Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Transkript

1 1. Geschichtliches Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Die Trigonometrie ein Teilgebiet der Geometrie, welches sich mit Dreiecken beschäftigt. Sie entstand vor allem aus der frühen stronomie 1, hat aber neben der Himmelsvermessung auch zahlreiche irdische nwendungen gefunden. Klasse 4e 2006/U.Hauser bb. 1: Winkelmessung mit dem Jakobstab Warum Dreiecke? Dreiecke sind in der Geometrie besonders wichtig, da beliebige durch Strecken oder Geraden begrenzte ebene Figuren wie Rechtecke und allgemeine Vielecke, in Dreiecke zerlegt werden können. Daher können Methoden der Dreiecksgeometrie zur Lösung einer Vielzahl komplexer geometrischer Fragestellungen angewandt werden, z.. bei "Vermessungsaufgaben". bb 2: Jakobstab bb 3: Claudius Ptolemäus 1 2. Repetition Die Steigung einer Strecke sagt aus, wie weit man [vertikal] gestiegen/gefallen ist, wenn man eine bestimmte [horizontale] Strecke zurückgelegt hat: Steigung m = Höhendifferenz horizontale Entfernung eispiel: 40 m 150 m 100 m 1,25 km Die Steigung beträgt hier : m = oder in Prozent: 40% 40 m = 0,4 Die Steigung beträgt hier : m = = 100 m oder in Prozent: 3. Der Tangens Uns interessiert nun die Frage, wie die Steigung mit dem Neigungswinkel zusammenhängt : 100 m = = 40 m 60 m 100 m 100 m m = = m = = 80 m Je grösser die Steigung m, desto der Neigungswinkel und umgekehrt. 1 Claudius Ptolemäus (um 140 n. Chr.) Seite 1

2 Wir können also sagen, dass zu einer Steigung eindeutig auch ein Neigungswinkel gehört. Klasse 4e 2006/U.Hauser Wir werden uns aber nicht nur mit der Steigung befassen, sondern allgemein mit rechtwinkligen Dreiecken und deren Winkel. Da es sich bei unserem Steigungsdreieck immer um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann man die Steigung (also das Streckenverhältnis) nun auch verallgemeinern: β Dabei nennen wir eine welche einem Winkel anliegt. Eine welche einem Winkel gegenüberliegt, heisst. Da wir diese Verhältnis oft brauchen geben wir ihm einen Namen, nämlich : Tangens = Im rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90 ist: C tan = b a tanβ = β Mit dem Taschenrechner : Winkel Tangens Tangens Winkel eispiel 1: Seite 2

3 Gegeben : Dreieck C mit = 35,β = 55 und b=6cm. Gesucht : Seite a und c. eispiel 2: Gegeben : Dreieck C mit a=3cm, b=4cm und c=5cm. Gesucht : Winkel und β. 4. Der Sinus Ein weiteres Verhältnis im rechtwinkligen Dreieck ist : Sinus = Im rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90 ist: C sin = sinβ = b c β a Mit dem Taschenrechner : Winkel Sinus Sinus Winkel SIN(50) = 2nd SIN (0.5) = Seite 3

4 eispiel 1: Gegeben : Dreieck C mit = 40 und a=3cm. Gesucht : Seite c. eispiel 2: Gegeben : Dreieck C mit a=4cm und h c =3cm. Gesucht : Winkel β und Seite c. 5. Der Cosinus Das letzte Verhältnis im rechtwinkligen Dreieck, welches wir betrachten heisst: Cosinus = Im rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90 ist: C cos = cosβ = b c β a eispiel: Gegeben : Dreieck C mit b=4cm und w =4.5cm. Gesucht : Winkel und Seite a. Seite 4

5 6. nwendungen der trigonometrischen Funktionen 6.1 erechnen der aumhöhe Man kann die Streckenlänge a=20m und den Winkel messen. Welche Höhe besitzt dann der aum? 6.2 erechnen der Flussbreite estimme die reite des Flusses zwischen und : Seite 5

6 7. Das ogenmass Gradmass ogenmass ogenmass Gradmass 8. Die Funktionsgraphen von Sinus und Cosinus Graph von y=sinx : GRD RD arc 2π 1.5π π 0.5π π π 1. 5π 2 π sinx Seite 6

7 Graph von y=cosx : GRD RD arc 2π 1.5π π 0.5π π π 1. 5π 2 π sinx Übungen: latt Nr. 3, 4, 5, 6 9. eziehungen zwischen den Winkelfunktionen eweise folgende eziehungen: a) trigonometrischer Pythagoras! (sin) + (cos) = 1 eweis: 2 2 sin b) tan = cos eweis: c) sin = cos( 90 ) cos = sin( 90 ) Seite 7

8 10. Die Flächenformel ehauptung: Mit zwei Seiten b und c und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel lässt sich der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks direkt berechnen. C Herleitung der Flächenformel: (stumpfwinkliges Dreieck) (spitzwinkliges Dreieck) Seite 8