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Dagmar Böhmer
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1 bschlussprüfung 204 athematik II usterlösung Prüfungsdauer: 50 inuten iese Lösung wurde erstellt von ornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des ayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. ufgabe.0 ie Pflanzschale besteht aus einem Zylinder und einem Kegelstumpf. Es gilt: =,4 dm = h Zylinder ; = 4,0 dm Winkel E: 35 E V F V 2 K H G L x h kst 35 H = 2,0 dm = r ; GH = 0,6 dm = h Kegelstumpf = h kst erechnung des Zylindervolumens V V = π r 2 h z V = π 2 2,4 V = 7,59 dm 3 erechnung der Länge x: tan 35 = h kst h kst x = tan35 x = 0,86 dm x = 0,6 tan35 erechnung des Kegelradius G: G= H x G = 2 0,86 erechnung des Volumens des Kegelstumpfes V 2 : r = H= 2,0 dm; r 2 =,4 dm; h kst = 0,6 dm V 2 = 3 π hkst (r 2 + r r 2 + r 2 2 ) G =,4 dm = r 2 V 2 = 3 π 0,6 ( ,4 +,4 2 ) V 2 = 3 π 0,6 7,58 V 2 = 4,762 dm 3 ie gesamte Schale hat dann das Volumen V ges = V + V 2 V ges = 7,59 + 4,762 = 22,353 dm 3 20 l = 20 dm 3. er Inhalt eines 20 l Sackes kann vollständig in den Pflanzkübel gefüllt werden, denn 22,4 dm 3 > 20 dm 3. Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 /0

2 bschlussprüfung 204 athematik II usterlösung ufgabe 2 2. F H E K G ε = 8 cm = 6 cm = 7 cm Winkel = 30 erechnung von mit dem osinussatz 2 = cos 30 2 = cos 30 = 3,60 cm erechnung von ε mit dem osinussatz 2 = cos ε 8 2 = , ,6 7 cos ε 7 2 3,6 2 69,96 = 90,4 cos ε : ( 90,4) cos ε = 0, ε = 26,79 erechnung der Trapezhöhe h h γ = = 40 7 cm cos 40 = h h = cos 40 h = 5,36 cm erechnung von α h sin α = α = 63,29 5,36 = 6 = 0,8933 h α Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 2/0

3 bschlussprüfung 204 athematik II usterlösung 2.2 erechnung von E E sin ε = E 7 cm ε = 26,79 E = sin ε E = 7 sin 26,79 E = 3,6 cm cm x 8 cm 3,6 cm h = 5,36 cm 8 cm F H E K G ε y = = cm = 7 cm Zuerst wird der Flächeninhalt des Trapezes berechnet. erechnung der Strecke y mit dem Satz des Pythagoras y 2 = 7 2 5,36 2 y = 4,50 cm erechnung der Strecke y mit dem Satz des Pythagoas x 2 = 6 2 5,36 2 x = 2,70 cm erechnung der Trapezseite = x y = 2, ,5 = 5,20 cm amit kann man den Flächeninhalt des Trapezes Trapez berechnen Tr = 2 ( + ) h Tr = 2 (5,2 + 8) 5,36 Tr = 62,76 cm 2 Vom Kreisausschnitt sind die Radien r = E = 3,6 cm, r 2 = r = 2,6 cm und das aß des Winkels, = 30 bekannt. amit folgt für den Flächeninhalt KR : KR = π (r 2 2 r 2 ) KR = π (3,6 2 2,6 2 ) KR = 6,04 cm 2 erechnung des Prozentsatzes: Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 3/0

4 bschlussprüfung 204 athematik II usterlösung ufgabe 3 3. y = 800,85 x x y 80 65,2 53,38 43,307 28,766 5,572 6,870 ilchschaumvolumen in cm Zeit in inuten 3.2 Nach 4 inuten sind noch 35 cm 3 ilchschaum übrig. 3.3 y = 80 0,85 0 = 0,34 er Rest des ilchschaums beträgt 0,34 cm 3. Es sind also 80 0,34 = 69,66 cm 3 ilchschaum zerfallen. Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 4/0

5 bschlussprüfung 204 athematik I ufgabe.0 Gegeben: p : P( 2 2) und Q(8 3) ; p : y = ax 2 + bx + 3 p 2 : y = x 2 x Zeichnung zu.;.2 Wertetabelle der Parabel p : y = x 2 + 2x x y = x 2 + 2x ,75 3 4, Wertetabelle der Parabel p 2 : y = 8 x 2 2 x 2 x y = 8 x 2 2 x 2-0,5 -, ,375-2, ,5 0,625. ufstellen der Funktionsgleichung von p Punktprobe mit P(-2-2) (I) und Q(8 3) (II) (I) 2 = a( 2) 2 + b( 2) = 4a 2b = 4a 2b (II) 3 = a b = 64a + 8b = 64a + 8b 8b 8b = 64a : ( 8) (III) b = 8a Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 5/0

6 bschlussprüfung 204 athematik I Einsetzen (III) in (I): 5 = 4a 2( 8a) 5 = 4a + 6a 5 = 20 :20 (IV) a = 4 (IV) in (III): b = ( ) b = 2 it diesen Werten für a und b ergibt sich die Funktionsgleichung für p : p : y = 4 x 2 + 2x erechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Rauten ie Punkte und 2 liegen auf p, sodass sich ergibt: x = : y () = = ( ) 4 4 x 2 = 7: y 2 (7) = = ( ) 4 4 ie Punkte und 2 liegen auf p 2, sodass sich ergibt: x = : y 2 () = = ( ) x 2 = 7: y 2 (7) = = 8 5 ( ) Um die Koordinaten der Punkte n und n zu ermitteln, benutze die Eigenschaft der Raute: ie iagonalen halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander. a die Punkte n und n die gleiche x-koordinate haben, ist die iagonale zwischen ihnen parallel zur y-chse. ie iagonalenmittelpunkte sind und 2. Sie berechnen sich durch Halbieren der ifferenz der y-werte: ; ie iagonalen und 2 sind 5 LE lang. 2 ie x-koordinaten von und 2 ergeben sich also durch Subtraktion von 2,5 zur x-koordinate der Punkte und 2 ; die x-koordinaten von und 2 durch ddition von 2,5. ; ;.3 y (x) = 4 x 2 + 2x + 3 y 2 (x) = 8 x 2 2 x 2 n n (x) = y y 2 n n (x) = [ x 2 + 2x + 3] [ x 2 x 2] n n n n (x) = [ 8 3 x 2 + 2,5x + 5] LE (x) = [ 0,375x 2 + 2,5x + 5] LE Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 6/0

7 bschlussprüfung 204 athematik I.4 n (x y) 33 = 4 4 = 4 LE it dem Satz des Pythagoras gilt: 4 cm ( ), also, also n 2,5 cm n 5 cm n n it dem Ergebnis aus.3 folgt 6,24 = [ 0,375x 2 + 2,5x + 5] LE 6,24 0 = 0,375x 2 + 2,5x,24 : ( 0,375) 0 = x 2 6,667x + 3,3 Lösen mit der pq-formel: x 3 = 6,2 y 3 (6,2) = 5,88: 3 (6,2 5,88) x 4 = 0,54 y 4 (0,54) = 4,0: 4 (0,54 4,0).5 ie maximale Länge der iagonalen entspricht dem Scheitelpunkt der Funktion n n (x). ( ) (( ) ) (( ) ) er Scheitel ist also ( ) ie iagonale erreicht ihre maximale Länge von LE bei x =. erechnung des Flächeninhalts der Raute Raute = = 9,7 5 = 22,925 FE n (x y) 4 cm 2,5 cm δ as aß des Winkels n n n sei δ. Es gilt dann δ kann damit maximal 6,42 groß werden. Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 7/0

8 bschlussprüfung 204 athematik I ufgabe Gegeben: = 2cm = = 6 cm = 8 cm = = 4 cm S = 9 cm (Höhe der Pyramide) Zeichnung zu 2.; 2.2; 2.5 S P 2 P P 0 α H 2. Konstruktionsanleitung: Zeichne = 2 cm in der Waagrechten. arkiere ihre itte. Errichte in eine Senkrechte mit 9 cm Länge (Punkt S). Zeichne in unter einen Winkel von 45 die iagonale der Raute. ie Länge ist 4 q = 4 2 = 2 cm iss von aus die Längen auf der um 45 geneigten iagonalen der Raute ab und du erhältst die Eckpunkte und.. Verbinde S mit,,, so erhältst du das Schrägbild der Pyramide S estimmung der Länge von S: S 2 = S S 2 = S = 0,82 cm estimmung des aßes α des Winkels S: sin α = oder: tan α = S = S 9 0,82 = 0,838 α = 56,3 S 9 = =,5 α = 56,3 6 Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 8/0

9 bschlussprüfung 204 athematik I 2.2 erechnung. von sinα = P H P P H = P sinα P H = 5 sin 56,3 P H = 4,6 cm P H : Schnittdreieck der Pyramide P α P H erechnung von H : H 2 = P 2 P H H 2 = 5 2 4,6 2 H = 2,77 cm 2 erechnung von H : erechnung von P : H = H P 2 = P H 2 + H 2 H = 6 2,77 P 2 = 4, ,23 2 H = 3,23 cm P = 5,27 cm erechnung des Volumens der Pyramide P Grundfläche: Volumen: 2.3 erechnung des Volumens der Pyramide S Grundfläche: Volumen: Prozentualer nteil: Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 9/0

10 bschlussprüfung 204 athematik I 2.4 S Von dem reieck P sind folgende aße bekannt: = 6 cm P = 5,27 cm P H = 4,6 cm P H = 3,23 cm α H ie Strecke P H ist die reieckshöhe auf der Seite. (ie reieckshöhe kann auch außerhalb des reiecks liegen). amit gilt P H 2.5 ei der minimalen Länge P 0 steht die Strecke P0 senkrecht auf S. as reieck P 0 ist also rechtwinklig. erechnung von P 0 : P 0 sin α = P 0 P 0 = sin α P 0 = 6 sin 56,3 P 0 = 4,99 cm α as flächenkleinste reieck P n ist das reieck P 0 mit h = P 0 = 4,99 cm = P 0 2 = 2 8 4,99 = 9,96 cm 2 Es gibt reieck P n, mit einem Flächeninhalt kleiner als 9,96 cm 2, also auch keines mit einem Flächeninhalt von 8 cm 2. Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 204 0/0

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