ein weiteres rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei A (atz des Thales). Vom Punkt A Lotrechte auf die Tangente DC zeichnen. Den Fußpunkt des Lotes kennzeichnen wir mit F. Die Kathete A' C auf das Lot AF verlängern und den chnittpunkt mit 1 kennzeichnen. Wenn wir jetzt nachweisen können, dass die Verhältnisse 1" F AF 1M AM 1' C DC gleich sind (im vorliegenden Fall ½), haben wir den Nachweis für die Richtigkeit der Konstruktion des Kreisbogens nach Methode 1. rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 5

6 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Es ist 1. FC1 CPA δ/, weil C1" P1' und DC PC und. FCA CPD β/, weil CA PD und DC PC Für die Winkel β/ und δ/ gelten die Tangensfunktionen β AF FC DC PC AM tan und PM δ 1" F 1' C 1M tan FC PC PM Mit diesen Winkelfunktionen bilden wir die Verhältnisgleichungen 1) tan δ / tanβ / 1" F FC 1M FC AF PM 1" F AF 1" F FC AF FC 1M AM 1M PM AM PM PM AM 1 AM AM 1 ) tan δ / tanβ / 1" F FC AF FC 1' C PC DC PC 1" F FC 1' C PC FC AF PC DC 1 DC 1" F 1' C AF DC DC 1 Das Lot wird im selben Verhältnis geteilt wie die halbe ehne und halbe zugehörige Tangente. rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 6

7 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Methode Die Beschreibung der chritte erfolgt anhand der Zeichnungen. chritt 1: 1.1 ehne (Länge l) zeichnen. Punkte A und B markieren. 1. ehne halbieren. Mittelpunkt M markieren. 1.3 Mittellinie der ehne durch den Mittelpunkt M zeichnen. 1.4 Von M die Breite b des Kreisbogens abtragen. Punkt C markieren. chritt :.1 Auf der ehne die trecken MA und MB in n gleiche Teile teilen (im Beispiel n 5).. Die Teilungspunkte mit 1,,... bzw. -1, -,... markieren..3 Von den Teilungspunkten enkrechte abtragen. chritt 3: 3.1 Mit dem Radius r b MC einen Viertelkreis um M zeichnen. 3. Den Kreisbogen und die waagerechte Gerade in n gleiche Teile einteilen. 3.3 Teilungspunkte mit 1 1,,... markieren und die Punkte verbinden. rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 7

8 Eckleinjarten 13a Bremerhaven chritt Die trecken 1 1', ',... von den Punkten 1,, 3,... der ehne unter dem gleichen Winkel wie im Viertelkreis abtragen. 4. Die Punkte A, -4, -3,..., C,... 3, 4, B ausstraken. Der Kurvenbogen ist der gesuchte Kreisbogen. Anmerkung: chritt 4 : In der Literatur 1 wird zu chritt 4 auch dargestellt, dass die dem Viertelkreis entnommenen trecken 1 1', ' senkrecht von den Teilungspunkten 1,,... der ehne abgesetzt werden. Wichtig: Ohne Beweis: diese Konstruktion ist ungenau. Der trak nach chritt 4 ist zu stark gekrümmt, der trak nach 4 zu schwach. Bei nur sehr schwach gekrümmten Kreisabschnitten kann der Fehler evtl. vernachlässigt werden. Auf der folgenden eite sind die Methoden 1 und gegenübergestellt. 1 Z.B.: Böge, Alfred: Abwicklung von Blechkörpern / Alfred Böge; Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg Verlag & ohn; 199, IBN ;. 9 rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 8

9 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Bild: Vergleich der Konstruktion eines schwach gekrümmten Kreisbogens nach Methode 1 (linke Hälfte) und Methode (rechte Hälfte mit chritt 4 und chritt 4 ). Bei der Konstruktion nach Methode 1 liegen die trakpunkte genau auf dem Kreisbogen. b l 35 mm 150 mm R , mm 8 b 8 35 mm rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 9

10 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Methode 3 Für eine rein rechnerische Methode zur Konstruktion flacher Kreisbögen wird zunächst der tiefste Punkt in den Ursprung eines Koordinatenkreuzes gelegt (vgl. Abb.): Für das rechtwinklige Dreieck MYP gilt nach dem Lehrsatz des Pythagoras R x + R y. Der Ausdruck ( R y) ergibt als. Binomische Formel ( ) R + y R y. Die Funktionsgleichung für den Kreisbogen ist dann y R R y + R ( y R) x x y R ± R R + y R ± R ( R y) + R x x R R y + y x x Für den unterhalb des Kreismittelpunktes liegenden Kreisbogen ist der negative Wurzelausdruck einzusetzen. Für die frei zu wählenden x-werte des Kreisbogens werden die zugehörigen y-werte, d.h. die Bogenhöhen zu berechnet: y ( ) x f x R R. Es ist sinnvoll, sowohl den Radius R wie auch die y-werte mit Hilfe eines Excelprogramms zu bestimmen. rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 10

11 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Beispiel: Ein Kreisbogen hat eine Länge von l 150 mm und eine Breite b 15 mm. Gesucht ist der zugehörige Kreisbogen. Für das angegebene Beispiel erhält man den Radiuswert und die y-werte: Zeichnen flacher Kreisbögen (Mathematische Lösung) Länge der ehne l 150 mm Breite des Kreisbogens b 15 mm Radius r 195 mm Teilung der ehne n 10 x Abstand 15 mm b l R + 8 b Formel vgl. Tabellenbuch Metall - Flächen - Kreisabschnitt Punkt x y mm mm 5 75,00 15, ,00 9, ,00 5,6 30,00,3 1 15,00 0,58 0 0,00 0, ,00 0,58 30,00,3 3 45,00 5,6 4 60,00 9, ,00 15,00 Bild: Rechnerische Methode zur Konstruktion flacher Kreisbögen rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 11

12 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Löser: 1. Berechnung der für die Abwicklung erforderlichen Maße 1.1 Berechnung β/ (vgl. Bild 1 und Bild 4) β R r 35mm 5mm arctan arctan h' 70mm 1 arctan 8, ,1301 Bild 4 1. Berechnung Mittelpunktswinkel α (Abwicklung, vgl. Bild ) und α/ β β α 360 sin 360 sin arctan sin arctan 7 50, ,9117 α 5, , Berechnung H (vgl. Bild 1) β R sin H R R H β sin β sin arctan 35 mm 1 sin arctan 7 47, mm 47,4874 mm rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 1

13 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Berechnung h (vgl. Bild 1) β sin h r h r r β sin β sin arctan 5 mm 1 sin arctan 7 176, mm 176,7767 mm Berechnung der Länge der ehne für das Dreieck AB (vgl. Bild ): α sin h h α h sin 176,7767 mm sin 5, ,964 mm 1.5. Berechnung der Länge der ehne CD für das Dreieck CD (vgl. Bild ): CD α CD sin H H α CD H sin 47,4847 mm sin 5,4558 1,7451 mm 1.6 Höhe Trapez DC (vgl. Bild ): h Trapez _ CD H _ h _ H CD α α cos h cos α cos ( H h ) CD ( 47,4874 mm 176,7767 mm) 63,8459 mm AB cos 5,4558 rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 13

14 Eckleinjarten 13a Bremerhaven Breite des Bogens b mit Radius h, Mittelpunktswinkel α für das Dreieck AB mit der ehne (vgl. Bild ) b h h _ AB α h h cos h 176,7767 mm 17,160 mm α 1 cos ( 1 cos 5,4558 ) 1.8 Breite des Bogens B mit Radius H, Mittelpunktswinkel α für das Dreieck CD mit der ehne CD (vgl. Bild ) B H H CD _ CD α H H cos H 47,4874 mm 4,068 mm α 1 cos ( 1 cos 5,4558 ). Konstruktion der Abwicklung Anlage: Zeichnung rth. Abwicklung schwachkegliger Körper eite 14