Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus. Florian Borges, Traunstein VORANSICHT

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1 Reihe 9 S Verlauf Material Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus Florian Borges, Traunstein y 5 6 R ϕ( t ) 7 0 Die Sinusfunktion entsteht durch Projektion eines rotierenden Zeigers auf die y-achse. 0 Klasse: 9 und 0 Dauer: 6 Stunden Inhalt: Steigungsdreieck; Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck; trigonometrischer Pythagoras (sin α + cos α = ); die Winkelfunktionen sin(x), cos(x) und tan(x) (Periodizität; Nullstellen; y-achsen-abschnitt); Sinus- und Kosinussatz für das nicht rechtwinklige Dreieck; Additionstheoreme; Aufgaben aus der Vermessungstechnik Ihr Plus: Die Schüler leiten die Sinus- und Kosinussätze selbst her t Die Winkelbeziehungen am rechtwinkligen Dreieck kennen Ihre Schüler schon. Bringen Sie eine Küchenuhr in den Unterricht mit. Führen Sie die Sinus- bzw. Kosinusfunktion als Projektion des gegen den Uhrzeigersinn rotierenden Uhrzeigers auf die y- bzw. x-achse ein. So erweitern Sie die Kenntnisse Ihrer Schüler mithilfe eines anwendungsorientierten Beispiels. Den Sinus- und Kosinussatz für das nicht rechtwinklige Dreieck leiten die Schüler eigenständig her. Führen Sie die Additionstheoreme mithilfe einer Zeichnung ein. Ein Zuordnungspuzzle und Aufgaben aus der Vermessungstechnik runden den Beitrag ab. 7 RAAbits Mathematik September 0

2 Reihe 9 S Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Führen Sie den Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck ein (M ). Wenn Sie dieses als Steigungsdreieck interpretieren (M ), so ergibt sich, dass der Tangens des Winkels zwischen der Verlängerung der Hypotenuse und der x-achse gerade der Steigung m der Geraden entspricht (M ). Auch der trigonometrische Pythagoras (sin α + cos α = ) fällt hierbei ab (M ). Stellen Sie die Winkelfunktionen am Einheitskreis dar und erweitern Sie so deren Begrifflichkeiten auf Winkel α > 90 (M ). Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion entstehen aus der Projektion einer Drehbewegung (M 5). Den Sinus- und Kosinussatz leiten die Schüler selbstständig her. Sie gehen dabei nach einer Strategie vor, die sich schon häuig bewährt hat: Sie zerlegen das komplexe Problem in einfache Teilprobleme, die sie mit bekannten Mitteln lösen können. Hier zeichnen sie dazu im allgemeinen Dreieck eine Höhe ein. Die Beziehungen in den rechtwinkligen Teildreiecken liefern die Zusammenhänge (M 6). Zur Veranschaulichung der Additionstheoreme dient eine einfache Zeichnung (M 7). So werden die Gleichungen schnell deutlich. Ein Zuordnungspuzzle (M 8) verdeutlicht den Einluss von Parametern auf die trigonometrischen Funktionen. Als Anwendung insbesondere der Sinus- und Kosinussätze bieten sich Vermessungsaufgaben an (M 9). Anregungen hierzu liefert RAAbits IV/A Einzelstunde 68. Die Einzelstunde illustriert, wie sich mithilfe der Sinus- und Kosinussätze unzugängliche Größen leicht bestimmen lassen. Nutzen Sie diesen Bezug, um das ansonsten recht trockene Thema anwendungsorientiert zu vermitteln. Vorkenntnisse Die Schüler kennen den Satz des Pythagoras und den Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck. Vorbereitung und Ablauf der Arbeit an der Lerntheke Sie kopieren die Materialien M M 8 in Klassenstärke. Ein Exemplar laminieren Sie jeweils. Dieses und die Kopien legen Sie stapelweise auf der Fensterbank aus. Die Schüler bearbeiten die Materialien einzeln in Stillarbeit. Bei Bedarf tauschen sie sich mit ihrem Banknachbarn aus. Anschließend besprechen Sie die Lösungen im Plenum. Eventuell tragen hierzu einzelne Schüler ihre Lösungen vor. Ziele Die Schüler verstehen Steigungsangaben mit Steigungsfaktor (auch in Prozent), kennen die für alle reellen Zahlen deinierte Sinus- und die Kosinusfunktion und ihre Graphen, können den Einluss von Parametern auf den Verlauf der Graphen richtig beschreiben, wenden den Sinus- und Kosinussatz bei Berechnungen am allgemeinen Dreieck an, wissen die Additionstheoreme auswendig und bewältigen Triangulationsaufgaben der Vermessungstechnik nicht nur zeichnerisch, sondern auch rechnerisch. 7 RAAbits Mathematik September 0

3 Reihe 9 S Verlauf Material Auf einen Blick Einstieg: Die Winkelbeziehungen am rechtwinkligen Dreieck wiederholen (Klasse 9) Material Thema Stunde M 75 % Steigung das Steigungsdreieck auswerten. Das Steigungsdreieck richtig interpretieren M Sinus, Kosinus, Tangens weißt du ihre Deinition noch? Die Deinition von Sinus, Kosinus und Tangens wiederholen HA M Sinus, Kosinus und Tangens wiederholt Grundlagen! Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchführen Sinus und Kosinusfunktion entstehen aus der Projektion einer Kreisbewegung (Kl. 0) Material Thema Stunde M M 5 Sinus und Kosinus am Einheitskreis Die Winkelfunktionen am Einheitskreis darstellen; elementare Werte der Winkelfunktionen auswendig lernen Sinus und Kosinus als Funktionen von x Die Sinus- und Kosinusfunktion zeichnen; Vergleich der Sinusund der Kosinusfunktion (Periode, Schnittpunkte mit den Achsen) Den Sinus- und Kosinussatz und die Additionstheoreme kennenlernen Material Thema Stunde M 6 Das nicht rechtwinklige Dreieck Sinus- und Kosinussatz. Herleitung des Sinus- und Kosinussatzes; Satz von Pythagoras M 7 Sinus und Kosinus verknüpft die Additionstheoreme 5. Additionstheoreme; Zusammenfassung aller Formeln M 8 Was passt zusammen? Ein Zuordnungspuzzle Dem Schaubild einer Funktion die Funktionsgleichung zuordnen HA.. Lernerfolgskontrolle Material Thema Stunde M 9 (LEK) Aufgaben aus der Praxis testen Sie Ihr Wissen! Anwendungsaufgaben (auch aus der Vermessungstechnik) 6. HA Hausaufgabe 7 RAAbits Mathematik September 0

4 Reihe 9 Verlauf Material S M 75 % Steigung das Steigungsdreieck auswerten Das Schild besagt, dass die Straße eine Steigung von 75 % hat. Das bedeutet, dass sie auf einer Länge von 00 m um 75 m ansteigt. 75 m 0,75 75 % 00 m = = In der Mathematik beschreibst du Steigungen mithilfe eines Steigungsdreiecks. Was das ist, erfährst du hier. Das Steigungsdreieck Bergauf im ersten Gang Das Schaubild zeigt eine Gerade mit der Gleichung y = 0,75x +. Sie hat die Steigung 0,75 oder 75 %. Das bedeutet, dass bei Vergrößerung des x-wertes um der y-wert um jeweils 0,75 zunimmt. Wenn du im Schaubild um eine Einheit nach rechts gehst, so musst du um 0,75 Einheiten nach oben gehen, um auf dem Graphen der Funktion zu bleiben. Foto: Zoonar Aufgabe Um wie viel vergrößert sich der y-wert, wenn du den x-wert um [um 8] vergrößerst? Die Steigungsdreiecke im Schaubild sind zueinander ähnlich. Der Neigungswinkel α der Geraden gegen die positive x-achse beträgt 6,9. Er beschreibt die Steigung ebenso wie der Wert 0,75. Alle Steigungsdreiecke sind zueinander ähnlich, die Verhältnisse entsprechender Seiten und die Innenwinkel (insbesondere α) also gleich. 7 RAAbits Mathematik September 0

5 Reihe 9 Verlauf Material S M Sinus, Kosinus, Tangens weißt du ihre Deinition noch? Merke: Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck In einem rechtwinkligen Dreieck mit Innenwinkel α gilt: Gegenkathete a sin α= = Hypotenuse c Ankathete b cos α= = Hypotenuse c Gegenkathete a tan α= = Ankathete b Sinus von α Kosinus von α Tangens von α Bemerkung: Die beiden Schreibweisen sin(α) und sin α sind gleichbedeutend. Im Steigungsdreieck aus unserem Beispiel (M ) ist also: sin α = = 0,6 5 cos α = = 0,8 5 tan α = = 0,75 0 C 8 } AC= 0 6 AE= 5 E 6 AG=.5 G 0.75 } } A F D B Merke Der Tangens liefert gerade die Steigung m der Geraden mit der Gleichung y = mx + t. a tan α= = m b 7 RAAbits Mathematik September 0

6 Reihe 9 Verlauf Material S M Sinus, Kosinus und Tangens wiederholt Grundlagen! Hier übt ihr den Umgang mit Sinus, Kosinus und Tangens. Bildet Gruppen von maximal vier Schülern. Setzt euch zusammen an einen großen Tisch. Jede Gruppe erhält eine Aufgabenkarte und bearbeitet diese. Ihr habt 5 Minuten Zeit. Erstellt gemeinsam ein Lösungsblatt. Jeweils einer aus der Gruppe trägt die Ergebnisse vor.. Ergänzt die Tabelle so weit wie möglich. Taschenrechner oder Formelsammlung helfen euch weiter. α sin α cos α tan α Berechnet. Rundet auf Stellen hinter dem Komma. a) sin (0,5 ) b) cos ( ) c) tan (89 ) Für Experten d) sin ( 6 π ) Taschenrechner auf Radiant stellen!. Für welche Winkel α ist a) sin α = 0,? b) cos α = 0,99? c) tan α = 0,5? d) tan α =? 6. Welchen Winkel schließen die Gerade mit der Gleichung y = x und die positive x-achse ein?. Zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und dem Innenwinkel α. Berechnet allgemein den (überraschenden!) Wert des Terms (sin α) + (cos α). Übertragt euer Ergebnis unter der Überschrift Trigonometrischer Pythagoras in eure Hefte. 5. Begründet folgende Gleichungen für ein rechtwinkliges Dreieck (γ = 90 ). a) sin (90 α) = cos α b) cos (90 α) = sin α 7. Welche Funktionsgleichung hat die Gerade durch (0 5), die mit der positiven x-achse einen Winkel von 0 einschließt? 7 RAAbits Mathematik September 0

7 Reihe 9 Verlauf Material S 5 M 5 Sinus und Kosinus als Funktionen von x Die Zeichnung zeigt eine Kreisbewegung. Skizzieren Sie durch Projektion den Verlauf der Sinus- und der Kosinuskurve. Stellen Sie sich ein Rad vor, das sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Betrachten Sie den Weg des Ventils einmal von links und einmal von oben α α α Werkzeuge zum Zeichnen Foto: Pixelio Aufgaben. Betrachten Sie die Funktionsgraphen der Sinus- und der Kosinusfunktion. Beschreiben Sie sie.. An welchen Stellen schneiden die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion die x-achse?. An welchen Stellen schneiden die Funktionen die y-achse?. Welchen y-wert nehmen die Funktionen maximal an? Zur Selbstkontrolle 7 RAAbits Mathematik September 0

8 Reihe 9 Verlauf Material S 7 M 7 Sinus und Kosinus verknüpft die Additionstheoreme Zeichnen Sie ein Rechteck, das möglichst breiter als hoch ist. Verbinden Sie einen Punkt P der oberen Seite (rechts von der Mitte, vgl. Skizze) geradlinig mit der linken, unteren Ecke A. Fällen Sie in diesem Punkt das Lot auf die Strecke PA. Das Lot schneidet das Rechteck erneut im Punkt Q. Die Verbindungsstrecke AQ habe die Maßeinheit (so definieren wir unsere Einheit). Die Winkel bezeichnen Sie wie in der Abbildung mit α und β. Aufgaben + 6. Drücken Sie die Längen aller vorkommenden Strecken mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus aus. Dabei gelten:. Fertigen Sie abermals eine solche Zeichnung an. Bezeichnen Sie die Winkel aber diesmal wie nebenstehend. Drücken Sie auch hier die Längen aller vorkommenden Strecken mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus aus. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β Dabei gelten: sin (α β) = sin α cos β cos α sin β cos (α β) = cos α cos β + sin α sin β A P Q Zusammenfassung: Sinus- und Kosinussätze Im Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Winkeln α, β und γ gelten folgende Beziehungen: a b c = = = r, r Radius sin α sin β sin γ Zudem gelten die Additionstheoreme: a = b + c b c cos α b = a + c a c cos β c = a + b a b cos γ sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ± sin α sin β 7 RAAbits Mathematik September 0

9 Reihe 9 Verlauf Material S 9 M 9 Aufgaben aus der Praxis testen Sie Ihr Wissen! Aufgaben. Berechnen Sie den Winkel α, unter dem sich die Geraden mit den Gleichungen schneiden. y = x und y = x Zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem. Vergleichen Sie das rechnerische Ergebnis mit Ihrer Zeichnung.. Für welche x gilt cos(x) = sin(x)? Führen Sie eine Probe durch.. In einem Dreieck ABC mit Innenwinkel α = 5 sind außerdem a = 6 cm und c = 7 cm gegeben. Fertigen Sie eine Skizze des Dreiecks an. Berechnen Sie die fehlende Seitenlänge sowie die beiden anderen Winkel.. Sie sitzen in einem Ballon B und befinden sich in der Höhe von BF = 00 m über einem See. Der Winkel δ = FBA beträgt 7 und der Winkel FBC (= β + δ) beträgt 5. Ermitteln Sie die Länge der Strecke CA. Die Skizze ist nicht maßstabsgerecht. 5. Die Breite b einer kurvenlosen, überall gleich breiten ebenen Straße soll von der gegenüberliegenden Seite eines Zaunes aus vermessen werden (vgl. Skizze). Geben Sie ein Verfahren an, wie man das Problem zeichnerisch lösen kann. Fertigen Sie eine Skizze an. Begründen Sie. Für Experten Lösen Sie das Problem rechnerisch. b 7 RAAbits Mathematik September 0

10 Reihe 9 Verlauf Material S Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 75 % Steigung das Steigungsdreieck auswerten y( x = ) = 0,75 = à Vergrößert man den x-wert um Einheiten, so nimmt der y-wert um Einheiten zu. y( x = 8) = 0, 75 8 = 6 à Vergrößert man den x-wert um 8 Einheiten, so nimmt der y-wert um 6 Einheiten zu. M M Sinus, Kosinus, Tangens weißt du ihre Deinition noch? Dieses Material lesen sich die Schüler in Stillarbeit oder als Hausaufgabe durch. Sinus, Kosinus und Tangens wiederholt Grundlagen! Aus jeder Gruppe stellt ein Schüler seine Lösung im Plenum vor. Geben Sie den Schülern die Möglichkeit, Fragen zu stellen.. α sin α cos α tan α a) 0,0087 b) 0,978 c) 57, ,9 d) 0,5 (Experten) Herleitung des trigonometrischen Pythagoras : Nach Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck: a + b = c und daher: a b a + b c sin α + cos α = + = = = c c c c a) 5,79 b) 8,096 c) 6,565 d) 5 7 RAAbits Mathematik September 0

11 Ben im rechtwinkligen Dreieck I htwinkligen Dreieck mit Innenwinkel α gilt: Gegenkathete sin α = = Hypotenuse cos α = Ankathete = Hypotenuse Gegenkathete tan α = = Ankathete a c b c a b S on α Kosinus von α Tangens von α S osinusfunktion entstehen durch Projektion einer Kreisbewegung auf die Achsen E Denkt man sich den Zeiger einer rückwärtslaufenden Uhr als rotierende Strecke mit Länge, so wandert ihr äußerer Endpunkt gegen den Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis herum. Sie können den Zeiger als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ansehen. Die Katheten dieses Dreiecks sind gleich dem Sinus und Kosinus des Winkels α. D S α sin α Die Kosinusfunktion α cos α Beziehungen im nicht rechtwinkligen Dreieck Sinus- und Kosinussätze Im allgemeinen Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Winkeln α, β und γ gelten folgende Beziehungen: a b c = = = r, r Radius Sinussätze sin α sin β sin γ a = b + c b c cos α b = a + c a c cos β c = a + b a b cos γ Zudem gelten die Additionstheoreme: sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β Kosinussätze