Analysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL

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1 Anlysis I (HS 216): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Dietmr A. Slmon ETH-Zürich 12. Dezember 216 Zusmmenfssung Dieses Mnuskript dient der Einführung in ds Riemnnsche Integrl für Funktionen einer reellen Vriblen. Es richtet sich n Studierende des ersten Semesters n der ETH Zürich. Inhltsverzeichnis 1 Der Integrlbegriff 2 2 Definition des Integrls 3 3 Eigenschften des Integrls 9 4 Riemnnsche Summen 15 5 Der Fundmentlstz der Anlysis 19 6 Beispiele 25 7 Die L p -Norm 34 8 Uneigentliche Integrle 39 9 Fltung und Approximtion 46 Litertur 52 1

2 1 Der Integrlbegriff A f b Abbildung 1: Ds Integrl ls Flächeninhlt. Seien zwei reelle Zhlen < b und eine reellwertige Funktion f : [, b] R gegeben. Unser Ziel ist es, den Flächeninhlt A des Gebietes zwischen der x-achse und dem Grphen von f mthemtisch genu zu definieren. (Siehe Abbildung 1.) Dies ist sehr einfch, wenn die Funktion f überll den konstnten Wert f(x) = c ht für eine feste reelle Zhl c R. In diesem Fll ist die Fläche unter dem Grphen von f ein Rechteck und wir definieren dessen Flächeninhlt einfch ls Breite ml Höhe, lso ls ds Produkt A := (b )c. Mn bechte, dss die Zhl c uch negtiv sein drf und dnn ist uch der Flächeninhlt A negtiv. Eine fst ebenso einfche Formel ergibt sich für eine Funktion, die sich us konstnten Funktionen uf endlich vielen Teilintervllen von [, b] zusmmensetzen lässt. Für llgemeine beschränkte Funktionen knn mn nun wie folgt vorgehen. Wir wählen eine Aufteilung des Intervlls [, b] in endlich viele Teilintervlle. Aus jedem dieser Teilintervlle ersetzen wir f durch eine Funktion die uf diesem Teilintervll konstnt ist und in einem noch zu klärenden Sinn nicht llzu strk von f bweicht. Dnn bilden wir die Summe der Flächeninhlte der uf diese Weise erhltenen Rechtecke. Diese Summe ist ls Näherungswert für ds gewünschte Integrl zu verstehen. Um den genuen Wert des Integrls festzulegen bilden wir immer feiner Unterteilungen des Intervlls. Wir nennen diese Aufteilungen des Intervlls in Teilintervlle Prtitionen. Es ist dnn ds Grenzwertverhlten der diesen Prtitionen zugeordneten Summen zu untersuchen. 2

3 2 Definition des Integrls In diesem Abschnitt sind < b zwei reelle Zhlen und I := [, b] ist ds kompkte Intervll mit den Rndpunkten, b. Definition 2.1 (Prtitionen). Eine Prtition von I ist eine endliche Teilmenge P I welche die Rndpunkte, b enthält. Die Menge ller Prtitionen von I bezeichnen wir mit P := P(I) = {P I, b P, P ist endlich}. Es sei drn erinnert, dss eine nichtleere Menge P endlich gennnt wird wenn eine ntürliche Zhl n und eine bijektive Abbildung φ : {1,..., n} P existiert. Nch dem Dirichletschen Schubfchprinzip ist die Zhl n N hier unbhängig von der Whl der Abbildung φ. Sie wird Anzhl der Elemente von P gennnt und mit #P bezeichnet. Es ist klr zu unterscheiden zwischen den Begriffen beschränkt und endlich. Zum Beispiel ist jedes Intervll in R, ds mehr ls einen Punkt enthält, eine unendliche (sogr überbzählbre) Teilmenge von R, und zwr uch dnn, wenn es sich um ein beschränktes Intervll hndeln sollte. Im vorliegenden Fll enthält unsere endliche Teilmenge P I uf jeden Fll die Rndpunkte und b. D diese voneinnder verschieden sind, enthält P lso mindestens zwei Elemente. Dmit ist N := #P 1 N eine ntürliche Zhl und N + 1 ist die Anzhl der Elemente von P. Nch Definition der Anzhl der Elemente existiert eine bijektive Abbildung φ : {, 1,..., N} P. Wir bezeichnen die Bildpunkte dieser Abbildung mit x k := φ(k) für k =, 1,..., N. D φ bijektiv ist, kommt jedes Element von P genu einml ls Bildpunkt vor. Dmit ist P die Menge P = {x, x 1,..., x N }. Nun können wir die Elemente von P so umordnen, flls notwendig, dss jedes Element x k mit k 1 grösser ist ls ds vorngegngene Element x k 1. Dnn ist notwendigerweise x = und x N = b und es gilt = x < x 1 < x 2 < < x N 1 < x N = b. (1) 3

4 Jede Prtition P P(I) mit #P = N + 1 bestimmt lso mittels dieser Anordnung eine Aufteilung des Intervlls I = [, b] in N Teilintervlle der Form [x k 1, x k ], k = 1,..., N. Jeder solchen Prtition und jeder beschränkten Funktion f : I R können wir nun wie folgt zwei endliche Summen (ls Flächeninhlte verstnden) zuordnen. Definition 2.2 (Ober- und Untersumme). Sei f : I R eine beschränkte Funktion und P = {x, x 1,..., x N } eine Prtition von I, so dss (1) gilt. Die Untersumme S(f, P ) und die Obersumme S(f, P ) (siehe Abbildung 2) sind definiert durch S(f, P ) := S(f, P ) := N inf f (x k x k 1 ), [x k 1,x k ] k=1 N sup f (x k x k 1 ). [x k 1,x k ] k=1 (2) x = x x x x x b= x6 Abbildung 2: Die Ober- und Untersumme. Lemm 2.3. Seien < b reelle Zhlen und sei eine beschränkte Funktion. Dnn gilt f : I := [, b] R sup S(f, P ) inf S(f, P ). (3) P P(I) P P(I) 4

5 Beweis. Für je zwei Prtitionen P, Q P(I) gilt die Ungleichung P Q = S(f, P ) S(f, Q) S(f, Q) S(f, P ). (4) Um dies zu verstehen, ist es nützlich, zunächst den Fll zu betrchten, dss die Prtition Q genu einen Punkt mehr enthält ls P. Sei P = {x,..., x N }, wobei die Punkte x k die Bedingung (1) erfüllen. Dnn ist Q = P {ξ}, wobei ξ ein neuer Unterteilungspunkt, lso nicht gleich einem der Elemente von P ist. Dnn gibt es genu ein l {1,..., N}, so dss ist. Dmit erhält mn ( ) sup f [x l 1,ξ] (ξ x l 1 ) + ( x l 1 < ξ < x l sup f [ξ,x l ] ) (x l ξ) ( sup f [x l 1,x l ] ) (x l x l 1 ). Addiert mn dzu lle Summnden in (2) mit k l so ergibt sich die Ungleichung S(f, Q) S(f, P ). Ebenso beweist mn S(f, Q) S(f, P ). Dmit ist (4) für den Fll bewiesen, dss Q genu ein Element mehr ls P enthält. Der llgemeine Fll lässt sich hieruf leicht durch vollständige Induktion zurückführen. Nun folgt us (4), dss die Zhl S(f, Q) für jede Prtition Q P(I) eine obere Schrnke für die Menge {S(f, P ) P P(I)} ist. Also folgt us der Definition des Supremums ls kleinste obere Schrnke, dss sup S(f, P ) S(f, Q) P P(I) ist. Diese Ungleichung gilt für jede Prtition Q P(I). Ds heisst wiederum, dss die Zhl sup P P(I) S(f, P ) eine untere Schrnke für die Menge { S(f, Q) Q P(I) } ist. Also folgt us der Definition des Infimums ls grösste untere Schrnke, dss die Ungleichung gilt. Dmit ist Lemm 2.3 bewiesen. sup S(f, P ) inf S(f, Q) P P(I) Q P(I) 5

6 Definition 2.4 (Integrl). Eine beschränkte Funktion f : I R heisst Riemnn integrierbr wenn in (3) Gleichheit gilt. In diesem Fll nennen wir die Zhl f(x) dx := ds Integrl von f über dem Intervll I = [, b]. sup S(f, P ) = inf S(f, P ) (5) P P(I) P P(I) Beispiel 2.5. Sei c R und f : I R die konstnte Funktion mit dem Wert c, ds heisst f(x) = c für lle x I. Dnn gilt S(f, P ) = S(f, P ) = (b )c. Dher ist f Riemnn integrierbr und f(x) dx = (b )c. In diesem einfchen Fll stimmt ls unsere Definition mit der Interprettion des Flächenin- hlts ls Breite ml Höhe überein. Mn bechte, dss die Konstnte c uch negtiv sein drf. Beispiel 2.6. Sei f : [, 1] R die Identität, ds heisst f(x) = x für lle x [, 1]. Für N N sei P N = {x,..., x N } die Prtition mit x k = k N für k =, 1,..., N. Dnn gilt S(f, P N ) = 1 1 und S(f, P 2 2N N) = für 2 2N lle N N. Drus folgt 1 x dx = 1 nch Lemm Beispiel 2.7. Sei x I und c R und f : I R die Funktion { c, für x = x f (x) :=,, für x x. Diese Funktion ist Riemnn integrierbr und ihr Integrl verschwindet. Ist c >, so ist die Untersumme S(f, P ) für jede Prtition P P(I) gleich Null, währen die Obersumme S(f, P ) durch geeignete Whl der Prtition beliebig klein gewählt werden knn. Beispiel 2.8. Sei f : I R die Funktion { 1, für x [, b] \ Q, f(x) :=, für x [, b] Q. Dnn gilt S(f, P ) = und S(f, P ) = 1 für jede Prtition P P(I). Also ist diese Funktion nicht Riemnn integrierbr. 6

7 Lemm 2.9. Sei f : I = [, b] R eine beschränkte Funktion und sei A R. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent. (i) f ist Riemnn-integrierbr und A = f(x) dx. (ii) Für jedes ε > existiert eine Prtition P P(I) mit A ε < S(f, P ) S(f, P ) < A + ε. (6) Beweis. Wir beweisen (i) = (ii). Sei lso f Riemnn integrierbr und A = f(x) dx. Sei ε > gegeben. Dnn gilt A ε < sup S(f, P ) = A = inf S(f, P ) < A + ε, P P(I) P P(I) und dher existieren zwei Prtition P, P 1 P(I) mit A ε < S(f, P ) A S(f, P 1 ) < A + ε. (7) Nun sei P := P P 1. Dnn gilt P P und P 1 P und dher, nch (4), S(f, P ) S(f, P ) S(f, P ) S(f, P 1 ). (8) Aus (7) und (8) folgt A ε < S(f, P ) S(f, P ) < A + ε und hierus folgt die gewünschte Ungleichung (6). Wir beweisen (ii) = (i). Für ε > sei P ε P(I) eine Prtition, die die Ungleichung (6) mit P = P ε erfüllt. Dnn gilt A ε < S(f, P ε ) sup S(f, Q) inf S(f, Q) S(f, P ε) < A + ε Q P(I) Q P(I) für lle ε >, und drus folgt A = sup Q P(I) S(f, Q) = inf Q P(I) S(f, Q). Dies ist gleichbedeutend mit (i) und dmit ist Lemm 2.9 bewiesen. Lemm 2.1. Sei f : I = [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent. (i) f ist Riemnn-integrierbr. (ii) Für jedes ε > existiert ein P P(I) mit S(f, P ) S(f, P ) < ε. Beweis. Ist f Riemnn-integrierbr mit A := f(x) dx und ε >, so existiert nch Lemm 2.9 ein P P(I) mit A ε < S(f, P ) S(f, P ) < A + ε 2 2 und drus folgt (ii). Erfüllt f die Bedingung (ii), dnn gilt die Ungleichung inf S(f, P ) P P(I) sup S(f, P ) P P(I) inf P P(I) ( S(f, P ) S(f, P ) ) < ε für lle ε >. Drus folgt inf P P(I) S(f, P ) = sup P P(I) S(f, P ) nch Lemm 2.3. Dmit ist Lemm 2.1 bewiesen. 7

8 Stz (i) Jede stetige Funktion f : I R ist Riemnn integrierbr. (ii) Jede monotone Funktion ist Riemnn integrierbr. Beweis. Sei f : I R eine stetige Funktion. D ds Intervll I = [, b] (mit der Stndrdmetrik uf den reellen Zhlen) ein kompkter metrischer Rum ist, wissen wir, dss f gleichmässig stetig ist. Ds heisst ε > δ > x, x I : ( x x < δ = f(x) f(x ) < ε ). Wir zeigen nun, dss f die Bedingung (ii) in Lemm 2.1 erfüllt. Sei ε > gegeben. D f gleichmässig stetig ist, existiert eine Konstnte δ >, so dss für lle x, x I folgendes gilt: x x < δ = f(x) f(x ) < ε b. Nun wählen wir eine Prtition Q = {x, x 1,..., x N } von I so dss (1) gilt und x k x k 1 < δ ist für k = 1,..., N. Dnn gilt für lle x, x [x k 1, x k ] und lle k, dss x x < δ ist und dher f(x) f(x ) < ε/(b ). Also gilt f(x) < f(x ) + ε für lle x, b x [x k 1, x k ] und lle k {1,..., N}. Drus folgt f(x) inf [xk 1,x k ] f + ε/(b ) für lle x [x k 1, x k ] und dher sup f inf f + ε, k = 1,..., N. [x k 1 x k ] [x k 1,x k ] b Multiplizieren wir diese Ungleichung mit der positiven Zhl x k x k 1 und summieren über lle k so erhlten wir N S(f, Q) = sup f (x k x k 1 ) k=1 [x k 1 x k ] N ( inf f + ε ) (x k x k 1 ) [x k 1,x k ] b = k=1 N inf f (x k x k 1 ) + ε N (x k x k 1 ) [x k 1 x k ] b k=1 = S(f, Q) + ε. Wir hben lso gezeigt, dss für jedes ε > eine Prtition Q P(I) existiert, die die Ungleichung S(f, Q) S(f, Q) ε erfüllt. Ds heisst, dss f die Bedingung (ii) in Lemm 2.1 erfüllt. Dher ist die Funktion f Riemnn integrierbr. Dmit ist (i) bewiesen. 8 k=1

9 Sei f : I R eine monoton wchsende Funktion und sei ε > gegeben. Wähle δ > mit δ (f(b) f()) < ε und sei P = {x, x 1,..., x N } P(I) eine Prtition mit Dnn gilt S(f, P ) S(f, P ) = x k x k 1 < δ für k = 1,..., N. N (f(x k ) f(x k 1 )) (x k x k 1 ) k=1 δ N (f(x k ) f(x k 1 )) k=1 = δ(f(b) f()) < ε. Wir hben lso gezeigt, dss für jedes ε > eine Prtition P P(I) existiert, die die Ungleichung S(f, P ) S(f, P ) < ε erfüllt. Nch Lemm 2.1 ist f dher Riemnn-integrierbr. Dmit ist Stz 2.11 bewiesen. 3 Eigenschften des Integrls Wie in Abschnitt 2 seien < b zwei reelle Zhlen und I := [, b] ds kompkte Intervll mit den Rndpunkten, b. Der folgende Stz zeigt, dss die Menge R(I) := {f : I R f is Riemnn integrierbr} ller Riemnn integrierbren Funktionen f : I R ein reeller Vektorrum (genuer ein linerer Unterrum des Vektorrumes ller reellwertigen Funktionen uf I) ist, und dss die Abbildung R(I) R : f f(x) dx liner ist. Nch Stz 2.11 ist der Rum C (I) ller stetigen reellwertigen Funktionen uf I ein liner Unterrum von R(I). 9

10 Stz 3.1. Seien f, g : I = [, b] R Riemnn integrierbre Funktionen und seien < c < b und λ und p 1 reelle Zhlen. Dnn gilt folgendes. (i) Die Funktionen f + g, fg, λf, f p, mx{f, g}, min{f, g}, sind Riemnn integrierbr. (ii) Es gilt ( ) b f(x) + g(x) dx = f(x) dx + λf(x) dx = λ f(x) dx. g(x) dx, (9) (iii) Wenn f(x) g(x) ist für lle x I, so gilt f(x) dx g(x) dx. (iv) Es gilt b f(x) dx f(x) dx. (v) Die Funktionen f [,c] und f [c,b] sind Riemnn integrierbr und es gilt Beweis. Siehe Seite 11. f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. (1) Bemerkung 3.2. Sei I R ein kompktes Intervll und f : I R eine Riemnn integrierbre Funktion. Sind, b I mit b <, so definieren wir f(x) dx := b f(x) dx. Mit dieser Konvention gilt die Gleichung (1) in Teil (v) von Stz 3.1 für lle, b, c I. Lemm 3.3. Seien f, g : I R Riemnn integrierbr und sei M > so gewählt, dss sup f(x) M, sup g(x) M. (11) x I x I Sei ψ : [ M, M] 2 R eine Lipschitz-stetige Funktion, dss heisst, es gibt eine reelle Zhl L >, so dss für lle y, z, y, z [ M, M] die Ungleichung ψ(y, z) ψ(y, z ) L y y + L z z (12) erfüllt ist. Dnn ist die durch h(x) := ψ(f(x), g(x)) für x I definierte Funktion h : I R Riemnn-integrierbr. 1

11 Beweis. Sei ε >. Nch Lemm 2.1 existieren P, P 1 P(I) mit S(f, P ) S(f, P ) < ε 2L, S(g, P 1) S(g, P 1 ) < ε 2L. Sei P := P P 1. Dnn gilt P P und P 1 P und dher, nch (4), S(f, P ) S(f, P ) < ε 2L, ε S(g, P ) S(g, P ) < 2L. (13) Schreiben wir P = {x, x 1,..., x N } mit = x < x 1 < < x N = b, so erfüllen lle x, x I k := [x k 1, x k ] die Ungleichung Drus folgt h(x) h(x ) = ψ(f(x), g(x)) ψ(f(x ), g(x )) sup h inf h L I k I k L f(x) f(x ) + L g(x) g(x ) ( ) ( ) L sup f inf f + L sup g inf g. I k I k I k I k ( ) sup f inf f I k I k ( + L sup g inf g I k I k für k = 1,..., N. Multiplizieren wir diese Ungleichung mit x k x k 1 und bilden dnn die Summe über k = 1,..., N, so erhlten wir S(h, P ) S(h, P ) L ( S(f, P ) S(f, P ) ) + L ( S(g, P ) S(g, P ) ) < ε. Hier folgt der letzte Schritt us (13) und dmit ist Lemm 3.3 bewiesen. Beweis von Stz 3.1. Wir beweisen Teil (i). Wähle M > so dss (11) gilt. Dnn sind die folgenden Funktionen ψ : [ M, M] 2 R Lipschitz-stetig mit der jeweiligen Lipschitz-Konstnten L: ψ(y, z) = y + z, L = 1, ψ(y, z) = yz, L = M, ψ(y, z) = λy, L = λ, ψ(y, z) = y p, L = pm p 1, ψ(y, z) = mx{y, z}, L = 1, ψ(y, z) = min{y, z}, L = 1. Dher folgt Teil (i) us Lemm 3.3. (Mn knn ntürlich uch die Formeln mx{f, g} = 1(f +g + f g ) und min{f, g} = 1 (f +g f g ) verwenden.) )

12 Wir beweisen Teil (ii). Zunächst beweisen wir die Ungleichungen S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) S(f + g, P ) (14) für lle P P(I). Sei P = {x, x 1,..., x N } P(I) eine Prtition, die (1) erfüllt und sei I k := [x k 1, x k ] für k = 1,..., N. Dnn gilt inf(f + g) inf f + inf I k I k I k g sup I k f + sup g sup(f + g) I k I k für k = 1,..., N. Multiplizieren wir diese Ungleichungen mit x k x k 1 und bilden die Summe über lle k so erhlten wir (14). Nun sei A := f(x) dx, B := g(x) dx und sei ε >. Nch Lemm 2.9 existieren Prtitionen P, P 1 P(I) mit A ε 2 < S(f, P ) S(f, P ) < A + ε 2, B ε 2 < S(g, P 1) S(g, P 1 ) < B + ε 2. Dnn erfüllt P := P P 1 P(I) nch (4) folgende Ungleichungen: A + B ε < S(f, P ) + S(g, P 1 ) S(f, P ) + S(g, P ) S(f + g, P ) S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) S(f, P ) + S(g, P 1 ) < A + B + ε. Drus folgt nch Lemm 2.9, dss f + g Riemnn-intergierbr ist mit ( f(x) + g(x) ) dx = A + B. Die Gleichung λf(x) dx = λ f(x) dx zeigt mn mit einem ähnlichen Argument, und dmit ist Teil (ii) bewiesen. 12

13 Wir beweisen Teil (iii). Wenn f(x) g(x) ist für lle x I, so erhlten wir S(f, P ) S(g, P ) für lle P P(I), und dher f(x) dx = inf S(f, P ) inf S(g, P ) = P P(I) P P(I) g(x) dx. Dmit ist Teil (iii) bewiesen. Wir beweisen Teil (iv). Für lle x I gilt f(x) f(x) f(x). Nch (iii) folgt drus f(x) dx f(x) dx f(x) dx und dmit ist Teil (iv) bewiesen. Wir beweisen Teil (v). Dzu verwenden wir die Abkürzungen f := f [,c], f 1 := f [c,b], I := [, c], I 1 := [c, b]. Seien P P(I ) und P 1 P(I 1 ) Prtitionen der Teilintervlle I und I 1. Dnn ist P := P P 1 eine Prtition des Intervlls I = [, b] und es gilt S(f, P ) = S(f, P ) + S(f 1, P 1 ), S(f, P ) = S(f, P ) + S(f 1, P 1 ). (15) Für jedes ε > existiert nch Lemm 2.1 eine Prtitionen P P(I) mit S(f, P ) S(f, P ) < ε. Diese Prtition knn mit c P gewählt werden, so dss P = P P 1 ist mit P P(I ) und P 1 P(I 1 ). D die Differenzen S(f, P ) S(f, P ) und S(f 1, P 1 ) S(f 1, P 1 ) beide nicht negtiv sind, sind sie beide kleiner ls ε. Also folgt us Lemm 2.1, dss die Funktionen f und f 1 Riemnn integrierbr sind. Wir bezeichnen ihre Integrle mit A := c f(x) dx, A 1 := c f(x) dx, A := A + A 1. Sei wieder ε > gegeben. Dnn existieren nch Lemm 2.9 zwei Prtitionen P P(I ) und P 1 P(I 1 ) so dss A ε 2 < S(f, P ) S(f, P ) < A + ε 2, A 1 ε 2 < S(f 1, P 1 ) S(f 1, P 1 ) < A 1 + ε 2. Addieren wir diese Ungleichungen so erhlten wir nch (15) A ε < S(f, P ) S(f, P ) < A + ε. Dmit hben wir gezeigt, dss ds Pr (f, A) die Bedingung (ii) in Lemm 2.9 erfüllt. Also ist A ds Integrl von f. Dmit ist Stz 3.1 bewiesen. 13

14 Stz 3.4. Sei f n : I = [, b] R, n N, eine Folge Riemnn-integrierbrer Funktionen, die gleichmässig gegen eine Funktion f : I R konvergiert. Dnn ist f Riemnn-integrierbr und es gilt f(x) dx = lim n f n (x) dx. (16) Beweis. Wir zeigen zunächst, dss f die Bedingung (ii) in Lemm 2.1 erfüllt. Sei lso ε > gegeben. D die Funktionen-Folge (f n ) n N gleichmässig gegen f konvergiert, existiert eine Zhl n N mit sup f(x) f n (x) < x I ε 4(b ). (17) D f n Riemnn-integrierbr ist, existiert nch Lemm 2.1 eine Prtition P = {x, x 1,..., x N } P(I) die die Bedingung (1) erfüllt so dss S(f n, P ) S(f n, P ) < ε 2. (18) Aus (17) folgen die Ungleichungen ε f n (x) 4(b ) f(x) f ε n(x) + 4(b ) für lle x I. Drus wiederum folgt ε inf f n [x k 1,x k ] 4(b ) inf f [x k 1,x k ] sup f [x k 1,x k ] sup f n + [x k 1,x k ] ε 4(b ) für k = 1,..., N. Multiplizieren wir diese Ungleichungen mit x k x k 1 und bilden die Summe über lle k, so ergibt sich und dher gilt nch (18) S(f n, P ) ε 4 S(f, P ) S(f, P ) S(f n, P ) + ε 4, S(f, P ) S(f, P ) S(f n, P ) S(f n, P ) + ε 2 < ε. Dmit hben wir gezeigt, dss f die Bedingung (ii) in Lemm 2.1 erfüllt, und somit ist f Riemnn-integrierbr. Aus Teil (iv) von Stz 3.1 folgt nun f(x) dx f n (x) dx f(x) f n (x) dx (b ) sup f(x) f n (x) x b für lle n N. D die Folge (f n ) n N gleichmässig gegen f konvergiert, folgt drus die Gleichung (16). Dmit ist Stz 3.4 bewiesen. 14

15 4 Riemnnsche Summen In diesem Abschnitt chrkterisieren wir ds Integrl ls einen Grenzwert und die Integrierbrkeit ls eine Aussge über die Existenz dieses Grenzwertes. Ds Resultt wird in diesem Mnuskript nicht weiter verwendet und dher knn dieser Abschnitt übersprungen werden. Wir betrchten ein kompktes Intervll I = [, b] mit < b. Sei eine Prtition P = {x, x 1,..., x N } P(I) gegeben, so dss (1) gilt, und definiere µ(p ) := mx {x k x k 1 k = 1,..., N}, N(P ) := N = #P 1. Die Zhl µ(p ) > wird Feinheit der Prtition P gennnt und N(P ) ist die Anzhl der Intervlle, in die P ds Intervll I unterteilt. Stz 4.1 (Riemnnsche Summen). Sei f : I R eine beschränkte Funktion und A R. Folgende Aussgen sind äquivlent. (I) f ist Riemnn integrierbr und A = f(x) dx. (II) Für jedes ε > existiert ein δ >, so dss für jedes P P(I) gilt: µ(p ) < δ = A ε < S(f, P ) S(f, P ) < A + ε. (19) (III) Für jedes ε > existiert eine Zhl δ >, so dss für jede Prtition P = {x, x 1,..., x N } von I (die (1) erfüllt) und lle ξ 1,..., ξ N R gilt: N µ(p ) < δ = x k 1 ξ k x k k A f(ξ k )(x k x k 1 ) < ε. (2) Beweis. Siehe Seite 17. Dieser Stz lässt sich uch so formulieren: Eine beschränkte Funktion f : I R ist genu dnn Riemnn integrierbr wenn der Grenzwert f(x) dx := lim µ(p ) ξ k [x k 1,x k ] k=1 N f(ξ k ) (x k x k 1 ). (21) existiert. Die Summen in (21) werden Riemnnsche Summen gennnt. 15 k=1

16 Mn bechte hier die Prllele in der Schreibweise zwischen dem Integrlzeichen uf der linken Seite und dem Summenzeichen uf der rechten Seite in (21), dem Integrnden f(x) uf der linken Seite und den Fktoren f(ξ k ) uf der rechten Seite, sowie dem Differentil-Symbol dx uf der linken Seite und der Differenz x k = x k x k 1 uf der rechten Seite. Diese mthemtischen Symbole deuten druf hin, dss mn sich die Differenz x k x k 1 beliebig klein vorstellt und in idelisierter Weise ls infinitesiml kleine Zhl versteht. Dher rührt uch der Ausdruck Infinitesimlrechnung, der mnchml ustuschbr für Anlysis verwendet wird. Lemm 4.2. Sei f : I R eine beschränkte Funktion und M > so dss für lle x I. Dnn gilt für lle P, Q P(I) M f(x) M (22) S(f, P ) S(f, Q) 4Mµ(P )N(Q), S(f, P ) S(f, Q) + 4Mµ(P )N(Q). (23) Beweis. Sei P = {x, x 1, x 2,..., x N } so numeriert, dss (1) gilt. Für k = 1,..., N definieren wir die relllen Zhlen h + k und h k durch die Formel h ± k := { sup[xk 1,x k ] f, flls [x k 1, x k ] Q =, ±M, flls [x k 1, x k ] Q. Hier tritt der zweite Fll für jeden der Endpunkte und b genu einml uf. Drüber hinus ht die Menge Q noch N(Q) 1 weitere Elemente und jedes dieser Elemente knn in höchstens zwei der Teilintervlle [x k 1, x k ] enthlten sein. Dmit tritt der Fll h + k h k = 2M höchstens 2N(Q) ml uf. In llen nderen Fällen gilt h + k h k =. Drus folgt die Ungleichung Ausserdem gilt N k=1 ( h + k h k ) 4M N(Q). (24) N h k (x k x k 1 ) S(f, P Q) S(f, Q). (25) k=1 16

17 Unter Verwendung von (24) und (25) erhlten wir N S(f, P ) = sup k=1 [x k 1,x k ] f (x k x k 1 ) N h + k (x k x k 1 ) k=1 N h k (x k x k 1 ) + k=1 N k=1 S(f, Q) + 4M N(Q)µ(P ). ( h + k h k ) µ(p ) Dmit ist die zweite Ungleichung in (23) gezeigt. Die erste folgt us der zweiten, indem mn f durch f ersetzt und die Formel S( f, P ) = S(f, P ) verwendet. Dmit ist Lemm 4.2 bewiesen. Beweis von Stz 4.1. Wir beweisen (II) = (III). Dies folgt sofort us der Ungleichung N S(f, P ) f(ξ k )(x k x k 1 ) S(f, P ) k=1 für jede Prtition P = {x, x 1,..., x N } des Intervlls I = [, b] die (1) erfüllt und lle ξ k [x k 1, x k ], k = 1,..., N. Wir beweisen (III) = (II). Dzu betrchten wir eine feste Prtition P = {x, x 1,..., x N } des Intervlls I = [, b] die (1) erfüllt. Bilden wir ds Supremum der Riemnnschen Summen über lle N-Tupel reeller Zhlen ξ 1,..., ξ N in den Intervllen x k 1 ξ k x k so erhlten wir die Obersumme: sup ξ 1,...,ξ N N f(ξ k )(x k x k 1 ) = S(f, P ). k=1 Ebenso ergibt sich beim Infimum die Untersumme: N f(ξ k )(x k x k 1 ) = S(f, P ). inf ξ 1,...,ξ N k=1 Ist lso ε > gegeben und wählen wir δ > wie in (III) so gilt für jedes P P(I) mit µ(p ) < δ die Ungleichung A ε S(f, P ) S(f, P ) A + ε. Dmit ist gezeigt, dss f und A die Bedingung (II) erfüllen. 17

18 Wir beweisen (I) = (II). Sei lso f Riemnn integrierbr und A = f(x) dx = sup S(f, P ) = inf S(f, P ). (26) P P(I) P P(I) Sei ε >. Nch Lemm 2.1 existiert eine Prtition Q P(I) so, dss S(f, Q) S(f, Q) < ε 2. (27) Wähle M > so, dss (22) gilt und wähle δ > so klein, dss 4M N(Q)δ < ε 2. (28) Dnn erfüllt jede Prtition P P(I) mit µ(p ) < δ die Ungleichung S(f, P ) S(f, Q) + 4Mµ(P )N(Q) < S(f, Q) + 4MδN(Q) < S(f, Q) + ε 2 < S(f, Q) + ε A + ε. Hier folgt die erste Ungleichung us Lemm 4.2, die zweite us der Vorussetzung µ(p ) < δ, die dritte us (28), die vierte us (27), und die letzte us (26). Genuso erhält mn, mit Hilfe von Lemm 4.2, für jede Prtition P P(I) mit µ(p ) < δ die Ungleichung S(f, P ) S(f, Q) 4Mµ(P )N(Q) > S(f, Q) 4MδN(Q) > S(f, Q) ε 2 > S(f, Q) ε A ε. Also erfüllen f und A die Bedingung (II). Die Impliktion (II) = (I) folgt direkt us Lemm 2.9 und dmit ist Stz 4.1 bewiesen. 18

19 5 Der Fundmentlstz der Anlysis Der Fundmentlstz der Anlysis wird uch der Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung gennnt. Er besgt, grob gesprochen, dss die Ableitung die Umkehrung des Integrls ist. Genuer gesgt, wenn wir ds Integrl einer stetigen Funktion über einem Teilintervll wiederum ls Funktion des rechten Endpunktes betrchten, wobei wir gleichzeitig den linken Endpunkt festhlten, so erhlten wir eine stetig differenzierbre Funktion deren Ableitung die ursprünglich gegebene stetige Funktion ist. Dies ist der Inhlt des folgenden Stzes. Stz 5.1 (Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung). Seien < b reelle Zhlen und sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Wir definieren die Funktion F : [, b] R durch F (x) := x f(t) dt für x b. (29) Dnn ist F stetig differenzierbr und es gilt F (x) = f(x) für lle x [, b]. Beweis. Sei x [, b] fest gewählt. Es ist zu zeigen, dss folgendes gilt: F (x + h) F (x) lim h h = f(x). Dies bedeutet, dss für jedes ε > ein δ > existiert, so dss jedes h R mit < h < δ und x + h [, b] die Ungleichung F (x + h) F (x) f(x) h < ε erfüllt. Um dies zu zeigen, hlten wir eine Zhl ε > fest. D f n der gegebenen Stelle x [, b] stetig ist, existiert, nch Definition der Stetigkeit, eine Zhl δ > so dss für lle y R folgendes gilt: y b, y x < δ = f(y) f(x) < ε. (3) Nun sei h eine reelle Zhl so dss < h < δ und x + h b ist. Dnn gilt x < x + h b und dher, nch Teil (iv) von Stz 3.1, F (x + h) F (x) = x+h f(t) dt 19 x f(t) dt = x+h x f(t) dt.

20 Hierus folgt F (x + h) F (x) h f(x) = 1 h = 1 h x+h x x+h x f(t) dt f(x) ( f(t) f(x) ) dt. Unter Verwendung von Teil (ii) und Teil (iii) von Stz 3.1, ergibt sich drus wiederum die Ungleichung F (x + h) F (x) f(x) h = 1 x+h ( ) h f(t) f(x) dt 1 h < ε. x x+h x sup x t x+h f(t) f(x) dt f(t) f(x) Hier folgt der letzte Schritt us (3) und der Ttsche, dss jede stetige Funktion uf einem kompkten Intervll ihr Supremum nnimmt. Angewendet uf die Funktion [x, x + h] R : t f(t) f(x) bedeutet dies, dss es eine reelle Zhl y [x, x + h] gibt, so dss f(y) f(x) = sup x t x+h f(t) f(x) ist; d < h < δ ist, erhlten wir y x < δ und dher f(y) f(x) < ε F (x+h) F (x) nch (3). Dmit ist die gewünschte Ungleichung f(x) < ε für h jede reelle Zhl h mit < h < δ und x + h [, b] bewiesen. Für δ < h < ist ds Argument nlog und dmit ist Stz 5.1 bewiesen. Der Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung ht viele wichtige Konsequenzen für die Berechnung von Integrlen. Eine erste Konsequenz ist folgendes Korollr. Korollr 5.2. Seien < b reelle Zhlen und sei F : [, b] R eine stetig differenzierbre Funktion. Dnn ist eine stetige Funktion und es gilt f := F : [, b] R f(t) dt = F (b) F (). (31) 2

21 Beweis. Wir definieren die Funktion F : [, b] R durch F (x) := x f(t) dt, für x b. Nch Stz 5.1 ist F stetig differenzierbr und ht die Ableitung F = f = F. Drus folgt (F F ) = F F =. Nch dem Mittelwertstz ist dnn die Funktion F F : [, b] R konstnt und drus folgt wiederum die Gleichung F () = F () F () = F (b) F (b) = F (b) f(t) dt. Dmit ist Korollr 5.2 bewiesen. Definition 5.3 (Stmmfunktion). Seien < b reelle Zhlen und sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Eine Funktion F : [, b] R heisst Stmmfunktion von f wenn sie stetig differenzierbr ist und ihre Ableitung durch F (x) = f(x) für x b gegeben ist. Eine Stmmfunktion von f ist nicht eindeutig durch f bestimmt. Nch dem Mittelwertstz unterscheiden sich je zwei Stmmfunktionen von f durch eine dditive Konstnte. Die Schreibweise F (x) = f(x) dx wird oft für die Aussge F ist eine Stmmfunktion von f verwendet. Beispiel 5.4. Für n N sei f n : R R die durch definierte Funktion. Dnn ist f n (x) := x n F n (x) := xn+1 n + 1 für x R eine Stmmfunktion von f n. Nch Korollr 5.2 folgt drus die Gleichung 1 xn dx = 1. Mn bechte, dss die Funktionenfolge f n punktweise gegen die Funktion f : [, 1] R n+1 konvergiert, die durch f(x) = für x < 1 und f(1) := 1 gegeben ist. Diese ist nch Stz 2.11 Riemnn integrierbr. Ausserdem gilt 1 1 f(x) dx = = lim n n + 1 = lim n 1 f n (x) dx. Eine derrtige Aussge gilt in grösserer Allgemeinheit: Flls f n : [, b] R eine Folge Riemnn integrierbrer Funktionen ist und M > eine reelle Zhl so dss sup n N f n (x) M und lim n f n (x) = ist für lle x [, b], dnn gilt lim n f n(x) dx =. Ein Beweis dieser Aussge geht über ds vorliegende Mnuskript hinus (siehe Eberlein [1]). 21

22 Zur Berechnung von Integrlen und Stmmfunktionen wird es nützlich sein, zwei weitere wichtige Rechenregeln für ds Riemnnsche Integrl stetiger Funktionen herzuleiten. Hierbei hndelt es sich um die Prtielle Integrtion und um die Substitution. Beide Regeln folgen uf einfche Weise us dem Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung. Die Prtielle Integrtion knn mn ls Integrlversion der Leibnizregel betrchten und die Substitution ls Integrlversion der Kettenregel. Stz 5.5 (Prtielle Integrtion). Seien < b reelle Zhlen und seien f, g : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn gilt f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f()g() f (x)g(x) dx. (32) Beweis. Die Funktion F := fg : [, b] R ist stetig differenzierbr und ihre Ableitung ist F = f g + fg nch der Leibnizregel. Nch Korollr 5.2 folgt drus die Gleichung ( f (x)g(x) + f(x)g (x) ) dx = f(b)g(b) f()g(). Nch Teil (i) von Stz 3.1 folgt hierus wiederum die Formel (32) und dmit ist Stz 5.5 bewiesen. Stz 5.6 (Substitution). Seien < b reelle Zhlen, sei φ : [, b] R stetig differenzierbr, sei I R ein Intervll so dss φ([, b]) I, und sei f : I R eine stetige Funktion. Dnn gilt φ(b) φ() f(x) dx = f(φ(t))φ (t) dt. (33) Beweis. Sei F : I R die durch F (x) := x f(ξ) dξ für x I definiere φ() Funktion. Dnn ist F eine Stmmfunktion von f und es gilt F (φ()) =. Drus folgt nch der Kettenregel dss die Funktion F φ : [, b] R stetig differenzierbr ist mit der Ableitung (F φ) (t) = f(φ(t))φ (t) für t b. Nch Korollr 5.2 folgt drus die Gleichung f(φ(t))φ (t) dt = F (φ(b)) F (φ()) = Dmit ist Stz 5.6 bewiesen. φ(b) φ() f(x) dx. 22

23 Korollr 5.7. Sei I R ein Intervll, sei f : I R eine stetige Funktion, und seien, b I mit < b und c R\{}. Dnn gelten folgende Aussgen. (i) Sind + c, b + c I, so gilt (ii) Sind c, cb I, so gilt f(t + c) dt = f(ct) dt = 1 c +c +c cb c f(x) dx. f(x) dx. (iii) Ist f stetig differenzierbr und f(t) für lle t [, b] so gilt f (t) f(t) dt = log( f(b) ) log( f() ). Beweis. Teil (i) folgt us der Substitutionsregel in Stz 5.6 mit φ : [, b] I definiert durch φ(t) := t + c und Teil (ii) folgt mit φ(t) := ct. Für Teil (iii) ersetzen wir die Funktion φ in Stz 5.6 durch f : [, b] R \ {} und definieren die Funktion F : R \ {} R durch F (x) := log( x ). Dnn gilt F (x) = 1/x für lle x R \ {} nch Beispiel 6.2 und dher gilt f (t) f(t) dt = f(b) f() dx x nch Stz 5.6. Dmit ist Korollr 5.7 bewiesen. Bemerkung 5.8. Schreiben wir x = φ(t), = log( f(b) ) log( f() ) dx dt = φ (t) in Stz 5.6, und tun wir einml so ls ob es sich bei der Ableitung dx/dt ttsächlich um einen Quotienten hndeln würde. Dnn könnten wir einfch diesen quotienten mit dt multiplizieren und erhielten dnn den Ausdruck dx = φ (t) dt. Setzen wir diesen in ds unbestimmte Integrl ein, so ergibt sich die Formel f(x)dx = f(φ(t))φ (t) dt. Trotz der eigentlich keinen Sinn mchenden Rechenschritte in ihrer Herleitung stimmt diese Formel dennoch mit dem Substitutionsgesetz überein, wie Stz 5.6 zeigt. 23

24 Als weitere Anwendung des Fundmentlstzes der Differentil- und Integrlrechnung leiten wir nun die Integrlformel für ds Restglied in der Tylorentwicklung einer Funktion her. Stz 5.9. Sei I R ein offenes Intervll, sei n einne nichtnegtive gnze Zhl, und sei f : I R eine C n+1 -Funktion. Dnn gilt für lle x, x I die Gleichung n f (k) (x ) x f(x) (x x ) k (x t) n = f (n+1) (t) dt. (34) k! x n! k= Beweis. Für n = ist (34) einfch die Formel f(x) f(x ) = x x f (t) dt, und diese folgt direkt us Korollr 5.2. Sei nun n 1. Dnn nehmen wir per Induktion n, dss die behuptete Gleichung für n 1 bereits bewiesen sei. Wir werden im folgenden prtiell integrieren mit φ(t) := Nch Induktionsnnhme gilt f(x) = = = (x t)n, ψ(t) := f (n) (t) f (n) (x ). n! n k= x x x x x = = f (k) (x ) (x x ) k k! (x t) n 1 (n 1)! (x t) n 1 (n 1)! x φ (t)ψ(t) dt x x x Dmit ist Stz 5.9 bewiesen. φ(t)ψ (t) dt x (x t) n f (n+1) (t) dt. n! f n (t) dt f (n) (x ) (x x ) n n! ( f n (t) f (n) (x ) ) dt 24

25 6 Beispiele Beispiel 6.1. Sei eine beliebige reelle Zhl mit 1 und sei f : (, ) die durch f(x) := x für x > definierte Funktion. Dnn ist F (x) := x eine Stmmfunktion von f. In der vor Beispiel 5.4 erläuterten Schreibweise lässt sich diese Aussge in der Form x dx = x+1 (35) + 1 formulieren. Beispiel 6.2. Eine Stmmfunktion von R \ {} R : x 1/x ist die Funktion R \ {} R : x log( x ), ds heisst dx = log( x ). (36) x Beispiel 6.3. Die Funktion tn := sin ( cos : π 2, π ) R 2 ist strikt monoton wchsend, bijektiv, und stetig differenzierbr mit der Ableitung tn (x) = 1 + tn 2 (x) > für lle x R mit x < π/2. Drus folgt (nch dem Stz über Umkehrfunktionen) dss die Umkehrfunktion ( rctn := tn 1 : R π 2, π ) 2 stetig differenzierbr ist mit der Ableitung rctn (x) = x 2 für x R. Mit nderen Worten, die Funktion rctn : R R ist eine Stmmfunktion von R R : x 1/(1 + x 2 ), beziehungsweise dx = rctn(x). (37) 1 + x2 25

26 Beispiel 6.4. Genuso wie in Beispiel 6.3 knn mn mit der hyperbolischen Tngensfunktion tnh := sinh : R ( 1, 1) cosh vorgehen. Diese ist ebenflls strikt monoton wchsend, bijektiv, und stetig differenzierbr mit der Ableitung tnh (x) = 1 tn 2 (x) > für lle x R. Drus folgt dnn, dss die Umkehrfunktion rtnh := tnh 1 : ( 1, 1) R stetig differenzierbr ist mit der Ableitung rtnh (x) = 1 1 x 2 für 1 < x < 1. Mit nderen Worten, die Funktion rtnh : ( 1, 1) R ist eine Stmmfunktion von ( 1, 1) R : x 1/(1 x 2 ), beziehungsweise dx = rtnh(x) für 1 < x < 1. (38) 1 x2 Diese Formel lässt sich uch wie folgt uf einem gänzlich nderem Weg gewinnen. Es gilt 1 1 x = 1 2 (1 + x)(1 x) = 1 ( x + 1 ) 1 x für 1 < x < 1 und dher dx = 1 dx 1 x x + 1 dx 2 1 x = 1 ( ) log(1 + x) log(1 x) 2 = 1 ( ) 1 + x 2 log 1 x = rtnh(x). Hier gilt die letzte Formel, weil die Gleichung y = 1 2 log ( 1+x 1 x) für x, y R mit x < 1 äquivlent ist zu der Gleichung x = tnh(y) = ey e y e y +e y. 26

27 Beispiel 6.5. Die Funktion ( sin : π 2, π ) ( 1, 1) 2 ist strikt monoton wchsend, bijektiv, und stetig differenzierbr mit der Ableitung sin (x) = cos(x) = 1 sin 2 (x) > für lle x R mit x < π/2. Drus folgt dss die Umkehrfunktion ( rcsin := sin 1 : ( 1, 1) π 2, π ) 2 stetig differenzierbr ist mit der Ableitung rcsin (x) = 1 1 x 2 für x R. Mit nderen Worten, die Funktion rcsin : ( 1, 1) R ist eine Stmmfunktion von ( 1, 1) R : x 1/ 1 x 2, beziehungsweise dx = rcsin(x) für 1 < x < 1. (39) 1 x 2 Beispiel 6.6. Genuso wie in Beispiel 6.5 knn mn mit der hyperbolischen Sinusfunktion sinh : R R vorgehen. Diese ist ebenflls strikt monoton wchsend, bijektiv, und stetig differenzierbr mit der Ableitung sinh (x) = cosh(x) = 1 + sinh 2 (x) > für lle x R. Drus folgt dnn, dss die Umkehrfunktion rsinh := sinh 1 : R R stetig differenzierbr ist mit der Ableitung rsinh (x) = x 2 für x R. Mit nderen Worten, die Funktion rsinh : R R ist eine Stmmfunktion von R R : x 1/ 1 + x 2, beziehungsweise dx = rsinh(x). (4) 1 + x 2 Übung: Es gilt rsinh(x) = log( 1 + x 2 + x) für lle x R. 27

28 Beispiel 6.7. Die Funktion cosh : (, ) (1, ) ist strikt monoton wchsend, bijektiv, und stetig differenzierbr mit der Ableitung cosh (x) = sinh(x) = cosh 2 (x) 1 > fúr lle x >. Drus folgt dnn dss die Umkehrfunktion rcosh := cosh 1 : (1, ) (, ) stetig differenzierbr ist mit der Ableitung rcosh (x) = 1 x2 1 für x > 1. Mit nderen Worten, die Funktion rcosh : (1, ) R ist eine Stmmfunktion von (1, ) R : x 1/ x 2 1, beziehungsweise dx = rcosh(x) für x > 1. (41) x2 1 Übung: Es gilt rcosh(x) = log( x x) für lle x > 1. Beispiel 6.8. Es gelten die Formeln e cx dx = 1 c ecx für c R \ {} sowie sin(x) dx = cos(x), cos(x) dx = sin(x) und sinh(x) dx = cosh(x), cosh(x) dx = sinh(x) Beispiel 6.9. Sei die Funktion f : R R gegeben durch f(x) := e x2 für x R. Diese Funktion ist stetig und besitzt ntürlich, wie jede ndere stetige Funktion uch, eine Stmmfunktion F (x) := x e t2 dt. Jedoch lässt sich diese Stmmfunktion nicht mittels einer geschlossenen Formel durch die nderen bisher betrchteten elementren Funktionen usdrücken. 28

29 Beispiel 6.1. Sei c R \ {}. Aus der Prtiellen Integrtion in Stz 5.5 mit f(x) = x n und g(x) = c 1 e cx ergibt sich ds unbestimmte Integrl x n e cx dx = xn e cx n x n 1 e cx dx c c Durch vollständige Induktion folgt drus n x n e cx dx = e cx ( 1) k n!x n k. (42) (n k)!ck+1 k= Beispiel 6.11 (Flächeninhlt des Einheitskreises). Mit f(x) = 1 x 2 und g(x) = x für 1 < x < 1 ergibt sich us Stz 5.5 die Formel 1 x2 dx = f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx = x x 2 dx 1 x x 2 = x dx (1 x 2 1 x 2 + )dx 1 x 2 1 x 2 = x 1 x 2 + rcsin(x) 1 x2 dx. Hier folgt der letzte Schritt us Beispiel 6.5. Dmit ergibt sich die Gleichung 1 x2 dx = 1 ( x ) 1 x rcsin(x) für 1 < x < 1. (43) Integrtion über dem Intervll [ 1, 1] liefert die Gleichung 1 1 x2 dx = 1 ( ) rcsin(1) rcsin( 1) = π Dies ist ber genu der Flächeninhlt der oberen Hälfte des Einheitskreises, und somit hben wir bewiesen, dss der Einheitskreis die Fläche π ht. Beispiel Die gleiche Methode wie in Besipiel 6.11 liefert die Formel 1 + x2 dx = 1 ( x ) 1 + x rsinh(x). (44) Hier beruht die Rechnung uf Beispiel

30 Beispiel Die Methode us Besipiel 6.11 liefert uch die Formel x2 1 dx = 1 ( x ) x rcosh(x) für x > 1. (45) Hier beruht die Rechnung uf Beispiel 6.7. Beispiel Wir beweisen die Formel 2π sin 2 (x) dx = π. (46) Nch Stz 5.5 mit f(x) := cos(x) und g(x) = sin(x) gilt 2π und dher 2 cos 2 (x) dx = 2π 2π sin 2 (x) dx = f(x)g (x) dx = 2π sin 2 (x) dx + worus die gewünschte Formel (46) folgt. 2π 2π f (x)g(x) dx = cos 2 (x) dx = 2π 2π sin 2 (x) dx 1 dx = 2π, Beispiel Ds Wllis sche Produkt ist der Spezilfll des Eulerschen Sinusproduktes in Stz 8.8 mit x = 1/2. Es lässt sich ls ds unendliche Produkt der Fktoren (2k) 2 /(2k 1)(2k + 1) schreiben, und ein Stz von John Wllis us dem Jhre 1655 besgt (2k) 2 (2k 1)(2k + 1) = π 2. (47) k=1 Hier ist die linke Seite der Grenzwert der Folge n (2k) 2 w n := (2k 1)(2k + 1) = n 2n (2n 1) (2n + 1). (48) k=1 D (2n + 1)w n = 2 2n / ( ) 2n n ist, ergibt sich us (47) die Gleichung ( ) 2n nπ lim = 1. (49) n n 22n Zum Beweis von (47) werden wir die Folge berechnen. c n := π/2 cos n (x) dx, n =, 1, 2, 3,..., (5) 3

31 Hierzu zeigen wir zunächst eine Rekusionsformel mit Hilfe prtieller Integrtion. Seien die Funktionen f, g : R R durch f(x) := cos n 1 (x) und g(x) := sin(x) gegeben. Dnn gilt nch Stz 5.5 die Gleichung cos n (x) dx = f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx = cos n 1 (x) sin(x) + (n 1) cos n 2 (x) sin 2 (x) dx = cos n 1 (x) sin(x) + (n 1) cos n 2 (x) dx (n 1) cos n (x) dx. Hierus folgt cos n (x) dx = cosn 1 (x) sin(x) + n 1 n n Aus (5) und (51) ergibt sich die Rekursionsformel cos n 2 (x) dx. (51) c n = n 1 c n 2, c = π n 2, c 1 = 1. (52) Die Rekursionsformel (52) führt zu den Gleichungen c 2n = 2n 1 2n 3 2n 2n π 2, c 2n+1 = 2n 2n + 1 2n 2 2n , für lle n N und mit (48) ergibt sich drus wiederum c 2n+1 c 2n = 2 π w n. (53) Die behuptete Formel (47) folgt us (53) und der Gleichung lim n c 2n+1 c 2n = 1. (54) Zum Beweis von (54) verwenden wir cos 2n (x) cos 2n+1 (x) cos 2n+2 (x) für lle n N und lle x [, π/2]. Nch Gleichung (5) und Teil (ii) von Stz 3.1 folgt drus c 2n c 2n+1 c 2n+2 und dher 1 c 2n+1 c 2n c 2n+2 c 2n = 2n+1 2n+2 2n+1 für lle n N. D lim n = 1 ist, folgt drus die Gleichung (54). 2n+2 31

32 Beispiel Seien und b reelle Zhlen mit b > 2 4. Wir beweisen die Formel xdx x 2 + 2x + b = 1 2 log(x2 + x + b) 2 b 2 /2 rctn ( ) x + /2. b 2 /2 (55) Dzu berechenen wir xdx x 2 + 2x + b = 1 2 (2x + )dx x 2 + x + b 2 = 1 2 log(x2 + x + b) 2 dx x 2 + x + b dx x 2 + x + b. Zur Berechnung des zweiten Summnden führen wir die Bezeichnung A := b 2 2 ein und verwenden ds Substitutionsgesetz in Stz 5.6 mit der Vriblentrnsformtion y = φ(x) = x +. Dnn ergibt sich A 2A dx x 2 + x + b = dx (x + /2) 2 + A 2 = 1 (1/A) dx A ( x + A 2A )2 + 1 = 1 dy A y = 1 A rctn(y) = 1 A rctn ( x + /2 A Hierus folgt sofort die gewünschte Gleichung (55). ). 32

33 Beispiel Wir beweisen, dss π 2 eine irrtionle Zhl ist. Der Beweis wurde von Ivn Morton Niven im Jhre 1947 gefunden (siehe [2, Seite 27]). Nehmen wir n, π 2 sei rtionl. Dnn existieren ntürliche Zhlen, b N, so dss π 2 = b ist. D die Folge π n /n! gegen Null konvergiert für n gegen unendlich, existiert eine ntürliche Zhl n N mit π n < 1. n! Nun definieren wir ds Polynom f : R R und die Zhlen c, c 1,..., c 2n Z durch die Gleichung f(x) := 1 n! 2n k= c k x k := 1 n! xn (1 x) n. Dnn sind die Ableitungen von f n der Stelle x = durch, für k =, 1,..., n 1, f (k) k! () = c n! k, für k = n, n + 1,..., 2n,, für k > 2n gegeben. Dies sind gnze Zhlen und, d f(1 x) = f(x) ist für lle x R, ist uch die Ableitung f (k) (1) für jedes k N eine gnze Zhl. Nun definieren wir die Funktion F : R R durch ) F (x) := b (π n 2n f(x) π 2n 2 f (x) ± + ( 1) n f (2n) (x) = n f(x) n 1 bf (x) ± + ( 1) n b n f (2n) (x) für x R. Dnn gilt nch dem oben gezeigten F () Z und F (1) Z. Schliesslich definieren wir die Funktion G : R R durch G(x) := F (x) sin(πx) πf (x) cos(πx) für x R. Dnn gilt G (x) = (F (x) + π 2 F (x)) sin(πx) = π 2 n f(x) sin(πx) und dher 1 A := π n f(x) sin(πx) dx = 1 ( ) G(1) G() = F (1) + F () Z. π Dies widerspricht ber der Ttsche, dss f(x) sin(πx) 1/n! ist für lle x [, 1], und dher < A π n /n! < 1. Dieser Widerspruch zeigt, dss π 2 entgegen unserer ursprünglichen Annhme doch irrtionl sein muss. 33

34 7 Die L p -Norm Dieser Abschnitt führt die L p -Norm uf dem Rum der stetigen Funktionen uf einem kompkten Intervll ein und beweist die Ungleichungen von Hölder und Minkowski. Zunächst sei drn erinnert, dss ein normierter Vektorrum ein Pr (X, ) ist, welches us einem Vektorrum X besteht und einer Funktion X R : x x, welche folgende Eigenschften besitzt. (N1) Für lle x X gilt x und x = x =. (N2) Für lle x X und lle λ R gilt λx = λ x. (N3) Für lle x, y X gilt x + y x + y. Jede solche Funktion uf einem Vektorrum X heisst Norm (oder Normfunktion) uf X. Eine Normfunktion X R : x x bestimmt eine Abstndsfunktion d : X X R mittels der Formel d(x, y) := x y für x, y X. (56) Es folgt direkt us den Axiomen für eine Normfunktion, dss diese Funktion d : X X R die Axiome einer Abstndsfunktion erfüllt. Ds heisst, sie ht folgende Eigenschften. (M1) Für lle x, y X gilt d(x, y) und d(x, y) = x = y. (M2) Für lle x, y X gilt d(x, y) = d(y, x). (M3) Für lle x, y, z X gilt d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Dmit ist lso jeder normierte Vektorrum (X, ) uch gleichzeitig ein metrischer Rum (X, d). Ein normierter Vektorrum (X, ) heisst Bnchrum wenn er bezüglich der durch (56) definierten Abstndsfunktion vollständig ist (ds heisst, wenn jede Cuchy-Folge in (X, d) konvergiert). Im folgenden seien und b zwei reelle Zhlen mit < b. Wir bezeichnen ds kompkte Intervll mit den Rndpunkten und b mit I := [, b] = { x R x b }. Der Rum der stetigen reellwertigen Funktionen uf I wird mit C (I) := { f : I R f ist stetig } bezeichnet. Dies ist ein Vektorrum, d die Summe und ds Produkt zweier stetiger Funktionen wieder stetig sind. 34

35 Wir wissen, dss jede stetige Funktion uf einem kompkten metrischen Rum ihr Supremum nnimmt und dher beschränkt ist. Dies führt uns zur Definition der Supremumsnorm f := sup f(x) für f C (I). (57) x b Es folgt direkt us der Definition dss die Funktion C (I) R : f f eine Norm ist. Der normierte Vektorrum (C (I), ) ist vollständig. Stz 7.1. C (I) ist ein Bnchrum mit der Supremumsnorm (57). Beweis. Sei (f n ) n N eine Cuchy-Folge in C (I) bezüglich der Supremumsnorm. Dies bedeutet, dss für jedes ε > eine ntüerliche Zhl n N existiert so dss lle m, n N mit m n n die Ungleichung f m f n < ε erfüllen. D f m (x) f n (x) f m f n ist für lle x I, folgt drus, dss für jedes x I die Folge (f n (x)) n R reeller Zhlen eine Cuchy-Folge ist. D jede Cuchy-Folge in R konvergiert, existiert der Grenzwert f(x) := lim n f n (x) R für jedes x I. Diese Grenzwerte definieren eine Funktion f : I R. Wir zeigen, dss die Funktionenfolge f n : I R gleichmässig gegen f konvergiert. Sei ε > und wähle n N so dss für lle m, n N gilt m n n = f m f n < ε/2. (58) Dnn gilt für lle x I und lle m, n N mit m n n die Ungleichung f m (x) f n (x) f m f n < ε/2. Mit m erhlten wir f(x) f n (x) = lim m f m(x) f n (x) ε 2 < ε (59) für lle n N mit n n und lle x I. Dies bedeutet genu, dss die Funktionenfolge (f n ) n N gleichmässig gegen f konvergiert. D f n : I R nch Vorussetzung für jedes n N stetig ist, folgt drus wiederum, dss die Funktion f : I R ebenflls stetig ist. Also ist f C (I). Sei nun ε > gegeben und sei n N so gewählt, dss (58) gilt. Dnn gilt uch (59) für lle n N mit n n und lle x I. Betrchten wir jetzt ds Supremum über lle x I, so erhlten wir die Ungleichung f f n = sup f(x) f n (x) ε x b 2 < ε (6) für lle n N mit n n. Ds heisst, dss die Folge (f n ) n N gegen f C (I) konvergiert, und dmit ist Stz 7.1 bewiesen. 35

36 Im folgenden wählen wir eine reelle Zhl p 1 und definieren die L p - Norm einer stetigen Funktion f : I R durch ( 1/p f p := f(x) dx) p. (61) Hier ist ds Integrl uf der rechten Seite ds Riemnnsche Integrl der Funktion I R : x f(x) p. Diese Funktion ist stetig und dher Riemnn integrierbr nch Stz Ihr Integrl ist nichtnegtiv nch Teil (ii) von Stz 3.1 und dher ist die rechte Seite in Gleichung (61) wohldefiniert. Ds Ziel in diesem Abschnitt ist es, zu zeigen, dss es sich bei der Funktion C (I) R : f f p um eine Norm hndelt, ds heisst, dss sie die Axiome (N1), (N2), und (N3) uf Seite 34 erfüllt. Dss die L p -Norm ds Axiom (N2) erfüllt, folgt direkt us der Definition und Teil (i) von Stz 3.1. Dss sie uch ds Axiom (N1) erfüllt, ergibt sich us dem folgenden Lemm mit g(x) := f(x) p. Lemm 7.2. Sei g : I [, ) eine stetige Funktion mit g(x) dx =. Dnn gilt g(x) = für lle x I. Proof. Wir definieren die Funktion G : I R durch G(x) := x g(t) dt für x b. Nch Stz 5.1 ist G dnn stetig differenzierbr und es gilt G (x) = g(x) für lle x I. Drus folgt nch dem Mittelwertstz, dss G monoton wchsend ist. Insbesondere gilt dher Ausserdem gilt G() G(x) G(b) für lle x I. G() =, G(b) = g(t) dt =. Drus folgt G(x) = für lle x I und dher gilt uch g(x) = G (x) = für lle x I. Dmit ist Lemm 7.2 bewiesen. Wir hben lso gezeigt, dss die L p -Norm uf C (I) die Axiome (N1) und (N2) erfüllt. Dss sie uch die Dreiecksungleichung erfüllt, ist der Inhlt des folgenden Stzes. 36

37 Stz 7.3 (Minkowski-Ungleichung). Sei p 1 eine reelle Zhl. Dnn gilt für lle f, g C (I). f + g p f p + g p (62) Für p = 1 folgt die Minkowski-Ungleichung (62) direkt us der Definition (zusmmen mit Stz 3.1 und der Dreiecksungleichung für die Betrgsfunktion uf den reellen Zhlen). Für p > 1 benötigen wir zur Vorbereitung des Beweises die Hölder-Ungleichung. Diese wiederum bsiert uf Young s Ungleichung, welche besgt dss, wenn p, q > 1 reelle Zhlen sind mit 1 p + 1 = 1, (63) q dnn gilt die Ungleichung für lle, b >. b 1 p p + 1 q bq (64) Stz 7.4 (Hölder-Ungleichung). Sei p > 1 eine reelle Zhl und sei q > 1 so gewählt, dss (63) gilt. Dnn gilt die Ungleichung für lle f, g C (I). f(x)g(x) dx f p g q (65) Beweis. Seien f, g C (I). Wenn eine der beiden Funktionen identisch verschwindet, so sind beide Seiten der Ungleichung (65) gleich Null. Wir können lso nnehmen, dss f und g beide nicht identisch verschwinden. Nch Lemm 7.2 gilt dnn f p > und g q >. Dnn folgt us der Young schen Ungleichung (64) und Stz 3.1, dss folgendes gilt: f(x)g(x) f p g q dx = 1 p ( 1 p = 1 p + 1 q = 1. Dmit ist Stz 7.4 bewiesen. ( f(x) f p f(x) p dx f p + 1 p q 37 ) p ( + 1 q g(x) q dx g q q ) q ) g(x) dx g q

38 Beweis von Stz 7.3. Unter Verwendung von Stz 3.1, der Hölder-Ungleichung (65) und der Identität q = p/(p 1) erhlten wir f + g p p = f(x) + g(x) p dx f(x) f(x) + g(x) p 1 dx + ) ( f ( p + g p f(x) + g(x) q(p 1) dx ) = ( f p + g p f + g p 1 p. Dmit ist Stz 7.3 bewiesen. g(x) f(x) + g(x) p 1 dx ) 1/q Bemerkung 7.5. Mit Stz 7.3 ist gezeigt, dss (C (I), p ) für jedes p 1 ein normierter Vektorrum ist. Im Gegenstz zum Fll p = (Stz 7.1) ist dies jedoch kein Bnchrum, wie ds folgende Beispiel zeigt. Für n N definieren wir die Funktion f n : I := [, 1] R durch f n (x) :=, für x 1/2 1/n, nx + 1 n/2, für 1/2 1/n x 1/2, 1, für 1/2 x 1. Dies ist eine Cuchy-Folge in C (I) bezüglich der Norm (61) für jedes p 1. Jedoch konvergiert diese Folge nicht in C (I), d ihr punktweiser Grenzwert unstetig ist. Dieser punktweise Grenzwert ist die Funktion f : I R, die durch f(x) := für x < 1/2 und f(x) := 1 für 1/2 x 1 gegeben ist. Bemerkung 7.6. Auf dem Vektorrum C (I) definiert die Formel f, g := f(x)g(x) dx für f, g C (I) ein inneres Produkt und es gilt f 2 = f, f. Für p = 2 ist die Hölder- Ungleichung (65) dnn die Cuchy Schwrz Ungleichung. Bemerkung 7.7. Für x = (x 1,..., x n ) R n und p 1 definieren wir x p := ( n i=1 x i p ) 1/p. Dnn ist die Funktion R n R : x x p eine Norm. Der Beweis der Dreiecksungleichung ist nlog zum Beweis der Minkowski-Ungleichung (62) für Integrle. Mn ersetzt überll ds Integrl durch die entsprechende Summe und verwendet die Hölder-Ungleichung x, y x p y q für x, y R n und p, q > 1 mit 1/p + 1/q = 1. Diese lässt sich wiederum mit dem gleichen Argument wie in Stz 7.4 beweisen. 38

39 8 Uneigentliche Integrle Es ist oft nützlich, eine stetige Funktion f : I R uf einem offenen Intervll I R über ds gesmte Intervll zu integrieren, selbst wenn ds Intervll unbeschränkt ist, beziehungsweise wenn ds Intervll beschränkt, die Funktion ber unbeschränkt ist. In diesem Fll sprechen wir von einem uneigentlichen (Riemnnschen) Integrl. Definition 8.1 (Uneigentliches Integrl). Seien R { } und b R { } mit < b gegeben und sei I := (, b) = { x R < x < b } Eine Funktion f : I R heisst lokl Riemnn integrierbr, wenn ihre Einschränkung uf jedes kompkte Intervll K I Riemnn integrierbr ist. Eine lokl Riemnn integrierbre Funktion f : I R heisst uneigentlich Riemnn integrierbr wenn es eine reelle Zhl A R gibt, die folgende Bedingung erfüllt. Für jedes ε > existieren Zhlen, b R mit < < b < b, so dss lle α, β R mit < α < < b < β < b die Ungleichung β A f(x) dx < ε erfüllen. α (66) Die Zhl A, wenn sie existiert, ist eindeutig durch diese Bedingung bestimmt. Sie wird ds uneigentliche Integrl von f über I gennnt und mit bezeichnet. f(x) dx := A = lim α β b β α f(x) dx (67) Der Beweis, dss die Zhl A (wenn sie existiert) durch die Bedingung (66) eindeutig bestimmt ist, ergibt sich us dem gleichen Argument mit dem die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge bewiesen wird. Die Besipiele uneigentlich Riemnn integrierbrer Funktionen, die wir im folgenden betrchten, sind lle stetig und es geht entweder um ds Integrl einer beschränkten Funktion über einem unbeschränkten Intervll oder um ds Integrl einer unbeschränkten Funktion über einem beschränkten Intervll. 39

40 Beispiel 8.2. Sei s > eine reelle Zhl und sei f : (, ) R die Funktion f(x) := x s. Diese Funktion ist für keinen Wert von s uneigentlich Riemnn integrierbr. Es ist jedoch uch interessnt, diese Funktion uf den hlboffenen Teilintervllen (, 1] und [1, ) zu betrchten. Für s 1 ist die Funktion F (x) := x 1 s /(1 s) eine Stmmfunktion von f, ds heisst dx x s = x1 s 1 s für x >. Im Fll < s < 1 folgt drus 1 dx 1 x = lim dx s ε ε x = lim 1 ε 1 s s ε 1 s = 1 1 s für s < 1. (68) Die gleiche Rechnung zeigt, dss die Funktion f (,1] für s > 1 nicht uneigentlich integrierbr ist. Im Fll s > 1 erhlten wir 1 dx R x = lim dx s R 1 x = lim R 1 s 1 s R 1 s = 1 s 1 für s > 1. (69) Hier zeigt die Rechnung, dss die Funktion f [1, ) für s < 1 nicht uneigentlich integrierbr ist. Für s = 1 ist die Funktion f(x) = 1/x uf keinem der beiden Intervlle (, 1] und [1, ) uneigentlich integrierbr. Beispiel 8.3. Die durch f(x) := 1 1+x 2 definierte Funktion f : R R ist uneigentlich integrierbr und es gilt dx = π. (7) 1 + x2 Zum Beweis verwenden wir die Ttsche, dss rctn = tn 1 : R R eine Stmmfunktion von f ist (siehe Beispiel 6.3). Drus folgt dx R 1 + x = lim dx 2 R 1 + x = lim rctn(r) = π 2 R 2 und dx 1 + x = lim dx 2 R R 1 + x = lim rctn( R) = π 2 R 2, und dmit ist (7) bewiesen. 4