Stoffgesetze Spannungszustand

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1 Stoffgesete Spannungsustand Belastungen ereugen in elastischen Bauteilen einen Spannungsustand, der sowohl vom Ort als auch von der Orientierung (Winkel) des betrachteten Schnittes beüglich der eingeprägten Lasten abhängig sind. Eperimentelle Bestimmung der Spannungsverteilung in einem belasteten Schraubenschlüssel mittels Spannungsoptik. Linien gleicher Farbe repräsentieren Stellen gleicher Beanspruchung (Spannungsintensität). aus: omepage der TU Chemnit Normal- und Schubspannungen sind von der Schnittrichtung abhängig und stehen untereinander in Beiehung. 1

2 16.1 Einachsiger Spannungsustand Ein einachsiger Spannungsustand liegt in einem durch eine Längskraft belasteten, geraden Stab vor. F A F F In einer Schnittfläche A senkrecht ur Längskraft F (Schnittwinkel α 0 ) treten nur Normalspannungen auf, die in einem Abstand hinreichend weit von der Krafteinleitungsstelle konstant über dem Querschnitt sind F Die Normalspannung ergeben sich aus der Gleichgewichtsbedingung: 0 da A F da A F A F F A

3 In einer Schnittfläche unter dem Winkel α ur Senkrechten treten sowohl Normalspannungen (senkrecht um Querschnitt A s ) als auch Schubspannungen (tangential ur Schnittebene) auf. F α A s F die Normal- und Schubspannungen in der Schnittfläche A s A / cosα. η Zerlegt man die Kraft F in Richtung eines ξη-koordinatensstems, das um den Winkel α gegenüber dem -Koordinatensstem gedreht ist, erhält man mit Fξ F cosα und F ξ F η ξ F Fη F sinα ξη ξ 3

4 Unter Berücksichtigung der Voreichenkonvention gilt ξ ξη F ξ A s F η A s F cosα F cos α A/ cosα A F sinα F sinα cosα A/ cosα A Sett man die Koordinatenspannung F/A und die trigonometrischen Formeln cos α 0,5 (1+cosα) und sinα cosα 0,5 sinα ein, ergeben sich die Spannungen in einem um den Winkel α gedrehten Schnitt: Normalspannungen: ξ (1 + cosα ) Schubspannungen: ξη α sin Für α 0 verschwinden die Schubspannungen, die Normalspannungen sind hingegen am größten. Für α 45 ergeben sich maimale Schubspannungen, für α 90 sind Normal- und Schubspannungen Null. 4

5 Beispiel: Zugprobe Gegeben: F 10 kn, A 50 mm Gesucht: Normal- und Schubspannungen für 0 und 30 Übung: Zugprobe Gesucht: Normal- und Schubspannungen für 45, 60 und 90 Winkel [ ] Normalspannung [N/mm ] Schubspannung [N/mm ] 5

6 16. Zweiachsiger (ebener) Spannungsustand Der weiachsige Spannungsustand tritt an lastfreien Oberfläche von Bauteilen oder bei kleinen Wandstärken auf und ist daher in der Festigkeitslehre besonders wichtig. Der ebene Spannungsustand in einem Punkt ist durch wei Normalspannungen und sowie eine Schubspannung gekenneichnet, die an den Seiten eines Volumenelements wirken. Für ein um den Winkel α gedrehtes Volumenelement ergeben sich die Spannungen ξ, η und ξη. η ξ η ξη ηξ ξη η ηξ ξ ξ α 6

7 16..1 Spannungstransformation Die Winkelabhängigkeit der Spannungen lässt sich an einem Schnitt im Flächenelement mit ilfe des Kräftegleichgewichts ermitteln α cosα da sinα da ξη α ξ Aus den Gleichgewichtsbedingungen in Richtung des gedrehten Koordinatensstems folgt: F ξ F π 0 ξ 0 da ξπ cosα cosα da da+ sinα cosα da sinα cosα da η da sinα sinα da cosα cosα da cosα sinα da+ ξ cosα sinα da sinα sinα da 7

8 Division durch da liefert mit den ugeordneten Schubspannungen die Spannungen ξ und ξη in der ur ξ-achse senkrechten Ebene. ξ cos α + sin α + ξη ( )sinα cosα + (cos sinα cosα α sin Sett man für α den Winkel α+90 ein, erhält man mit sin (α+90 ) cos α und cos (α+90 ) -sin α die Spannungen η und ηξ in der ur η-achse senkrechten Ebene: η sin α + cos α α) sinα cosα ( )sinα cosα (cos α sin α) ηξ ξη Mit sin α 0,5 (1-cosα), cos α 0,5 (1+cosα), sinα cosα 0,5 sinα und cos α - sin α cosα ergeben sich die Spannungen in einem um den Winkel α gedrehten Schnitt 8

9 Spannungs-Transformationsgleichungen: + ξ + cosα + sin α ξη sin α + cosα + η cos α sin α ηξ sin α cosα ξη Addiert man die Gleichungen der Normalspannungen, so fallen die Terme mit Winkelfunktionen weg und man erhält die wichtige Beiehung: ξ + η + const. Die Summe der Normalspannungen in senkrecht ueinander stehenden Ebenen ist vom Winkel unabhängig (invariant). 9

10 Die Spannungstransformation lässt sich auch in Matrienschreibweise angeben: ξ η ξη 1 (1 + cosα ) 1 (1 cosα ) 1 sin α 1 (1 cosα ) 1 (1 + cosα ) 1 sin α sin α sin α cosα oder in smbolischer Schreibweise [ T ] { } { ξη } ierbei sind die Spannungsvektoren { } und { ξη } durch die Transformationsmatri [T] miteinander verbunden. 10

11 Beispiel: Spannungen auf der Oberfläche eines Bauteils Gegeben: 0 N/mm, -10 N/mm und 90 N/mm Gesucht: ξ, η und ξη für α 30 F i Übung: Spannungen ξ, η und ξη für α 60 11

12 16.. auptspannungen Normal- und Schubspannungen ändern sich mit der Orientierung der Schnittebene. Es stellt sich die Frage, bei welchen Winkeln die Spannungen Etremwerte (auptspannungen) einnehmen auptnormalspannungen Die Etremwerte (Maimal- und Minimal) der Normalspannungen werden als auptnormalspannungen, die ugehörigen Schnitte als auptschnittebenen beeichnet. Wird die Gleichung + ξ + cosα + sin α nach dem Winkel α abgeleitet ξ ( sin α ) + (cosα ) ( ) sin α + cosα dα 1

13 erhält man durch Nullseten 0 ( ) sin α + cosα und mit tanα sinα / cosα den auptspannungswinkel α α 1 tan α arctan( ) Die Tangensfunktion ist π-periodisch, es ergeben sich daher wei Lösungen α und α α Die auptspannungsebenen (1) () und () stehen senkrecht aufeinander, die Flächennormalen bilden das auptachsensstem mit (1) 1 den ugehörigen auptspannungen 1 1 und. α 13

14 Die auptspannungen erhält man, indem der auptspannungswinkel α in die Transformationsgleichung eingesett wird: + + cos α sin α cos α sin α ierbei wird der auptspannungswinkel α aus den beiden Lösungen für α und so gewählt, dass 1 die größere der beiden auptspannungen bildet. α 1 ist somit die größte und die kleinste aller möglichen Normalspannungen in einem Punkt eines weiachsigen Spannungsustandes Die Addition der beiden Gleichungen liefert wiederum const. d. h. die Summe der auptspannungen ist konstant (invariant). 11. Spannungsustand 14

15 Sett man den auptspannungswinkel tan α sin α cos α in die Transformationsgleichung der Schubspannungen ξη sin α + cosα ein, ergibt sich für die Schubspannung ξη cos α + cos α sin α cos Die Schubspannungen in auptspannungsebenen sind Null. Es lassen sich also immer wei ueinander senkrechte auptspannungsebenen finden, in denen die Normalspannungen Etremwerte annehmen und in denen keine Schubspannungen auftreten.! 0 α 15

16 Beispiel: Spannungen eines dünnwandigen Behälters Gegeben: 75 N/mm, 150 N/mm und 84 N/mm Gesucht: α, 1 und alternative Berechnung mit Invariante: 16

17 Übung: Spannungen auf der Oberfläche eines Bauteils Gegeben: 10 N/mm, -80 N/mm und 90 N/mm Gesucht: α, 1 und alternativ mit Invariante: 17

18 16... auptschubspannungen Wird die Schubspannungsgleichung nach dem Winkel α abgeleitet ξη (cos α ) + (sin α ) ( ) cosα + sin α dα und der Ausdruck gleich Null gesett, erhält man den auptschubspannungswinkel 1 tan α S tan α 1 1 ( )sin α S + cos α S Es ergeben sich wieder wei Lösungen α S und α α + 90 S S. Die auptschubspannungsebenen stehen senkrecht aufeinander, sie sind um 45 gegenüber dem auptachsensstem gedreht. Die auptschubspannungen erhält man, indem der auptschubspannungswinkel α S in die Transformationsgleichung eingesett wird: 1 18

19 Da die Schubspannungen in ueinander senkrechten Schnitten gleich sind, entfällt hier die Unterscheidung nach den Schnittwinkeln. Einseten des auptschubspannungswinkels sin α S tan α S sin α S cos α S cos α in die Transformationsgleichung der Normalspannungen + ξη + cos α S + sin liefert die Mittelspannung M + Die Normalspannungen in auptschubspannungsebenen sind gleich groß und i. allg. von Null verschieden. S 1 + α S (II) M 1 1 M 1 1 M M (I) α S 45 α (1) 19

20 Beispiel: Spannungen in einer Behälterwand Gegeben: 75 N/mm, 150 N/mm und 84 N/mm Gesucht: α S, 1 und M Übung: wie oben, mit 10 N/mm, -80 N/mm und 90 N/mm 0

21 16..3 Mohr scher Spannungskreis Den Zusammenhang wischen Spannungen in gedrehten Schnittebenen läßt sich grafisch im Mohr schen Spannungskreis darstellen. Ausgehend von Transformationsgleichungen in der Form + cos α + sin α sin α + cos α kann der Schnittwinkel α durch quadrieren und anschließende Addition der Gleichungen eliminiert werden: + ( ) + ( ) + Der Ausdruck entspricht einer Kreisgleichung der Form (- 0 ) + r, wobei r der Radius ist und 0 die Lage des Mittelpunktes auf der -Achse angibt 0 r M 1

22 Aus dem Koeffiientenvergleich folgt: Koordinatenachsen: Lage des Mittelpunktes: ˆ ˆ 0 + ˆ ξ η M Radius des Kreises: r ˆ ( ) Für einen gegebenen weiachsigen Spannungsustand liegen alle möglichen Kombinationen aus Normal- und Schubspannungen auf dem Mohr schen Spannungskreis. Die auptnormalspannungen lassen sich als Schnittpunkte des Kreises mit der Absisse ablesen, die auptschubspannungen entsprechen dem Radius des Kreises.

23 η ξ Umwelt-Campus Birkenfeld Mohrscher Spannungskreis η ξη ξ + M ξ ηξ η α S α α M α ξη

24 Wird in + ( ) + ( ) + die Schubspannung 0 gesett, lassen sich die auptspannungen auch mit + 1, ± ( ) + berechnen. Diese Gleichung ist voruiehen, wenn nur der Betrag der auptspannungen, nicht aber ihre Zuordnungen u den Schnittebenen gefragt ist. Weiterhin lassen sich aus dem Mohr schen Spannungskreis die auptschubspannungen vorteilhaft in der Form + 1 ± ( ) angeben. Damit gilt für die auptnormalspannungen auch ± 1, M 1 4

25 Sonderfälle des Mohr schen Spannungskreises a) Einachsig Zug ( 0) b) Einachsig Druck ( 1 0) ξ η ξη ξ 1 1 ηξ α S α 0 M α ξ ξη ηξ 1 η 1 ξη ξ ξη η α M α 1 0 α S ξ ηξ 1 η 1 η η ηξ ξ 5

26 ... Fortsetung Sonderfälle c) Reiner Schub ( 1 ) d) Zug + Torsion ( 0) α S α 0 1 α S α α M α 1 1 6

27 Beispiel: Spannungen in einer Behälterwand Gegeben: 75 N/mm, 150 N/mm und 84 N/mm Gesucht: Mohrscher Spannungskreis, auptspannungen 7

28 Übung: Spannungen in einem Bauteil Gegeben: 10 N/mm, -80 N/mm und 90 N/mm Gesucht: Mohrscher Spannungskreis, auptspannungen 8

29 16.4 Dünnwandige Druckbehälter Bei dünnwandigen Bauteilen (d > 10 s) gilt der ebene Spannungsustand näherungsweise auch für belastete Oberflächen. Die Spannungen in der Wand eines Behälters unter Innendruck lassen sich nach den sog. Kesselformeln ermitteln. p i s r i Legt man ein Koordinatensstem fest, dessen Achse parallel ur Längsachse eines lindrischen Behälters und dessen -Achse tangential ur Oberfläche orientiert ist, ergeben sich die Spannungen in der Wand infolge des Innendrucks p i aus den Gleichgewichtsbedingungen in den Schnittebenen. 9

30 Tangentialspannung F F 0 0 A A p r i L A s L r d p i i i pi 1 s s Aialspannung A p π r i A p p i i A A p p p i i A A p p A A p A A A p L p i A π (( r i + s) p i r ri s i ) π ( r + rs + s r ) π r i s p i i di 4 s i Bei Beanspruchung durch Innendruck sind die Tangential- und Aialspannungen in der Behälterwand auptspannungen. i A p 30

31 Bei lindrischen Druckbehältern ist die Tangentialspannung doppelt so groß wie die Aialspannungen. tangential aial Würstchen platen beim Kochen immer längs! Bei kugelförmigen Druckbehältern ist die Spannung unabhängig von der Lage der Schnittebene und ergibt sich aus A p i ri s p i di 4 s A i Bei gleichem Innendruck sind die Spannungen in der Wand von kugelförmigen Druckbehältern nur halb so groß wie bei lindrischen Behältern. Druckspannungen in dünnwandigen Behältern unter äußerem Überdruck p a lassen sich ebenfalls berechnen, wenn der Innenradius r i durch den Aussenradius r a ersett wird und es nicht um Beulen kommt 31

32 Beispiel: Glasfaserverstärkter Kunststoffbehälter unter Innendruck Gegeben: r i 150 mm, s mm, p i 0 bar, Gesucht: Spannungen und, Normalspannung in der Faser und Schubspannungen wischen Faser und Kunstoffmatri s p i r i 3

33 Übung: Zlindrischer Stahlbehälter unter Innendruck Gegeben: d a 110 mm, s 5 mm, p i 00 bar Gesucht: Spannungen, sowie ξ, η und ξη für α 30, 33

34 16.4 Dreiachsiger (räumlicher) Spannungsustand Der dreiachsige Spannungsustand tritt im Inneren von dicken Bauteilen oder in Oberflächen auf, die unter äußeren Belastungen stehen. (1) 1 (3) 3 () Wie beim ebenen Spannungsustand eistieren im räumlichen Fall aufeinander senkrecht stehende auptspannungsebenen, in denen die Schubspannungen verschwinden und nur die auptspannungen 1 > > 3 wirken. 34

35 In beliebigen andere Schnittebenen liegen die Werte der Normalspannungen stets wischen 1 und 3. 3 (1) 1 3 () 1 (3) Für jede dieser Ebenen lässt sich je ein Mohr scher Spannungskreis konstruieren, die üblicherweise gemeinsam aufgetragen werden. Der straffvierte Teil gibt alle möglichen Spannungskombinationen unter beliebigen Schnittwinkeln wieder ma

36 Jedem der Mohr schen Spannungskreise kann man auptschubspannungen uordnen, die in Ebenen wirken, welche unter 45 u den auptspannungsebenen stehen Ebene: () - 3 -Ebene: () 1-3 -Ebene: () (3) 1 (1) (1) 13 (1) 1 3 (3) (3) ma Die Transformation eines beliebigen Spannungsustandes in Richtung der auptachsen führt auf ein sog. Eigenwertproblem mit den auptspannungen als Eigenwerte. Die Behandlung wird im Folgenden dargestellt, geht aber über den inhaltlichen Rahmen der Veranstaltung hinaus. 36

37 Betrachtet man ein Volumenelement dv, das einem dreiachsigen Spannungsustand unterliegt, ergeben sich die Spannungen in einem beliebigen räumlichen Schnitt aus dem Kräftegleichgewicht des resultierenden Tetraeders. In den einelnen Tetraederflächen wirken die schräg ur Fläche stehenden Spannungsvektoren S, S, S und S, deren Komponenten in Richtung des Koordinatensstems eigen S S da s s s S S 37

38 Projiiert man die durch den Normalenvektor n r gegebene Fläche da des Tetraeders auf die einelnen Koordinatenebenen, da n r da da β γ da α da β β da erhält man die Tetraederflächen da, da und da aus folgenden Beiehungen: da da cosα, da da cos β und da da cosγ 38

39 39 mit den ugehörigen Flächen des Tetraeders: s s s S und S S S r r r r ; ; Das Kräftegleichgewicht ergibt sich durch Multiplikation der Spannungsvektoren da S da S da S da S F r r r r r 0 Einseten liefert γ β α cos cos cos + + s s s

40 oder in Matrienschreibweise s s s cos α γ β cos cos mit dem Spannungstensor [S] und dem Normalenvektor n r. r r S [ S] n r Dreht man die Schnittebene so, dass der Spannungsvektor in Richtung des Normalenvektor n r S eigt, handelt es sich um eine auptspannungsebene, die auptspannungen sind dann ein Vielfaches des Normalenvektors: s s s cos α cos β cos γ 40

41 Gleichseten und Zusammenfassen der Terme liefert das homogene Gleichungssstem ur Ermittlung der unbekannten Winkel α, β und γ: ( cosα + )cosα + cosα + ( cos β + )cosβ + cosβ + ( cosγ 0 cosγ 0 )cosγ 0 Es hat nur dann nichttriviale Lösungen, wenn seine Koeffiientendeterminante Null ist. ( ) ( ) ( ) 0 Die Ausrechnung der Determinante (. B. mit der Regel von Sarrus) führt auf eine Gleichung dritten Grades ur Bestimmung der auptspannungen, welche i. allg. numerisch gelöst werden muss. 41

42 4 Wegen der Smmetrie des Spannungstensors sind alle drei Wureln reel und stellen die gesuchten auptspannungen 1 > > 3 dar. Zwei der drei auptspannungswinkel α, β und γ lassen sich durch Einseten der auptspannungen in das Gleichungssstem ermitteln, der dritte abhängige auptspannungswinkel folgt aus der Eigenschaft des Normalenvektors: Die auptspannungen sind die Eigenwerte und die Koeffiienten I 1, I und I 3 die Invarianten des Spannungstensors: I I I + 1 cos cos cos n n n n γ β α r I I I Es gilt

43 Beispiel: Dreiachsiger Spannungsustand Gegeben: 70 N/mm, -50 N/mm, 60 N/mm, -30 N/mm, 0 Gesucht: auptspannungen 1, und 3 43