Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1
|
|
- Wilhelm Adler
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg 1996 Runde 1 ufgabe 1 Ein Rechteck mit den eitenlängen 5 cm und 9 cm wird in kleinere Rechtecke mit ganzzahligen eitenlängen, in Zentimeter gemessen, zerlegt. estimme eine Zerlegung mit möglichst vielen Rechtecken, von denen keine zwei deckungsgleich sind. Lösung er Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 45 cm. ie Zahl 45 soll in eine umme von möglichst vielen ummanden zerlegt werden. (lle ngabe von eitenlängen und Flächeninhalten beziehen sich auf die Einheiten cm bzw. cm ) ilden wir die umme , so erhalten wir gerade den Wert 45. as ild rechts zeigt, dass das große Rechteck auch tatsächlich in neun nicht deckungsgleiche Rechtecke mit diesen Flächeninhalten und ganzzahligen eitenlängen zerlegt werden kann. ie Flächeninhalte 4 und 6 dürfen aber beispielsweise zweimal auftreten, da diese Zahlen verschiedene roduktzerlegungen 4= 1 4 und 4=, 6= 1 6 und 6= 3 besitzen. Es gibt deshalb jeweils zwei nicht deckungsgleiche Rechtecke mit den Flächeninhalten 4 und 6. ie Flächeninhalte 1,, 3, 5, 7 können aber nur einmal vorkommen. ilden wir nun unter dieser Voraussetzung die umme mit möglichst kleinen ummanden, so erhalten wir: = 38, = 46. ie umme = 45 ist eine weitere arstellung der Zahl 45 mit der geforderten Eigenschaft. Eine passende Zerlegung des großen Rechtecks in die neun kleineren Rechtecke zeigt das zweite ild. Eine Vergrößerung der ummandenzahl ist nicht möglich. Jeder weitere zulässige ummand würde dazu führen, dass mindestens zwei andere aus der umme entfernt werden müssten LW 1996 Runde 1 eite 1 von 11
2 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg ufgabe Zwei rimzahlen, die beide größer sind als 5 und sich um unterscheiden, werden addiert. as Ergebnis wird in rimfaktoren zerlegt. Weise nach, dass diese Zerlegung mindestens vier Faktoren enthält, wobei nicht alle verschieden sein müssen. 1. Lösung ie beiden rimzahlen sollen p und p + heißen: Nach Voraussetzung gilt p > 5. amit sind die beiden rimzahlen ungerade. Für ihre umme s gilt nun: s= p + (p+ ), s= (p+ 1). ie umme s enthält also den rimfaktor. a p ungerade ist, ist p + 1 gerade. emnach enthält der zweite Faktor von s ebenfalls den rimfaktor. Von den drei aufeinander folgenden Zahlen p, p + 1 und p + ist genau eine durch 3 teilbar. a p und p + nach Voraussetzung rimzahlen größer als 5 sind, können beide Zahlen nicht durch 3 teilbar sein. eshalb muss p + 1 durch 3 teilbar sein. omit ist ein dritter rimfaktor von s gefunden. Es gilt: s= 3 t Wegen p > 5 ist s größer als 1, folglich ist t größer als 1. Ist t selbst eine rimzahl, so enthält die rimfaktorzerlegung von s genau vier Faktoren. Ist t keine rimzahl, so enthält t mindestens zwei weitere rimfaktoren. ie rimfaktorzerlegung von s enthält in diesem Fall sogar mindestens fünf Faktoren.. Lösung Es seien p und q die beiden rimzahlen; außerdem gelte q = p +. ann gilt: p + q= p+ = (p+ 1) Nach Voraussetzung ist p > 5 und somit p + 1 gerade und größer als 6. Es gilt also: p + 1= n mit n > 3 (*) p + q= n Ist n keine rimzahl, so ist die ehauptung bewiesen, denn dann lässt sich n in ein rodukt mit mindestens zwei Faktoren größer als 1 zerlegen. Es muss nun noch gezeigt werden, dass n keine rimzahl sein kann. nnahme: n sei eine rimzahl eweis durch Widerspruch: Von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist immer genau eine durch 3 teilbar. Nach Voraussetzung sind die Zahlen p und p + rimzahlen größer als 5. eshalb muss p + 1 durch 3 teilbar sein. Nach (*) gilt: p + 1= n us der Teilbarkeit von p + 1 durch 3 folgt, dass n durch 3 teilbar ist. lso muss n durch 3 teilbar sein. Wegen (*) ist n aber größer als 3. eshalb lässt sich n in der Form n= 3 m mit m > 1 darstellen. amit erhalten wir die arstellung p + q= 3m mit m > 1 und damit eine arstellung der umme als rodukt mit mindestens vier Faktoren. LW 1996 Runde 1 eite von 11
3 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg ufgabe 3 In einem Fünfeck E ist der Winkel halb so groß wie jeder der vier anderen Winkel. Zeige: ddiert man die Längen der einschließenden eiten, so erhält man mehr als den halben Umfang des Fünfecks. Gemeinsamer Lösungsteil Für die Winkelsumme in unserem Fünfeck gilt: = 540. araus erhalten wir = 60 und für die anderen vier Winkel jeweils Lösung Wegen der 60 bzw. 10 -Winkel sind die eiten E und, sowie E und parallel. ie arallele zu E durch den unkt schneidet in. Wegen w() = w() = 60 und ist das Viereck ein achsensymmetrisches Trapez mit < und =. Nach Konstruktion ist das Viereck E ein arallelogramm, da die gegenüberliegenden eiten paarweise parallel sind. Im arallelogramm sind gegenüberliegende eiten gleich lang. Es gilt also: = E, E = und + E = + E. it =, = + und > folgt: + E = + + = E + + > E + +. amit sind die beiden eiten und E zusammen länger als die umme der anderen drei eitenlängen. amit ist + E größer als der halbe Umfang. E. Lösung Zunächst verlängern wird die eiten und E bis zum chnittpunkt. as reieck ist gleichseitig, denn die Winkel und sind jeweils Nebenwinkel eines 10 -Winkels. araus folgt w() = w() = = 60. as reieck ist also gleichseitig. as Viereck E ist ein arallelogramm, denn die gegenüberliegenden Winkelpaare sind gleich groß. eshalb gilt: = E, E = und + E = E +. Zusammen mit = = folgt: E E + = + E = + + E + = + + E > + + E. amit ist die umme der beiden am Winkel E anliegenden eiten größer als die drei anderen eitenlängen zusammen und damit auch größer als der halbe Umfang. LW 1996 Runde 1 eite 3 von 11
4 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg 3. Lösung as Fünfeck E wird durch die arallele zu durch den unkt und die arallele zu E durch ergänzt. Wegen dieser arallelität sind alle Innenwinkel der Teilfiguren 60 oder 10 -Winkel. as Fünfeck wird durch die beiden arallelen in drei arallelogramme und ein reieck zerlegt. a die gegenüberliegenden eiten eines arallelogramms gleich lang sind, gelten die eingetragenen eitenlängen. (Es gilt sogar v = w = y, was aber für den eweis nicht benötigt wird.) us diesen Überlegungen und der reiecksungleichung v + y > w folgt: + E = x + y + u + v > u + w + x = + + E. E x v v w x y u u u x y 4. Lösung Verlängern wir die eiten und über bzw. hinaus bis zum chnittpunkt und die eiten und E über bzw. E hinaus bis zum chnittpunkt Q, so entsteht das reieck Q. ie Winkel,, QE und EQ sind Nebenwinkel der vier Innenwinkel des Fünfecks E mit der Winkelgröße 10. iese vier Winkel sind deshalb 60 -Winkel. Wegen der Winkelsumme von 180 in den beiden Ergänzungsdreiecken und QE sind auch die beiden Winkel und EQ jeweils 60 -Winkel. e E Q d d d c b b a b araus folgt nun: ie reiecke, QE und Q sind gleichseitige reiecke. Im reieck Q gilt = = = b. Im reieck QE gilt Q = QE = E = d. Für die eitenlängen im reieck Q gilt = Q = Q, also a + b = b + c + d und e + d = b + c + d und damit auch a = c + d und e = b + c. Für die umme der beiden an anliegenden eitenlängen erhalten wir: + E = a + e = c + d + b + c = b + c + d > b + c + d. amit sind die beiden an anliegenden eiten zusammen länger als die drei übrigen eiten. LW 1996 Runde 1 eite 4 von 11
5 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg ufgabe 4 er unkt liegt auf dem Halbkreis über der trecke. er iagonalenschnittpunkt des Quadrats über heißt. uf welcher ahn bewegt sich, wenn auf dem Halbkreis wandert? Vorüberlegungen Zeichnet man die Figur für verschiedene Lagen des unktes, so scheinen die unkte auf einem Kreisbogen zu liegen. Nimmt man für die Lage von die Randlagen = und = an, so fallt im ersten Fall mit zusammen, denn das Quadrat über der trecke schrumpft zu einem unkt. Im zweiten Fall entsteht ein Quadrat mit der eitenlänge. ie unkte, und bilden ein gleichschenkligrechtwinkliges reieck. er unkt liegt in diesem onderfall auf dem Thaleskreis über der trecke und gleichzeitig auf der ittelsenkrechten von. er chnittpunkt von ittelsenkrechte und Thaleskreis wird mit bezeichnet. er Kreisbogen scheint ein Halbkreis über der trecke zu sein. Es soll nun folgende ehauptung bewiesen werden: er unkt bewegt sich auf einem Halbkreis über der trecke, wobei der chnittpunkt der ittelsenkrechten der trecke mit dem Thaleskreis über der trecke ist. Lösungsidee Ein wichtiger Zwischenschritt ist der Nachweis, dass die unkte, und stets auf einer Geraden liegen. Wenn diese Eigenschaft nachgewiesen wurde, dann ist das reieck rechtwinklig, denn es gilt dann w() = w() = 90. Nach der Umkehrung des atzes von Thales liegt der unkt dann auf dem Halbkreis über der trecke. iese trecke verändert ihre Lage nicht, wenn sich auf dem Halbkreis bewegt. ie ehauptung, dass die drei unkte auf einer Geraden liegen, ist sicher dann erfüllt, wenn das reieck gleichschenklig-rechtwinklig ist, denn dann sind die unkte und identisch. Für die anderen Fälle folgen nun verschiedene eweisvarianten. 1. Lösung ε ε ε ε Fall I: w() 90 Wir betrachten das Fünfeck. In diesem Fünfeck gilt für die Winkelsumme: o + ε + ε o + 90 o = 540 ( +ε ) = 70 +ε= 135. LW 1996 Runde 1 eite 5 von 11
6 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg amit gilt für : w() = ε = 180. ie unkte, und liegen auf einer Geraden. Fall II: w() > 90 as Viereck hat bei und jeweils einen rechten Winkel; daraus folgt: w() = 180 (45 + ) = 135, also = 135 w(). Im Fünfeck gilt für die Winkelsumme o + ε + ε + w() + 90 o = ε + w() = 5. Ersetzen wir durch 135 w(), so erhalten wir ε + w() = 360. ie unkte, und bilden also einen gestreckten Winkel und liegen auf einer Geraden.. Lösung Fall I liegt auf dem Kreisbogen. Für den Winkel gilt: w() = w() + w() + w() w() = 45, da die iagonale und die eite eines Quadrats einen 45 -Winkel bilden. w() = 90, das reieck ist nach dem atz von Thales rechtwinklig. w() = w(), atz vom gleichen Umfangswinkel über der ehne. w() = 45, asiswinkel im gleichschenklig-rechtwinkligen reieck. us diesen Eigenschaften folgt: w() = = 180. ie unkte, und liegen auf einer Geraden. Fall II: liegt auf dem Kreisbogen. w() = 45, asiswinkel im gleichschenklig rechtwinkligen reieck. w() = w(), Umfangswinkel über der ehne. er Winkel ist ein 45 -Winkel, deshalb liegt der unkt auf der iagonalen des Quadrats über der eite. a der chnittpunkt der beiden iagonalen des Quadrates ist, liegen die unkte, und auf einer Geraden. LW 1996 Runde 1 eite 6 von 11
7 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg 3. Lösung Fall I liegt auf dem ogen. as reieck ist nach Voraussetzung gleichschenklig-rechtwinklig: w() = as reieck ist gleichschenklig mit = = : w() = w() =. Nach dem Winkelsummensatz gilt im reieck : w() = 180. a die trecken und orthogonal zueinander sind, gilt: w() = 90. as reieck ist gleichschenklig mit = =, für die Winkel folgt daraus 1 w() = w() = ( ) w() = 135. Für den Winkel erhalten wir daraus: w() = = 180. ie unkte, und liegen auf einer Geraden. 180 ( 90 ), β Fall II: liegt auf dem ogen. as reieck ist nach Voraussetzung gleichschenklig-rechtwinklig: w() = as reieck ist gleichschenklig mit = = : w() = w() =. Wegen der Winkelsumme im reieck gilt: w() = 180. a die trecken und orthogonal sind, folgt daraus: w() = as reieck ist gleichschenklig mit = = : 1 w() = w() = ( 180 (90 )) w() = + 45., Für den Winkel erhalten wir daraus: w() = w() w() = + 45 = 45. a die Winkel und gleich groß sind und auf dem ogen zwischen und liegt, liegen die unkte, und auf einer Geraden. LW 1996 Runde 1 eite 7 von 11
8 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg 4. Lösung Idee: er unkt wird durch die Hintereinanderausführung einer rehung um zunächst auf einen unkt und einer anschließenden treckung mit Zentrum und treckfaktor 1 auf einen unkt " abgebildet. Jede rehung und jede zentrische treckung bilden einen Kreis wieder auf einen Kreis und einen Kreisbogen wieder auf einen Kreisbogen ab. Wenn der unkt den Halbkreis über der trecke durchläuft, durchlaufen die unkte und " ebenfalls Halbkreise. ehauptung: er unkt " fällt mit dem in der ufgabenstellung genannten unkt zusammen. eweis: urch die rehung um mit rehwinkel 45 liegt auf der iagonalen des Quadrats über der eite. urch die zentrische treckung mit Zentrum bleibt der ildpunkt von, also ", auf der Geraden () und damit auf der iagonalen. Es ist noch zu zeigen, dass " der ittelpunkt von ist. Wegen des treckfaktors 1 gilt " = 1 = 1. Für die Länge der iagonalen des Quadrats über gilt nach dem atz von ythagoras =. er unkt " ist also tatsächlich der ittelpunkt der iagonalen. ei der Hintereinanderausführung der beiden bbildungen ist als rehzentrum und als Zentrum der zentrischen treckung ein Fixpunkt. er unkt fällt bei dieser Verkettung auf einen unkt, der auf der iagonalen E des Quadrats über der eite liegt. Wegen des treckfaktors 1 ist der ildpunkt " nach der usführung beider bbildungen der iagonalenschnittpunkt des Quadrats über der eite und damit der dritte Eckpunkt eines gleichschenklig-rechtwinkligen reiecks über der eite. ieser dritte unkt ist also der ittelpunkt des Halbkreisbogens über. Zusammenfassung: ie unkte liegen auf einem Halbkreis über der trecke. F '' 45 ' E LW 1996 Runde 1 eite 8 von 11
9 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg ufgabe 5 ie Zahl 1996 liegt zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen, nämlich 1936 und 05. ie unterscheidet sich von der einen um 60 und von der anderen um 9. er Term ergibt eine Quadratzahl. Für welche anderen natürlichen Zahlen ergibt der entsprechend gebildete Term ebenfalls eine Quadratzahl? Lösung ehauptung: iese Eigenschaft gilt für jede natürliche Zahl n, die selbst keine Quadratzahl ist. eweis: ie natürliche Zahl n liegt zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen k und (k + 1), wenn k < n < (k + 1) gilt. Es ist nun nachzuweisen, dass der nach der angegebenen Regel gebildete Term ( ) ( ) ( ) n n k k+ 1 n für diese Zahlen n eine Quadratzahl darstellt. 1. Lösung urch algebraische Umformungen erhalten wir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k+ 1 n = n n k k + k+ 1 n 4 3 = n k n+ kn+ n n k k k + k n 4 3 = k n kn + n + k + k + k ( ) = k k + k+ 1 kn(k+ 1) + n ( ) = k k+ 1 n. er Term stellt also für alle natürlichen Zahl n eine Quadratzahl dar. (Ist n = k ( k+ 1), so stellt der Term die Zahl 0 dar. Wegen 0 = 0, ist auch dies eine Quadratzahl.). Lösung Ersetzen wir n k durch m, d.h. n = k + m, und bilden nun die ifferenz (k + 1) n, so erhalten wir k + k + 1 n. it n k = m können wir diese ifferenz auch in der Form k + 1 m darstellen. Es bleibt nun zu zeigen, dass n m k 1 m, also + + eine Quadratzahl darstellt. ( ) k + m m k+ 1 m = k + m km m+ m ( + ) k m m ( k 1 m) = k km+ m ( ) = k m. er Term (k m) stellt für alle natürlichen Zahlen k und m = n k eine Quadratzahl dar. LW 1996 Runde 1 eite 9 von 11
10 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg ufgabe 6 ie tädte,, und sind Ecken eines Quadrats mit 100 km eitenlänge. n einem Turnier nehmen drei annschaften aus und je eine aus, und teil. n welchem unkt auf dem Rand oder innerhalb des Quadrats muss das Turnier stattfinden, wenn die Fahrtkosten je annschaft und Kilometer betragen und die gesamten Fahrtkosten möglichst klein sein sollen? Vorüberlegungen ie Höhe der Fahrtkosten pro annschaft und Kilometer sind für die estimmung des Turnierortes T nicht von edeutung. Entscheidend ist die umme der gefahrenen Kilometer. abei ist die Entfernung des unktes vom Turnierort T dreifach zu zählen, da aus drei annschaften teilnehmen. ei den Lösungen wird deshalb jeweils der unkt bestimmt, für den die umme der treckenlängen minimal wird. 1. Lösung Für ein beliebigen unkt im Innern oder auf dem Rand des Quadrates beträgt die Gesamtfahrstrecke Für jeden auf der trecke liegenden unkt Q erhalten wir eine geringere Gesamtlänge, denn nach der reiecksungleichung gilt: Q Q +, Q Q + und Q Q +. as Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn auf einer Verbindungsstrecke von Q mit der Ecke des Quadrates liegt. ind und Q verschiedene unkte, so gilt mindestens eines der Ungleichheitszeichen. Q Für die Gesamtstreckenlänge erhalten wir daraus: = 3 ( Q + Q ) = 3 Q + Q + + Q + + Q + > 3 Q + Q + Q + Q. Für Q = erhalten wir den unkt, für den die Gesamtstreckenlänge minimal ist und die Fahrtkosten am kleinsten sind.. Lösung Wenn das Turnier in der tadt stattfindet, so beträgt die Gesamtfahrstrecke + + = , da bei einem Quadrat mit der eitenlänge a die Länge der iagonalen a ist. Es wird nun gezeigt, dass alle anderen unkte auf dem Rand oder im Innern des Quadrats eine größere Gesamtlänge ergeben. x Ist x die Entfernung des unktes von, so folgt wegen der reiecksungleichung x + = 100, x + = 100 und x + = 100. ls bschätzung für die Gesamtstreckenlänge erhalten wir x x x x = ie Gleichheitszeichen in einer der Ungleichungen gilt nur dann, wenn auf der betreffenden Quadratseite bzw. auf der iagonalen liegt. as Gleichheitszeichen gilt nur dann in allen drei Ungleichungen, wenn der unkt mit dem unkt zusammenfällt. Für gilt mindestens in einer der drei bschätzungen des Ungleichzeichen und damit > LW 1996 Runde 1 eite 10 von 11
11 Landeswettbewerb athematik aden-württemberg 3. Lösung Wir wählen den unkt beliebig auf dem Rand oder im Innern des Quadrats. ie arallele zur iagonalen durch schneidet die iagonale im unkt Q. ie gezeichnete arallele ist orthogonal zur iagonalen, da die beiden iagonalen und zueinander orthogonal sind. a im Quadrat die iagonale die ittelsenkrechte der iagonalen ist, gilt für den unkt Q die Eigenschaft Q = Q. Wenn auf der iagonalen liegt, so fallen die unkte und Q zusammen. Zunächst wird gezeigt, dass die Gesamtlänge der Verbindungsstrecken für den unkt Q (Q ) kleiner ist als die Gesamtlänge der Verbindungsstrecken von zu den vier Eckpunkten. er Turnierort muss also auf der iagonalen liegen. er Nachweis erfolgt in zwei chritten. 1. Ist Q, dann ist > Q und > Q, denn in den rechtwinkligen reiecken Q und Q sind und die längsten eiten. Ist = Q, dann gilt = Q und = Q.. Es wird nun gezeigt, dass Q + Q + ist. Liegt (und damit auch Q) auf der iagonalen, so gilt die Gleichheit, da dann alle vier unkte auf einer Geraden liegen. Nachweis von Q + Q +, falls : Zunächst wird der unkt an der iagonalen gespiegelt. er ildpunkt sei *. Wegen der ymmetrie gilt: = * und = *. ie arallele zu durch * und die arallele zu * durch schneiden sich in einem unkt, der als * bezeichnet wird. ie unkte ** bilden ein arallelogramm, in dem nach Konstruktion der unkt Q der ittelpunkt der iagonalen * ist. er unkt Q liegt also auch auf der iagonalen *. Nun ist aber die umme der beiden verschiedenen eitenlängen eines arallelogramms nach der reiecksungleichung größer als die Länge der iagonalen. Es gilt also: Q + Q = Q + Q = Q + *Q = * < + * = +. Für einen unkt Q (Q ) auf der iagonalen gilt nach der reiecksungleichung: < Q + Q, < Q + Q und = Q + Q. urch ddition der drei eziehungen erhalten wir + + < 3 Q + Q + Q + Q. as Turnier muss also in stattfinden. * * Q LW 1996 Runde 1 eite 11 von 11
4. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 2001/2002 Aufgaben und Lösungsbeispiele
4. Landeswettbewerb athematik ayern. Runde 00/00 ufgaben und Lösungsbeispiele ufgabe In einem Viereck sind die Seiten [], [] und [] gleich lang. ie Seite [] hat die gleiche Länge wie die iagonale []. iese
MehrKonstruktion: Konstruktion: Konstruktion: Konstruktion: Konstruktion: Konstruktion:
Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eiten 7/ 8 ufgaben reiecke (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet. ie hier vorgeschlagenen Konstruktionswege sind nur eispiele unter einige Möglichkeiten.)
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1
00 Runde ufgabe Yannick besitzt gleichseitige reiecke, Quadrate sowie regelmäßige Sechs- und chtecke, die alle dieselbe Seitenlänge haben. Er legt damit ohne Lücken und Überlappungen regelmäßige Muster.
MehrGrundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM EGNITZ math-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 EGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Grundwissen JS 7: Geometrie 17 Juli 2007 1(a) Wann heißt
MehrBeispiellösungen zu Blatt 3
µathematischer κorrespondenz- zirkel ufgabe 1 eispiellösungen zu latt 3 Mathematisches Institut Georg-ugust-Universität Göttingen Statistiken besagen, dass unter 1000 Menschen 35 zu hohen lutdruck haben.
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1
Landeswettbewerb athematik aden-württemberg 999 Runde ufgabe In einem regelmäßigen Sechseck werden wie abgebildet Diagonalen eingezeichnet. Dadurch entsteht ein kleines Sechseck. Welchen nteil an der Gesamtfläche
MehrDer Feuerbach Kreis oder Neun Punkte Kreis 1. Der Feuerbach Kreis oder Neun Punkte Kreis
er euerbach Kreis oder eun unkte Kreis 1 Geometrie er euerbach Kreis oder eun unkte Kreis utor: eter ndree Inhaltsverzeichnis 6 er euerbach Kreis oder eun unkte Kreis 1 6.1 Vorbemerkungen und Satz über
MehrGeometrische Ortslinien und Ortsbereiche
Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche. Ermittle alle mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. δ o 45 E ψ ε ϕ α o 26,57 Lösung: δ = 90 α = 45 ε = 26,86 ϕ = 63,43 ψ = 8,86 2. Gegeben ist
MehrGeometrische Ortslinien und Ortsbereiche
Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche 1. Ermittle alle mit griechischen uchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. δ o 45 E ψ ε o 6,57 Lösung: δ = 90 = 45 ε = 16,86 = 63,43 ψ = 81,86. Gegeben ist ein Kreis
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2012/2013
Landeswettbewerb Mathematik aden-württemberg Musterlösungen. Runde 0/0 ufgabe n der Tafel stehen die Zahlen 0 und. Paul will eine weitere natürliche Zahl hinzufügen, so dass jede dieser drei Zahlen das
MehrWinkel. Die Kreislinie k mit dem Mittelpunkt M berührt die Seiten des Dreeicks ABC in den Punkten F, P und Q.
Winkel 1. k Q F ie Kreislinie k mit dem ittelpunkt berührt die Seiten des reeicks in den unkten F, und Q. (a) Zeichne die Figur mit = 8cm und = 66. Zeichne die zwei Kreisradien ein, die zu den unkten und
MehrUmfangswinkelsatz. 1. Wie groß ist der Umfangswinkel in einem 2 Kreisbogen? Begründe deine Antwort anhand einer Skizze.
Umfangswinkelsatz 1 Wie groß ist der Umfangswinkel in einem 2 Kreisbogen? egründe deine ntwort 5 anhand einer Skizze 108, Zusammenhang zwischen ittelpunkts- und Umfangwinkel 2 Gegeben ist die Strecke []
Mehr2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 1. Runde 1999/2000
. Landeswettbewerb Mathematik ayern. Runde 999/000 ufgabe In einem regelmäßigen Sechseck werden wie abgebildet Diagonalen eingezeichnet. Dadurch entsteht ein kleines Sechseck. Welchen nteil an der Gesamtfläche
Mehr3. Vorlesung. Die Existenz des Pentagons. (*)
3. Vorlesung. ie Existenz des Pentagons. (*) In dieser Vorlesung werden wir sehen wie die Griechen bewiesen haben, dass es das Pentagon wirklich gibt. ieser eweis ist schon recht anspruchsvoll. So anspruchsvoll,
MehrGeometrie I - Winkeljagd
Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Geometrie I - Winkeljagd aniel Sprecher ktualisiert: 1. ezember 2015 vers. 1.0.0 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Winkel im reieck 2 3 Winkel im Kreis 5 4 Sehnenvierecke
MehrStufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.
1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets
MehrKapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke
Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,
MehrKapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke
edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke
Mehr(b) Wie viele Zahlen hat die Folge für n = 6? Finde einen Term für die Anzahl A(n) der Zahlen der n-ten Zahlenfolge.
Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 12. November 2011 Klassenstufen 7, 8 ufgabe 1 (3+7+10 Punkte). Gegeben seien die Zahlenfolgen: n n-te Zahlenfolge 1 1 2 1, 2, 2, 3 3 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5
Mehr2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen.
2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen. In diesem Kapitel beginnen wir mit der systematischen ufstellung der Euklidischen Geometrie wie man sie in [Euklid, Elemente] findet. ls erstes Lehrstück
MehrKongruenzsätze für Dreiecke, grundlegende Konstruktionen
Kongruenzsätze für reiecke, grundlegende Konstruktionen 1. Von einem Viereck kennt man die Längen der eiten = = 4cm und = = 6cm. Warum sind die reiecke und kongruent? Lösung: reiecke und sind kongruent
MehrGeometrische Konstruktionen Die Macht der Werkzeuge. Zirkel allein. Christian Dick
Geometrische Konstruktionen ie Macht der Werkzeuge Zirkel allein hristian ick dick@in.tum.de Letzte Woche Was ist mit Lineal und Zirkel konstruierbar? 2 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004 Heute
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich
Mehr4. Parallelität ohne Metrik
4. Parallelität ohne Metrik In der Euklidischen Geometrie wird nicht gemessen. as hat zwei Gründe. Erstens, gab es bei den Griechen noch kein entwickeltes Stellenwertsystem. Zweitens, haben sie ja schon
MehrDreiecke und Vierecke
1. Von einem reieck weiß man: (a) a = 5cm, = 65 und γ = 50 (b) a = b und β = 60 reiecke und Vierecke Fertige jeweils für den Fall (a) und für den Fall (b) eine Planfigur an. egründe damit die besonderen
MehrKopiervorlagen. zur Aufgabensammlung GEOMETRIE 1. 2009 (korrigiert 2012) Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Fachschaft Mathematik
Kopiervorlagen zur ufgabensammlung GEOMETRIE 1 2009 (korrigiert 2012) Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Fachschaft Mathematik utoren: ownload: Michael Graf, Heinz Klemenz www.geosoft.ch/buecher Inhaltsverzeichnis
Mehr3. Winkelsätze und der Kongruenzsatz (WWS).
3. Winkelsätze und der Kongruenzsatz (WWS). Nachdem wir die beiden ersten Kongruenzsätze bewiesen haben, kommen wir zum ritten Kongruenzsatz (WWS). r ist der am schwersten zu beweisende. Um ihn zu beweisen,
Mehr3. Die pythagoräische Geometrie.
II. Geometrie. 3. Die pythagoräische Geometrie. Neben der Zahlenlehre haben sich die Pythagoräer auch mit Geometrie beschäftigt. Schließlich ist ja der bekannte Satz des Pythagoras eng mit ihrem Namen
MehrFlächensätze am rechtwinkligen Dreieck
Lösung: - - Flächensätze am rechtwinkligen reieck 1. Es gibt reiecke mit einem Flächeninhalt von 24cm 2. Zeichne zwei solche reiecke, die diesen Flächeninhalt aufweisen, die aber nicht kongruent zueinander
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrAchsensymmetrie. Grundkonstruktionen
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrGrundwissen Klasse 6
Zahlenmengen = {; 2; ; 4; ; 6;... } Die Menge der natürlichen Zahlen. = {... ; 2; ; 0; ; 2; ;...} Die Menge der ganzen Zahlen. 0 Die Menge der positiven rationalen Zahlen mit Null. ddition und Subtraktion
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7
Wissen Achsensymmetrie Beispiel Figuren die an einer Achse a gespiegelt werden nennt man achsensymmetrisch bezüglich a. Die Verbindungsstrecke zwischen zwei achsensymmetrischen Punkten wird durch die Achse
MehrInhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen 7 1.1 Zahlen und Zahlenmengen....................................... 7 1.2 Rechnen mit Zahlen und Termen....................................
Mehr13. UMFANGSWINKEL (oder PERIPHERIEWINKEL) und MITTELPUNKTSWINKEL (oder ZENTRIWINKEL) REGELMÄSSIGE VIELECKE.
13. UFNGWINL (oder RIHRIWINL) und ITTLUNTWINL (oder ZNTRIWINL) RGLÄIG VIL. Remarque préliminaire : ce chapitre, présent dans la version de 2004, a été complètement retravaillé puisque les rotations, qui
MehrMethodische Hinweise und Anregungen zur Ergänzung bzw. Erweiterung der Power-Point-Präsentation
Methodische Hinweise und nregungen zur rgänzung bzw. rweiterung der Power-Point-Präsentation ktivationen, die während der Präsentation angeboten werden n den nachfolgend beschriebenen Stellen wird der
MehrAbbildung durch zentrische Streckung L K F A E
bbildung durch zentrische treckung 1. Untersuche, ob die unkte (0 0), (6 2,5) und R(11 4,5) auf einer Geraden liegen. Lösung: Es gibt mehrere Möglichkeiten: z.. über teigungsdreiecke, Vektoren, Geradengleichungen.
MehrVariable und Terme A 7_01. Variable sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge G, z. B. x IN; y ; a Q
Variable und Terme A 7_01 Variable sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge G, z B x IN; y ; a Q Jede sinnvolle Zusammenstellung aus Zahlen und Variablen mit Hilfe von Rechenzeichen
MehrPunkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrOvTG Gauting, Grundwissen Mathematik 7. Klasse
1. Symmetrie (vgl. auch Grundwissen 5. Klasse) Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. a Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer
Mehr3 Mit geometrischen. Figuren arbeiten. der Drachen. der Baseball. das Hüpfkästchen. das Gummiseil
Mit geometrischen Figuren arbeiten der aseball der Drachen das Hüpfkästchen das Gummiseil Was machen die Kinder auf dem ild? Schreibe drei bis fünf Sätze in dein Heft. Welche geometrischen Figuren siehst
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1
998 Runde ufgabe Helena möchte für Weihnachten Strohsterne aus gleich langen Strohhalmen basteln. Dazu will sie zunächst Elemente aus fünf gleich langen Strohhalmen wie in der Skizze anfertigen und diese
MehrKlausur zum Modul 2 im SS 2004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2004
Klausur zum Modul im SS 004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 004 PO neu PO alt Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-nzahl im SS 004:... Studiengang G/H/R... Tutor/in:... ufg.1 ufg, ufg.3
MehrBeispiellösungen zu Blatt 98
µathematischer κorrespondenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufgabe 1 Beispiellösungen zu Blatt 98 Finde vier paarweise verschiedene positive ganze Zahlen a, b, c, d
MehrPunkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrDiese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus.
bschlussprüfung 204 athematik II usterlösung Prüfungsdauer: 50 inuten iese Lösung wurde erstellt von ornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des ayerischen Staatsministeriums für Unterricht
MehrDiese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus.
bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung Lösung iese Lösung wure erstellt von ornelia anzenbacher. ie ist keine offizielle Lösung es ayerischen taatsministeriums für Unterricht
MehrKonstruktionen mit Zirkel und Lineal
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Vor den eigentlichen Konstruktionen möchte ich einige emerkungen zu Faltungen machen, da sie leider in der Schule ein Stiefkind darstellen. Mit anderen Worten, sie
MehrI. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen
I. Symmetrie Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer Halbdrehung um einen Punkt ineinander
MehrM Thaleskreis über AC. Damit ist das Dreieck ABC rechtwinklig; nach der ersten Eigenschaft sogar gleichschenklig recht-
1987 Runde 1 Aufgabe 1 In der Figur sind die drei herausgehobenen Punkte die Mittelpunkte der Kreisbögen. Bestimme durch geometrische Überlegungen die Größe des Winkels α, der von den beiden sich schneidenden
MehrMagische Quadrate. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus Albrecht Dürers Kupferstich «Melancholie».
4 9 2 3 5 7 8 6 2 Magische Quadrate Magische Quadrate ie bbildung zeigt einen usschnitt aus lbrecht ürers Kupferstich «Melancholie». ei genauem Hinsehen erkennen Sie ein magisches Quadrat vierter Ordnung.
MehrGruppenarbeit Satzgruppe des Pythagoras
Anregungen zur Gestaltung schülerzentrierter, materialgestützter Unterrichtsphasen Gruppenarbeit Satzgruppe des Pythagoras Lösungshinweise für Lehrkräfte ie folgenden Lösungshinweise sollen die Lehrkräfte
MehrM 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind?
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
MehrM 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren.
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
Mehr11. Landeswettbewerb Mathematik Bayern
11 Landeswettbewerb Mathematik Bayern Aufgaben und Lösungsbeispiele 1 Runde 008 Aufgabe 1 Das abgebildete Viereck soll durch einen einzigen geraden Schnitt so zerlegt werden, dass zwei Teile gleicher Form
MehrGeometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1
Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
Mehr6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
MehrEine Hilfe, wenn du mal nicht mehr weiterweisst...
Geometrie 6. Klasse Eine Hilfe, wenn du mal nicht mehr weiterweisst... Themen Seite Das 1 Das Viereck 2 Der Kreis 2 Die Winkel 3 Parallele Geraden zeichnen 4 Eine Senkrechte zeichnen 4 Die Spiegelsymmetrie
Mehr1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)
Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus
MehrVierecke Kurzfragen. 2. Juli 2012
Vierecke Kurzfragen 2. Juli 2012 Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben? Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben? Ecken: Vierecke Kurzfrage 1 Wie werden Vierecke angeschrieben?
MehrGrundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8)
Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium Gymnasium Eckental Neunkirchener Straße 9042 Eckental Grundwissen Jahrgangsstufe: 7(G8) Vereinfachen von Summen
MehrÜber Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns!
ufgaben und Lösungen 1. Runde 013 Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen n freuen wir uns!» KORREKTURKOMMISSION KRL FEGERT» UNDESWETTEWER MTHEMTIK Kortrijker Straße 1, 53177 onn Postfach 0 0 01, 5313
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrZu Aufgabe 1: Bestimmen Sie einen Fundamentalbereich der Drehsymmetriegruppe (a) des Tetraeders, und (b) des Würfels.
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematisches Institut apl. Prof. r. Lutz Hille r. Karin Halupczok Übungen zur Vorlesung lementare Geometrie Sommersemester 00 Musterlösung zu latt vom 8. Juni
MehrFiguren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60.
1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. Es gibt drei Symmetrieachsen. Gleichseitiges Dreieck Zwei Seiten stehen normal.
MehrGeometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie
Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,
MehrGRUNDWISSEN Seitenhalbierende Konstruktion von Vierecken [nach Lambacher Schweizer 7] [eigene Grafiken]
GRUNDWISSEN Inhalt 5.Gleichungen... 2 5.1. Gleichungen und Lösungen... 2 5.2. Äquivalente Gleichungsumformungen... 2 5.3. Systematisches Lösen einer Gleichungen... 2 5.4. Lineare Gleichungen in Anwendungsaufgaben...
MehrMathematik Geometrie
Inhalt: Mathematik Geometrie 6.2003 2003 by Reto Da Forno bbildung / bbildungsvorschriften - Ähnlichkeitsabbildungen Seite 1 - Zentrische Streckung Seite 1 - Die Strahlensätze Seite 1 - Kongruenzabbildungen
MehrViereck und Kreis Gibt es da etwas Besonderes zu entdecken?
Bekanntlich besitzt ein Dreieck einen Umkreis, dessen Mittelpunkt man konstruieren kann. 1) Zeichne in dein Heft ein beliebiges Dreieck und konstruiere den Außenkreis des Dreieckes nur mit Zirkel und Lineal.
MehrZum Einstieg. Mittelsenkrechte
Zum Einstieg Mittelsenkrechte 1. Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius r, der größer ist, als die Länge der halben Strecke AB. 2. Zeichne einen Kreis um B mit dem gleichen Radius. 3. Die Gerade durch
MehrKonstruktionen am Dreieck
Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln
Mehr6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
MehrDie Ellipse, Zusammenhänge und Konstruktion
ie Ellipse, Zusammenhänge und Konstruktion ie Ellipse hat eine große chse und eine kleine chse. Es lassen sich zwei Kreise bilden, einen mit dem großen urchmesser und einen dem kleinen urchmesser. In der
MehrAchsen- und punktsymmetrische Figuren
Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken
MehrFiguren. Figuren. Kompetenztest. Name: Klasse: Datum:
Testen und Fördern Name: Klasse: Datum: 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. Es gibt drei Symmetrieachsen. Gleichseitiges
Mehr1. Daten und Diagramme Beispiele / Veranschaulichung
1. Daten und Diagramme / Veranschaulichung Zum Vergleich von Daten sind Säulen- und Balkendiagramme geeignet: Bei dieser Arbeit gab es zweimal die Note 1, siebenmal die Note 2, usw. Die Verteilung innerhalb
MehrVorbereitung auf die Gymiprüfung 2017 im Kanton Zürich. Mathematik. Sekundarschule, Teil 2. Übungsheft
Vorbereitung auf die Gymiprüfung 2017 im Kanton Zürich Mathematik Sekundarschule, Teil 2 Übungsheft Lektion 7 Konstruktionen 1 Lektion 7 Konstruktionen 1 1. Konstruiere ein Dreieck mit folgenden ngaben:
MehrInhalt der Lösungen zur Prüfung 2016:
Inhalt der Lösungen zur Prüfung 06: Pflichtteil Wahlteil ufgabe Wa 0 Wahlteil ufgabe Wb Wahlteil ufgabe Wa Wahlteil ufgabe Wb 6 Wahlteil ufgabe W3a 9 Wahlteil ufgabe W3b Wahlteil ufgabe Wa Wahlteil ufgabe
MehrLuisenburg-Gymnasium Wunsiedel
Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 7 1. chsen- und unktspiegelung a) chsensymmetrie Die chse halbiert die Strecke [ ] senkrecht. lle chsenpunkte sind von
MehrGrundwissen Mathematik 7I/1
Grundwissen athematik 7I/ ultiplikation und Division in QI Rechenregeln a c a c a c a d : b d b d b d b c Vorzeichenregeln + ++ + + + + : ++ : + : + + : otenzgesetze. otenzgesetz n m n m a a a + 7 eispiel:
MehrAufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie
Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin Geometrie Aufgabe G.1 Berechne die Innenwinkelsumme eines n-ecks. Aufgabe G.2 Zeige, dass
Mehr= = cm. = = 4.66 cm. = cm. Anschliessend: A = r 2 π = π = π =
Seiten 5 / 6 ufgaben Kreis 1 1 a) u Kreis r 15 30 cm ( 94.5 cm) Kreis r 15 5 cm ( 706.86 cm ) b) u Kreis r d 5.6 cm ( 17.59 cm) Kreis r.8 7.84 cm ( 4.63 cm ) c) u Kreis r 99 198 cm ( 6.04 cm) Kreis r 99
MehrAufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 =
Aufgabe S1 (4 Punkte) Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13? Lösung Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 = 12 2 + 5 2 Also gilt für die gesuchte Höhe auf der Hypotenuse
MehrÜbungen. Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra
Übungen Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra A1 Die Fachbegriffe in den Kästchen sollen den untenstehenden Aussagen bezüglich eines Dreiecks ABC zugeordnet werden. Du darfst die Kärtchen mehrfach verwenden
MehrThemenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6
Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke - Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken - Kenntnis der Eigenschaften
MehrKänguru 2016 Student Lösungen und Erklärungen
Känguru 016 Student Lösungen und Erklärungen 1. Lösungsweg 1: Tom und Johann sind zusammen 3 Jahre alt, Tom und le zusammen 5. a das lter von Tom in beiden Summen gleich ist, muss le also um Jahre älter
Mehr8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck
8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck P8: Mathematik 8 G2: komb.üchlein Zeitraum : 3 Wochen Inhalte Kernstoff Zusatzstoff Erledigt am Vierecke Typen: Quadrat, Rechteck, P8: 146 P8: 147 Rhombus, Parallelogramm,
MehrGrundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe
ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und
Mehr4 Ähnlichkeitsabbildungen
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 41 DEISSLER 4 Ähnlichkeitsaildungen eispiele Verkleinerungen, Vergrößerungen ijektive, geradentreue ildungen, ei denen die Winkel erhalten werden, aer nicht notwendig
MehrBeweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.
Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,
Mehr1. LESEPROBE KAPITEL GEOMETRIE
LESEPROBE KAPITEL GEOMETRIE 1. LESEPROBE KAPITEL GEOMETRIE Beispiel G4.06 Der Kreis k hat den Mittelpunkt M und einen Durchmesser AB (= 2r). Der Halbierungspunkt der Strecke MB heißt C. D ( A, B) sei ein
MehrLösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
(Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei
MehrGrundwissen Mathematik 7II-III
Grundwissen themtik 7II-III ultipliktion und ivision in QI Rechenregeln c c c d : b d b d b d b c Vorzeichenregeln + + + + + + + : + + : + : + + : Potenzgesetze. Potenzgesetz n m n m + eispiel: 7 + Ü:
MehrDer Höhenschnittpunkt im Dreieck
Der Höhenschnittpunkt im Dreieck 1. Beobachte die Lage des Höhenschnittpunktes H. Wo befindet sich H? a) bei einem spitzwinkligen Dreieck, b) bei einem rechtwinkligen Dreieck, c) bei einem stumpfwinkligen
MehrGeometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2.
GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite 1 Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe: 2. Mai 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2011/2012
Landeswettbewerb Matematik aden-württemberg Musterlösungen. Runde 0/0 Aufgabe avid wirft einen besonderen Würfel und screibt jeweils die oben liegende Zal auf. ie Abbildung zeigt ein Netz seines Würfels.
MehrBeispiel einer Zerlegung in vier Schritten (Zerlegungszahl n = 51)
Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 9. November 2013 Klassenstufen 9, 10 Beispiel einer Zerlegung in vier Schritten (Zerlegungszahl n = 51) Aufgabe 1 (6+4+4+3+3 Punkte). In dieser Aufgabe geht es
Mehr10. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. r. ennis ofheinz Lukas arth, Lisa Kohl 0. Übungsblatt zu lgorithmen I im SoSe 0 https://crypto.iti.kit.edu/index.php?id=algo-sose
MehrRegiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7
Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten
MehrÄhnlichkeit von Figuren
Ähnlichkeit von Figuren Beispiele: In dem Bild von Escher sind alle Fische einander ähnlich, d.h. sie besitzen dieselbe Form. Alle DIN-Format-Papiere sind einander ähnlich. Es handelt sich um Rechtecke,
Mehr