1. Querkraftschub in offenen Profilen

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1 1. Querkrftschub in offenen Profilen 1.1 Schubfluss 1.2 Schubmittelpunkt Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

2 Geometrie: Die Profilkoordinte s wird entlng der Profilmittellinie gemessen. Ds Profil wird durch die Profilmittellinie und die Wndstärke t(s) beschrieben. Annhme: τ sx s S Die Schubspnnung τ sx ist tngentil ur Profilmittellinie und über die Wndstärke konstnt. t(s) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

3 Definitionen: Am positiven Schnittufer eigt die positive Schubspnnung τ sx in positive s-richtung. Ds Produkt q sx =t τ sx wird ls Schubfluss beeichnet. Der Schubfluss ist eine Streckenlst. An freien Knten ist der Schubfluss null. Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

4 Berechnung des Schubflusses: Betrchtet wird ein Blken mit konstntem Querschnitt. Aus dem Blken wird ein Abschnitt wischen den Koordinten x = x A und x = x B herusgeschnitten. Dieser Abschnitt wird n der Stelle s 0 durch eine senkrecht uf der Profilmittellinie stehende Ebene geschnitten. Betrchtet wird der Blkenusschnitt, der sich uf der Seite mit den kleineren Werten von s befindet. Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

5 Lsten m Blkenusschnitt: σ x (x A, s) Freie Knte q sx (x A, s) q sx (x, s 0 ) s σ x (x B, s) x A q sx (x B, s) x B x Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

6 Kräftegleichgewicht: x F x =0 : B x A q sx ( x,s 0 ) dx+ A(s 0 ) (σ x (x B,,) σ x ( x A,, ))da=0 Mit x B σ x (x B,, ) σ x ( x A,, )= x A σ x x (x,, )dx und Vertuschung der Integrtionsreihenfolge folgt: x B ( q sx ( x, s )+ 0 x A A(s 0 ) σ x x (x,, )da ) dx=0 Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

7 Ds Integrl ist nur dnn für beliebige Intervlle [x A, x B ] null, wenn der Integrnd verschwindet: q sx ( x,s 0 )+ A( s 0 ) σ x x ( x,, )da=0 Im Huptchsensstem gilt: σ x (x,, )= M ( x) I M ( x) I Drus folgt: σ x x = dm dx dm I dx I Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

8 Mit dm dx =, dm dx = Q und s 0 = s gilt für den Schubfluss: q sx ( x,s)= ( ( x) I S (s)+ Q ( x) I S (s)) Dbei sind S (s)= da und A (s) S (s)= A( s) da die sttischen Momente des Querschnitts bis ur Stelle s. Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

9 Die sttischen Momente können us den Koordinten des Flächenschwerpunkts der Teilfläche A(s) berechnet werden: A(s) S (s) s S (s)= S (s) A(s) S (s)= S (s) A(s) S (s) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

10 Beispiel: C-Profil Die resultierende Querkrft im bgebildeten dünnwndigen C- Profil ist. Gesucht ist der Schubfluss. Flächenträgheitsmoment: S s I = (2 )3 t t= t t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

11 Oberer Flnsch: S (s 1 )= t s 1 S (0)=0, S ()= 2 t s 1 q sx (s 1 )= t t s 1 = 3 8 q sx (0)=0, q sx ()= 3 8 s 1 2 S t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

12 Steg: S (s 2 )= 2 t +( + s 2 2 ) t s 2 = 2 t ( s 2 2 s ) 2 2 s 2 S (0)= 2 t, S (2 )= 2 t S q sx (s 2 )= 3 16 ( 2+2 s 2 s 2 ) 2 2 t q sx (0)=q sx (2 )= 3 8 Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

13 Unterer Flnsch: S (s 3 )= 2 t + t s 3 = 2 t ( 1 s 3 ) S (0)= 2 t, S ()=0 q sx (s 3 )= 3 8 ( 1 s 3 ) S q sx (0)= 3 8, q sx ()=0 s 3 Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

14 Verluf des Schubflusses: Der Schubfluss ereugt ein resultierendes positives Moment um die durch den Schwerpunkt verlufende x-achse. Die Wirkungslinie der resultierenden Querkrft muss dher links vom Schwerpunkt liegen. 9 /(16) 3 /(8) S q sx 3 /(8) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

15 Beispiel: Kreisbogenprofil Die resultierende Querkrft im bgebildeten dünnwndigen Kreisbogenprofil ist. s r Gesucht ist der Schubfluss und die mximle Schubspnnung. t S α α Geometrie: e (s)= r sin ( α s r ) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

16 Flächenträgheitsmoment: 2 α r I = 0 2 α r 2 (s)t ds=r 2 t 0 sin 2 ( α s r ) ds=r 3 t s/ r=2α 2 α 0 sin 2 ( α s r ) d ( s r ) [ =r 3 t 1 ( 2 α s ) r sin ( 2 ( α s r ))]s/ r=0 =r 3 [ t α sin (2α)+ α sin (2 α ) ] = r3 t 2 (2α sin(2α)) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

17 Sttisches Moment: s S (s)= 0 s ( s)t d s= r t 0 = r 2 t [ cos ( α s r ) cos(α) ] sin ( α s ) r d s = r 2 [ t cos ( α s s=s r )] s=0 Schubfluss: q sx (s)= I S (s)= 2 r 2 t (cos(α s /r) cos(α)) r 3 t (2α sin(2 α)) = 2 (cos(α s/r ) cos(α)) r (2 α sin(2α)) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

18 Mximum des Schubflusses: q sxmx =q sx (r α)= 2 (1 cos(α)) r (2 α sin(2α)) Mximle Schubspnnung: τ sxmx = q sxmx t = 2 r t 1 cos(α) 2α sin(2α) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

19 Mximler Schubfluss: In beiden Beispielen tritt der mximle Schubfluss n der Stelle = 0 uf. Ds gilt llgemein, wenn die resultierende Querkrft in - Richtung eigt: q sx (s)= S I (s)= I dq sx ds =0 : d s ds 0 s 0 t ds t ds= t=0 =0 Zeigt die resultierende Querkrft in -Richtung, tritt ds Mximum bei = 0 uf. Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

20 Beispiel: T-Profil Die resultierende Querkrft im bgebildeten dünnwndigen T-Profil ist. Gesucht ist der Schubfluss und die mximle Schubspnnung. e S 2 t 2t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

21 Schwerpunkt: A=2 t +2 2 t=6 t, e = 4 t 6 t = 2 3 Flächenträgheitsmoment: I =e 2 2 t + (2 )3 2 t 12 + ( e ) 2 4 t = 3 t ( ) =8 3 3 t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

22 Linker Flnsch: S (s 1 )= e t s 1 = 2 3 t s 1 s 1 t q sx 1 (s 1 )= t 2 3 t s 1 = 4 s 1 S 2 e q sx 1 ()= 4 2t τ 1 mx = q () sx 1 = t 4 t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

23 Rechter Flnsch: S (s 2 )= e t s 2 = 2 3 t s 2 s 2 t q sx 2 (s 2 )= t 2 3 t s 2 = 4 s 2 S 2 e q sx 2 ()= 4 2t τ 2 mx = q () sx 2 = t 4 t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

24 Steg: S (s 3 )= e 2 t +( e + s 3 2 ) 2 t s 3 = t 3 ( s 3 3 s 32 ) e s 3 t q sx 3 (s 3 )= Q ( s 3 3 s 2 ) 3 2 2t S 2 q sx 3 (0)= 2 =q sx 1 ()+q sx 2 () q sx 3 (2 )=0 Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

25 Mximum im Steg: =0 s 3 mx =e = 2 3 q sx 3 mx = Q ( ) 9 =16 24 = 2 3 τ 3 mx = t =1 3 t Mximle Schubspnnung: τ mx =mx ( τ 1 mx, τ 2 mx, τ 3 mx )=τ 3 mx = 1 3 t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

26 Verluf des Schubflusses: An der Verweigung ist die Summe der ufließenden Schubflüsse gleich der Summe der bfließenden Schubflüsse. /(4) S q sx 2 /(3) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

27 1.2 Schubmittelpunkt In welchem Punkt des Querschnitts muss die äußere Krft ngreifen, dmit sich der Querschnitt nicht verdreht? F F Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

28 1.2 Schubmittelpunkt In welchem Punkt des Querschnitts greift die us dem Schubfluss resultierende Querkrft n? Definition: Der Punkt, in dem die us dem Schubfluss resultierende Querkrft ngreift, wird ls Schubmittelpunkt M beeichnet. Ds resultierende Moment des Schubflusses beüglich des Schubmittelpunkts ist null. Aus dem Momentengleichgewicht um die x-achse folgt, dss der Schubmittelpunkt uch der Punkt des Querschnitts ist, in dem eine äußere Krft ngreifen muss, dmit sich der Blken nicht verdreht. Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

29 1.2 Schubmittelpunkt Beispiel: Krgblken, rechter Teilblken M M S M x F Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

30 1.2 Schubmittelpunkt Speilfälle: Bei smmetrischen Querschnitten liegt der Schubmittelpunkt uf der Smmetriechse. Bei doppelt smmetrischen Querschnitten stimmt der Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt überein. Bei punktsmmetrischen Querschnitten stimmt der Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt überein. Bei Querschnitten, die us gerdlinigen Teilprofilen usmmengesett sind, deren Mittellinien sich in einem Punkt schneiden, liegt der Schubmittelpunkt im Schnittpunkt der Profilmittellinien. Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

31 1.2 Schubmittelpunkt Beispiele: M M M M M Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

32 1.2 Schubmittelpunkt Berechnung: Für jeden beliebig gewählten Beugspunkt muss ds Moment des Schubflusses mit dem Moment der resultierenden Querkrft übereinstimmen. Die Koordinte M knn us dem Vergleich der Momente für eine Querkrft in -Richtung und die Koordinte M us dem Vergleich der Momente für eine Querkrft in -Richtung berechnet werden. Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

33 1.2 Schubmittelpunkt Beispiel: C-Profil Ds Profil ist smmetrisch beüglich der -Achse. Dher liegt der Schubmittelpunkt uf der -Achse. s Ds Moment der im Schubmittelpunkt ngreifenden Querkrft beüglich Punkt P muss mit dem Moment des ugehörigen Schubflusses übereinstimmen. M P M e S t Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

34 1.2 Schubmittelpunkt Schwerpunktsbstnd des Stegs: A=2 t +2 t =4 t 2 2 t e = 4 t = 4 e S s Moment der Querkrft: M t M P ( )=( M e ) P M Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

35 1.2 Schubmittelpunkt Nur der Schubfluss im oberen Flnsch trägt um Moment um Punkt P bei: M P (q sx )=2 0 q sx (s 1 )ds 1 =2 3 8 s 2 1 ds 1 = = 3 8 Übereinstimmung der Momente: M P ( )=M P (q sx ) : ( M e ) = 3 8 M = 3 8 +e = = 5 8 Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

36 1.2 Schubmittelpunkt Beispiel: Kreisbogenprofil Ds Profil ist smmetrisch beüglich der -Achse. Dher liegt der Schubmittelpunkt uf der -Achse. Ds Moment der im Schubmittelpunkt ngreifenden Querkrft beüglich Punkt P muss mit dem Moment des ugehörigen Schubflusses übereinstimmen t M M s S e r α α P Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

37 1.2 Schubmittelpunkt Schwerpunktsbstnd (Formel für Linienschwerpunkt): e =r sin(α) α Moment der Querkrft: t M s S r α α P M P ( )=( M +e ) M e Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

38 1.2 Schubmittelpunkt Moment des Schubflusses: q sx (s)= 2 (cos(α s /r ) cos(α)) r (2 α sin(2α)) 2 α r M P (q sx )= 0 2 α 2 Q r q sx ds= r 2 α sin(2α) 0 ( cos ( α sr ) cos(α) ) d ( s ) r = = 2 r s/r=2α 2 α sin(2α) ([ sin ( α s r )]s/r=0 2 r (2sin(α) 2α cos(α)) 2 α sin(2α) 2 α cos(α)) Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

39 1.2 Schubmittelpunkt Übereinstimmung der Momente: M P ( )=M P (q sx ) : ( M +e ) = 2 r 2α sin(2α) (2sin(α) 2 α cos(α)) M =2 r sin(α) α cos(α) α sin(α)cos(α) e =r ( sin(α) α cos(α) 2 α sin(α)cos(α) sin(α) ) α Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM

40 1.2 Schubmittelpunkt Beispiel: α = π/2 Beispiel: α = π e = 2 π r e =0 M =r ( 2 1 π/2 1 π/ 2 ) = 2 π r M =r (2 π π )=2 r M S M S Prof. Dr. Wndinger 5. Dünnwndige Profile TM