Übung 7: Lösungen. Technische Universität München SS 2004 Zentrum Mathematik Prof. Dr. K. Buchner. Aufgabe T 19 (Ober- und Untersummen)

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1 Technische Universität München SS Zentrum Mthemtik 7.6. Prof. Dr. K. Buchner Dr. W. Aschbcher Anlysis II Aufgbe T 9 Ober- und Untersummen Übung 7: Lösungen : Nch Vorussetzung ist f R-integrierbr, d.h. ds obere und ds untere Riemnn-Drbou- Integrl eistieren und sind gleich: f d f d : J Es eistieren lso Zerlegungen P und P mit J S P f < ɛ, S P f J < ɛ. Sei nun P die gemeinsme Verfeinerung von P und P, d.h. P P P. D wir us der Vorlesung wissen, dss S P f S P f und S P f S P f für eine Zerlegung P und eine Verfeinerung P von P, finden wir: S P f S P f < J + ɛ < S P f + ɛ S P f + ɛ worus die Behuptung folgt. : Aus der Vorlesung wissen wir, dss S P f f d f d S P f, worus folgt: f d f d S P f f d S P f S P f < ɛ Nch Vorussetzung muss dies für lle ɛ > gelten, ws lso impliziert, dss ds obere mit dem unteren Riemnn-Drbou-Integrl übereinstimmen muss. b Sei n N und h hn : b/n. Die äquidistnte Zerlegung P n von [, b] besteht us folgenden Punkten: j : jh j,,..., n Dmit definieren wir P n : {,,..., n }, I k : [ k, k ] [k h, kh] und k : k k h für lle k,..., n. Ausserdem ist m k : inf Ik f fk h k 3 b 3 /n 3 und M k : sup Ik f fkh k 3 b 3 /n 3. Wir berechnen nun die Unter- und Obersumme: S Pn f m k k b n k 3 b n k k n Dbei hben wir n k k3 n n + / benutzt. Für die Obersumme finden wir: S Pn f k M k k b + n Zu einem beliebigen, vorgegebenen ɛ > eistiert lso eine Zerlegung P n, sodss S P f S P f < ɛ, nämlich für hinreichend grosses n. Ds Riemnnsche Integrbilitätskriterium us Aufgbe T 9

2 impliziert lso, dss f R-integrierbr ist, und us S P f f d f d f d S P f folgt: b f d n b + n Aus dem Limes n erhlten wir nun 3 d b /. Aufgbe T Integrtionstechnik, : Prtielle Integrtion n e d, n N Wir berechnen dieses Integrl durch wiederholte prtielle Integrtion: n e d n e n n e d Wir sehen lso, dss der Grd von bei jeder prtiellen Integrtion bnimmt und dss wir schliesslich bei e d nkommen werden, ws uns ber beknnt ist. Wir finden: n e d n e n n e d n e n n e + nn n e d e j n! n j! n j j b n sinh d, n N Wir gehen wie in Aufgbe T vor. n sinh d n cosh n n cosh d n cosh + n n sinh + nn n sinh d cosh j n! n n! n j! n j + sinh n j! n j j c log d Wir führen ein im Integrnden: log d log d log d log Aufgbe T Integrtionstechnik, : Substitution + 3/ d Wir substituieren sinh t. Dmit wird d cosh t dt und + 3/ d + sinh t 3/ cosh t dt + dt cosh t tnh t sinh t + sinh t

3 3 Dbei hben wir die Definition von tnh t, cosh t sinh t und tnh t tnh t / cosh t benutzt. b d sin cos Wir substituieren rctn t. Dmit wird d / + t dt und mit sin tn + tn t + t cos + tn + t finden wir: d sin cos dt + t + t + t t t + + t cot + tn + 3 tn3 dt t + t + t3 3 c + sin + 6 d Wir substituieren t + 6 oder errten die Lösung direkt. Es wird dt + d und somit: + sin + 6 d sin t dt cos t cos + 6 Aufgbe H 9 Ober- und Untersummen Sei n N und h hn : b /n. Die äquidistnte Zerlegung P n von [, b] besteht us folgenden Punkten: j : + jh j,,..., n Dmit definieren wir P n : {,,..., n }, I k : [ k, k ] [ + k h, + kh] und k : k k h für lle k,..., n. Ausserdem ist m k : inf Ik f f+k h e +k h und M k : sup Ik f f + kh e +kh. Wir berechnen nun die Unter- und Obersumme: S Pn f n m k k e h e h k e h enh e h eb e h e h k k Dbei hben wir die geometrische Reihe benutzt. Für die Obersumme finden wir: S Pn f n M k k e e h e h k e e h enh e h eb e h e h eh k k Zu einem beliebigen, vorgegebenen ɛ > eistiert lso eine Zerlegung P n, sodss S P f S P f < ɛ, nämlich für hinreichend grosses n. Ds Riemnnsche Integrbilitätskriterium us Aufgbe T 9 impliziert lso, dss f R-integrierbr ist, und us S P f f d f d f d S P f folgt: e b e h b e h f d e b e h e h eh Aus dem Limes n erhlten wir mittels der Regel von de l Hospitl, dss e d e b e.

4 Aufgbe H Höldersche Ungleichung Sei p >, p + q und ϕ : [, [ R, ϕt : t p /p + /q t. Wir diskutieren die Funktion ϕ: D ϕ t t p und ϕ t p t p ht ϕ bei t ein lokles Minimum. D ber ϕ und uf dem Rnd ϕ /q >, ist t sogr die Stelle des globlen Minimums von ϕ uf [, [. Seien nun α, β > und t : αβ q p [, [. Wir hben p + q : Nun setzen wir: Benutzen wir αβ αp p ϕt ϕt p αp β q + q q αβ p αβ αp p + βq q α : f /p, β : b f p d g g q d + βq, finden wir nch Integrtion über [, b]: q fg d /q p + /p /q f p d g q d q Drus folgt die Behuptung. Gleicheit gilt, flls t t, d.h. wenn wir uns beim Minimum von ϕ befinden. Dort ist lso α p β q, d.h. f p ist proportionl zu g q. b Wir betrchten ds Folgende: f + g p d f + g p f + g d f + g p f + g d f + g p f d + f + g p p p p p d /p f d p + f + g p g d /p g p d Im letzten Schritt hben wir die Höldersche Ungleichung ngewndt für q p/p. Divison beider Seiten durch den ersten Fktor in der letzten Zeile führt zur Behuptung. Aufgbe H Integrieren, 3 + d Wir substituieren t +. Dmit wird d t dt und mittels prtieller Integrtion finden wir: 3 + d 3 t t dt log 3 3t t 3 t dt log 3 log 3 3t t log 3 3t log log 3

5 5 b / rcsin d Wir substituieren sin t. Dmit wird d cos t/ dt und / rcsin d π/6 t sin t cos tdt π π 6 c tnh d Wir substituieren t. Dmit wird d /t log dt und tnh d t tnht t log dt log logcosh Dbei hben wir log cosh tnh benutzt. d sin n d, n N Wir integrieren prtiell: sin n d sin sin n d cos sin n + n cos sin n d sin sin n d cos sin n + n Drus folgt lso: sin n d n cos sinn + n n sin n d Seien α, β R und d N. Wir führen folgende Nottion ein: α, β, j : αα + βα + β...α + j β und α, β, :. Wir finden deshlb ds Folgende indem wir obige Reltion iterieren wiederholte prtielle Integrtion, n m d, d, : sin n d cos m j n,, j n,, j sin n j+ + d,, m d,, m e e log d Wir integrieren prtiell: log log d log d Deshlb erhlten wir: e log d log d log f e d e log 3 Wir substituieren e t. Dmit wird d e t dt und Drus erhlten wir: e e d log 3 e t dt e t t 3 t d log 3 3 8