2. Flächenträgheitsmomente

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1 . Flächenträgheitsmomente.1 Definitionen. Zusammengesette Querschnitte.3 Hauptachsen Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-1

2 .1 Definitionen Flächenträgheitsmomente: Die ur Berechnung der Spannungen eingeführten Integrale I y = d, I = y d, I y = y d heißen Flächenträgheitsmomente oder Flächenmomente weiter Ordnung. Flächenträgheitsmomente sind geometrische Kennwerte des Querschnitts. Die Flächenträgheitsmomente I y und I werden als axiale Flächenträgheitsmomente beeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-

3 .1 Definitionen Das Flächenträgheitsmoment I y wird als Deviationsmoment beeichnet. Die axialen Flächenträgheitsmomente sind immer positiv. Das Deviationsmoment kann positiv, negativ oder null sein. Das Deviationsmoment ist null, wenn eine der chsen eine Symmetrieachse ist. y S d d y -y y d+( y) d=0 Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-3

4 .1 Definitionen Trägheitsradien: Die Größen i y = I y, i = I haben die Einheit einer Länge. Sie werden als Trägheitsradien beeichnet. Mit den Trägheitsradien gilt: I y =i y, I =i Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-4

5 .1 Definitionen Beispiel: Rechteckquerschnitt Mit d = b d folgt: b I y = =b[ 3 d= h / 3 ] h / h / h / b d =b( h3 4 + h3 4 ) = 1 1 b h3 y d h Vertauschen von b und h ergibt: I = 1 1 b3 h us der Symmetrie folgt: I y =0 d Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-5

6 .1 Definitionen Mit = b h gilt für die Trägheitsradien: i y = b h3 1 b h = h 3, i = b3 h 1 b h = b 3 Beispiel: Kreisquerschnitt Wegen der Rotationssymmetrie sind die Flächenträgheitsmomente für alle chsen gleich: y r R I y =I = 1 ( I y +I )= 1 ( +y )d d dr Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-6

7 .1 Definitionen Mit +y =r und d= π r dr folgt: R ( +y )d= 0 R r ( π r )dr= π 0 r 3 dr= 1 π R4 Damit gilt: I y =I = 1 4 π R4 Mit =π R folgt für die Trägheitsradien: i y =i = π R4 4 π R = R I y=i = 1 4 R Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-7

8 .1 Definitionen Beispiel: Kreisring Die Beiehungen für den Kreisring lassen sich durch Bilden der Differenen aus den Beiehungen für den Kreis herleiten: I y =I = 1 4 π (R a 4 R i4 ) Mit dem mittleren Radius R a R m = 1 ( R a +R i ) y R i und der Wandstärke t=r a R i folgt: R a 4 R i 4 =(R a +R i ) ( R a R i ) =( R a + R i ) (R a +R i ) (R a R i )=(R a +R i ) R m t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-8

9 .1 Definitionen Mit R a =R m +t / und R i =R m t / folgt: R a +R i =R m Damit ist geeigt: ( t ) 1+ +R R m m ( t ) 1 = R R m m ( t ) 1+ 4 R m R a 4 R i 4 =4 R m 3 t ( 1+ t 4 R m ) I y=i =π R 3 ( m t 1+ t ) 4 R m Für dünnwandige Kreisringe ( t R m ) gilt die Näherung: I y =I π R m 3 t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-9

10 . Zusammengesette Querschnitte ufgabenstellung: Für einfache Flächen sind die Flächenträgheitsmomente tabelliert. Gesucht sind die Flächenträgheitsmomente für einen Querschnitt, der aus Teilflächen usammengesett ist, deren Flächenträgheitsmomente bekannt sind. Lösungsweg: Es gilt: I y = d= i d= I yi I = y d= i y d= I i Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-10

11 . Zusammengesette Querschnitte Die Flächenträgheitsmomente des usammengesetten Querschnitts sind die Summen der Flächenträgheitsmomente der Teilflächen. S 3 3 Dau werden die Flächenträgheitsmomente der Teilflächen beüglich dem gemeinsamen Flächenschwerpunkt benötigt. y S S 1 Die tabellierten Werte beiehen sich auf die Schwerpunkte der Teilflächen. S 1 Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-11

12 . Zusammengesette Querschnitte Parallelverschiebung des Koordinatensystems: Gegeben: y S B Flächenträgheitsmomente IY, I Z und I YZ beüglich dem Koordinatensystem SYZ y Koordinaten ys und S des Schwerpunkts S im Koordinatensystem By Gesucht: Y S S Flächenträgheitsmomente Iy, I und I y beüglich dem in den Punkt B parallel verschobenen Koordinatensystem By Z Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-1

13 . Zusammengesette Querschnitte Mit y=y +y S, =Z + s gilt: I y = = I = d= Z d+ S y d= (Z + S ) d= ( Z + Z S + S ) d Z d+ S (Y +y S ) d=i Z +y S d=i Y + S I y = y d= (Y +y S ) (Z + S ) d=i YZ y S S Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-13

14 . Zusammengesette Querschnitte Ergebnis (Sat von Steiner): I y = I Y + S I = I Z + y S I y = I YZ y S S Dabei sind y S und S die Koordinaten des Flächenschwerpunkts der Teilfläche im gemeinsamen Koordinatensystem. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-14

15 . Zusammengesette Querschnitte Beispiel: I-Träger Der gemeinsame Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen. b S 1 t Oberer Gurt: 1 =b t I Y 1 = 1 1 b t 3, I Z 1 = 1 1 b3 t y S = S d h y S 1 =0, S 1 = ( h + t ) S 3 t y S 1 1 =0, S 1 1 = ( h + t ) b t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-15

16 . Zusammengesette Querschnitte I y 1 = b t (h + h t +t )bt = h b t ( t h +4 t ) h, I = b3 t 1 1 Steg: =h d, y S = S =0 I Y = d h3 1 =I y, I Z = d 3 h 1 =I Unterer Gurt: 3 = 1 =b t, y S 3 =0, S 3 = h + t I Y 3 =I Y 1, I Z 3 =I Z 1 I y 3 =I y1 = h b t ( t h +4 t ) h, I =I = b3 t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-16

17 . Zusammengesette Querschnitte Gesamt: I y =I y 1 +I y +I y 3 = h b t 6 ( 3+6 t h +4 t h ) + d h3 1 I =I 1 + I +I 3 = b3 t 6 + d 3 h 1 = b3 h 1 ( t h + d 3 b 3 ) Vereinfachung für dünnwandige Querschnitte: t h, d b I y = h b t + d h3 1, I = b3 t 6 Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-17

18 .3 Hauptachsen Drehung des Koordinatensystems: Gegeben: Flächenträgheitsmomente Iy, I und I y beüglich dem Koordinatensystem Sy. Gesucht: y ϕ S Flächenträgheitsmomente Iη, I ζ und I ηζ im Koordinatensystem Sηζ, das gegenüber dem Koordinatensystem Sy um den Winkel ϕ gedreht ist. η ζ Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-18

19 .3 Hauptachsen Koordinaten von Punkt P: y=r cos(α), =r sin(α) η=r cos(β), ζ=r sin(β) y ϕ β α r Mit β = α ϕ folgt: η=r cos(α ϕ)=r (cos(α)cos(ϕ)+sin(α)sin(ϕ)) =y cos(ϕ)+ sin(ϕ) ζ=r sin(α ϕ)=r (sin(α)cos(ϕ) cos(α)sin(ϕ)) = cos(ϕ) y sin(ϕ) η P ζ Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-19

20 .3 Hauptachsen Damit berechnen sich die Integranden u η =(y cos(ϕ)+ sin(ϕ) ) =y cos (ϕ)+ y sin(ϕ)cos(ϕ)+ sin (ϕ) ζ =( cos(ϕ) y sin(ϕ)) = cos (ϕ) y sin(ϕ)cos(ϕ)+y sin (ϕ) ηζ=(y cos(ϕ)+ sin(ϕ) ) ( cos(ϕ) y sin(ϕ) ) =( y )sin(ϕ)cos(ϕ)+y (cos (ϕ) sin (ϕ)) Trigonometrische Beiehungen: sin(ϕ)cos(ϕ)=sin( ϕ), cos (ϕ) sin (ϕ)=cos( ϕ) sin (ϕ)= 1 (1 cos(ϕ)), cos (ϕ)= 1 (1+cos(ϕ)) Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-0

21 .3 Hauptachsen Mit den angegebenen trigonometrischen Beiehungen folgt nach Integration über die Fläche: I η = 1 ( I y +I ) + 1 ( I y I )cos( ϕ) + I y sin(ϕ) I ζ = 1 ( I y +I ) 1 ( I y I )cos( ϕ) I y sin(ϕ) I η ζ = 1 ( I y I )sin(ϕ) + I y cos( ϕ) Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-1

22 .3 Hauptachsen Hauptachsen: Die Transformationsformeln für die Flächenträgheitsmomente haben die gleiche Form wie die Transformationsformeln für die Spannungen. Daher gibt es wei senkrecht aufeinander stehende Richtungen, für die das Deviationsmoment verschwindet. Diese Richtungen heißen Hauptachsen. Die ugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-

23 .3 Hauptachsen Wie bei den Spannungen folgt: I 1/ = 1 ( I y +I )± ( I y I ) +I y, tan(ϕ H )= I y I y I Die Hauptträgheitsmomente werden so nummeriert, dass I 1 > I gilt. Wird der Querschnitt um eine Hauptachse gedreht, so dreht das aus den Biegespannungen resultierende Moment um diese chse. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-3

24 .3 Hauptachsen Bestimmung von ϕ 1 : Der Taschenrechner liefert einen Wert für ϕh wischen -45 und 45. Wie bei den Hauptspannungen gilt für den Winkel ϕ1 : I y > 0 I y < 0 ϕ H > 0 ϕ 1 = ϕ H ϕ 1 = ϕ H - 90 ϕ H < 0 ϕ 1 = ϕ H + 90 ϕ 1 = ϕ H ϕ1 und I y haben das gleiche Voreichen. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-4

25 .3 Hauptachsen Mohrscher Trägheitskreis: I y I y P I ϕ 1 ϕ 1 I M ϕ 1 I 1 I y I y, I 1 -I y Q ½(I 1 + I ) ½(I 1 - I ) Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-5

26 .3 Hauptachsen Beispiel: Z-Profil Gegeben ist das abgebildete dünnwandige Z-Profil. a Zu berechnen sind: Flächenträgheitsmomente im eingeeichneten Koordinatensystem Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen Der Flächenschwerpunkt liegt im Symmetrieentrum. y a a a t S t a Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-6

27 .3 Hauptachsen Flächenträgheitsmomente: Profil 1 Profil Profil 3 Summe ta ta ta 4ta y S a/ 0 -a/ S a 0 -a y 3 I Y 0 a 3 t/3 0 a 3 t/3 I Z a 3 t/1 0 a 3 t/1 a 3 t/6 1 y S a 3 t/4 0 a 3 t/4 a 3 t/ S a 3 t 0 a 3 t a 3 t -y S S -a 3 t/ 0 -a 3 t/ -a 3 t I y = 8 3 a3 t, I = 3 a3 t I y = a 3 t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-7

28 .3 Hauptachsen Mohrscher Trägheitskreis: I y Q 1 I I y I ϕ I 1 1 I y, I I y P Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-8

29 .3 Hauptachsen Hauptachsentransformation: tan( ϕ H )= 8/3 /3 = 1 ϕ H= 45 I y <0 ϕ 1 =,5 1 I y +I = 5 3 a3 t, I y I =a 3 t y ϕ 1 S ( I I y ) +I y = a 3 t I 1 =3,081a 3 t, I =0,55 a 3 t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-9