Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer

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1 Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl Definition und Beispiele Elementre Eigenschften Huptstz der Integrlrechnung Integrierbrkeitskriterien Uneigentliche Integrle und Reihen Integrtionstechniken Wichtige Stmmfunktionen Linerität der Integrtion Prtielle Integrtion Substitution Prtilbruchzerlegung Integrtion von Prtilbrüchen Weitere elementr integrierbre Funktionen Approximtive Integrtion Trpezregel Simpsonsche Regel Stirlingsche Formel Gewöhnliche Differentilgleichungen Einleitung Linere Differentilgleichungen Seprierbre Differentilgleichungen Homogene Differentilgleichungen Existenz und Eindeutigkeitssätze

2 2 13 Funktionenfolgen Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit Grenzübergng bei Integrtion Grenzübergng bei Differentition Funktionenfolgen in der Form von Reihen Potenzreihen Binomilreihe Integrle mit einem Prmeter Metrische Räume R n ls euklidischer Vektorrum Topologie metrischer Räume Konvergenz und Vollständigkeit Stetigkeit Kompktheit Normierte Räume Differentilrechnung in R n Linere Abbildungen Die Ableitung Grdient und Richtungsbleitung Differenzierbrkeitskriterien Ableitungsregeln Verllgemeinerte Leibnizsche Regel Mittelwertsätze Höhere prtielle Ableitungen Tylorsche Formel Lokle Extrem Vektorfelder und 1-Formen Vektorfelder Formen Linienintegrle Konservtive Vektorfelder Thermodynmik

3 3 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, b] R mit < b. Eine Teilmenge P := {x 0,... x n } von I mit heißt Prtition von I. Die Zhl = x 0 < x 1 <... < x n = b (1) P := mx k=1...n x k x k 1 heißt Feinheit oder Korn der Prtition P. Sei f : I C, P := {x 0,... x n } eine Prtition von I und sei ξ k [x k 1, x k ], k = 1,..., n, (2) eine Whl von Zwischenpunkten. Dnn wird n R P (f) := f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 Riemnnsche Summe von f bezüglich P gennnt. Die Funktion f heißt (Riemnn-) integrierbr uf I flls eine Zhl λ C existiert, so dss folgende Bedingung erfüllt ist: Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dss für jede Prtition P und jede Whl von Zwischenpunkten (siehe (1),(2)) gilt n P < δ f(ξ k )(x k x k 1 ) λ < ε. Die Zhl λ heißt (Riemnnsches) Integrl von f über [, b] und wird mit b f(x)dx oder f(x)dx k=1 bezeichnet. Die oben eingeführte Konvergenz von Riemnnsummen wird symbolisch durch b n f(x)dx = lim f(ξ k )(x k x k 1 ) p 0 usgedrückt. Bemerkungen. k=1 1. Ist f : I C integrierbr und (R Pn ) eine Folge von Riemnnsummen mit lim n Pn = 0, dnn konvergiert die Folge (R Pn ) gegen b f(x) dx. Zum Beispiel gilt b n f(x) dx = lim f(x k )(x k x k 1 ) n k=1 [,b]

4 4 wobei x k := + k (b ), k = 0,..., n. n 2. Jede stetige Funktion f : [, b] C ist integrierbr (Theorem 9.4.3). 3. Die Dirichletfunktion uf [0, 1] ist nicht integrierbr (Aufgbenbltt 1) Definition. Ist f wenigstens im Punkt R definiert, dnn Ist f uf [, b] integrierbr, dnn b 9.2 Elementre Eigenschften f(x)dx := 0. b f(x)dx := f(x)dx. Stz (Cuchy-Kriterium). Eine Funktion f : [, b] C ist genu dnn integrierbr, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss für lle Prtitionen P, P von [, b] und beliebige Whlen von Zwischenpunkten P, P < δ R P (f) R P (f) < ε. (3) Beweis. Sei f integrierbr und sei ε > 0. Dnn gibt es ein δ > 0, so dss b P < δ R P (f) f(x)dx < ε/2 für jede Whl von Zwischenpunkten. Wenn P < δ und P < δ dnn folgt drus die Cuchybedingung (3) mit Hilfe der Dreiecksungleichung. Sei nun umgekehrt die Cuchy-Bedingung (3) erfüllt. Sei P n = {x (n) k }n k=0 die Folge von Prtitionen mit x (n) k = + k (b ) n und sei ξ (n) k = x (n) k. Dnn ist die zugehörige Folge R P n (f) von Riemnnsummen eine Cuchy-Folge in C. Also ist sie konvergent. Sei λ := lim n R Pn (f) und sei ε > 0. Die Gültigkeit der Cuchy-Bedingung grntiert die Existenz eines δ > 0 pssend zu ε/2, so dss für jede Prtition P mit P < δ R P (f) λ = lim n R P (f) R Pn (f) ε/2 < ε. Dmit ist die Integrierbrkeit von f bewiesen.

5 5 Stz Sei R(, b) := {f : D C D [, b] und f ist integrierbr uf [, b]}. () f, g R(, b) f + g R(, b) und b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + (b) f R(, b), α C αf R(, b) und b b αf(x)dx = α f(x)dx. (c) f R(, b) f R(, b) und b f(x)dx = b f(x)dx. (d) Ist f R(, b) und f M, dnn gilt b f(x)dx M(b ). (e) Sind f, g R(, b) reellwertig und ist f g, dnn gilt b f(x)dx b g(x)dx. b g(x)dx Korollr Eine Funktion f : [, b] C ist genu dnn integrierbr wenn Re f und Im f integrierbr sind und es gilt b b b f(x)dx = Re f(x)dx + i Im f(x)dx. Stz (Mittelwertstz der Integrlrechnung). Sei f uf [, b] stetig und reellwertig. Dnn existiert ein ξ [, b], so dss Beweis. D f stetig ist gilt b f(x)dx = f(ξ)(b ). (4) f([, b]) = [m, M] (5) wobei m := min x [,b] f(x) und M := mx x [,b] f(x). Weiter folgt us Stz (e), dss 1 b m f(x)dx M. b Also existiert nch (5) ein ξ [, b], so dss (4) gilt.

6 6 Stz Es seien < b < c reelle Zhlen und es sei f R(, c). Dnn ist f R(, b) R(b, c) und es gilt c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx. Beweis. Sei f R(, c), ε > 0 und sei δ > 0 ds nch Stz zu f und ε bestimmte δ. Zum Beweis dss f R(, b) genügt es nch Stz zu zeigen, dss für jedes Pr von Prtitionen P, P von [, b] gilt P, P < δ R P (f) R P (f) < ε. (6) Dzu wählen wir n N so dss (c b)/n < δ und wir definieren zu gegebener Prtition Q von [, b] und Riemnnsumme R Q (f) Q := Q { x 0,..., x n } n R Q(f) := R Q (f) + f( x k )( x k x k 1 ) wobei x k := b + (c b)k/n. Wegen Q = mx{ Q, (c b)/n} gilt dnn, nch Whl von δ und n für jedes Pr von Prtitionen P, P von [, b] und zugehörige Riemnnsummen R P (f), R P (f) k=1 P, P < δ P, P < δ R P (f) R P (f) < ε. Wegen R P (f) R P (f) = R P (f) R P (f) ist dmit (6) gezeigt, lso f R(, b). Anlog beweist mn f R(b, c). Seien nun f R(, c) und seien (R Pn (f)), (R Qn (f)) Folgen von Riemnnsummen mit Prtitionen P n, Q n von [, b] und [b, c], für welche lim n Pn = 0 = lim n Qn. Weiter sei T n := P n Q n und R Tn (f) := R Pn (f)+r Qn (f). Letzteres ist eine Riemnnsumme zur Prtition T n. Wegen Tn = mx{ Pn, Qn } folgt lim n Tn = 0, und somit c f(x)dx = lim R Tn (f) = lim R Pn (f) + lim R Qn (f) n n n = b f(x)dx + c b f(x)dx. Korollr Sind, b, c R und ist f integrierbr uf dem Intervll von min{, b, c} bis mx{, b, c}. Dnn gilt c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx.

7 7 9.3 Huptstz der Integrlrechnung Theorem (Teil 1 des Huptstzes). Sei f : [, b] C integrierbr. Ist F eine differenzierbre Funktion mit F = f, dnn gilt b f(x)dx = F (b) F (). Beweis. Sei zuerst f reellwertig. Dnn ist uch F reellwertig und der Mittelwertstz der Differentilrechnung, Theorem 8.4.2, ist uf F nwendbr. Zu jeder Prtition P = {x 0,..., x n } von [, b] gibt es lso Zwischenpunkte ξ k (x k 1, x k ) mit F (x k ) F (x k 1 ) = F (ξ k )(x k x k x ) = f(ξ k )(x k x k 1 ). Mit dieser Whl von Zwischenpunkten zu P gilt F (b) F () = = n ( F (xk ) F (x k 1 ) ) k=1 n f(ξ k )(x k x k 1 ) b k=1 f(x)dx, ( P 0). Im Fll wo f und F komplexwertig sind folgt ds Theorem nun mit Hilfe von Korollr und Korollr Stmmfunktion. Eine uf einem Intervll I differenzierbre Funktion F mit F = f heißt Stmmfunktion von f uf I. Mit F ist uch F + c für jedes c C eine Stmmfunktion von f. Wenn umgekehrt F 1 und F 2 zwei Stmmfunktionen von f uf dem Intervll I sind, dnn gilt F 1 F 2 = const (Korollr 8.4.5). Dher hängt F (b) F () in Theorem nicht von der Whl der Stmmfunktion b. Korollr Ist F C 1 ([, b]) dnn gilt F (x) = F () + x F (t)dt, x [, b]. Beweis. Folgt us Theorem 9.3.1, d stetige Funktionen integrierbr sind. Theorem (Teil 2 des Huptstzes). Sei f : [, b] C integrierbr und sei F (x) := x f(t)dt, x [, b]. Ist f im Punkt x 0 [, b] stetig, dnn ist F in x 0 differenzierbr und es gilt F (x 0 ) = f(x 0 ).

8 8 Beweis. Für jedes h R mit x 0 + h [, b] gilt nch Korollr F (x 0 + h) F (x 0 ) = = = x0 +h x0 +h x 0 x0 +h Es folgt F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h = 1 h f(x)dx f(x)dx x0 f(x)dx x 0 ( f(x) f(x0 ) ) dx + hf(x 0 ). x0 +h x 0 ( f(x) f(x0 ) ) dx sup f(x) f(x 0 ) 0, (h 0), x x 0 h wobei Stz (d) und die Stetigkeit von f in x 0 benutzt wurde. Korollr Sei I R ein beliebiges Intervll. Dnn ht jede stetige Funktion f : I C eine Stmmfunktion uf I. Beweis. D stetige Funktionen integrierbr sind (Theorem 9.4.3), folgt us Theorem 9.3.3, dss jede Funktion F (x) = mit I eine Stmmfunktion von f ist. x f(t)dt Die Existenz der Stmmfunktion grntiert nicht dss mn sie uch elementr berechnen knn. Z.B. ist f(x) = e x2 /2 stetig, lso integrierbr, ber ihre Stmmfunktion F (x) = x 0 e t2 /2 dt lässt sich nicht durch elementre Funktionen usdrücken. Mn findet die Werte der Gussschen Fehlerfunktion F/ 2π tbelliert in Sttistikbüchern. Nottionen. Für F (b) F () schreibt mn uch F b, Dmit wird Theorem zu F (x) x=b x=, oder [ F (x) ] x=b x=. b f(x)dx = F b

9 9 wobei F irgend eine Stmmfunktion von f ist. Die Äquivlenzklsse der Stmmfunktionen (bezüglich der Reltion F 1 F 2 F 1 F 2 = const) wird mit f(x)dx (7) bezeichnet und heißt unbestimmtes Integrl von f. Oft wird uch ein Repräsentnt dieser Klsse mit f(x)dx bezeichnet. Theorem lutet somit b f(x)dx = f(x)dx ws die Nottion (7) erklärt. Der Prozess der Berechnung des unbestimmten Intergrls (7) heißt Integrtion von f. Die Berechnung des bestimmten Integrls b f(x)dx nennt mn mnchml Qudrtur. Integrtion ist die Inverse der Differentition in folgendem Sinn: Die Abbildung d dx : C1 (I)/ C(I) ist bijektiv (surjektiv nch Theorem 9.3.3) und sie ht die Inverse f f(x)dx. b Ds heißt d dx f(x)dx = f und d f(x)dx = [f] dx wobei [f] := {f + c c C} die Äquivlenzklsse von f bezeichnet. 9.4 Integrierbrkeitskriterien Stz Ist f integrierbr, dnn ist f beschränkt. Lemm Sei f : [, b] C beschränkt und sei P = {x 0,..., x n } eine Prtition von [, b] mit sup f(x) f(y) < δ x,y I k für jedes Teilintervll I k := [x k 1, x k ]. Dnn gilt für jede feinere Prtition P P, dss R P (f) R P (f) < δ(b ). Theorem Ist f : [, b] C stetig, dnn ist f Riemnn-integrierbr.

10 10 Ober- und Untersummen. Sei f : [, b] R beschränkt und sei P = {x 0,..., x n } eine Prtition von [, b]. Wir definieren U P (f) := O P (f) := n m k (x k x k 1 ) k=1 n M k (x k x k 1 ), k=1 wobei m k := inf x [xk 1,x k ] f(x) und M k := sup x [xk 1,x k ] f(x). Offensichtlich gilt dnn für jede Prtition P. U P (f) O P (f) Lemm Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn gilt sup U P (f) inf O P (f). P P Theorem Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent. (i) f ist Riemnn-integrierbr. (ii) Zu jedem ε > 0 gibt es eine Prtition P mit O P (f) U P (f) < ε. (Riemnnsches Integrierbrkeitskriterium.) (iii) sup P U P (f) = inf P O P (f). Ist (i), (ii), oder (iii) erfüllt, dnn gilt b f(x)dx = sup U P (f) = inf O P (f). P P Beweis: Siehe Heuser, Lehrbuch der Anlysis, Teil 1. Nullmengen. Eine Teilmenge M R heißt Nullmenge (oder Menge vom Mß 0), wenn zu jedem ε > 0 eine bzählbre Fmilie (I k ) von Intervllen I k R existiert, so dss M k I k und I k < ε. Hier bezeichnet I k die Länge des Intervlls I k. Bemerkungen. 1. Endliche und bzählbre Teilmengen von R sind Nullmengen. 2. Die Vereinigung von bzählbr vielen Nullmengen ist wieder eine Nullmenge. k

11 11 3. Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge. Sei D R und f : D C. Mn sgt f sei fst überll stetig, wenn die Punkte x D wo f unstetig ist eine Nullmenge bilden. Theorem (Lebesguesches Integrierbrkeitskriterium). Eine Funktion f : [, b] C ist genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn sie beschänkt und fst überll stetig ist. Beweis: Siehe Heuser, Lehrbuch der Anlysis, Teil 1. Korollr () Ist f integrierbr uf [, b] und uf [b, c] dnn ist f uch integrierbr uf [, c]. (b) Ist f : [, b] C integrierbr, so ist uch f integrierbr und es gilt b b fdx f dx. (b) Sind f, g : [, b] C integrierbr, so ist uch fg integrierbr. 9.5 Uneigentliche Integrle und Reihen Sei < b und sei f : [, b) C uf jedem Intervll [, x], x < b, integrierbr. Dnn heißt x lim f(t) dt (8) x b uneigentliches Integrl der Funktion f von bis b, und wird mit b f(t)dt (9) bezeichnet. Ds uneigentliche Integrl (9) heißt konvergent, wenn der Grenzwert (8) in C existiert. Bezüglich der unteren Grenze uneigentliche Integrle werden nlog definiert. Ein beidseitig uneigentliches Integrl b f(t)dt konvergiert per Definition genu dnn wenn es ein c (, b) gibt, so dss beide uneigentlichen Integrle c konvergent sind. Dnn setzt mn f(t)dt und b c f(t)dt b f(t)dt := c f(t)dt + b c f(t)dt.

12 12 Beispiel. Ds uneigentliche Integrl 1 1 x α dx ist für α > 1 konvergent und für α 1 divergent. Ds uneigentliche Integrl x β dx ist für β < 1 konvergent und für β 1 divergent. Stz Sei < b und seien f, g integrierbr uf [, c] für lle c < b. () Ist f(x) g(x) für lle x [, b) und ist ds uneigentlich Integrl b g dx konvergent, so ist uch b f dx konvergent. (b) Ist f g 0 uf [, b) und ist uneigentliche Integrl b g dx divergent, so ist uch b f dx divergent. Bemerkung. Nch diesem Stz impliziert Konvergenz von b f dx die Konvergenz von f dx. Die Umkehrung dvon gilt nicht! Zum Beispiel ist ds uneigentliche Integrl b 0 sin x x dx konvergent, während 0 sin x /x dx divergent ist. Stz Ist f : [0, ) R positiv und monoton fllend, dnn konvergiert die Reihe k 0 f(k) genu dnn, wenn ds uneigentliche Integrl 0 f dx konvergiert. Bemerkung. Ein nloger Stz gilt für Funktionen f : [n, ) R (n Z) die positiv und monoton fllend sind. Beispiel. Die Reihe n=1 1 n α ist für α > 1 konvergent und für α 1 divergent.

13 13 10 Integrtionstechniken 10.1 Wichtige Stmmfunktionen x α 1 dx = α + 1 xα+1, 1 dx = log x x e x dx = e x cos x dx = sin x sin x dx = cos x 1 dx = rcsin x 1 x 2 1 dx = rctn x 1 + x2 cosh x dx = sinh x sinh x dx = cosh x 1 x2 + 1 dx = sinh 1 x 1 x2 1 dx = cosh 1 x α R, α Linerität der Integrtion Sei I R ein beliebiges, ber von nun n festes Intervll, und sei [F ] := {F + c c C} die Äquivlenzklsse von F : I C, wie in Kpitel 9.3. Wir definieren [F ] + [G] := [F + G] (10) λ[f ] := [λf ] (11) [F ] := F (b) F (). (12) b Diese Opertionen sind wohldefiniert, d.h. unbhängig von der Whl der Repräsentnten. Lemm Die unbestimmte Integrtion : C(I) C 1 (I)/

14 14 und die Evlution sind liner. b : C 1 (I)/ C Auf Grund der Definitionen (10), (11), (12) und Lemm drf mn beim Integrieren ohne Gefhr mit Repräsentnten F sttt mit Klssen [F ] rechnen, solnge mn sich bewusst bleibt, dss = nur Gleichheit modulo eine Konstnte bedeutet Prtielle Integrtion Theorem Sind f, g C 1 (I), I R ein Intervll, dnn gilt fg dx = fg f g dx, und für, b I Beispiele. b fg dx = fg b b 1. Für jedes λ C\{0} gilt e xe λx λx dx = xeλx λ λ f g dx. dx = xeλx λ eλx λ 2, wobei die Pfeile und nzeigen welcher Fktor differenziert und welcher integriert wird. 2. log x dx = 3. Sei n N, n 2. Dnn (cos x) n dx = 1 log x dx = x log x (cos x) n 1 cos x dx x 1 dx = x log x x. x = (cos x) n 1 sin x + (n 1)(cos x) n 2 (sin x) 2 dx. Wegen sin 2 x = 1 cos 2 x tritt rechts wieder ds gesuchte Integrl (cos x) n dx uf, ber nun mit dem Vorfktor n 1. Wir können nch (cos x) n dx uflösen und erhlten (cos x) n dx = 1 n (cos x)n 1 sin x + n 1 (cos x) n 2 dx. n Insbesondere gilt für, b (π/2)z, b (cos x) n dx = n 1 n b (cos x) n 2 dx. (13)

15 15 Als Anwendung von (13) bekommt mn die Wllis sche Produktdrstellung von π, π 2 = lim (2n)(2n) n (2n 1)(2n + 1), (14) welche wir zum Beweis der Stirlingschen Formel und bei der Untersuchung der Gmmfunktion verwenden werden. Einen Beweis von (14) findet mn z.b. in Forster, Anlysis 1. Theorem (Tylorsche Formel mit Integrlrestglied). Sei f C n+1 ([, b], C). Dnn gilt n f (k) () f(b) = (b ) k + 1 b (b x) n f (n+1) (x) dx. k! n! k= Substitution Theorem Sei f : I C stetig und ϕ : [, b] I stetig differenzierbr. Dnn gilt f(ϕ(x))ϕ (x) dx = f(u) du und b f(ϕ(x))ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() u=ϕ(x) f(u) du. Diese Substitutionsregeln lssen sich in beide Richtungen lesen, von links nch rechts und von rechts nch links. Als Merkregel zur unbestimmten Integrtion nch Theorem , gelesen von links nch rechts (bzw. von rechts nch links), notieren wir die Schritte: 1. Substituiere forml u = ϕ(x) und du = ϕ (x)dx. 2. Integriere unbestimmt nch u (bzw. nch x). 3. Drücke u durch x us (bzw. x durch u). Zur bestimmten Integrtion verfhren wir nch: 1. Substituiere forml u = ϕ(x) und du = ϕ (x)dx. 2. Ersetze die Integrtionsgrenzen ϕ() und b ϕ(b) (bzw umgekehrt). 3. Integriere bestimmt. Beispiele. 1. Zur Berechnung von 1 x(log x) 2 dx substituieren wir u = log x, du = 1 dx und erhlten x 1 1 x(log x) dx = 2 u du 2 = 1 u=log x u = 1 u=log x log x.

16 16 2. Zur Berechnung von 1 1 u2 du 0 mchen wir die Substitution u = sin x, du = (cos x)dx (Substitutionsregel von rechts nch links lesen), und erhlten 1 π/2 1 u2 du = 1 (sin x)2 (cos x)dx 0 = 0 π/2 π/2 0 (cos x) 2 dx = dx = π 4, wobei wir noch (13) benutzt hben. Die neuen Integrtionsgrenzen sind so zu bestimmen, dss sie durch sin uf die lten Grenzen 0 und 1 bgebildet werden. Die Whl von 0 und π/2 ht den Vorteil, dss 1 (sin x) 2 = cos x = cos x uf [0, π/2] Prtilbruchzerlegung Ein Polynom p(x) = n x n + n 1 x n heißt normiert, wenn n = 1. Ds konstnte Polynom p(x) = 0 mit 0 = 0 heißt Nullpolynom. Den Grd eine Polynoms p werden wir mit Grd(p) bezeichnen. Stz Sei p ein normiertes Polynom vom Grd n 1. Dnn gibt es n bis uf Nummerierung eindeutig bestimmte komplexe Zhlen ξ 1,..., ξ n, so dss p(x) = n (x ξ k ). k=1 Lemm Für jedes Pr von Polynomen p, q, beide verschieden vom Nullpolynom, gilt Grd(pq) = Grd(p) + Grd(q). Vielfchheit einer Nullstelle. Tritt der Linerfktor (x ξ) in der Zerlegung p(x) = n (x ξ k ) genu m ml uf, so nennt mn ξ eine m-fche Nullstelle von p. k=1 Stz Ist q ein reelles Polynom und ξ C eine m-fche Nullstelle von q, dnn ist uch ξ eine m-fche Nullstelle von q.

17 17 Stz Jedes normierte reelle Polynom q besitzt eine, bis uf die Reihenfolge der Fktoren eindeutige Drstellung wobei k 0 q(x) = (x α k ) m k k=1 j 0 j=1 (x 2 2β j x + γ j ) n j, () α k R, k = 1,..., k 0, prweise verschieden sind, (b) prweise verschiedene Fktoren (x 2 2β j x + γ j ) keine gemeinsmen Nullstellen hben, (c) die Diskriminnten β 2 j γ j negtiv sind. Theorem Sei p/q eine reelle rtionle Funktion mit normiertem Nennerpolynom q, und sei Grd(p) < Grd(q). Dnn gibt es eine eindeutige Drstellung von p/q ls Summe von Prtilbrüchen bestehend us folgenden Summnden: Für jeden Fktor (x α) m der Zerlegung von q nch Stz gibt es m Summnden A 1 (x α) + A 2 (x α) A m (x α) m, und für jeden Fktor (x 2 2βx + γ) n gibt es n Summnden B 1 x + C 1 (x 2 2βx + γ) + B 2 x + C 2 (x 2 2βx + γ) B n x + C n (x 2 2βx + γ) n. Wenn Grd(p) Grd(q), entgegen den Vorussetzungen von Theorem , dnn muss zuerst eine Division mit Rest durchgeführt werden. Stz Seien p, q zwei Polynome wobei q 0. Dnn gibt es eine eindeutig bestimmte Drstellung p = bq + r mit Polynomen b und r, wobei Grd(r) < Grd(q). Stz Sei p/q eine rtionle Funktion und sei α R eine einfche Nullstelle von q, d.h., p q = p (x α)q, q (α) 0. Dnn ist der Koeffizient A des Prtilbruchs A/(x α) gegeben durch A = p(α) q (α).

18 Integrtion von Prtilbrüchen Nch Kpitel 10.1 gilt A (x α) dx = m Zur Integrtion von schreiben wir diese Funktion ls Summe B 2 A log x α m = 1 A 1 m > 1. m 1 (x α) m 1 Bx + C (x 2 2βx + γ) m 2x 2β (x 2 2βx + γ) m + (C + Bβ) 1 (x 2 2βx + γ) m. Erster Summnd: Die Substitution u = x 2 2βx + γ, du = (2x 2β)dx liefert log(x 2x 2β 1 (x 2 2βx + γ) dx = m u du 2 2βx + γ) m = 1 m = u=x 2 2βx+γ 1 1 m > 1. m 1 (x 2 2βx + γ) m 1 Zweiter Summnd: Es gilt x 2 2βx + γ = (x β) 2 + λ 2, wobei λ 2 = γ β 2 > 0 nch Stz (c). Also wobei und llgemein, für m 1, 1 (x 2 2βx + γ) = m I 1 = I m+1 = 1 2mλ 2 1 (u 2 + λ 2 ) du } {{ m } I m 1 u 2 + λ 2 du = 1 λ rctn(u λ ) Zum Beweis dieser Formel integrieren wir prtiell 1 I m = 1 du = (u 2 + λ 2 ) m Nun muss mn nur noch nch I m+1 uflösen. ( = u=x β ) u (u 2 + λ 2 ) + (2m 1)I m m u (u 2 + λ 2 ) m + m 2u u (u 2 + λ 2 ) u (u 2 + λ 2 ) m + 2m(I m λ 2 I m+1 ). m+1 du

19 Weitere elementr integrierbre Funktionen R(u) bezeichne eine rtionle Funktion einer Vriblen, R(u, v) eine rtionle Funktion von zwei Vriblen. Die folgenden Beispiele hndeln von unbestimmten Integrlen, welche nch einer geeigneten Substitution zu Integrlen einer rtionlen Funktion werden. Zur Berechnung von R(e x )dx mchen wir die Substitution u = e x, bzw. x = log u, dx = 1 u du. Es folgt R(e x )dx = R(u) 1 u u=e du. x Anlog gilt R(cosh x, sinh x)dx = ( 1 R 2 (u + u 1 ), 1 ) 1 2 (u u 1 ) u du u=e x. Wegen folgt Zur Berechnung von R(cos x, sin x)dx mchen wir die Substitution sin x = u = tn(x/2). 2u 1 u2, cos x = 1 + u2 1 + u, dx = u du, 2 R(cos x, sin x)dx = ( ) 1 u 2 R 1 + u, 2u u u du. 2 Allerdings lssen sich die wichtigen Spezilfälle (cos x) m (sin x) n dx, m, n Z, wo m oder n ungerde ist, leichter wie folgt integrieren: Ist z.b. m = 2k + 1, dnn gilt (cos x) m = (1 sin 2 x) k cos x. Also führt u = sin x, du = (cos x)dx uf (cos x) m (sin x) n dx = (1 u 2 ) k u n du. u=sin x

20 20 11 Approximtive Integrtion Lässt sich die Stmmfunktion einer integrierbren Funktion f nicht elementr berechnen, wie z.b. im Fll f(x) = e x2, dnn knn mn zur Berechnung bestimmter Integrle uf pproximtive Methoden usweichen. Wir behndeln die Trpez- und die Simpsonsche Regel. Die Trpezregel findet uch im Beweis der Stirlingschen Formel Anwendung Trpezregel Sei f : [, b] R stetig und sei {x 0,..., x n } die Stndrdprtition x k := + kh, h := b, k = 0,..., n. n Wir pproximieren b f(x)dx durch eine Summe von Trpezflächen n T n (f) = = h k=1 h( f(xk 1 ) + f(x k ) ) 2 ( f() n k=1 ) f(x k ) + f(b). 2 T n (f) ist ds Integrl der Funktion deren Grph der Streckenzug durch die Punkte (, f()), (x 1, f(x 1 ))... (b, f(b)) ist. Um die Genuigkeit dieser Approximtion zu beurteilen benötigen wir ds folgende Lemm. Lemm Sei f : [0, 1] R zwei ml stetig differenzierbr. Dnn gilt 1 0 f(x) dx = f(0) + f(1) x(1 x)f (x) dx, wobei x(1 x)f (x) dx 1 12 sup f (x). Stz (Trpezregel). Sei f : [, b] R zwei ml stetig differenzierbr. Dnn gilt b f(x) dx T n (f) (b )3 sup f (x). 12n 2 x Bemerkung. Verdoppelung von n verkleinert die Fehlerschrnke um den Fktor Simpsonsche Regel Wir teilen [, b] nun in eine gerde Zhl n von Teilintervllen [x k 1, x k ], wobei x x k := + kh, h := b, k = 0,..., n, n

21 21 wie im letzten Kpitel, und wir pproximieren f uf den Doppelintervllen [x 0, x 2 ], [x 2, x 4 ],... durch Polynome p k zweiten Grdes, welche durch p k (x l ) = f(x l ), für l = k 1, k, k + 1, bestimmt sind. Auf diese Weise bekommen wir xk+1 p k (x)dx = h ( ) f(x k 1 ) + 4f(x k ) + f(x k+1 ) x k 1 3 ls Approximtion für x k+1 x k 1 n S n (f) := k=1,ung. f(x)dx. Wir setzten dher h( f(xk 1 ) + 4f(x k ) + f(x k+1 ) ) 3 = h 3 ( f(x0 ) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) f(x n ) ). Um die Genuigkeit der Approximtion S n (f) für b fdx zu beurteilen benötigen wir: Lemm Sei f : [ 1, 1] R vier ml stetig differenzierbr. Dnn gilt 1 f(x)dx = 1 ( ) 1 f( 1) + 4f(0) + f(1) + f (4) (x)ψ(x)dx, wobei ψ(x) = 1 ( x 24 1)4 + 1 ( x 18 1)3 und 1 f (4) (x)ψ(x)dx 1 90 sup f (4) (x). 1 Theorem (Simpsonsche Regel). Sei f : [, b] R vier ml stetig differenzierbr und sei n 2 eine gerde ntürliche Zhl. Dnn gilt b f(x)dx S n (f) (b )5 sup f (4) (x). 180n 4 x Bemerkung. Verdoppelung von n verkleinert die Fehlerschrnke um den Fktor 16. Beispiel. Wir benutzen 2 1 log 2 = 1 x dx und die Simpsonsche Regel um eine numerische Approximtion für log 2 zu bekommen. Mit f(x) = 1/x und n = 4 wird S 4 = 1 12 = 1 12 ( f(1) + 4f(5/4) + 2f(6/4) + 4f(7/4) + f(2) ) ( ) 2 x Wegen f (4) (x) = 24/x 5 ist sup x [1,2] f (4) (x) = 24. Also gilt nch Theorem log 2 S =

22 Stirlingsche Formel Theorem Für lle n 1 gilt ) n ( n < n! 2πn e 2πn ( n e ) n e 1/12n. Nch diesem Theorem gilt n! ( n ) n 2πn e mit einen reltiven Fehler der kleiner ls e 1/12n 1 1/10n ist. Dieses Resultt gibt eine gute Vorstellung dvon wie sich n! für große n verhält und findet Anwendung z.b. in der sttistischen Mechnik. Die Schrnken us Theorem gelten ber für lle n 1, und die obere Schrnke ist für kleine n verblüffend nhe n n!: n n! 2πn (n/e) n e 1/12n

23 23 12 Gewöhnliche Differentilgleichungen 12.1 Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dnn nennt mn y = f(x, y) (15) eine (gewöhnliche) Differentilgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (15) kzeptiert mn jede Funktion ϕ : I R uf einem Intervll I R, so dss () der Grph von ϕ liegt in D: (b) ϕ ist differenzierbr und {(x, ϕ(x)) x I} D, ϕ (x) = f(x, ϕ(x)) für lle x I. Sei (x 0, y 0 ) D. Die Aufgbe eine Lösung von y = f(x, y), y(x 0 ) = x 0 (16) zu finden, nennt mn ein Anfngswertproblem (AWP). Die Forderung y(x 0 ) = x 0 heißt Anfngsbedingung. Mn sgt ϕ : I R sei die eindeutige Lösung von (16) uf dem Intervll I, wenn jede ndere Lösung ψ : J R uf J I mit ϕ übereinstimmt. Ist jede ndere Lösung ψ : J R eine Restriktion der Lösung ϕ, d.h. J I und ψ = ϕ uf J, dnn nennen wir ϕ die eindeutige Lösung des AWP (16). Mnchml lssen sich lle Lösungen einer Differentilgleichung y = f(x, y) durch eine einprmetrige Fmilie von Funktionen {ϕ c } c M (M R) beschreiben. Ds heißt, die Funktion ϕ c ist uf jedem Teilintervll ihres Definitionsbereichs eine Lösung und jede Lösung ist von dieser Form. Dnn nennt mn {ϕ c } c M die llgemeine Lösung der Differentilgleichung oder ein vollständiges Integrl dvon Linere Differentilgleichungen Eine DGL der Form y = f(x)y + g(x) nennt mn eine linere Differentilgleichung. Sie heißt homogen, wenn g 0, und sonst inhomogen. Wir betrchten zuerst den homogenen Fll: y = f(x)y (17) und ds zugehörige AWP y = f(x)y, y(x 0 ) = y 0. (18)

24 24 Stz Sei f : I R stetig und x 0 I. Dnn ist ϕ(x, C) = C exp x die llgemeine Lösung der DGL (17), und ist die eindeutige Lösung des AWP (18). x 0 f dt, x I, C R, x ϕ 0 (x) = y 0 exp f dt, x 0 x I, Die inhomogene Gleichung y = f(x)y + g(x) (19) lösen wir durch Vrition der Konstnten. D.h., wir mchen den Anstz ϕ(x) = γ(x)ϕ 0 (x), (20) wobei ϕ 0 eine Lösung der homogenen Gleichung (17) ist, z.b., x ϕ 0 (x) = exp f(t) dt, x 0 (21) und wir suchen lle Funktionen γ für welche (20) eine Lösung von (19) ist. Wegen ϕ 0 > 0 ist jede Lösung von (19) drstellbr in der Form (20) mit einer differenzierbren Funktion γ. Einsetzen von (20) in (19) liefert γ ϕ 0 + γϕ 0 = fγϕ 0 + g, wo sich der zweite Term links und der erste rechts wegheben, d ϕ 0 Gleichung löst. Also die homogene und somit mit einer beliebigen Konstnten C. γ(x) = γ = g ϕ 0 x x 0 g ϕ 0 dt + C Stz Seien f, g : I R stetig, sei x 0 I, und sei ϕ 0 (x) = exp x x 0 f dt. Dnn ist ( x ) g ϕ 0 (x) C + dt, x I, C R, x 0 ϕ 0 die llgemeine Lösung von (19). Die eindeutige Lösung von (19) mit Anfngsbedingung y(x 0 ) = y 0 erhält mn durch die Whl C = y 0.

25 25 Sei ψ : I R eine (z.b. errtene) Lösungen der inhomogenen Gleichung (19). Ist ψ eine zweite Lösung dieser Gleichung, dnn ist ϕ = ψ ψ eine Lösung der homogenen Gleichung (17). Wenn umgekehrt ϕ eine Lösung der homogenen Gleichung (17) ist, dnn ist ψ = ϕ + ψ eine Lösung der inhomogenen Gleichung (19). Dmit ist gezeigt, dss sich die llgemeine Lösung von (19) schreiben lässt ls ϕ 0 (x, C) + ψ(x) wobei ϕ 0 (x, C) die llgemeine Lösung der homogenen Gleichung und ψ eine irgendwie gefundene (sogennnte spezielle Lösung) der inhomogenen Gleichung ist. Beispiel. Die linere Differentilgleichung y = 3y + 5 (22) ht offensichtlich die Lösung ψ(x) = 5/3, während ϕ(x, C) = Ce 3x die llgemeine Lösung der homogenen Gleichung y = 3y ist. Also ist die llgemeine Lösung von (22). ψ(x, C) = Ce 3x Seprierbre Differentilgleichungen Differentilgleichungen der Form y = f(x)g(y) (23) nennt mn seprierbr. Ht die Funktion g eine Nullstelle y 0, dnn ist die konstnte Funktion ϕ(x) = y 0 eine Lösung. Um die nderen Lösungen zu finden, nehmen wir n, f : I R und g : J R seien stetig und g(y) 0 für lle y J. Die folgende formle Mnipultion der Gleichung (23) wird Seprtion der Vriblen gennnt. Sie wird nur durch den nchfolgenden Stz und dessen Beweis gerechtfertigt! Zuerst bringt mn in der Gleichung dy dx = f(x)g(y) lle y nch links und lle x nch rechts; dnn werden beide Seite unbestimmt integriert, 1 g(y) dy = f(x)dx. Sind G und F Stmmfunktionen von 1/g und f, dnn lässt sich diese Gleichung schreiben ls G(y) = F (x) + C. Wegen G = 1/g 0 ist G streng monoton, lso invertierbr. Die Funktion y(x) = G 1 (F (x) + C) ist unser Kndidt für eine Lösung von (23).

26 26 Stz Seien f : I R und g : J R stetig und g 0 uf J. Sind G und F Stmmfunktionen von 1/g und f, dnn ist ϕ(x, C) := G 1 (F (x) + C) uf jedem Teilintervll von {x I : F (x) + C G(J)} eine Lösung von (23), und jede Lösung ist von dieser Form. Die eindeutige Lösung des AWP mit Anfngsbedingung y(x 0 ) = y 0, x 0 I, y 0 J ist durch y bestimmt. y 0 1 g dt = x x 0 fdt Eine Differentilgleichung der Form y = g(y) nennt mn x-frei, oder utonom. Wie im llgemeinen Fll einer seprierbren Gleichung führen Nullstellen von g zu konstnten Lösungen. Sei nun g(y) 0 uf J und stetig. Seprtion der Vriblen liefert 1 dy = x + C. g(y) Also sind lle Lösungen von der Form ϕ(x, C) = G 1 (x + C), wobei G eine Stmmfunktion von 1/g ist. Beispiel. Die Logistische Gleichung x G(J) C y = (α βy)y, α, β > 0, ht die konstnten Lösungen y = 0 und y = α/β. Die übrigen Lösungen bekommt mn us 1 dy = x + C. (α βy)y Ds Integrl wird durch Prtilbruchzerlegung des Integrnden berechnet. Mn bekommt 1 α log y α βy = x + C, bzw. y α βy = ±eα(x+c), ws mn leicht nch y uflösen knn: α y(x) = β ± e. α(x+c) Durch diese Gleichung werden drei Fmilien von Lösungen beschrieben! (Aufgbe: Skizze erstellen.) Die Lösung zur Anfngsbedingung y(x 0 ) = y 0 lutet αy 0 y(x) = βy 0 + (α βy 0 )e. α(x x 0)

27 Homogene Differentilgleichungen Differentilgleichungen der Form y = f(y/x) (24) nennt mn homogen. Homogene DGL lssen sich durch die Substitution u = y/x uf seprierbre DGL reduzieren: Sei y : I R, (0 I) eine Lösung von (24) und sei u(x) = y(x)/x. Dnn gilt f(u) = y = (xu) = u + xu, lso u = 1 x( f(u) u ), (25) ws eine seprierbre Differentilgleichung ist. Wenn umgekehrt u eine Lösung von (25) ist und y(x) := xu(x), dnn ist y eine Lösung von (24). Es gibt noch mehr Differentilgleichungen, welche sich uf seprierbre reduzieren lssen. Z.B., wird y = f(x + by + cz),, b, c R, b 0, durch die Substitution u = x + by + cz zur äquivlenten x-freien DGL Auch Differentilgleichungen der Form y = f u = + bf(u). ( ) x + by + c αx + βy + γ lssen sich uf seprierbre zurückführen. (Wlter: Gewöhnliche Differentilgleichungen) Existenz und Eindeutigkeitssätze Wir übernehmen in R 2 die topologischen Strukturen, welche in C eingeführt wurden (siehe uch Kpitel 14). Ds heißt: (x, y) := x 2 + y 2 = x + iy, B ε (x, y) := {(u, v) R 2 : (u, v) (x, y) < ε}. Eine Teilmenge D R 2 ist genu dnn offen, bgeschlossen, oder beschränkt, wenn sie diese Eigenschft ls Teilmenge von C ht. Eine Funktion f : D R 2 R ist stetig, wenn die Abbildung (x + iy) f(x, y) stetig ist, d.h., wenn zu jedem (x 0, y 0 ) D und zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existert, so dss (x, y) D, (x, y) (x 0, y 0 ) < δ f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ε.

28 28 Theorem (Peno 1890). Sei D R 2 offen und f : D R stetig. Dnn ht jedes AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, mindestens eine Lösung. Jede Lösung lässt sich links und rechts von x 0 bis zum Rnd von D fortsetzen. Die Lösung ϕ : I R lässt sich rechts von x 0 bis zum Rnd von D fortsetzen bedeutet, dss eine Lösung ϕ + : [x 0, b) R existiert (b ), so dss ϕ + = ϕ uf [x 0, b) I und Grph(ϕ + ) entweder unbeschränkt ist, oder dem Rnd von D beliebig nhe kommt: inf { (x, ϕ(x)) (u, v) : x [x 0, b), (u, v) D c} = 0. Lipschitzbedingung. Die Funktion f : D R 2 R, (x, y) f(x, y) genügt einer loklen Lipschitzbedingung bezüglich y, flls zu jedem (x 0, y 0 ) D ein ε > 0 und ein L existiert, so dss f(x, y) f(x, ỹ) L y ỹ für lle (x, y), (x, ỹ) B ε (x 0, y 0 ) D. Lemm Sei D R 2 offen, f : D R differenzierbr bezüglich y, d.h., f y (x, y) = lim h 0 f(x, y + h) f(x, y) h existiere für lle (x, y) D, und sei f y Lipschitz-Bedingung bezüglich y. stetig in D. Dnn genügt f einer loklen Stz Die Funktion f : D R 2 R sei stetig und genüge einer loklen Lipschitzbedingung bezüglich y. Sind ϕ, ψ : I R zwei Lösungen des AWP dnn gilt ϕ = ψ. y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, Theorem (Picrd-Lindelöf). Sei D R 2 offen, f : D R stetig und lokl Lipschitz-stetig bezüglich y. Dnn ht jedes AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, eine Lösung ϕ, welche sich nicht fortsetzen lässt und links und rechts von x 0 dem Rnd von D beliebig nhe kommt. Die Lösung ϕ ist eindeutig, d.h. jede ndere Lösung ist eine Restriktion von ϕ.

29 29 13 Funktionenfolgen 13.1 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit Sei D eine beliebige Menge. Die Folge von Funktionen f n : D C, n N, konvergiert uf D punktweise gegen f : D C, wenn für jedes x D lim f n(x) = f(x). n Sie konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dss (N unbhängig von x D.) n N, x D f n (x) f(x) < ε. Theorem Sei D C und sei f n : D C, n N, eine Folge stetiger Funktionen. Flls f n f gleichmäßig, dnn ist uch f stetig. Lemm (Cuchy-Kriterium). Sei D eine beliebige Menge. Die Folge von Funktionen f n : D C, n N, konvergiert genu dnn gleichmäßig gegen eine Funktion f : D C, wenn zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dss n, m N, x D f n (x) f m (x) < ε Grenzübergng bei Integrtion Theorem Sei f n : [, b] C, n N, integrierbr und f n f gleichmäßig. Dnn ist uch f integrierbr und lim n b f n (x)dx = b f(x)dx. Korollr Sei f n : [, b] C, n N, integrierbr und f n f gleichmäßig. Dnn gilt für jedes x 0 [, b] x f n (x)dx x 0 x f(x)dx, x 0 (n ) gleichmäßig uf [, b] Grenzübergng bei Differentition Theorem Sei f n : [, b] C, n N, eine Folge differenzierbrer Funktionen, für welche (f n ) gleichmäßig konvergent und (f n(x 0 )) für mindestens ein x 0 [, b] konvergent ist. Dnn gibt es eine Funktion f : [, b] C, so dss f n f gleichmäßig und f = lim f n n.

30 30 Beweis mit Zustznnhme, dss f n stetig sei. Wenn f n stetig ist, dnn ist f n integrierbr und es gilt für jedes beliebige x 0 [, b] f n (x) = f n (x 0 ) + x x 0 f n(t)dt (26) für lle x [, b] (Korollr 9.3.1). Nch Vorussetzung existieren g : [, b] C und α C, so dss im Limes n f n g gleichmäßig, Nch Theorem ist g stetig lso integrierbr, f n (x 0 ) α. (27) f(x) := α + x x 0 gdt ist nch Theorem differenzierbr und f = g = lim n f n. Es bleibt noch zu zeigen, dss f n f gleichmäßig. Sei ε > 0. Nch Korrolr gilt x x 0 f n (x)dx x x 0 g(x)dx gleichmäßig uf [, b]. Also gibt es ein N N, so dss x x f n(x)dx g(x)dx, < ε/2 für n N, x [, b], (28) x 0 x 0 wobei wir wegen (27) uch noch f n (x 0 ) α < ε/2 für n N, (29) nnehmen dürfen. Aus (28), (29) und der Dreiecksungleichung folgt d.h. f n f gleichmäßig. f n (x) f(x) < ε für n N, x [, b], Um Theorem ohne Zustznnhme zu beweisen, bruchen wir folgenden Vertuschungsstz für Grenzwerte. Stz Sei D C und sei ξ ein (uneigentlicher) Häufungspunkt von D. Sei f n : D C eine Folge von Funktionen für welche α n := lim z ξ f n (z) für lle n N existiert und f n gleichmäßig gegen eine Funktion f : D C konvergiert. Dnn existieren lim z ξ f(z) und lim n α n und stimmen überein, d.h., ( ) ( ) lim lim f n(z) = lim lim f z ξ n n n(z). z ξ

31 Funktionenfolgen in der Form von Reihen Eine Reihe k=0 u k(z) heißt punktweise (gleichmäßig) konvergent uf D, wenn die Folge der Prtilsummen dort punktweise (gleichmäßig) konvergiert. Theorem (Weierstrßscher M-test). Sei D C und sei u k : D C, k N, eine Folge von Funktionen. Flls u k (z) M k für lle z D und M k <, k=0 dnn ist k=0 u k(z) gleichmässig konvergent. Beispiel. Für jedes q (0, 1) konvergiert die Reihe k 0 zk gleichmäßig uf {z C : z q}. Denn z q impliziert z k q k, wobei k 0 qk konvergent ist. Stz Die Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe k=0 u k(z) von stetigen Funktionen u k : D C, D C, ist eine stetige Funktion. Beweis. Folgt us Theorem Stz Die Summe einer uf [, b] gleichmäßig konvergenten Reihe k=0 u k(x) von integrierbren Funktionen u k : [, b] C ist integrierbr, und es gilt b k=0 u k (x) dx = b k=0 u k (x) dx. Ist x 0 [, b] beliebig ber fest, dnn x x 0 k=0 u k (t) dt = k=0 x x 0 u k (t) dt, x [, b], wobei die Reihe rechts gleichmäßig konvergiert. Beweis. Folgt us Theorem und Korollr Stz Die Funktionenreihe k=0 u k sei wenigstens in einem Punkt x 0 [, b] konvergent, und k=0 u k sei uf [, b] gleichmäßig konvergent. Dnn ist k=0 u k uf [, b] gleichmäßig konvergent, die Summe ist differenzierbr und es gilt Beweis. Folgt us Theorem ( ) u k = u k. k=0 k=0

32 Potenzreihen Funktionenreihen der Form k (z ) k, k, C, k=0 heißen Potenzreihen. Theorem Sei k=0 kz k eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten k. Sei R := wobei 0 1 := und 1 := 0. Dnn gilt: ( ) 1 k lim sup k, (30) n () Für z < R konvergiert die Reihe bsolut und die Konvergenz ist gleichmäßig uf jeder Kreisscheibe {z : z r} mit r < R. (b) Für z > R divergiert die Reihe. Die Größe (30) heißt Konvergenzrdius der Potenzreihe. Theorem Die Summe einer Potenzreihe f(x) := k x k, k C, k=0 mit Konvergenzrdius R > 0 ist uf ( R, R) stetig und es gilt x 0 f(t) dt = k=0 x k+1 k, x < R. k + 1 Der Konvergenzrdius der Reihe rechts beträgt ebenflls R. Beispiel. Durch Integrtion beider Seiten von x = ( 1) k x k, x < 1, erhlten wir nch Theorem , log(1 + x) = für x < 1. x 0 k= t dt = k=0 ( 1) k xk+1 k + 1 = x x2 2 + x3 3 x (31)

33 33 Theorem Die Summe einer Potenzreihe f(x) := k x k, k C, k=0 mit Konvergenzrdius R > 0 ist uf ( R, R) beliebig oft differenzierbr, es gilt und llgemein, für n 1, f (n) (x) = f (x) = k kx k 1 k=0 k k(k 1)... (k n + 1)x k n. k=n Die Potenzreihe rechts ht ebenflls den Konvergenzrdius R. Beispiel. Die Potenzreihe k=0 ( 1) k x2k+1 2k + 1 ht Konvergenzrdius R = 1. Also ist ihre Summe uf ( 1, 1) differenzierbr und es gilt Drus folgt d dx k=0 ( 1) k x2k+1 2k + 1 = ( 1) k x 2k = x = d rctn x. 2 dx k=0 k=0 ( 1) k x2k+1 2k + 1 = rctn x + C mit einem C R. Einsetzen von x = 0 liefert C = 0, und somit rctn x = x x3 3 + x5... für x < 1. 5 Korollr Die Funktion f : ( r, +r) C sei gegeben durch eine konvergente Potenzreihe f(x) = k (x ) k, k C, R. k=0 Dnn gilt k = f (k) ()/k!. Ds heißt k=0 k(x ) k ist die Tylorreihe von f mit Entwicklungspunkt. Korollr Gibt es ein ε > 0, so dss k (x ) k = k=0 b k (x ) k k=0 für lle x ( ε, + ε), dnn gilt k = b k für lle k.

34 34 Stz (Stz von Abel). Ist die Reihe k=0 k, k C konvergent, so konvergiert die Potenzreihe k x k uf [0, 1] gleichmäßig. Insbesondere ist k=0 k=0 k = lim x 1 k x k. Bemerkung. Wenn k bsolut konvergent ist, dnn folgt die Behuptung sofort us dem M-Test mit M k = k. Beispiel. Nch Gleichung (31) gilt k=0 log(1 + x) = k=0 ( 1) k xk+1 k + 1 = x x2 2 + x3 3..., x < 1. D k=0 ( 1)k /(k + 1) konvergent ist, folgt us Stz , dss log 2 = 13.6 Binomilreihe k=0 ( 1) k k + 1 = Für α R und k N definiert mn Binomilkoeffizienten ( ) α := 1, 0 ( ) α := k ( ) α durch k α(α 1)... (α k + 1). k! Die Reihe ( ) α x k k k=0 ( ) α heißt Binomilreihe. Flls α N, dnn gilt = 0 für k > n, und somit k k=0 ( ) α x k = k Theorem Sei α R. Dnn gilt (1 + x) α = k=0 α k=0 ( ) α x k = (1 + x) α. k ( ) α x k, für x < 1. k

35 Integrle mit einem Prmeter Viele wichtige Funktionen sind durch Integrle mit einem Prmeter definiert, lso durch eine Gleichungen der Form F (λ) = b f(x, λ) dx. Um die Frgen nch Stetigkeit und Differenzierbrkeit zu bentworten beweisen wir folgende Sätze. Stz Ist f : [, b] [α, β] C stetig, dnn ist uch uf [α, β] stetig. F (λ) := b f(x, λ) dx Stz (Leibnizsche Regel). Sind f : [, b] [α, β] C und die prtielle Abeitung λ f stetig uf [, b] [α, β], dnn ist differenzierbr uf [α, β] und es gilt Stz Die Gmmfunktion. F (λ) = F (λ) = 0 b b e x2 dx = Lemm Ds uneigentliche Integrl konvergiert für lle s > 1. Die Funktion heißt Gmmfunktion. Γ(λ) = Stz Für lle λ > 0 gilt und Γ(1/2) = π. 0 0 f(x, λ) dx λ f(x, λ) dx. x s e x dx π 2. x λ 1 e x dx, λ > 0 Γ(λ + 1) = λγ(λ) Korollr Γ(n + 1) = n! für n N.

36 36 14 Metrische Räume 14.1 R n ls euklidischer Vektorrum Die Menge R n = {(x 1,..., x n ) x i R} versehen mit der Addition und der sklren Multipliktion x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx 1,..., λx n ), λ R, ist ein n-dimensionler, reeller Vektorrum (vgl. Linere Algebr). Wir definieren uf diesem VR ein Sklrprodukt durch n x, y := x y := x i y i. Aus den Körperxiomen von R folgt leicht, dss für lle x, y, z R n und lle λ R, i=1 x y = y x (x + y) z = x z + y z. Die Abbildung R n R n R definiert durch (x, y) x y ist lso symmetrisch und liner im ersten Argument. Somit ist sie uch liner im zweiten Argument. Mn definiert den Betrg x eines Vektor x R n durch x = ( n ) 1/2 x x = x 2 i. Stz Für lle x, y R n gilt Beweis. Aus Stz folgt ( n n x y = x i y i i=1 i=1 x y x y. i=1 x 2 i ) 1/2 ( n ) 1/2 yi 2 = x y. i=1 Stz Für lle x, y R n und lle λ R gilt (i) x 0 und ( x = 0 x = 0). (ii) λx = λ x (iii) x + y x + y. Mit Hilfe des Betrgs knn mn in R n, nlog wie in C, ε-umgebungen, offene Mengen, bgeschlossene Mengen, Konvergenz von Folgen, etc. einführen. Es lohnt sich, dies im Rhmen metrischer Räume zu tun.

37 Topologie metrischer Räume Ein metrischer Rum (M, d) ist eine Menge M versehen mit einer Metrik d : M M R, so dss für lle x, y, z M gilt: (M1) d(x, y) 0 und (d(x, y) = 0 x = y). (M2) d(x, y) = d(y, x) (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Bemerkung: Ist (M, d) ein metrischer Rum und D M, dnn ist (D, d) uch ein metrischer Rum. Wir definieren weiter in einem metrischen Rum (M, d): (i) Ist M und ε > 0, dnn heißt B ε () := {x M d(x, y) < ε} ε-bll oder ε-umgebung von. Ḃ ε () := B ε ()\{}. (ii) D M heißt offen, flls zu jedem x D ein ε > 0 existiert, so dss B ε () D. (iii) D M heißt bgeschlossen, flls M\D offen ist. (iv) D M heißt beschränkt, flls ein M und ein R > 0 existieren, so dss D B R (). (iv) x M heißt Häufungspunkt von D, flls Ḃε() D für lle ε > 0. (v) Der Rnd D einer Teilmenge D M ist die Menge der Punkte x M für welche B ε (x) D und B ε (x) D c für lle ε > 0. Stz Sei (M, d) ein metrischer Rum. Dnn gilt: (i) M, sind offen. (ii) Sind V 1,..., V n M offen, dnn ist n i=1 V i offen.

38 38 (iii) Ist (V i ) i I eine beliebige Fmilie offener Mengen, dnn ist uch i I V i offen. Korollr Sei (M, d) ein metrischer Rum. Dnn gilt: (i) M, sind bgeschlossen. (ii) Sind A 1,..., A n M bgeschlossen, dnn ist n i=1a i bgeschlossen. (iii) Ist (A i ) i I eine beliebige Fmilie bgeschlossener Mengen, dnn ist uch i I A i bgeschlossen. Sei (M, d) ein metrischer Rum und D M. Ds Innere, D, von D ist die grösste offene Teilmenge von D. Der Abschluss, D, von D ist die kleinste bgeschlossene Menge welche D enthält. Die Existenz von D und D folgt us Stz und Korrolr , denn es gilt: D = V, D = A. V D, V offen A D, A bgesch. Stz Sei (M, d) ein metrischer Rum und D M. Dnn gilt: (i) D ist bgeschlossen. (ii) D = D D. (iii) D = D\ D Konvergenz und Vollständigkeit Sei (M, d) ein metrischer Rum und (x n ) eine Folge in M. (i) Die Folge (x n ) konvergiert gegen x, in Zeichen lim x n = x, oder x n x (n ). n flls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dss n N d(x n, x) < ε. (ii) Die Folge (x n ) heißt Cuchy-Folge, flls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dss n, m N d(x n, x m ) < ε. (iii) Die Folge (x n ) heißt beschränkt, wenn die Menge {x n n N} beschränkt ist.

39 39 Stz Sei (x k ) eine Folge in R n. Dnn gilt: (i) lim k x k = genu dnn, wenn lim k x k,i = i für lle i = 1,..., n. (ii) (x k ) ist genu dnn eine Cuchy-Folge, wenn (x k,i ) für jedes i {1,..., n} eine Cuchy-Folge ist. (iii) Die Folge (x k ) ist genu dnn beschränkt, wenn jede Folge (x k,i ), i = 1,..., n, beschränkt ist. Stz Jede konvergente Folge eines metrischen Rumes (M, d) ist beschränkt. Stz (Bolzno-Weierstrß). Jede beschränkte Folge in R n ht eine konvergente Teilfolge. Stz Jede konvergente Folge eines metrischen Rumes (M, d) ist eine Cuchy- Folge. Ein metrischer Rum (M, d) heißt vollständig, flls jede Cuchy-Folge in M konvergent ist. Theorem R n versehen mit der Stndrdmetrik d(x, y) = x y ist ein vollständiger metrischer Rum. Stz Sei (M, d) ein metrischer Rum und sei A M. Dnn sind äquivlent: () A ist bgeschlossen. (b) Für jede konvergente Folge (x k ) k N in M mit lim k x k = x gilt: x k A für lle k x A. Stz Ist (M, d) vollständig und A M bgeschlossen, dnn ist uch (A, d) vollständig. Beweis. Siehe Aufgbenbltt Stetigkeit Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und f : M 1 M 2. Die Abbildung f heißt stetig in M 1, flls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss d 1 (x, ) < δ d 2 (f(x), f()) < ε.

40 40 Die Abbildung f heißt stetig, flls sie stetig in jedem Punkt von M 1 ist. Die Abbildung heißt gleichmässig stetig, flls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss d 1 (x, y) < δ d 2 (f(x), f(y)) < ε für lle x, y M 1. Die Abbildung f heißt Lipschitz-stetig (genügt einer Lipschitz-Bedingung), wenn es eine Konstnte L gibt, so dss d 2 (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y) für lle x, y M 1. Theorem Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und sei f : M 1 M 2. Dnn sind äquivlent: () f ist stetig in M 1. (b) Für jede Folge (x k ) in M 1 mit lim k x k = gilt lim f(x k) = f(). k Stz Sei (M, d) ein metrischer Rum und sei f : M R n mit Dnn sind äquivlent: () f ist stetig im Punkt M. f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)). (b) Die Funktionen f 1,..., f n sind stetig in. Stz Sei (M, d) ein metrischer Rum. Sind f, g : M C stetig in M, dnn sind uch f + g, fg und, flls g() 0, f/g stetig in. Aus diesem Stz und der Stetigkeit von x x i folgt, dss lle Polynome p : R n C mit p(x) = c α1...α n x α x αn n, c α 1...α n C, r N, P αi r stetig sind uf R n, und dss lle rtionlen Funktionen p/q, mit Polynomen p, q 0 uf {x R n q(x) 0} stetig sind. Stz Seien (M 1, d 1 ), (M 2, d 2 ) und (M 3, d 3 ) metrische Räume. Ist f : M 1 M 2 stetig in M 1 und g : M 2 M 3 stetig in f(), dnn ist g f : M 1 M 3 stetig in. Beweis. Kopie des Beweises von Stz mit Hilfe von Theorem Theorem Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und sei f : M 1 M 2. Dnn sind äquivlent:

41 41 () f ist stetig. (b) V M 2 ist offen f 1 (V ) M 1 ist offen. (c) B M 2 ist bgeschlossen f 1 (B) M 1 ist bgeschlossen. Grenzwerte einer Funktion. Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume, sei f : D M 1 M 2, und sei ξ ein Häufungspunkt von D. Mn schreibt lim f(x) = η oder f(x) η (x ξ), x ξ flls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss x Ḃδ(ξ) D f(x) B ε (η). Stz Sei f : D M 1 M 2 und sei ξ ein HP von D. Dnn gilt () f ist genu dnn stetig in ξ, wenn lim x ξ f(x) = f(ξ). (b) lim x ξ f(x) = η genu dnn, wenn lim n f(x n ) = η für jede Folge (x n ) in D\{ξ} mit lim n x n = ξ Kompktheit Sei (M, d) ein metrischer Rum. Eine Teilmenge K M heißt (folgen-)kompkt, wenn jede Folge us K eine in K konvergente Teilfolge ht. Stz Eine kompkte Menge ist bgeschlossen und beschränkt. Bemerkung: Die Umkehrung dieser Aussge ist richtig in R n, ber sonst im llgemeinen nicht! Zum Beispiel ist R versehen mit der diskreten Metrik bgeschlossen und beschränkt (R B 2 (0)), ber die Folge x n = n ht keine konvergente Teilfolge. Theorem (Heine-Borel). Eine Teilmenge von R n (mit Stndrdmetrik) ist genu dnn kompkt, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist. Stz Ist f : M 1 M 2 stetig und K M 1 kompkt, dnn ist uch f(k) kompkt. Theorem Ist (M, d) ein kompkter metrischer Rum und f : M R stetig, dnn nimmt die Funktion f uf M ihr Mximum und ihr Minimum n. Beweis 1. Kopie des Beweises von Thm Theorem Ist f : M 1 M 2 stetig und M 1 kompkt, dnn ist f gleichmässig stetig. Beweis. Kopie des Beweises von Thm

42 Normierte Räume Ein normierter Vektorrum (X, ρ) über dem Körper K (K = R oder K = C) ist ein Vektorrum X zusmmen mit einer Abbildung ρ : X R, einer Norm, so dss für lle x, y X und lle λ K: (N1) ρ(x) 0 und (ρ(x) = 0 x = 0), (N2) (N1) ρ(λx) = λ ρ(x), ρ(x + y) ρ(x) + ρ(y). Mn schreibt gewöhnlich x oder x für ρ(x). Bemerkung. In jedem normierten Vektorrum (X, ) ist durch d(x, y) := x y eine Metrik definiert. Flls nicht usdrücklich nderst gesgt, dnn fsst mn einen normierten Rum immer uch ls metrischen Rum mit dieser Metrik uf. Dmit sind die Begriffe: offen, bgeschlossen, beschränkt, konvergente Folge, Cuchy-Folge, vollständig, stetig etc. uch in normierten Vektorräumen erklärt. Beispiel. Die Norm x x ist eine stetige Abbildung von X nch R, denn es gilt für lle x, y X. Beispiele normierter Räume. x y x y 1. Der reelle Vektorrum R n mit der Norm x = ( n i=1 x2 i )1/2 ist ein vollständiger normierter VR. 2. Der komplexe Vektorrum C n mit der Norm z = ( n i=1 z i 2 ) 1/2 ist ein vollständiger normierter Vektorrum. 3. Der komplexe Vektorrum C([, b], C) mit der Norm f := sup f(x) x [,b] ist ein vollständiger normierter Vektorrum. Einen vollständigen normierten Vektorrum nennt mn einen Bnchrum.