9 Riemann-Integral für Funktionen einer Variablen
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- Klaus Grosser
- vor 7 Jahren
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1 9 Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen Integrl = (orientierte) Fläche zwischen Funktion f : r, bs Ñ R und der x-achse «ř n px n x n 1 qf pξ n q mit Zwischenpunkten ξ n P rx n 1, x n s x n 1 x n b Alterntive: Lebesgue Integrl durch Zerlegung der y-achse Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 173 / 1
2 Definition 9.1 (i) Zerlegung Z des endlichen Intervlls r, bs ist gegeben durch Punkte x 0 ă x 1 ă... ă x N b mit endlichem N P N (ii) Zerlegung Z 1 feiner ls Zerlegung Z (Schreibweise Z ď Z 1 ) ðñ jeder Punkt in Z ist uch in Z 1 (iii) Gegeben Zerlegungen Z und Z 1, entsteht Verfeinerung Z Y Z 1 durch deren Überlgerung (iv) FpZ q mx,...,n x n mit x n x n x n 1 ist Feinheit von Z Z tx 1,...,x N 1 u x 1 x 2 x 3 x 4 x N 1 b Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 174 / 1
3 Obersumme O Z pf q b Untersumme U Z pf q b Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 175 / 1
4 Definition 9.2 (Riemnn Integrl) f : r, bs Ñ R Funktion und Z Zerlegung von r, bs (i) Untersumme U Z pf q und Obersumme O Z pf q sind U Z pf q x n m n, m n inftf pxq x P rx n 1, x n su O Z pf q x n M n M n suptf pxq x P rx n 1, x n su (ii) Unteres und oberes Riemnn-Integrl: Upf q sup U Z pf q, Z Opf q inf Z O Z pf q (iii) f Riemnn-integrierbr ðñ Upf q Opf q P R. Dnn dx f pxq Upf q Opf q f pxq dx ż r,bs dx f pxq Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 176 / 1
5 Bemerkung 9.3 f : r, bs Ñ R unbeschränkt ùñ O Z pf q 8 oder U Z pf q Riemnn-integrierbre Funktionen sind lso immer beschränkt Lemm 9.4 Z, Z 1 Zerlegungen von r, bs ùñ U Z pf q ď O Z 1pf q. Somit Upf q ď Opf q Beweis: Behuptung klr für Z Z 1 Sei zunächst Z ď Z 1 und z.b. x n 1 x 1 j 1 ă x 1 j ă x 1 j`1 x n. Dnn x n m n xj 1 m n ` xj`1 1 m n ď xj 1 m1 j ` xj`1 1 m1 j`1 Somit U Z pf q ď U Z 1pf q. Anlog: x n 1 x 1 (weil inf über kleineres Intervll) O Z pf q ě O Z 1pf q Jetzt Z ď Z Y Z 1 und Z 1 ď Z Y Z 1, so dss U Z pf q ď U Z YZ 1pf q ď O Z YZ 1pf q ď O Z 1pf q j x n Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 177 / 1 l
6 Stz 9.5 (Riemnnsches Integrbilitätskriterium) f integrierbr ε ą 0 D Zerlegung Z mit O Z pf q U Z pf q ă ε Beweis: ùñ Opf q Upf q ùñ Z, Z 1 mit O Z pf q U Z 1pf q ă ε ùñ O Z YZ 1pf q U Z YZ 1pf q ď O Z pf q U Z 1pf q ă ε (Beweis Lemm 9.4) ðù 0 ď Opf q Upf q ď O Z pf q U Z pf q ă ε für geeignetes Z l Stz 9.6 (Verschärftes Riemnnkriterium) f integrierbr ε ą 0 D δ ą 0 mit O Z pf q U Z pf q ă Z mit FpZ q ă δ Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 178 / 1
7 Beweis: (Argument f in O Z, U Z unterdrückt) ðù klr nch Stz 9.5 ùñ Sei ε ą 0. Nch Stz 9.5 D Zerlegung Z 1 mit O Z 1 U Z 1 ă ε 3 Sei Z beliebige Zerlegung. Behuptung: D von Z unbhängige Konstnte C Cpf, Z 1 q mit O Z O Z YZ 1 ď CFpZ q, Begründung: Seien x n, x n`1 in Z. U Z YZ 1 U Z ď CFpZ q Betrchte zugehörigen Beitrg B n zu O Z O Z YZ 1. Flls kein Punkt von Z 1 in rx n, x n`1 s, ist B n 0. Flls ein Punkt x 1 von Z 1 in rx n, x n`1 s, gilt: B n px n`1 x n q sup px n`1 x 1 q ď FpZ q rx n,x n`1 s sup rx n,x n`1 s sup f inf f r,bs r,bs f px n`1 x 1 q f 2 sup rx 1,x n`1 s f sup rx 1,x n`1 s ` px 1 x n q x n x 1 f px 1 x n q sup rx n,x 1 s f x n`1 sup f sup f rx n,x n`1 s rx n,x 1 s Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 179 / 1
8 Flls k Punkte von Z 1 in rx n, x n`1 s, gilt nlog: B n ď FpZ q sup f inf f r,bs r,bs pk ` 1q Summieren über Beitrg zeigt O Z O Z YZ 1 ď CFpZ q. Zweite Behuptung nlog. Somit O Z U Z ď O Z O Z YZ 1 ` O Z YZ 1 U Z YZ 1 ` U Z YZ 1 U Z ď CFpZ q ` ε 3 ` CFpZ q ă ε für FpZ q ă δ ε 3C. l Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 180 / 1
9 Definition 9.7 f : r, bs Ñ R beschränkt. Z Zerlegung von r, bs mit Punkten x 0 ă x 1 ă... ă x N Sei ξ n P rx n 1, x n s Zwischenpunkte und setze ξ pξ 1,...,ξ N q Die zugehörige Riemnnsche Zwischensumme ist definiert ls S Z,ξ pf q x n f pξ n q Stz 9.8 (Zwischensummenbeschreibung des Integrls) f : r, bs Ñ R beschränkt. Dnn: ş b dx f pxq I ε ą 0 D δ ą 0 mit S Z,ξ pf q I ă Z mit FpZ q ă δ ξ Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 181 / 1
10 Beweis ùñ Es gilt U Z O Z ď U Z I ď S Z,ξ I ď O Z I ď O Z U Z Somit S Z,ξ I ď O Z U Z ă FpZ q ă δ (nch Stz 9.6) ðù Zu ε ą 0 sei δ ą 0 so, dss S Z,ξ I ă ε 4 für FpZ q ă Zwischenpunkte ξ Bestimme ξ und ξ 1 so, dss Dnn S Z,ξ O Z ă ε 4 und S Z,ξ 1 U Z ď ε 4 O Z U Z ď O Z S Z,ξ ` S Z,ξ I ` S Z,ξ 1 I ` S Z,ξ 1 U Z ă ε Schließe mit Stz 9.5 oder 9.6 l Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 182 / 1
11 Korollr 9.9 f : r, bs Ñ R Riemnn-integrierbr ùñ ş b dx f pxq lim NÑ8 b N ř N f ` ` n t N pb t P r0, 1s Beweis: Spezielle Zwischensumme mit ξ n ` n t N pb q. l Stz 9.10 Jede stetige Funktion ist (Riemnn-) integrierbr Beweis: D r, bs kompkt, f : r, bs Ñ R gleichmäßig stetig (An 1), ε ą 0 D δ ą 0 so, dss f pxq f px 1 q ă Für Zerlegung Z mit FpZ q ă δ gilt lso ε x x 1 ă δ O Z pf q U Z pf q ă ε x n b ε Schließe mit Stz 9.6 l Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 183 / 1
12 Beispiel 9.11 (Berechnung eines Integrls) dx x 2 ` ` n N pb q 2 b lim NÑ8 N b lim NÑ8 N b lim NÑ8 N pb q 2 2 ` n 2 1 N pb q ` pb q 2 n N 2 N 2 ` 2pb q N 2 ` pb q ` 1 3 NpN`1q 2 ` pb q2 N 2 pb q2 pb q 1 3 pb2 ` b ` 2 q 1 3 pb3 3 q Länglich. Bessere Alterntive später (Fundmentlstz). Definition 9.12 f : r, bs Ñ R (Riemnn sche) Treppenfunktion ðñ D Zerlegung Z von r, bs mit f konstnt uf px n 1, x n n NpN`1qp2N`1q 6 Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 184 / 1
13 Es gibt unstetige, integrierbre Funktionen: Stz 9.13 Treppenfunktionen sind integrierbr Begrndung: O Z pf q U Z pf q beliebig klein, denn Beitrg der endlich vielen Sprungstellen wird klein l Beispiel 9.14 (Eine nicht Riemnn-integrierbre Funktion) # 1 x P Q X r0, 1s f pxq 0 x P RzQ X r0, 1s Zerlegungen Z gilt O Z pf q 1 ą U Z pf q 0 Aber: f Lebesgue-integrierbr und ş 1 0 dx f pxq 0, weil Q nur dünn, d bzählbr Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 185 / 1
14 Stz 9.15 (i) Monotone Funktionen sind integrierbr (ii) f, g integrierbr, λ P R ùñ f `λg und f g integrierbr (d.h. integrierbre Funktionen bilden eine Algebr). (iii) f integrierbr ùñ f integrierbr (iv) f integrierbr, h P CpR, Rq ùñ h f integrierbr Beweis: (i) Sei f monoton steigend. Dnn O Z pf q U Z pf q Letzteres flls FpZ q ă ď FpZ q x n pf px n`1 q f px n qq looooooooomooooooooon ě0 pf px n`1 q f px n qq FpZ qpf pbq f pqq ă ε ε f pbq f pq δ. Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 186 / 1
15 (ii) Sei λ ą 0. O Z pf `λgq ď x n sup rx n 1,x ns pf `λgq x n sup f `λ sup g rx n 1,x ns rx n 1,x ns O Z pf q `λo Z pgq Anlog U Z pf `λgq ě U Z pf q `λu Z pgq Somit nch Stz 9.5 O Z pf `λgq U Z pf `λgq ď po Z pf q U Z pf qq`λpo Z pgq U Z pgqq ă ε 2 ` λε 2 Also ist f ` λg integrierbr Fll λ ă 0 nlog, ls Übung. Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 187 / 1
16 Hilfsmittel lokle Vrition v n pf q sup x,x 1 Prx n 1,x ns f pxq f px 1 q. Dnn: O Z pf q U Z pf q x n sup x,x 1 Prx n 1,x ns f pxq f px 1 q x n v n pf q D f pxqgpxq f px 1 qgpx 1 q pf pxq f px 1 qqgpxq ` f px 1 qpgpxq gpx 1 qq gilt wobei Somit v n pfgq ď }g} 8 v n pf q ` }f } 8 v n pgq }f } 8 sup f pxq xpr,bs O Z pfgq U Z pfgq ď }g} 8 po Z pf q U Z pf qq ` }f } 8 po Z pgq U Z pgqq und fg integrierbr nch obigem Argument. (iii) Vrition erfüllt v n p f q ď v n pf q. Dnn wie in (ii). Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 188 / 1
17 (iv) h gleichmäßig stetig uf Kompktum r }f } 8, }f } 8 s (Anlysis 1), ε ą 0 D δ ą 0 mit hpyq hpy 1 q ă ε 2pb q D f integrierbr, wähle Z mit O Z pf q U Z pf q ă Seien ÿ y y 1 ă δ ε δ 4}h} 8 und ÿ 2 Summen über Terme mit v npf q ă δ bzw. v n pf q ě δ n n Dnn O Z pf q U Z pf q ě δ ÿ 2 O Z ph f q U Z ph f q n x n, und somit ÿ 2 ď 1 x n v n ph f q ` 1 ε x n 2pb q ` n x n ă ε 4}h} 8. Also 2 x n v n ph f q 2 x n 2}h} 8 ă ε 2 ` ε 2 ε l Jetzt: Aussgen für Ober- und Untersummen gelten für Integrl: Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 189 / 1
18 Stz 9.16 (Rechenregeln fürs Integrl) f, g : r, bs Ñ R integrierbr, c P p, bq und λ P R (i) Linerität des Integrls: dxpf pxq ` λgpxqq (ii) Intervlldditivität: (iii) Monotonie: dx f pxq f pxq ď x P r, bs (iv) Stndrdbschätzung: dx f pxq ˇ ˇ ď ż b ż b dx f pxq ` λ dx gpxq ż c dx f pxq ` dx f pxq c ùñ dx f pxq ď dx f pxq ď pb q}f } 8 dx gpxq Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 190 / 1
19 Stz 9.17 pf n q ně1 Folge integrierbre Funktionen uf r, bs Folge konvergiere gleichmäßig gegen f (d.h. }f f n } 8 Ñ 0) ş b ùñ f integrierbr und lim nñ8 dx f npxq ş b dx f pxq Entsprechendes gilt für gleichmäßig konvergente Reihen: ř ş ş ř n n Beweis: O Z pf q U Z pf q po Z pf q O Z pf n qq pu Z pf q U Z pf n qq ` O Z pf n q U Z pf n q ď O Z pf f n q U Z pf f n q ` O Z pf n q U Z pf n q (wie oben) ď 2pb q}f f n } 8 ` O Z pf n q U Z pf n q Wähle n mit }f f n } 8 ă ε 4pb q, dnn Z mit O Z pf n q U Z pf n q ă ε 2 Nch Riemnnkriterium ist f lso integrierbr. Mit Rechenregeln dx f pxq dx f n pxq dxpf pxq f n pxqq ˇ ˇ ˇ ˇ ď pb q}f f n } 8 nñ8 ÝÝÝÑ 0 Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 191 / 1 l
nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
![nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei](/thumbs/64/52033315.jpg "nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei")
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
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10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]
![38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]](/thumbs/93/112357862.jpg "38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]")
38 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V 38.9 Integrlbschätzung 38.10 Huptstz
9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.
![9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.](/thumbs/88/116973351.jpg "9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.")
9 ntegrlrechnung 9. Ds Riemnn-ntegrl: Sei [, b] ein beschränktes bgeschlossenes ntervll und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Problem: Bestimme Flächeninhlt A zwischen Grphen von f und x-achse. Betrchte
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