Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2016:

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1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung 06: Pflichtteil Wahlteil ufgabe Wa 0 Wahlteil ufgabe Wb Wahlteil ufgabe Wa Wahlteil ufgabe Wb 6 Wahlteil ufgabe W3a 9 Wahlteil ufgabe W3b Wahlteil ufgabe Wa Wahlteil ufgabe Wb 6

2 06 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 06: Pflichtbereich ufgabe P: Lösungsübersicht: Für die Länge gilt: = ie Länge kann im reieck mit der Sinusfunktion berechnet werden (siehe Figur ) ie Länge kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe Figur ) er Flächeninhalt des reiecks ist die ifferenz der Flächeninhalte der reiecke und Zur erechnung der Flächeninhalte und benötigt man die Längen der Katheten der reiecke und, die mit der Kosinus- bzw Sinusfunktion berechnet werden können (siehe Figur und ) Tipp: Wenn Sie überhaupt keinen Lösungsansatz erkennen, sollten Sie zuerst alle Seitenlängen der reiecke und berechnen erechnung der Länge : s gilt: = erechnung der Länge : Für gilt im reieck (siehe Figur ): sin 55 = 9,0 9,0 7,37 = bzw = 7,37 cm δ 55 Figur 9,0 cm erechnung der Länge : Für gilt im reieck (siehe Figur ): cos 69, = 7,3 7,3,57 = bzw =,57 cm Für = folgt damit: = 7,37 cm,57 cm =,8 cm rgebnis: ie Länge beträgt =,8 cm 7,3 cm 69, Figur erechnung des Flächeninhalts des reiecks : Für den Flächeninhalt des reiecks gilt: = erechnung des Flächeninhalts des reiecks : s gilt: = (siehe Formelsammlung) ie Länge = 7,37 cm wurde bereits oben berechnet ie Länge kann im reieck mit der Sinusfunktion berechnet werden (siehe Figur ) s gilt: sin 69, = 7,3 7,3 6,83 = bzw = 6,83 cm amit erhält man: = 6,83 7,37 = 5,7 cm Mathematik-Verlag 06, wwwmatheverlagcom

3 06 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 06: Pflichtbereich erechnung des Flächeninhalts des reiecks : s gilt: = (siehe Formelsammlung) ie beiden Längen = 6,83 cm und =,57 cm wurden bereits oben berechnet amit erhält man: = 6,83,57 = 8,78 cm,57 amit folgt für den Flächeninhalt des reiecks : 6,83 = 5,7 cm 8,78 cm = 6,39 cm Figur 3 rgebnis: er Flächeninhalt des reiecks beträgt = 6,39 cm ufgabe P: Lösungsübersicht: Für den Umfang des reiecks gilt: u = + + a nicht so leicht zu erkennen ist, wie man aus den angegebenen Längen diese drei Strecken berechnen kann, sollte man zunächst mit = 3, cm und = 8, cm im reieck die Länge und den Winkel β berechnen (siehe Figur ) nschließend muss man beachten, dass die Strecke die Strecke des gleichschenkligen reiecks halbiert ann kann man die Strecke mit = M berechnen ie Länge M erhält man im reieck M mit der Sinusfunktion (siehe Figur ) ie Längen und kann man im reieck mit der Strecke und der Sinus- bzw Kosinusfunktion berechnen, wenn man den Winkel α kennt (siehe Figur 3 und ) Weil das Trapez rechtwinklig ist, gilt: α = 90 α (siehe Figur 3) en Winkel α erhält man mit der Summe der Innenwinkel im reieck M Für den Umfang des reiecks gilt: u = + + erechnung der Länge : Zunächst sollte man im reieck mit den angegebenen Längen = 3, cm und = 8, cm die Länge und den Winkel β berechnen (siehe Figur ) Mit dem Satz des Pythagoras erhält man für die Länge : 3, + = 8, 3, = 8, 3, 3, cm 8, cm Figur β = 60,95 = 7,8 cm Für den Winkel β gilt (siehe Figur ): sin β = 8, 3, sin β =,66 Mathematik-Verlag 06, wwwmatheverlagcom 3

4 06 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 06: Pflichtbereich Weil nun das reieck laut ufgabenstellung gleichschenklig ist, wird seine asis von der Strecke halbiert ie Länge M kann im reieck M mit der Sinusfunktion berechnet werden (siehe Figur ) s gilt: M sin,66 = 7,8 7,8 M,88 = M bzw M =,88 cm Mit = M erhält man: = 5,76 cm 7,8 cm,66 erechnung der Längen und : Figur ie Längen und können nun im reieck mit = 5,76 cm und der Sinus- bzw Kosinusfunktion berechnet werden, wenn man den Winkel α kennt (siehe Figur 3) erechnung des Winkels α : Weil das rechtwinklige Trapez bei der cke einen rechten Winkel hat, gilt: α = 90 α en Winkel α erhält man mit der Summe der Innenwinkel im reieck M arin gilt:, α = 80,66 + α = 80,66 α = 68,3 Für α folgt damit: α = 90 68,3 =,66 Mit α =,66 gilt nun im reieck (siehe Figur ): α α M 5,76 cm M 5,76 cm 7,8 cm Figur 3,66 sin,66 = 5,76 5,76,66 7,8 cm,66,3 = bzw =,3 cm Figur ußerdem gilt: cos,66 = 5,76 5,76 5,35 = bzw = 5,35 cm Mit = 5,76 cm, =,3 cm und = 5,35 cm erhält man schließlich für den Umfang des reiecks : u = 5,76 cm +,3 cm + 5,35 cm = 3, cm rgebnis: er Umfang der reiecks beträgt u = 3, cm Mathematik-Verlag 06, wwwmatheverlagcom

5 06 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 06: Pflichtbereich ufgabe P3: Lösungsübersicht: Zur erechnung des Zylindervolumens V Zyl und des Kegelvolumens V Ke benötigt man den Radius r der beiden Grundflächen, die Zylinderhöhe h Zyl und die Kegelhöhe h Ke iese drei Größen können berechnet werden, wenn man die angegebenen Größen in die Mantelformeln von Zylinder und Kegel und in den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kegeldreieck einsetzt (siehe Figur ) erechnung des Zylindervolumens V Zyl und des Kegelvolumens V Ke : s gilt (siehe Formelsammlung): V Zyl = π r h Zyl und V Ke = 3 π r h Ke en Radius r, die Zylinderhöhe h Zyl und die Kegelhöhe h Ke kann man berechnen, indem man die angegebenen Größen M Zyl = M Ke = 30 cm und s = 8,0 cm in die folgenden Formeln einsetzt: (I) M Zyl = π r h Zyl (II) M Ke = π r s (III) h Ke + r = s (siehe Figur, Satz des Pythagoras) insetzen von M Zyl = M Ke = 30 cm und s = 8,0 cm ergibt: (Ia) 30 = π r h Zyl (IIa) 30 = π r 8 (IIIa) h Ke + r = 8 erechnung des Radius r: us Formel (IIa) kann nun der Radius r berechnet werden: 30 = π r 8 :(8π) 6,0 = r bzw r = 6,0 cm erechnung der Zylinderhöhe h Zyl : insetzen von r = 6,0 cm in die Formel (Ia) ergibt: 30 = π 6,0 h Zyl h Ke r d Figur s 30 =,0π h Zyl :(,0π) 9,00 = h Zyl bzw h Zyl = 9,00 cm erechnung der Kegelhöhe h Ke : insetzen von r = 6,0 cm in die Formel (IIIa) ergibt: h Ke + 36, = 3 36, h Ke = 87,88 h Ke = 6,97 cm Mit r = 6,0 cm und h Zyl = 9,00 cm erhält man: V Zyl = 0,7 cm 3 Mit r = 6,0 cm und h Ke = 6,97 cm erhält man: V Ke = 6,89 cm 3 amit ist: V Zyl V Ke = 379,38 cm 3 rgebnis: ie ifferenz der beiden Rauminhalte beträgt 379,38 cm 3 Mathematik-Verlag 06, wwwmatheverlagcom 5

6 06 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 06: Pflichtbereich ufgabe P: Vervollständigter oxplot zur Preisliste der Frauenschuhe: Um den oxplot vervollständigen zu können, muss man noch den Zentralwert, das untere Quartil und das obere Quartil berechnen Mit n = 7 und der Rangliste 30 ; 30 ; 50 ; 60 ; 70 ; 70 ; 80 ; 90 ; 90 ; 00 ; 0 ; 0 ; 0 ; 50 ; 60 ; 80 ; 00 erhält man: Zentralwert: Wegen 7 = 8,5 muss man am 9 Platz der Rangliste nachschauen: z = 90 Unteres Quartil: Wegen 7 Oberes Quartil: Wegen 7 Frauen =,5 muss man am 5 Platz der Rangliste nachschauen: qu = 70 3 =,75 muss man am 3 Platz der Rangliste nachschauen: qo = 0 z q u q o Passende Werte für die Rangliste der Preise der Männerschuhe: Zunächst muss man im oxplot die charakteristischen Werte x min, x max, z, q u und q o ablesen z Männer x min q u q o x max Man erhält: x min = 30, x max = 70, z = 70, q u = 50 und q o = 0 Um damit die Rangliste der Preise der Männerschuhe ergänzen zu können, muss man wissen, an welchen Rängen das untere Quartil q u, der Zentralwert z und das obere Quartil q o stehen Mit n = 3 erhält man: Zentralwert z: 3 = 6,5 lso muss z = 70 am 7 Platz der Rangliste stehen Unteres Quartil q u : 3 = 3,5 lso muss qu = 50 am Platz der Rangliste stehen Oberes Quartil q o : 3 rgebnis: 3 = 9,75 lso muss qo = 0 am 0 Platz der Rangliste stehen Rang Preis Für den Rang 3 passen alle Werte zwischen 30 und 50 Für die Ränge 8 und 9 kommen Werte zwischen 70 und 0 in Frage, wobei der Preis des 9 Rangs nicht kleiner sein darf als der Preis des 8 Rangs Mathematik-Verlag 06, wwwmatheverlagcom 6