1. Mathematikschulaufgabe

Transkript

1 Klasse 8 / I I 1.0 Gib in Mengenschreibweise an: 1.1 Zur Menge M gehören alle Punkte, deren Abstand von parallelen Geraden g und h gleich ist, oder die von einem Punkt A mehr als 4 cm entfernt sind. 1. Die schraffiert gekennzeichnete Menge M einschließlich der Randlinien.. Gegeben sind die Punkte A (-3/-), B (4/-1) und C(1/). Fertige eine Zeichnung an und kennzeichne die Lösung mit blauer Farbe: { P d ( P; AB ) < cm d ( P; AB ) d ( P; BC ) [ PC ] [ AC ] } 3.0 Gegeben ist der Kreis k mit Mittelpunkt M(-/1) und Radius r 3cm. 3.1 Konstruiere die Tangenten von S (5/-1) an den Kreis k. 3. Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke [ MS ]. 3.3 Kennzeichne ferner mit grünem Farbstift folgende Menge: { P [ PM ] < [ PS ] } k a ( M; r ) MS 3.4 Wie nennt man die Gerade m [ MS ] bezüglich des Kreises k? 4. Die Maße von Randwinkel und zugehörigem Mittelpunktswinkel betragen zusammen 79. Wie groß ist der Randwinkel, wie groß der Mittelpunktswinkel? 5.0 Gegeben sind die Punkte A (0/0), B (5/0), C(-/,5) und D(7/,5). 5.1 Konstruiere alle Punkte P CD, von denen aus die Strecke [ AB ] unter einem rechten Winkel erscheint. 5. Bestimme in obiger Zeichnung ferner alle Punkte P CD, für die gilt: AP B 60. RM_A0084 **** Lösungen 3 Seiten

2 1.1 Gib in Mengenschreibweise an: Zur Menge M gehören alle Punkte P, deren Abstand von der Geraden AB weniger als 3cm beträgt und die gleichzeitig von A höchstens so weit entfernt sind wie von B. 1. Welche beiden geometrischen Ortsbereiche werden durch die Beschreibung in Aufgabe 1.1 gekennzeichnet? Entscheide, ob der jeweilige Rand zum Ortsbereich gehört oder nicht..0 Gegeben ist die Gerade AB mit A(-1/6) und B(8/3)..1 Konstruiere die Mittelpunkte M 1 und M von Kreisen mit dem Radius r 3cm, die AB berühren und gleichzeitig durch C(3/0) gehen. Zeichne die beiden Kreise ein.. Konstruiere die zwei Tangenten von A aus an den Kreis, dessen Mittelpunkt näher bei A liegt. Kennzeichne die beiden Tangentenberührpunkte T 1 und T. 3. Beschreibe die im nebenstehenden Bild schraffierte Punktmenge in Mengenschreibweise. Der Rand gehört jeweils dazu. 4. Zeichne im Koordinatensystem folgende Punkte: A(0/3), B(4/-1), C(6/), D(5/6). P APB 45 DPC 60 farbig. Kennzeichne die Punktmenge { } 5.1 Wie lautet der Satz des Thales? 5. Nenne zwei Eigenschaften von Tangenten. RM_A01 **** Lösungen Seiten

3 1.1 Gib in Mengenschreibweise an: Zur Menge M gehören alle Punkte P, deren Abstand von der Geraden AB weniger als 3cm beträgt und die gleichzeitig von A höchstens so weit entfernt sind wie von B. 1. Welche beiden geometrischen Ortsbereiche werden durch die Beschreibung in Aufgabe 1.1 gekennzeichnet? Entscheide, ob der jeweilige Rand zum Ortsbereich gehört oder nicht..1 Zwei Orte A (/3) und B (4/5,5) wollen zusammen eine Mülldeponie errichten, die aber von beiden Orten gleich weit entfernt sein soll. Aus Gründen des Umweltschutzes muss die Müllanlage einen Abstand von mindestens km (1 km 1cm) vom Fluss f (f DE mit D(0/1,5) und E (8/6) haben. Um Kosten zu sparen, soll sich der Ort C ( 5, 5 / 5 ) beteiligen. C erklärt sich aber nur unter der Bedingung bereit dazu beizutragen, wenn die Müllanlage nicht weiter als 4 km von C entfernt ist. Kennzeichne den Teil, der für die Müllanlage in Frage kommt mit grüner Farbe. Platzbedarf: 0 < x < 10 0 < y < 10. Welche geometrischen Ortslinien hast du zur Konstruktion benötigt? 3. Beschreibe die im nebenstehenden Bild schraffierte Punktmenge in Mengenschreibweise. Der Rand gehört jeweils dazu. 4.0 Gegeben ist die Gerade AB mit A (-1/6) und B (8/3). 4.1 Konstruiere die Mittelpunkte M 1 und M von Kreisen mit dem Radius r 3cm, die AB berühren und gleichzeitig durch C(3/0) verlaufen. Zeichne die beiden Kreise ein. 4. Konstruiere die Tangenten von A aus an den Kreis, dessen Mittelpunkt näher bei A liegt. Kennzeichne die beiden Berührpunkte T 1 und T. Platzbedarf: -3 < x < 8 - < y < 6 RM_A013 **** Lösungen 1 Seite

4 1.0 Untersuche mit Hilfe von Wertetabellen, ob folgende Terme über der Grundmenge G äquivalent sind: 1.1 T 1 (x) - (x ) + 4 T (x) - x 1 + 4x G { 1; ; ; 3 3 } 1. T 3 (x) y 1 T 4 (x) y + G {-; 0; 1; 5}. Welche Terme sind über der Grundmenge G Q äquivalent? T 1 64a 3 b c T 8abc (8ab c) T 3 (8ab) ac T 4 (4a) 3 (b c) T 5 64a b 3 c 3. Vereinfache durch Termumformung unter Angabe der Gesetze : 3 (8 + x) 4x 4.0 Gegeben sind die Punkte A (-4/), B (-/-3), C(1,5/-1) und D(3/3). Platzbedarf: - 6 < x < 6-3 < y < Konstruiere den Inkreis im Dreieck ABC. 4. Konstruiere und kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe: { P AP DP d(p;ad) 1cm} 4.3 Berechne die Koordinaten des Mittelpunktes von [CD]. 5. Konstruiere und kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe: { P AP < BP AP < 3cm} mit A (-1,5/-) und B (/1). 6. Konstruiere die Menge aller Punkte, die von AB cm entfernt sind und von denen aus die Strecke [AB] unter einem Winkel erscheint, der kleiner als 90 ist. Kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe A (-1/1) und B (4/0). RM_A014 **** Lösungen 3 Seiten

5 1. Fasse folgende Terme so weit wie möglich zusammen: a) T(x; y) 4x y 15xy + 31xy 64xy 0x y 48xy b) T(a; b) 0,3a (-3b) 1 9 b c) T(x; y; z) 7x (4x y + z) y d) T(x; y) 7x (3y 4x) 8xy (y x) (6y + 3x) + 6y. Klammere soweit wie möglich aus: a) 14a + 1ab b) 56x 4x + 14xy c) 9x y + 46xy 3xy 3. Zeichne die Punkte A (1/), B (4/3), C(6/7), D(0/5) in ein Koordinatensystem. Kennzeichne folgende Punktmengen farbig: a) die Punkte, die von [AB] einen Abstand von cm haben b) die Punkte, die von C und D gleich weit entfernt sind c) die Punkte, die von D weniger als cm entfernt sind 4. Gib die gekennzeichnete Punktmenge in Mengenschreibweise an. a) Der Rand gehört hier zur Menge b) RM_A015 **** Lösungen Seiten

6 1.0 Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich 1.1 ( ) c c 4 b b 7 7 x 1 y y x ( a ) ( a) s 8 4s 8 ( 6s 3,5s 8 ) Multipliziere aus, und fasse soweit wie möglich zusammen..1 ( m + n)( 4m + 5 3n). ( a 3b) ( a 4b) + 3. Die Seite [AB] des Quadrats ABCD mit AB xcm wird um 1,5 cm verkürzt, die Seite [BC] um 4 cm verlängert. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks AB C D in Abhängigkeit von x. 4.0 Wende die binomischen Formeln an und fasse soweit wie möglich zusammen. 4.1 ( 3x + 0,3y) 4. 3 ( b 4 ) ( p 7q 5 )( 7q p) ( 1, 5f g ) 5. Bestimme die Lösungsmenge durch Äquivalenzumformungen ( )( ) ( ) s 7 s s 7 s 3 5 s + + G RM_A008 **** Lösungen Seiten (RM_L008)

7 1. Multipliziere aus und fasse so weit wie möglich zusammen! 1,m 4n 9m m + 5,8mn 3 3 a) ( ) ( ) b) 4,a ( 3x 5y) + 8,9a ( 3x 5y + x) c) 13 a x ( 7,3b 5,8 z + 3 y) 0,0u 7a. Ein Quadrat ABCD hat die Seitenlänge a. Die Seite [AB] wird um 4 cm verlängert, die Seite [BC] um,5 cm verkürzt. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des neuen Rechtecks AEFG in Abhängigkeit von a. 3. Verwandle die angegebenen Summen in Produkte. a) 5x + 70x + 49 b) c) 1 x xy 9y xy 1 4. Berechne unter Verwendung der binomischen Formeln! a) y( y+ 1) b) (,5p 4q) c) ( 11x 14q)( 14q + 11x) d) ( 4x 5y) ( 1,5y 4) Zeichne die Strecke [AB] mit A ( 3 4) und ( ) B5. Kennzeichne alle Punkte, die von A höchstens 6 cm und zugleich gleichen Abstand von A und B haben. RM_A01 **** Lösungen Seiten (RM_L01)

8 Klasse 8 II / III 1. Vereinfache die Terme soweit wie möglich. 1.1 ( 7x 3w) ( 4x + w) + x 1. 1 ( x+ 3 y 1 1 ) ( y x) Überprüfe durch Rechnung, ob die Terme 1 ( ) T ( x) x 5x x x äquivalent sind ( G ). T x x 4x 8x + x und 3. Multipliziere aus und vereinfache die Terme soweit wie möglich. 3.1 ( 3y 4) ( y y 3 ) 3. ( 3a b) ( b a) ( b 3a) ( a b) 4. Belege die Platzhalter, O, so, dass wahre Aussagen entstehen. 4.1 ( ) + b 9+ + O 4. ( ) O 4xy+ 3x 5. Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus b + 4b x y 14 x y 7y 6. Schreibe die folgenden Terme als Produkt. 6.1 a 0a a RM_A0316 **** Lösungen Seiten (RM_L0316)