Mathematik II. Vorlesung 31

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch einen Funktionsgrphen einer Funktion f :[,b] R und der x-achse begrenzt wird, systemtisch studieren und berechnen. Zugleich ergibt sich ein direkter Zusmmenhng zum Auffinden von Stmmfunktionen, ds sind Funktionen, deren Ableitung f ist. Der Flächeninhlt ist kein unproblemtischer Begriff, den wir erst im dritten Semester im Rhmen der Mßtheorie grundlegend behndeln werden. Dennoch hndelt es sich um einen intuitiv leicht zugänglichen Begriff, von dem wir hier nur einige wenige nheliegende Grundttschen verwenden. Sie dienen hier uch nirgendwo der Argumenttion, sondern lediglich der Motivtion. Ausgngspunkt ist, dss der Flächeninhlt eines Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen einfch ds Produkt der beiden Seitenlängen ist, und dss der Flächeninhlt einer Fläche, die mn mit Rechtecken usschöpfen knn, ls der Limes der Summe der beteiligten Rechtecksinhlte erhlten werden knn. Beim Riemnnschen Integrl, ds zumindest für stetige Funktionen eine befriedigende Theorie liefert, beschränkt mn sich uf solche Rechtecke, die prllel zum Koordintensystem liegen, deren Breite (Grundseite uf der x-achse) beliebig vrieren drf und deren Höhe in Beziehung zu den Funktionswerten über der Grundseite steht. Ddurch werden die Funktionen durch sogennnte Treppenfunktionen pproximiert. 1

2 2 Treppenfunktionen Eine Treppenfunktion. Im sttistischen Kontext spricht mn von Histogrmmen oder von Säulendigrmmen. Definition Sei I ein reelles Intervll mit den Grenzen,b R. Dnn heißt eine Funktion t :I R eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n = b von I gibt derrt, dss t uf jedem offenen Teilintervll ] i 1, i [ konstnt ist. Diese Definition stellt lso keine Bedingung n den Wert der Funktion n den Unterteilungspunkten. Die Intervlle ] i 1, i [ nennt mn i-tes Teilintervll, und i i 1 heißt Länge dieses Teilintervlls. Wenn die Länge der Teilintervlle konstnt ist, so spricht mn von einer äquidistnten Unterteilung. Definition Sei I ein reelles Intervll mit den Grenzen,b R und sei t :I R eine Treppenfunktion zur Unterteilung = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n = b und den Werten t i, i = 1,...,n. Dnn heißt T = t i ( i i 1 ) ds Treppenintegrl von t uf I. i=1 Ds Treppenintegrl wird uch mit t(x)dx bezeichnet. Bei einer äquidistnten Unterteilung mit der Teilintervlllänge b ist ds Treppenintegrl n gleich b ( n n i=1 t i). Ds Treppenintegrl ist nicht von der gewählten Unterteilung bhängig, bzgl. der eine Treppenfunktion vorliegt.

3 Definition Sei I ein beschränktes Intervll und sei eine Funktion. Dnn heißt eine Treppenfunktion t :I R eine obere Treppenfunktion zu f, wenn t(x) f(x) ist für lle x I. Eine Treppenfunktion s :I R heißt eine untere Treppenfunktion zu f, wenn s(x) f(x) ist für lle x I. Eine obere (untere) Treppenfunktion zu f gibt es genu dnn, wenn f nch oben (nch unten) beschränkt ist. Definition Sei I ein beschränktes Intervll und sei eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion t :I R von f zur Unterteilung i, i = 0,...,n, und den Werten t i, i = 1,...,n, heißt ds Treppenintegrl T = t i ( i i 1 ) eine Obersumme (oder ein oberes Treppenintegrl) von f uf I. Definition Sei I ein beschränktes Intervll und sei i=1 eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion s :I R von f zur Unterteilung i, i = 0,...,n, und den Werten s i, i = 1,...,n, heißt S = s i ( i i 1 ) i=1 eine Untersumme (oder ein unteres Treppenintegrl) von f uf I. Verschiedene obere(untere) Treppenfunktionen liefern ntürlich verschiedene Obersummen (Untersummen). Definition Sei I ein beschränktes Intervll und sei eine nch oben beschränkte Funktion. Dnn heißt ds Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von f ds Oberintegrl von f. 3

4 4 Definition Sei I ein beschränktes Intervll und sei eine nch unten beschränkte Funktion. Dnn heißt ds Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von f ds Unterintegrl von f. Die Beschränkung nch unten stellt sicher, dss es überhupt eine untere Treppenfunktion gibt und dmit die Menge der Untersummen nicht leer ist. Unter dieser Bedingung llein muss nicht unbedingt die Menge der Obersummen ein Supremum besitzen. Für (beidseitig) beschränkte Funktionen existiert hingegen stets ds Ober- und ds Unterintegrl. Bei einer gegebenen Unterteilung gibt es eine kleinste obere (größte untere) Treppenfunktion, die durch die Mxim (Minim) der Funktion uf den Teilintervllen festgelegt ist. Für ds Integrl muss mn ber Treppenfunktionen zu sämtlichen Unterteilungen berücksichtigen. Riemnn-integrierbre Funktionen Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhlt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhlt (teilweise verdeckt) ist eine Obersumme. Definition Sei I ein kompktes Intervll und sei eine Funktion. Dnn heißt f Riemnn-integrierbr, wenn Ober- und Unterintegrl von f existieren und übereinstimmen. Definition EsseiI = [,b]einkompktesintervll.zueinerriemnnintegrierbren Funktion f :I = [,b] R, t f(t),

5 heißt ds Oberintegrl (ds nch Definition mit dem Unterintegrl übereinstimmt) ds bestimmte Integrl von f über I. Es wird mit f(t)dt oder mit f(t)dt bezeichnet. Ds Berechnen von solchen Integrlen nennt mn integrieren. Mn sollte sich keine llzu großen Gednken über ds Symbol dt mchen. Drin wird usgedrückt, bzgl. welcher Vriblen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dbei ber nicht uf den Nmen der Vriblen n, d.h. es ist f(t)dt = I f(x)dx Lemm Sei I ein kompktes Intervll und sei eine Funktion. Es gebe eine Folge von unteren Treppenfunktionen (s n ) n N mit s n f und eine Folge von oberen Treppenfunktionen (t n ) n N mit t n f. Es sei vorusgesetzt, dss die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrle konvergieren und dss ihr Grenzwert übereinstimmt. Dnn ist f Riemnnintegrierbr, und ds bestimmte Integrl ist gleich diesem Grenzwert, lso lim n s n (x)dx = Beweis. Siehe Aufgbe Beispiel Wir betrchten die Funktion f(x)dx = lim n t n (x)dx f :[0,1] R, t t 2, die beknntlich in diesem Intervll streng wchsend ist. Für ein Teilintervll [,b] [0,1] ist dher f() ds Minimum und f(b) ds Mximum der Funktion über diesem Teilintervll. Sei n eine positive ntürliche Zhl. Wir unterteilen ds Intervll [0, 1] in die n gleichlngen Teilintervlle [i 1 n,(i+1)1 ], i = 0,...,n 1, n der Länge 1. Ds Treppenintegrl zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen n ist n 1 i=0 1 n (i1 n )2 = 1 n 1 n 3 i=0 i 2 = 1 n 3(1 3 n3 1 2 n n) = n + 1 6n 2 5

6 6 (siehe Aufgbe 31.7 für die Formel für die Summe der Qudrte). D die beiden Folgen (1/2n) n N und (1/6n 2 ) n N gegen 0 konvergieren, ist der Limes für n von diesen Treppenintegrlen gleich 1. Ds Treppenintegrl zu 3 der zugehörigen oberen Treppenfunktionen ist n 1 i=0 1 n ((i+1)1 n )2 = 1 n 1 n 3 i=0 = 1 n 3 j=1 (i+1) 2 = 1 n 3(1 3 n n n) = n + 1 6n 2. Der Limes dvon ist wieder 1. D beide Limiten übereinstimmen, müssen 3 nch Lemm überhupt ds Ober- und ds Unterintegrl übereinstimmen, so dss die Funktion Riemnn-integrierbr ist und ds bestimmte Integrl ist. 1 0 t 2 dt = 1 3 Lemm Sei I ein kompktes Intervll und sei eine Funktion. Dnn ist f genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn es eine Unterteilung = 0 < 1 < < n = b gibt derrt, dss die einzelnen Einschränkungen f i = f [i 1, i ] Riemnn-integrierbr sind. Beweis. Siehe Aufgbe Definition Sei I ein reelles Intervll und sei eine Funktion. Dnn heißt f Riemnn-integrierbr, wenn die Einschränkung von f uf jedes kompkte Intervll [, b] I Riemnn-integrierbr ist. Aufgrund des oberen Lemms stimmen für ein kompktes Intervll [, b] die beiden Definitionen überein. j 2 Riemnn-Integrierbrkeit stetiger Funktionen Stz Sei I ein reelles Intervll und sei eine stetige Funktion. Dnn ist f Riemnn-integrierbr.

7 Beweis. Wir können nnehmen, dss ds Intervll kompkt ist, sgen wir I = [,b]. Die stetige Funktion f ist uf diesem kompkten Intervll beschränkt nch Stz Dher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und dher existieren Oberintegrl und Unterintegrl. Wir müssen zeigen, dss sie übereinstimmen. Dzu genügt es, zu einem gegebenen ǫ > 0 eine untere und eine obere Treppenfunktion für f nzugeben derrt, dss die Differenz ihrer Treppenintegrle ǫ ist. Nch Stz ist f gleichmäßig stetig. Dher gibt es zu ǫ = ǫ ein δ > 0 derrt, dss für lle b x,x I mit d(x,x ) δ die Abschätzung d(f(x),f(x )) ǫ gilt. Sei nun n N so, dss b δ ist, und betrchten wir die Unterteilung des Intervlls mit den n Punkten i = +i b. Auf den Teilintervllen [ n i 1, i ], i = 1,...,n, ist der Abstnd zwischen dem Mximum und dem Minimum t i = mx(f(x), i 1 x i ) s i = min(f(x), i 1 x i ) kleiner/gleich ǫ. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, lso { t i für x [ i 1, i [ und 1 i n 1, t(x) := t n für x [ n 1, n ], und s(x) := { s i für x [ i 1, i [ und 1 i n 1, s n für x [ n 1, n ], sind dnn eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu f. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dnn b t i n b s i = (t i s i ) b ǫ b ǫ = n n n n = ǫ. i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 7 Diese Aussge gilt dnn uch für stückweise stetige Funktionen. Wenn mn Aussgen beweist, bei denen uf Unterteilungen eines Intervlls Bezug genommen wird, so ist es häufig sinnvoll, feinere Unterteilungen einzuführen. Insbesondere ersetzt mn häufig zwei verschiedene Unterteilungen durch eine gemeinsme Verfeinerung. Lemm Es seii = [,b] einkompktesintervllundesseienf,g :I R zwei Riemnn-integrierbre Funktionen. Dnn gelten folgende Aussgen. (1) Ist m f(x) M für lle x I, so ist m(b ) f(t)dt M(b ). (2) Ist f(x) g(x) für lle x I, so ist f(t)dt g(t)dt. (3) Es ist (f +g)(t)dt = f(t)dt+ g(t)dt.

8 8 (4) Für c R ist (cf)(t)dt = c f(t)dt. (5) Die Funktionen mx(f, g) und min(f, g) sind Riemnn-integrierbr. (6) Die Funktion f ist Riemnn-integrierbr. (7) Ds Produkt f g ist Riemnn-integrierbr. Beweis. Für (1) bis (4) siehe Lemm (5). Wir betrchten die Aussge für ds Mximum. Wir müssen zeigen, dss es zu jedem δ > 0 eine obere und eine untere Treppenfunktion gibt derrt, dss die Differenz der beiden Treppenintegrle δ ist. Sei lso ein δ > 0 vorgegeben. Aufgrund der Riemnn-Integrierbrkeit gibt es Treppenfunktionen und s 1 und t 1 mit s 1 f t 1 und mit s 2 und t 2 mit s 2 g t 2 und mit (t 1 s 1 )xdx δ/2 (t 2 s 2 )xdx δ/2. Wir können nnehmen, dss diesen Treppenfunktionen die gleiche Unterteilung zugrunde liegt. Es sei l k, k = 1,...,n die Länge des k-ten Teilintervlls I k und es sei δ k = (t 1 s 1 ) Ik +(t 2 s 2 ) Ik. Dnn gilt Wir setzen l k δ k = k=1 = l k ((t 1 s 1 ) Ik +(t 2 s 2 ) Ik ) k=1 l k (t 1 s 1 ) Ik + k=1 δ 2 + δ 2 = δ. l k (t 2 s 2 ) Ik k=1 s = mx(s 1,s 2 ) und t = mx(t 1,t 2 ). Dies ist offenbr eine obere bzw. untere Treppenfunktionen für mx(f, g). Wir betrchten ein Teilintervll I k dieser Unterteilung. Wenn dort gilt, so ist Wenn dort gilt, so ist ebenflls s 1 s 2 und t 1 t 2 t s = t 2 s 2 δ k. s 1 s 2 und t 2 t 1 t s = t 1 s 2 t 1 s 1 δ k.

9 Dies gilt uch in den beiden nderen Fällen. Dmit ist die Differenz der Treppenintegrle n k=1 l kδ k δ. (6) folgt direkt us (5). Für (7) siehe Lemm

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11 Abbildungsverzeichnis Quelle = Integrl s region under curve.svg, Autor = Benutzer 4C uf Commons, Lizenz = CC-by-s Quelle = Histogrm exmple.svg, Autor = Benutzer uf Commons, Lizenz = 2 Quelle = Integrl pproximtions.svg, Autor = Benutzer KSmrq uf Commons, Lizenz = CC-vy-s