O A B. Ableitung der Winkelfunktionen

Transkript

1 Ableitung der Winkelfunktionen Das Verständnis der Herleitung der Ableitung der Winkelfunktionen sett einiges an Mittelstufenkenntnissen voraus; das meiste davon wird häufig im Unterricht geschlabbert oder nur unureichend behandelt, und war aus Zeitgründen Folgende Punkte sind wichtig: Bogenmaß statt Winkelmaß Definition der Winkelfunktionen (sin, cos, tan) 3 Additionstheoreme Besonders der lette Punkt wird meistens geschlabbert Bei den Additionstheoremen geht es um folgende Formeln: sin(α + β) sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) cos(α + β) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) Man findet diese Formeln in jeder besseren Formelsammlung Im folgenden sollen diese Formeln hergleitet werden für den Fall, daß die Winkel α und β sowie auch ihre Summe α + β wischen 0 und 90 liegen In diesem Falle können wir auf die schlichten Definitionen sinus Gegenkathete Hypotenuse und cosinus Ankathete Hypotenuse urückgreifen Die Formeln sollen anhand einer Zeichnung hergeleitet werden: Die Strecke soll senkrecht u stehen Dann kann man sich leicht (?) davon übereugen, daß der Winkel α oben beim Punkt E noch einmal auftaucht Der Viertelkreis habe den Radius r (Einheitskreis), dann ist offenbar C und sin(β) OE O A B cos(β) OE, denn OE ist der Radius, also

2 Als nächstes kann man sich jett die Längen der vier farbig geeigten Strecken über die Sinus- bw Cosinusdefinition herleiten Beachte Dreieck OBD: rot und grün (bereits oben geeigt: cos(β) ) sin(α) BD BD sin(α) sin(α) cos(β) cos(α) OB OB cos(α) cos(α) cos(β) Beachte Dreieck ECD: blau und gelb (bereits oben geeigt: sin(β) ) sin(α) CD CD sin(α) sin(α) sin(β) cos(α) CE CE cos(α) cos(α) sin(β) Aus diesen Einelstrecken können wir nun die entscheidenden Strecken usammenseten: () sin(α + β) AE AC + CE BD + CE sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) () cos(α + β) OA OB AB OB CD cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) fertig! Jett müßte man diesen Beweis verallgemeinern für die anderen Fälle, daß um Beispiel α + β über 90 groß ist, oder daß ein Winkel negativ ist, oder einer oder sogar beide über 90 groß sind usw Diese Verallgemeinerungen sind natürlich alle möglich, sie gehen nach demselben Schema, an dieser Stelle wollen wir uns damit begnügen, daß diese hier nicht geeigten Verallgemeinerungen des Beweises alle möglich sind Man kann mit diesen beiden Formeln etwas jonglieren, um weitere Beiehungen heruleiten Als erstes ersett man in () und () β durch β Dabei muß man beachten, daß der cos eine gerade Funktion ist, dh sein Voreichen nicht wechselt, denn es gilt cos( β) cos(β); dagegen ist der sin eine ungerade Funktion, dh er ändert sein Voreichen, denn es gilt sin( β) sin(β) Beides kann man sich am Einheitskreis klar machen Wenn man diese Ersetungen macht, erhält man statt () und (): (3) sin(α β) sin(α) cos(β) cos(α) sin(β) (4) cos(α β) cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)

3 Man kann jett diese Gleichungen nach Bedarf kombinieren; wir brauchen für später () (3): sin(α + β) sin(α β) sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) (sin(α) cos(β) cos(α) sin(β)), also (*) sin(α + β) sin(α β) cos(α) sin(β) Soweit die Sache mit den Additionstheoremen Zur Erinnerung: f (a) lim f(x) f(a) Also müssen wir jett uerst den Differenenquotienten bilden und anschließend herausfinden, was passiert, wenn wir x gegen a streben lassen Der Differenenquotient für die Sinusfunktion lautet Der Zähler soll nun mit Hilfe der Formel (*) umgeformt werden Dau seten wir x α + β und a α β Diese beiden Gleichungen kann man durch Addieren und Subtrahieren nach α und β auflösen; man erhält α x + a Wenn man jett in (*) α und β durch x und a ersett, erhält man (**) cos x + a und β sin Damit kann man nun den Zähler im Differenenquotienten erseten: cos x + a cos x + a cos x + a sin sin sin An dieser Stelle sollten wir uns daran erinnern, daß wir um Schluß x gegen a streben lassen ; dann erkennen wir aber jett schon, daß der erste Faktor des Produktes gegen cos(a) strebt Heikel ist allerdings der weite Faktor; denn sowohl der Zähler als auch der Nenner gehen gegen Null, und es nicht so leicht einusehen, wogegen dann der Bruch strebt Im letten Schritt soll geeigt werden, daß der Bruch im Falle, daß x gegen a strebt, immer mehr auf den Wert uwandert

4 Um mir im folgenden Schreibarbeit u ersparen, sete ich als Abkürung Dann habe ich den Bruch sin() für kleine u untersuchen (Genau genommen werden wir gegen 0 streben lassen) Dabei muß jett beachtet werden, daß die Argumente der Winkelfunktionen als Bogenmaß eingegeben werden müssen Wieder der Einheitskreis: Drei Teilflächen sind jett für uns entscheidend: Dreieck OAC Wegen OA cos() und AC sin() beträgt C D seine Fläche A cos() sin() Dreieck OBD Nach Strahlensat gilt: O A B AC OA BD OB BD OB AC OA Also folgt gan schlicht BD sin() cos() ( tan()) Also hat das Dreieck OBD die Fläche A 3 sin() cos() Zwischen diesen beiden Flächen liegt der Größe nach 3 Der Kreissektor OBC Für seine Fläche gilt A π r ϕ 360 π ϕ 360 (Denn es ist r ) Dabei ist ϕ derjenige Winkel in normalem Winkelgrad gemessen, der u dem Winkel gehört Nun wird in Bogenmaß gemessen, dh ist genau so lang wie der Kreisbogen BC, sofern der Kreis den Radius r hat (Ansonsten muß man diesen Kreisbogen noch durch r teilen) Nun können wir diesen Kreisbogen aber auch durch ϕ ausdrücken: es gilt also BC[ π r ϕ 360 π ϕ 80 Also folgt A Diese einfache Formel für die Fläche eines Kreissektors ist ein weiteres Argument dafür, Winkel durch Bogenmaß ausudrücken! Nun gilt, wie man deutlich an der Zeichnung sieht: A A A 3

5 Die erste dieser beiden verketteten Ungleichungen für die drei Flächen liefert cos() sin() sin() Die weite dieser beiden Ungleichungen liefert sin() cos() cos() sin() cos() Diese beiden Ergebnisse kann man wie folgt usammenfassen: cos() sin() Nun können wir ablesen, was mit dem Bruch sin() cos() passiert, wenn wir auf 0 ustreben lassen Denn für 0 ergibt der cos den Wert, also muß, da die linke und die rechte Seite demselben Grenwert ustreben und der Bruch immer dawischen liegt, der Bruch aus gegen streben Da das so wichtig ist, schreibe ich Damit bin ich jett fertig, denn wir erhalten lim lim cos cos(a) lim 0 0 x + a lim 0 0 sin() sin() sin cos(a) cos(a) sin cos(a) lim Die Ableitung des cos macht man über die Verwandtschaft mit dem sin: cos(α) sin(90 α) bw cos() sin( π ) (Kann man sich am besten am rechtwinkligen Dreieck klarmachen Dann folgt nach der Kettenregel: [cos()] [sin( π )] cos(π ) ( ) sin() Und der Tangens: [tan()] sin() ' cos() sin'() cos() sin() cos'() cos () cos() cos() sin() ( sin()) cos () cos () + sin () cos () cos () bw + tan () Man kann also die Ableitung des Tangens auf wei Arten angeben Bei der ersten benutt man die Gleichung sin (x) + cos (x), die in Verbindung mit dem Einheitskreis direkt aus dem Sat des Pythagoras folgt