Zugstab
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- Nicolas Egger
- vor 7 Jahren
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1 Bisher wurde beim Zugstab die Beanspruchung in einer Schnittebene senkrecht zur Stabachse untersucht. Schnittebenen sind gedankliche Konstrukte, die auch schräg zur Stabachse liegen können. Zur Beurteilung der Beanspruchung ist es daher notwendig, die Spannungen in beliebigen Schnittebenen zu kennen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
2 Schnittebene: t y φ n x Die x-achse stimmt mit der Stabachse überein. Die n-achse steht senkrecht auf der Schnittfläche und zeigt aus der Schnittfläche heraus. Die t-achse liegt in der Schnittfläche und zeigt gegenüber der n-achse nach links. Der Winkel φ wird von der x-achse zur n-achse gemessen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
3 Schnittlasten: In der Schnittebene tritt eine Normalkraft N senkrecht zur Schnittebene und eine Tangentialkraft T parallel zur Schnittebene auf. F t T φ y φ N n x F x =0 : N cos(ϕ) T sin(ϕ) F =0 F y =0 : N sin(ϕ)+t cos(ϕ)=0 N cos(ϕ) T sin(ϕ) = F N sin(ϕ) + T cos(ϕ) = 0 N =F cos(ϕ) T = F sin(ϕ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
4 Geometrie: h=h ϕ cos(ϕ) h ϕ = h cos(ϕ) b A A φ h φ A ϕ =h ϕ b= h b cos(ϕ) = A cos(ϕ) h φ A = h b ist die Fläche eines Schnitts senkrecht zur Stabachse. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
5 Spannungen: Die Schnittkräfte sind Resultierende von über die Fläche verteilten Flächenkräften. Bei Annahme einer über den Querschnitt konstanten Verteilung gilt für die Spannungen: Normalspannung: σ= N A ϕ = F A cos2 (ϕ) Schubspannung: τ= T A ϕ = F A sin(ϕ)cos(ϕ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
6 Mit den trigonometrischen Beziehungen cos 2 (ϕ)= 1 2 (1+cos(2 ϕ)), sin(ϕ)cos(ϕ)= 1 2 sin(2 ϕ) und σ 0 =F / A folgt: σ(ϕ)= σ 0 2 (1+cos(2 ϕ) ), τ(ϕ)= σ 0 2 sin(2 ϕ) Der größte Wert der Normalspannung ist σ 0 und wird für einen Schnittwinkel φ = 0 angenommen. Der größte Wert der Schubspannung ist 0,5σ 0 und wird für einen Schnittwinkel φ = 45 angenommen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
7 Die Beziehungen für die Spannungen können am Kreis anschaulich dargestellt werden: τ ½σ 0 cos(2φ) ½σ 0 2φ σ ½σ 0 sin(2φ) ½σ 0 Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
8 Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
9 Einachsiger Spannungszustand: Die Gesamtheit aller Spannungen, die an einem Punkt in Abhängigkeit von der Lage der Schnittebene auftreten können, heißt Spannungszustand. Beim einachsigen Spannungszustand gibt es zwei Schnitt - ebenen, in denen die Spannungen null sind. Beim Zugstab sind die Spannungen null für jede Schnittebene, die die x-achse enthält. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
10 Versagen duktiler Werkstoffe: Das Fließen duktiler Werkstoffe wird durch die Schubspannung verursacht. Beim Zugstab tritt das Fließen in einer Ebene auf, die unter 45 gegenüber der Stabachse geneigt ist, und führt zur Einschnürung. Infolge der Einschnürung nimmt der Querschnitt ab und daher die wahre Spannung im eingeschnürten Querschnitt zu. Wenn die wahre Spannung zu groß wird, erfolgt der Trennbruch in Richtung der Stabachse. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
11 Schäften: Die zulässige Normalspannung von Klebstoffen ist in der Regel deutlich niedriger als die zulässige Normalspannung der geklebten Werkstoffe. Daher wird die Tragfähigkeit von zwei Brettern, die stumpf aneinander geklebt sind, durch die zulässige Normalspannung des Klebers begrenzt. F Klebung F Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
12 Durch Schäften lässt sich Erreichen, dass das geklebte Bauteil dieselbe Tragfähigkeit hat wie ein einzelnes Brett. Dazu werden die Bretter abgeschrägt und überlappend verklebt. n h φ φ Das Verhältnis von Klebelänge L zur Dicke h wird als Schäftverhältnis bezeichnet: L s= L h =tan(ϕ) 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
13 Das Schäftverhältnis wird durch die Zugfestigkeit R m des Bretts und die Scherfestigkeit τ ab des Klebers festgelegt. Beim Versagen soll die Normalspannung im Brett mit der Zugfestigkeit und die Schubspannung im Kleber mit der Scherfestigkeit übereinstimmen. Mit σ 0 = R m und τ = τ ab folgt: τ ab = R m 2 sin(2 ϕ) Diese Gleichung hat zwei positive Lösungen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
14 Gewählt wird der größere Winkel (φ > 45 ), da dafür die Normalspannung in der Klebung kleiner ist. τ ab τ 2φ Mit sin(ϕ)= tan(ϕ) 1+tan 2 (ϕ) σ und 1 cos(ϕ)= 1+tan 2 (ϕ) ½R m folgt: τ ab =R m sin(ϕ)cos(ϕ)=r m s 1+s = R m 2 s 1 1+(1/ s) 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
15 Für s 1 gilt 1/s 1 und damit: τ ab R m s s= R m τ ab Typische Werte für das Schäftverhältnis: Holz: GFK: 40 CFK: 50 Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM
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