GRUNDWISSEN MATHEMATIK

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1 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 5 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

2 1 Die natürlichen Zahlen NI Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3,...} NI Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2,...} 0 Darstellungsmöglichkeiten: Zahlenstrahl: der Abstand zweier benachbarter natürlicher Zahlen ist gleich groß ( Einheit) Koordinatensystem: s. negative Zahlen Diagramme: Balken-, Säulen-, Kreisdiagramme Stellenwertsystem mit Hilfe von Ziffern: 2354 = (Dezimalsystem) Zehnerpotenzen: = = = Zahlenwörter für große Zahlen: Tausender Millionen Milliarden Billionen Billiarden Trillionen Anzahl der Schüler Auto Bus Fahrrad Fußgänger Seite 2 von 16

3 Zahlenmengen: Menge der geraden Zahlen: {2,4,6,8,10, } Teilermenge T(18) = {1,2,3,6,9,18} Vielfachenmenge V(7) = {7,14,21,28,35, } Menge der Primzahlen: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, } ( Zahlen mit genau zwei Teilern) Menge der Quadratzahlen: {1,4,9,16,25,36,49, } 6 T(18) die Zahl 6 ist ein Element der Teilermenge von 18 9 V(7) die Zahl 9 ist kein Element der Vielfachenmenge von 7 2 Rechnen mit natürlichen Zahlen Addition: Wert der Summe = 1. Summand + 2. Summand Subtraktion: Wert der Differenz = Minuend Subtrahend Multiplikation: Wert des Produktes = 1. Faktor 2. Faktor Division: Wert des Quotienten = Dividend : Divisor Kommutativgesetze: a+b = b+a a b = b a Assoziativgesetze: (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Distributivgesetze: (a ± b) c = a c ± b c Seite 3 von 16

4 Weitere Rechenregeln: Klammern zuerst (von innen nach außen bzw. runde vor eckigen) Potenz vor Punkt vor Strich! Potenzen: = heißt Basis, 4 heißt Exponent. Quadratzahlen sind Potenzen mit 2 als Exponent. z. B.: 3 2 = 9 Primfaktordarstellung: Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen ( Faktorisieren ). Bsp.:600 = Teilbarkeitsregeln: Quersummen: Eine Zahl ist durch 3 (9) teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 (9) teilbar ist. Endstellen: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf 0, 2, 4, 6, oder 8 endet. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet. Seite 4 von 16

5 3 Terme Ein Term ist ein Rechenausdruck, der aus Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und gegebenenfalls aus Platzhaltern/Variablen besteht. Die zuletzt auszuführende Rechenart legt die Art des Terms fest. Bsp.: 1) 54 + (62 38) ist eine Summe 2) Gliederungsbaum: 3² 4 (2 + 5) Differenz Minuend Produkt Subtrahend Summe 1. Faktor 2. Faktor 1. Summand 2. Summand Potenz Basis Exponent 3 2 Seite 5 von 16

6 Zählprinzip: Bsp.: 1) Herr Scherbl bietet Brezen (B), Semmeln (S) und Hörnchen (H) an, sowie Milch (M) und ACE-Saft (A). Du hast also 3 2 = 6 Möglichkeiten, dir eine Brotzeit aus einem Gebäck und einem Getränk zusammenzustellen. B S H M A M A M A Baumdiagramm 2) Fakultät: Du willst das Mathe-, Musik-, Englisch- und Lateinbuch nebeneinander ins Regal stellen. Dafür hast du 4! = = 24 verschiedene Möglichkeiten der Anordnung. Seite 6 von 16

7 4 Ganze Zahlen Erweiterung durch die negativen Zahlen zur Zahlengeraden. a heißt Gegenzahl von a; Zahl und Gegenzahl haben vom Nullpunkt den gleichen Abstand. Die positiven und die negativen Zahlen bilden mit der Zahl 0 die Menge Z der ganzen Zahlen Koordinatensystem: Es besteht aus einer x-achse und einer y-achse. Ein Punkt P(x y) ist durch seine Koordinaten festgelegt. II. Quadrant I. Quadrant P(3 2) X III. Quadrant X R(-2-3) IV. Quadrant X Q(2-3) Seite 7 von 16

8 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen (+5) (+8) = 5 8 = (8 5 ) = 3 ( 5) + ( 8) = 5 8 = (5 + 8) = 13 ( 5) ( 8) = = 8 5 = 3 Multiplikation und Division ganzer Zahlen ( 2) ( 4) = +8 ( 6) : ( 2) = 3 Minus mal Minus ist Plus (+ 3) ( 5) = 15 ( 8) : (+ 2) = 4 Plus mal Minus ist Minus Für alle x 0 gilt: 0 : x = 0 x : 0 ist nicht definiert (Durch 0 kann man nicht dividieren!!!) Betrag einer Zahl: Der Abstand einer Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden heißt Betrag von a: a ; -7 = 7; +2 = 2 Seite 8 von 16

9 5 Körper Körper sind räumliche Gebilde. (3 Dimensionen) Sie lassen sich anhand von Schrägbildern oder Netzen darstellen. Würfel 6 gleiche quadratische Seiten Quader Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich. Prisma Gleiche eckige Grund- und Deckfläche. Pyramide Eckige Grundfläche und Spitze Zylinder Gleiche kreisförmige Grund- und Deckfläche Seite 9 von 16

10 Kegel Kreisförmige Grundfläche und Spitze Kugel Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt. 6 Geometrische Grundbegriffe Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte zwischen A und B einschließlich A und B. Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke von P zu g: d(p;g) A B Halbgerade [AB Gerade AB A A B B Seite 10 von 16

11 zueinander senkrecht: Zeichnen der Lotgerade durch S zu CD: zueinander parallel: Zeichnen der Parallelen durch P zu [AB]: Rechts: Zeichnen der Parallelen zu g durch einen weit entfernten Punkt A (Parallelverschiebung) Seite 11 von 16

12 Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind; es entsteht, wenn sich zwei Parallelenpaare kreuzen. Parallelogramm Rechteck (Parallelogramm mit vier rechten Winkeln) Quadrat (Rechteck mit vier gleich langen Seiten) Raute (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten) Kreis: Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung (Radius r) k(m;r) M x Seite 12 von 16

13 Winkel Dreht man die Halbgerade g (Schenkel) um den Anfangspunkt S (Scheitel) gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) bis zur Halbgeraden h (Schenkel), so entsteht der Winkel zwischen g und h. B h S A g Bezeichnungen: (g, h) oder ASB oder mit gr. Buchstaben: α, β, γ, δ, ε, φ Winkelarten: Gradzahl Bezeichnung 0 < < 90 spitzer Winkel = 90 rechter Winkel 90 < < 180 stumpfer Winkel = 180 gestreckter Winkel 180 < < 360 überstumpfer Winkel = 360 Vollwinkel Seite 13 von 16

14 Achsensymmetrie Zueinander symmetrische Punkte bilden eine Strecke, die von der Symmetrieachse senkrecht halbiert wird. C C. A A B B Symmetrieachse Figuren, die man durch Falten (entlang der Symmetrieachse) aufeinander legen kann heißen achsensymmetrisch. Seite 14 von 16

15 7 Rechnen mit Größen Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Längen: Umrechnungszahl ist 10. (Ausnahme 1km = 1000m) mm cm dm m km Massen: Umrechnungszahl ist immer mg g kg t Zeit: s min h Umrechnungszahl ist 60. Größen können auch in gemischten Einheiten (2kg30g) oder in Kommazahlen (3,15m oder auch 3:20,5h) angegeben werden. Rechenregeln: Es können nur Größen derselben Einheit addiert bzw. subtrahiert werden. 12cm + 3,2m = 12cm + 320cm = 332cm = 3,32m Der Quotient zweier gleichartiger Größen ergibt eine (An-)zahl. 15kg : 3kg = 5 Eine Größe wird mit/durch eine/r Zahl multipliziert/dividiert, indem man die Maßzahl mit/durch die/der Zahl multipliziert/dividiert und die Einheit beibehält. 3h20min 4 =200min 4 = 800min = 13h20min Seite 15 von 16

16 Maßstab 1:1000 bedeutet, dass Längen auf der Karte in Wirklichkeit 1000mal größer sind oder, dass Längen in Wirklichkeit auf einer Karte 1000mal kleiner zu sehen sind. Flächeneinheiten Flächen: Umrechnungszahl ist immer 100. mm 2 cm 2 dm 2 m 2 a ha km m 2 = 12 ha 34 a 56 m 2 1m 2 2cm 2 34 mm 2 = 10002,34 cm 2 Rechteck: Quadrat: U = 2 ( l + b ) U Q = 4 a A = l b A Q = a² Oberflächeninhalte Quader: O = 2 ( l b + l h + b h ) ) O = 6 s 2 Würfel: (bei Kantenlänge s) Seite 16 von 16

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