Mitschrift zur Analysis II Vorlesung von Prof. Dr. Wittbold im SS 08. Thomas El Khatib 2. August 2008

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1 Mitschrift zur Anlysis II Vorlesung von Prof. Dr. Wittbold im SS 08 Thoms El Khtib 2. August 2008

2 Inhltsverzeichnis 5 Integrtion 6 5. Ds bestimmte Riemnn-Integrl Motivtion Zerlegung, Unter- und Obersummen Überlgerungslemm Unteres- und oberes Riemnn-Integrl Riemnn-Integrl ls Grenzwert Beispiel Beispiel Riemnn sches Integrbilitätskriterium Klssen R-integrierbrer Funktionen Riemnn sche Zwischensumme Riemnn sche Summenfolge Beispiel Cuchy sches Integrbilitätskriterium Allgemeinere Alterntivdefinition des Riemnn-Integrls Integrierbrkeit komplexwertiger Funktionen Eigenschften des Riemnn-Integrls Linerität des Riemnn-Integrls Erhltung der Riemnn-Integrierbrkeit Monotonie des Integrls Dreiecksungleichung für Integrle Mittelwertstz der Integrlrechnung Vertuschung von Limes und Integrtion Beispiel Integrle über Teilintervllen Schreibkonvention für Integrlgrenzen Integrlfunktion Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Stmmfunktion Allgemeines Tylor-Restglied Integrtionstechniken Prtielle Integrtion Substitutionsregel Uneigentliche Integrle Motivtion Beispiele Cuchy-Kriterium Beispiel Absolute Konvergenz Integrlvergleichskriterium für Reihen Vertuschbrkeit von Limes und Integrtion Uneigentliche Integrle unbeschränkter Funktionen Beispiele Integrnd und Integrtionsbereich unbeschränkt

3 6 Topologische Grundlgen Metrische und normierte Räume Normierte linere Räume Beispiele Metrische Räume Beispiele Kugeln, Umgebungen, offen, bgeschlossen Beispiele Metriken induzieren Topologien Beispiele Metrische Räume sind husdorffsch Topologie Offene Mengen in Teilräumen Beispiele Inneres, Abschluss, Rnd; Häufungs- und Berührpunkte Folgen und Konvergenz in metrischen Räumen Konvergenz Vollständigkeit Beispiele Konvergenz und Vollständigkeit von R bezüglich p-normen Chrkterisierung topologischer Eigenschften über Folgen Abgeschlossene Teilräume vollständiger Räume sind vollständig Bnch scher Fixpunktstz Kompktheit Definition Beispiele Kompktheit und Abgeschlossenheit Folgen-Kompktheit Stz von Heine-Borel Beispiele Kompktheit impliziert Vollständigkeit Verllgemeinerung von Heine-Borel Zusmmenhng Erinnerung: Intervlle Topologische Chrkterisierung von Intervllen Definition Vereinigung zusmmenhängender Mengen Seprbilität Definition Beispiele Kompkte Räume sind seprbel Stetige Abbildungen in metrischen Räumen Definition Äquivlente Chrkterisierungen Chrkterisierung globler Stetigkeit Beispiele Verknüpfung stetiger Funktion ist stetig Verllgemeinerung des Zwischenwertstzes Wegzusmmenhng

4 6.6.8 Kompktheitsstz Stz von Mximum und Minimum für reellwertige Funktionen Gleichmäßige Stetigkeit Gleichmäßige Stetigkeit uf kompkten Mengen Gleichmäßig konvergente Funktionen sind stetig Linere Abbildungen Stetigkeit linerer Abbildungen Linere, stetige Opertoren Topologische Isomorphismen, Isometrien Im Endlichdimensionlen sind linere Opertoren stetig Differentilrechnung in normierten Räumen Definition der Differenzierbrkeit und elementre Eigenschften Erinnerung: Reeller Fll Definition Quotientenfreie Form Elementre Eigenschften Ableitung Beispiele Spezilisierung uf endlich-dimensionle Bnchräume Richtungsbleitung Prtielle Ableitung Ableitung ls Jcobi-Mtrix Aus stetiger prtieller Differenzierbrkeit folgt totle Differenzierbrkeit Ableitungsregeln und Mittelwertsätze Differenzieren ist liner Kettenregel Produktregel, Ableitung bilinerer Funktionen Spezieller Schrnkenstz Allgemeiner Schrnkenstz Konvexe Mengen Mittelwertstz in Integrlform Integrlrechnung mit vektorwertigen Funktionen Allgemeiner Mittelwertstz in Integrlform Höhere Ableitungen und Tylor sche Formel Höhere Ableitungen Mehrfche prtielle Ableitungen Beispiel Stz von Schwrz Hesse-Mtrix Multiindizes Differentilopertoren, Lplce-Opertor Eindimensionle Tylor-Formel mit Integrlrestglied Mehrdimensionler Stz von Tylor Mehrdimensionler Stz von Tylor mit Integrlrestglied Allgemeine Tylor-Formel Lokle Extrem reellwertiger Funktionen Lokle Extrem

5 7.4.2 Notwendiges Kriterium Erinnerung: Hinreichendes Kriterium im Eindimensionlen Definitheit symmetrischer Mtrizen Hinreichendes Kriterium Implizite Funktionen Motivtion Beispiel Stz über implizite Funktionen Umkehrstz Extrem mit Nebenbedingungen Problemstellung Beispiel Lgrnge sche Multipliktoren Nutzen der Stzes über Lgrnge sche Multipliktoren Beispiel Beweis des Stzes Differentilgleichungen 0 8. Gewöhnliche Differentilgleichungen erster Ordnung Grundlegende Definitionen Beispiel: Popultionsmodelle Frgen n Differentilgleichungsmodelle Stz von Picrd-Lindelöf, lokle Version Bildquellen 7 5

6 5 Integrtion 5. Ds bestimmte Riemnn-Integrl 5.. Motivtion Wie berechnet mn die Fläche, die von der x-achse, den Grphen x =, x = b und dem Grphen einer Funktion f : [, b] R begrenzt wird? Eine nheliegende Idee ist, die Fläche durch einfcher zu berechnende Flächen, zum Beispiel Rechtecke, nzunähern. Die Genuigkeit der Näherung steigt nschulich, je feiner mn den betrchteten Bereich der x-achse unterteilt Zerlegung, Unter- und Obersummen Definition 5... Sei I = [, b],, b R, f : I R beschränkt. ) Z = (x 0, x,..., x n ) mit = x 0 < x <... < x n = b, n N, heißt Zerlegung von I in Teilintervlle I k := [x k, x k ] für k {,..., n}. Z := mx { I k k {,..., n}}, wobei I k := x k x k heißt Feinheit der Zerlegung Z. b) Seien m k := inf f(i k ) = inf x I k f(x) = inf {f(x) x I k }, M k := sup f(i k ) = sup x I k f(x) = sup {f(x) x I k } für k {,..., n}, so definiert mn die Unter- bzw. Obersummen von f bezüglich der Zerlegung Z: Untersumme: s(z, f) := n m k I k k= 6

7 und Obersumme: S(Z, f) := n M k I k. k= c) Seien Z, Z, Z 2 Zerlegungen von I. i) Z heißt Verfeinerung von Z, wenn Z lle Zwischenpunkte der Zerlegung Z enthält. ii) Die Zerlegung Z, die genu die Zwischenpunkte von Z und Z 2 enthält, heißt Überlgerung von Z und Z 2, geschrieben: Z = Z +Z Überlgerungslemm Lemm Sei f : [, b] R beschränkt, d.h. es gilt f(x) K für lle x [, b]. Sei Z eine Zerlegung von I mit p im Inneren von I liegenden Punkten (p N). Dnn gilt für jede Zerlegung Z von I: s(z, f) s(z + Z, f) s(z, f) + 2pK Z S(Z, f) S(Z + Z, f) S(Z, f) 2pK Z Insbesondere gilt: Bei Verfeinerungen nehmen Untersummen zu und Obersummen b. Beweis. für Untersummen und p =, d.h. Z = (, z, b), und Z = (x 0,..., x n ).. Fll: z {x 0,..., x n } ist trivil. 2. Fll: z ]x k, x k [ für ein k {,..., n}. Dnn gilt s(z, f) = = m k (x i x i ) i= i=,i k m k (x i x i ) + inf f([x k, x k ]) (x k x k ) } {{ } Σ = Σ + inf f([x k, x k ]) (x k z + z x k ) = Σ + inf f([x k, x k ]) (x k z) + inf f([x k, x k ]) (z x k ) Σ + inf f([z, x k ]) (x k z) + inf f([x k, z]) (z x k ) = s(z + Z, f) 7

8 Weiterhin ht mn s(z + Z, f) = = i=,i k i=,i k i=,i k m k (x i x i ) + K (x k z) + K (z x k ) m k (x i x i ) + K (x k x k ) m k (x i x i ) + K Z m k (x i x i ) inf f([x k, x k ]) (x k x k ) +K Z }{{}}{{} i= }{{} K Z s(z,f) s(z, f) + 2K Z Per Induktion folgt die Behuptung für beliebige p N. Korollr Jede Obersumme ist größer ls jede Untersumme, d.h. es gilt S(Z, f) s( Z, f) für lle Zerlegungen Z, Z. Beweis. Seien Z, Z Zerlegungen, dnn folgt nch dem Lemm s( Z, f) s(z + Z, f) S(Z + Z, f) S(Z, f) 5..4 Unteres- und oberes Riemnn-Integrl Definition Sei f : [, b] R beschränkt. ) J (f) := sup s(z, f) Z Zerlegung von [,b] heißt unteres Riemnn-Integrl von f über [, b]. Entsprechend ist J (f) := inf S(Z, f) Z Zerlegung von [,b] ds obere Riemnn-Integrl von f über [, b]. Klr ist: J (f) J (f). b) Wenn J (f) = J (f), dnn heißt f über [, b] Riemnn-integrierbr und in diesem Fll definiert mn: f(x) dx = J (f) = J (f) c) R([, b]) := {f : [, b] R f R-integrierbr} 8

9 5..5 Riemnn-Integrl ls Grenzwert Stz Sei f : [, b] R beschränkt. Für jede Zerlegungsnullfolge, d.h. für jede Folge von Zerlegungen (Z n ) n N mit Z n n 0, gilt: lim s(z n, f) = J (f) und lim S(Z n, f) = J (f) n n Insbesondere gilt für jede Funktion f R([, b]) lim s(z n, f) = lim S(Z n, f) = n n f(x) dx Beweis. für Untersummen: Sei (Z n ) n N eine beliebige Zerlegungsnullfolge; sei weiter Z eine beliebige Zerlegung von [, b] mit p inneren Zwischenpunkten. Nch Lemm 5..2 gilt s(z n, f) s(z + Z n, f) s(z n, f) + 2pK Z n n N ( ) wobei K 0, sodss f(x) K x [, b]. Angenommen, s(z n, f) n α R, dnn folgt us ( ), dss uch s(z + Z n, f) n α. Es ist ber s(z, f) s(z + Z n, f) J (f) n N Somit folgt s(z, f) α J (f) für jede Zerlegung Z von [, b]. Folglich ist uch sup s(z, f) α J (f) Z Zerlegung lso α = J (f). Der llgemeiner Fll folgt nun mit Hilfe des us Anlysis I beknnten Teilfolgenprinzips: jede Teilfolge von (s(z n, f)) n N besitzt eine weitere Teilfolge (s(z nk, f)) k N, die konvergiert (d (s(z n, f)) n N beschränkt ist). Nch dem. Schritt ist ber lim s(z n n k, f) = J (f) Somit gilt lim s(z n, f) = J (f) n 5..6 Beispiel f : [0, b] R x x 3 9

10 Sei (Z n ) n N äquidistnte die Zerlegungsfolge Dnn ist x 0 = 0, x = b n,..., kb n,..., x n = b s(z n, f) = inf f([x k, x k ]) b n k= ( ) 3 k = n b b n k= = b4 n 4 (k ) 3 k= = b4 n n 4 = b4 n 4 k=0 k 3 ( n(n ) 2 ) 2 n b4 4 Also ist J (f) = b4 4. Anlog gilt S(Z n, f) = sup f([x k, x k ]) b n k= ( ) 3 k = n b b n k= = b4 n 4 k 3 k= ( ) 2 = b4 (n + )n n n 4 b4 2 4 und dmit J (f) = b4 4. f ist lso R-integrierbr mit 0 x 3 dx = b4 4 0

11 5..7 Beispiel 2 Dirichlet-Funktion: D : [, b] R { 0, x R \ Q x, x Q Dnn gilt für jede beliebige Zerlegung Z von [, b] s(z, D) = S(Z, D) = inf D([x k, x k ])(x k x k ) = 0 }{{} =0 sup D([x k, x k ])(x k x k ) = b }{{} = k= k= Also gilt J (D) = 0 und J (D) = b, d.h. D R([, b]) Riemnn sches Integrbilitätskriterium Stz Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn gilt: f ist genu dnn Riemnnintegrierbr, wenn ɛ > 0 Z Zerlegung von [, b] : S(Z, f) s(z, f) < ɛ Beweis. : Ist f R([, b]), so gilt sup s(z, f) = inf S(Z, f) Z Zerlegung Z Zerlegung Sei nun ɛ > 0. Dnn existiert eine Zerlegung Z von [, b] mit s(z, f) J (f) ɛ 2 Weiter existiert eine Zerlegung Z 2 von [, b], sodss Es ist ber S(Z 2, f) J (f) + ɛ 2 s(z + Z 2, f) s(z, f) J (f) ɛ 2 S(Z + Z 2, f) S(Z 2, f) J (f) + ɛ 2 Addiert mn die Ungleichungen folgt mit J (f) = J (f) S(Z + Z 2, f) + J (f) ɛ 2 J (f) + ɛ 2 + s(z + Z 2, f) S(Z + Z 2, f) s(z + Z 2, f) ɛ Mit Z = Z + Z 2 folgt lso die Behuptung.

12 : Sei ɛ > 0. Dnn existiert eine Zerlegung Z mit Somit folgt S( Z, f) s( Z, f) + ɛ inf S(Z, f) S( Z, f) s( Z, f) + ɛ sup s(z, f) + ɛ Z Zerlegung Z Zerlegung d.h. es gilt J (f) J (f) + ɛ für lle ɛ > 0. Wegen J (f) J (f) folgt J (f) = J (f) Klssen R-integrierbrer Funktionen Stz Seien, b R, < b. i) Jede uf [, b] stetige Funktion ist R-integrierbr. ii) Jede uf [, b] beschränkte und bis uf endlich viele Stellen stetige Funktion ist R-integrierbr. iii) Jede uf [, b] monotone Funktion ist R-integrierbr. Beweis. i) Sei f eine stetige Funktion uf [, b]. Dnn ist f nch Kenntnissen us Anlysis I gleichmäßig stetig uf [, b], d.h. ɛ > 0 δ > 0 x, y [, b] : x y < δ f(x) f(y) < ɛ Sei ɛ > 0, dnn wähle δ > 0 dementsprechend. Sei nun Z = (x 0,..., x n ) eine Zerlegung von [, b] mit Z < δ. Dnn ist S(Z, f) s(z, f) = (sup f([x k, x k ]) inf f([x k, x k ])) (x k x k ) }{{} k= <ɛ < ɛ (x k x k ) k= < ɛ (b ) d.h. ds Riemnn sche Integrbilitätskriterium ist erfüllt. ii) Sei f wie in ii) gegeben, seien y,..., y p die Unstetigkeitsstellen von f und K 0, sodss f(x) < K x [, b]. Seien (I k )p k= Intervlle um die Unstetigkeitsstellen mit p I k < ɛ k= 2

13 Dnn gilt p sup f(i k) I k k= p inf f(i k) I k k= p ( sup f(i k) + inf f(i k) ) I k k= 2K p I k < 2Kɛ Auf den restlichen bgeschlossenen Teilintervllen (I k ) k ist f gleichmäßig stetig. Nch i) existiert deshlb eine Zerlegung Z der Intervll (I k ) k, sodss k= S(Z (I k ), f) s(z (I k ), f) < ɛ Somit ergibt sich eine Zerlegung Z des gesmten Intervlls [, b], für die gilt S( Z, f) s( Z, f) < (2K + )ɛ iii) Sei f monoton wchsend uf [, b]. Dnn ist f() f(x) f(b) x [, b] Sei Z = (x 0,..., x n ) eine Zerlegung von [, b]. Dnn gilt S(Z, f) s(z, f) = = (sup f([x k, x k ]) inf f([x k, x k ])) (x k x k ) k= (f(x k ) f(x k )) (x k x k ) k= Z (f(x k ) f(x k )) k= = Z (f(b) f()) ɛ Zu ɛ > 0 wähle nun eine Zerlegung Z mit Z < f(b) f(), dnn folgt nch Riemnn schen Integrbilitätskriterium die Behuptung. Wie mn im Beweis von ii) sieht, ist eine beschränkte Funktion sogr dnn R-integrierbr, wenn ihre Unstetigkeitsstellen für jedes ɛ > 0 in höchstens bzählbr vielen Intervllen (I j ) j J (J lso höchstens bzählbre Indexmenge) mit I j < ɛ j J enthlten sind (oder uch: von diesen überdeckt werden können ). Ds ist die Aussge des Lebesgue schen Integrbilitätskriteriums. 3

14 5..0 Riemnn sche Zwischensumme Definition Sei Z = (x 0,..., x n ) eine Zerlegung von [, b], ξ k [x k, x k ] für k =,..., n und f : [, b] R beschränkt. Dnn heißt σ(z, ξ k, f) := f(ξ k ) (x k x k ) k= eine Riemnn sche Zwischensumme von f bezüglich der Zerlegung Z. Klr ist: s(z, f) σ(z, ξ k, f) S(Z, f) Lemm Sei f : [, b] R beschränkt. Zu jedem ɛ > 0 und zu jeder Zerlegung Z von [, b] existieren Zwischenpunkte (ξ k ) k N und (η k ) k N, sodss s(z, f) σ(z, ξ k, f) s(z, f) + ɛ S(Z, f) σ(z, η k, f) S(Z, f) ɛ Beweis. für Untersummen: Sei Z = (x 0,..., x n ) eine Zerlegung. Nch Definition des Infimums existiert zu jedem ɛ > 0 ein ξ k [x k, x k ] mit 0 f(ξ k ) inf f([x k, x k ]) ɛ b 0 (f(ξ k ) inf f([x k, x k ])) (x k x k ) ɛ b (x k x k ) Über die k =,..., n summiert ergibt sich 0 0 (f(ξ k ) inf f([x k, x k ])) (x k x k ) k= f(ξ k )(x k x k ) k= s(z, f) σ(z, ξ k, f) s(z, f) + ɛ k= ɛ b (x k x k ) inf f([x k, x k ])(x k x k ) ɛ k= 5.. Riemnn sche Summenfolge Definition Sei (Z n ) n N eine Zerlegungsnullfolge uf dem Intervll [, b], (ξk n) n,k Zwischenpunkte und f : [, b] R beschränkt. Dnn heißt (σ(z n, ξk n, f)) n eine Riemnn sche Summenfolge. Stz 5... Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn gilt: f R([, b]) Jede Riemnn sche Summenfolge ist konvergent. In diesem Fll konvergieren lle Riemnn schen Summenfolgen gegen ein und denselben Grenzwert Beweis. f(x) dx. : Klr, d für jede Zerlegung Z, für beliebige Zwischenpunkte (ξ k ) k N gilt: s(z, f) σ(z, ξ k, f) S(Z, f) 4

15 : Sei (Z n ) n N eine Zerlegungsnullfolge. Nch Lemm 5..9 ngewndt mit Z := Z n, ɛ = n existieren zu jedem n N Zwischenpunkte (ξn k ) und (ηn k ), sodss s(z n, f) σ(z n, ξ n k, f) s(z n, f) + n S(Z n, f) σ(z n, η n k, f) S(Z n, f) n Für n folgt nch Sndwich-Lemm Betrchte die Mischfolge lim σ(z n, ξk n, f) = J (f) n lim σ(z n, ηk n, f) = J (f) n σ(z n, ξ k, f), σ(z n, η k, f), σ(z n, ξ 2 k, f),... Dies ist wieder eine Riemnn sche Summenfolge. Nch Vorussetzung ist diese konvergent. Dmit konvergiert uch jede ihrer Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert. Insbesondere konvergieren dmit die beiden Teilfolgen σ(z n, ξk n, f) und σ(z n, ξk n, f) gegen denselben Grenzwert. Folglich ist J (f) = J (f), d.h. ber f R([, b]) Beispiel Sei 0 < < b. Betrchte f : [, b] R, x x α mit α. Berechne (d f stetig ist, gilt f R([, b])). f(x) dx Betrchte dzu q n := n b. Zerlege ds Intervll mittels geometrischer Progression: = x 0, x = q n, x 2 = qn, 2..., x n = qn n = b Dnn gilt für jedes k Setze ξ n k := qk n, dnn ist x k+ x k = q k n(q n ) n 0 n σ(z n, ξk n, f) = f(ξk n ) qn(q k n ) k=0 n = (q n ) (qn) k α qn k k=0 n = α+ (q n ) (qn α+ ) k k=0 = α+ (q n ) (qα+ n q α+ = α+ ( ( b n ) α+ ) ) n q n q α+ n 5

16 Nun ist und dmit lim x x H = lim x α+ x (α + )x α = α x α dx = lim n σ(z n, ξ n k, f) = ( α+ b α+) α = α (b α α+) 5..3 Cuchy sches Integrbilitätskriterium Der folgende Stz wurde in der Vorlesung n dieser Stelle nicht behndelt, wird ber später in llgemeinerem Kontext wieder ufgegriffen. Stz. Sei f : [, b] R beschränkt. f ist Riemnn-integrierbr genu dnn, wenn ɛ > 0 δ > 0 : σ(z, ξ, f) σ( Z, ξ, f) < ɛ Z, Z Zerlegungen, Z, Z < δ Beweis. Sei lso f R([, b]) und ɛ > 0 gegeben. Angenommen es gäbe zu jedem n N Zerlegungen Z n, Z n mit Z n, Z n < n, ber σ(z n, ξ n, f) σ( Z n, ξ n, f) ɛ ) für gewisse Zwischensummenfolgen (ξ n ) n N, ( ξn. Die Mischfolge n N ( σ(z, ξ, f), σ( Z, ξ ), f), σ(z 2, ξ 2, f),... ist eine Riemnn sche Summenfolge, die nch dem letzten Stz konvergiert. D R vollständig ist, ist diese Folge eine Cuchy-Folge, d.h. insbesondere müsste σ(zn, ξ n, f) σ( Z n, ξ n, f) < ɛ b einem gewissen n 0 N gelten, ws der Annhme widerspricht. Also muss ds Cuchy-Integrbilitätskriterium erfüllt sein. Sei ɛ > 0 gegeben. Sei σ(z n, ξ n, f) eine Riemnn sche Summenfolge. Nch Vorussetzung gibt es ein δ > 0, sodss σ(z n, ξ n, f) σ(z m, ξ m, f) < ɛ wenn nur Z n, Z m < δ. D (Z n ) n N eine Zerlegungsnullfolge ist, muss dies b einem n 0 N gelten. Dmit ist gezeigt, dss σ(z n, ξ n, f) eine Cuchy-Folge ist, lso konvergiert. D die Folge beliebig wr, folgt us dem letzten Stz die Integrbilität von f. 6

17 5..4 Allgemeinere Alterntivdefinition des Riemnn-Integrls Bemerkung. Stz 5.. zeigt eine Möglichkeit uf, ds Riemnn-Integrl bzw. die Riemnn-Integrierbrkeit für nicht notwendig reellwertige Funktionen zu definieren, d die zur Definition nicht notwendig die Ordnungsstruktur von R usgenutzt werden muss Integrierbrkeit komplexwertiger Funktionen Beispiel: Komplexwertige Funktionen: Sei f : [, b] C beschränkt. Dnn knn mn f in Rel- und Imginärteil zerlegen: Re(f) : [, b] R x Re(f(x)) Im(f) : [, b] R x Im(f(x)) Es ist lso: f = Re(f) + i Im(f). Definition. f : [, b] C beschränkt heißt Riemnn-integrierbr, wenn Re(f) und Im(f) integrierbr sind. Alterntiv knn mn die Riemnn-Integrierbrkeit über Riemnn sche Summenfolgen definiert werden Definition. f : [, b] C beschränkt heißt Riemnn-integrierbr, wenn jede Riemnnsche Summenfolge (σ(z n, ξ n k, f)) n konvergiert. Bemerkung. Beide Definitionen sind äquivlent, weil σ(z n, ξ n k, f) = σ(z n, ξ n k, Re(f)) + iσ(z n, ξ n k, Im(f)) und eine Folge (c n ) n N C konvergiert, genu dnn wenn (Re(c n )) n N und (Im(c n )) n N konvergieren. 5.2 Eigenschften des Riemnn-Integrls 5.2. Linerität des Riemnn-Integrls Lemm Seien f, g R([, b]), α, β R, dnn ist α f + β g R([, b]) und (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx D.h. R([, b]) ist ein R-Vektorrum. Beweis. Betrchte die Riemnn sche Summenfolge σ(z n, ξ n k, αf + βg) = [(αf(ξk n ) + βg(ξk n )) (x k x k )] k= = α f(ξk n ) (x k x k ) + β k= Grenzübergng n ergibt die Behuptung. g(ξk n ) (x k x k ) k= 7

18 5.2.2 Erhltung der Riemnn-Integrierbrkeit Stz Seien f, g R([, b]), h : [, b] R beschränkt. Dnn gilt i) Änderungen des Wertes von h n endlichen vielen Stellen x [, b] ändert nichts n der Riemnn-Integrierbrkeit der Funktion h; insbesondere ändern sich die Werte J (h), J (h) nicht. ii) Wenn f(x) = g(x) für lle x us einer in [, b] dichten Teilmenge A, dnn ist f(x) dx = g(x) dx iii) Wenn ϕ : f([, b]) R lipschitz-stetig ist, dnn ist uch ϕ f R([, b]). iv) f, f + := mx(0, f), f := min(0, f) und f 2 sind Riemnn-integrierbr. Flls f(x) δ für lle x [, b] für ein δ > 0, dnn ist uch f R([, b]). v) f g, mx(f, g), min(f, g) R([, b]). Beweis. i) Es genügt zu zeigen, dss eine Änderung von h n einem einzigen Punkt x 0 [, b] nicht den Wert von J (h) verändert. Definiere lso { h(x), x [, b] \ {x 0 } h := h(x 0 ) + γ, x = x 0 Dnn ändert sich der Wert einer beliebigen Untersumme s(z, h) von h mximl um den Wert ±γ Z, d sich die Änderung nur in einem Teilintervll der Zerlegung uswirkt. D.h. es gilt s(z, h) s(z, h) γ Z Für eine Zerlegungsnullfolge (Z n ) n N folgt 0 J ( h) J (h) = lim s(z n, h) s(z n, h) 0 lso J ( h) = J (h). n ii) A ist dichte Teilmenge von [, b], d.h. für lle ɛ > 0 und x [, b] gibt es ein x 0 A mit x x 0 < ɛ. Es genügt Riemnn sche Summenfolgen zu betrchten, für die die Zwischenpunkte ξk n in A liegen: σ(z n, ξ n k, f) = = Für n folgt die Behuptung. f(ξk n ) (x k x k ) k= g(ξk n ) (x k x k ) k= = σ(z n, ξ n k, g) 8

19 iii) Es wird ds Riemnn sche Integrbilitätskriterium ngewndt. Sei dzu ɛ > 0. ϕ sei lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstnte L > 0, d.h. es gilt ϕ(f(x)) ϕ(f(y)) L f(x) f(y) x, y [, b] Sei I k ein Teilintervll von [, b]. Dnn gibt es x, y I k mit ɛ ϕ(f(x)) > sup ϕ(f(i k )) 4(b ) ɛ ϕ(f(y)) < inf ϕ(f(i k )) + 4(b ) Dnn gilt ɛ sup ϕ(f(i k )) inf ϕ(f(i k )) < ϕ(f(x)) ϕ(f(y)) + 2(b ) ɛ L f(x) f(y) + 2(b ) ɛ L (sup f(i k ) inf f(i k )) + 2(b ) () D f Riemnn-integrierbr ist, gibt es nch Riemnn schen Integrbilitätskriterium eine Zerlegung Z von [, b] mit Für diese Zerlegung gilt nun S(Z, f) s(z, f) < ɛ 2L (2) S(Z, ϕ f) s(z, ϕ f) = k sup(ϕ f)(i k ) I k k inf(ϕ f)(i k ) I k = k () k (sup(ϕ f)(i k ) inf(ϕ f)(i k )) I k ( ) ɛ L (sup f(i k ) inf f(i k )) + I k 2(b ) ɛ (b ) 2(b ) = L (S(Z, f) s(z, f)) + (2) ɛ < L 2L + ɛ 2 = ɛ iv) Es reicht sich zu überlegen, dss ϕ : f([, b]) R definiert durch ϕ(y) = y, ϕ(y) = y +, ϕ(y) = y bzw. ϕ(y) = y 2 y f([, b]) lipschitz-stetig ist. Gleiches gilt für die Funktion ϕ : ], δ] [δ, + [ R mit L = δ 2 ls Lipschitz-Konstnte. 9 y y

20 v) Es gilt und 4 f g = (f + g) 2 (f g) 2 f g = (f + g)2 (f g) 2 mx(f, g) = f + (g f) +, min(f, g) = mx( f, g) Mit Lemm 5.2. und Punkt iv) folgt, dss die Funktionen integrierbr sind Monotonie des Integrls Lemm Seien f, g [, b] R beschränkt. Wenn f(x) g(x) für fst lle x [, b], dnn gilt insbesondere wenn f, g R([, b]). J (f) J (g) und J (f) J (g) f(x) dx g(x) dx Beweis. für ds untere Riemnn-Integrl: Die Behuptung folgt sofort us s(z, f) = k inf f(i k ) I k k inf g(i k ) I k = s(z, g) für lle Zerlegungen Z von [, b], geht mn mit Z = Z n für (Z n ) n N Zerlegungsnullfolge zum Grenzwert für n über Dreiecksungleichung für Integrle Lemm Für f R([, b] ist f(x) dx f(x) dx Speziell gilt: Wenn f(x) K für lle x [, b], dnn gilt f(x) dx K (b ) Beweis. Nch Stz folgt us f R([, b]), dss f R([, b]), und für jede Riemnn sche Summenfolge gilt σ(z n, ξk n, f) = f(ξk n )(x (n) k x (n) k ) k f(ξk n ) (x (n) k k = σ(z n, ξk n, f ) x (n) k ) 20

21 Für n folgt die gewünschte Ungleichung. Der Zustz folgt trivilerweise schon us (5..2) und den Definitionen f(x) dx S(Z, f ) S((, b), f ) = sup f([, b]) (b ) = K (b ) Mittelwertstz der Integrlrechnung Stz Es sei f R([, b]) und µ(f) := f(x) dx b der Integrlmittelwert von f über [, b]. Nun gilt ) der Mittelwerstz der Integrlrechnung inf f([, b]) µ(f) sup f([, b]) Insbesondere: Ist f stetig uf [, b], dnn existiert ein ξ ], b[ mit f(ξ) = µ(f). b) und der erweiterte Mittelwertstz der Integrlrechnung: Beweis. Ist p R([, b]), p 0, und gilt m f(x) M für lle x [, b], dnn gilt m p(x) dx f(x)p(x) dx M p(x) dx Insbesondere gilt: Ist f stetig uf [, b], dnn existiert ein ξ ], b[ mit ) Es gilt Mit Lemm folgt f(x)p(x) dx = f(ξ) p(x) dx inf f([, b]) f(x) sup f([, b]) x [, b] (b ) inf f([, b]) f(x) dx (b ) sup f([, b]) Division durch (b ) ergibt die Behuptung. Der Zustz folgt us dem Zwischenwertstz für stetige Funktionen. b) Es gilt lso mp(x) f(x)p(x) Mp(x) x [, b] Aus der Monotonie und Linerität des Integrls folgt erneut die Behuptung. Den Zustz erhält mn wieder durch den Zwischenwertstz. 2

22 5.2.6 Vertuschung von Limes und Integrtion Es stellt sich wieder die Frge: Ist (f n ) n N R([, b]) und konvergiert (f n ) n punktweise bzw. gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f uf [, b], ist dnn f R([, b])? Wenn j, gilt dnn lim n f n (x) dx = lim f n(x) dx = n f(x) dx? Für punktweise Konvergenz sind die Frgen mit nein zu bentworten. Aber es gilt der folgende Stz Seien (f n ) n N R([, b]), (f n ) n uf [, b] gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f. Dnn folgt f R([, b]) und lim n f n (x) dx = f(x) dx Beweis. Konvergiert (f n ) n gegen f gleichmäßig, so gilt ɛ > 0 n 0 N n n 0 : f n (x) f(x) < ɛ x [, b] Sei lso ɛ > 0, und n 0 gemäß dieser Aussge gewählt. Es gilt somit f n (x) ɛ < f(x) < f n (x) + ɛ x [, b], n n 0 Mittels der Monotonie der Unterintegrle lut Lemm folgt D f n (x) ± ɛ integrierbr ist, folgt J (f n (x) ɛ) J (f) J (f n (x) + ɛ) f n (x) dx ɛ(b ) J (f) f n (x) dx + ɛ(b ) f n (x) dx J (f) < ɛ(b ) n n 0 lim n f n (x) dx = J (f) Dieselbe Argumenttion für obere Riemnn-Integrle liefert und dmit lim n J (f) = J (f) f R([, b]) mit f n (x) dx = J (f) lim n f n (x) dx = f(x) dx 22

23 Korollr Sei (f n ) n N R([, b]), S(x) = n=0 f n(x) gleichmäßig konvergent uf [, b]. Dnn ist S R([, b]) und Beispiel S(x) dx = lim N N f n (x) dx = n=0 n=0 f n (x) dx Die Exponentilreihe ist gleichmäßig konvergent uf [, b], weshlb gilt e x dx = = = = n=0 n=0 n= x n n! dx = b n! x n dx n=0 n=0 b n+ n+ n! n + b n+ (n + )! n+ (n + )! b n n! n= n n! n=0 = ( e b ) (e ) = e b e d.h. e x dx = e b e Integrle über Teilintervllen Stz Sei f : [, b] K {R, C} beschränkt, < c < b. Dnn gilt: In diesem Fll gilt f R([, b]) f R([, c]) und f R([c, b]) f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx Beweis. Sei (Z n ) n N Zerlegungsnullfolge, sodss jedes Z n den Stützpunkt c enthält. Seien ( ) Zn n N und ( ) Zn 2 die induzierten Zerlegungsfolgen von [, c] und n N [c, b]. Dnn gilt lso S(Z n, f) s(z n, f) }{{} O(Z n,f) s(z n, f) = s(z n, f) + s(z 2 n, f) S(Z n, f) = S(Z n, f) + S(Z 2 n, f) = (S(Zn, f) s(zn, f)) }{{} O(Zn,f) 2 + (S(Zn, f) s(zn, 2 f)) }{{} O(Zn 2,f) 23

24 wobei O(Z n, f) n 0 [ ] O(Zn, f) n 0 und O(Zn, 2 f) n Schreibkonvention für Integrlgrenzen Definition Für < b und f R([, b]) setze f(x) dx = b f(x), c c f(x) dx = 0 c [, b] Somit ist für f R([, b]) und α, β, γ [, b] β α γ f(x) dx + β f(x) dx + α γ f(x) dx = Integrlfunktion Stz Sei f : c [, b]. [, b] K {R, C} beschränkt und R-integrierbr, F : [, b] R x x c f(t) dt Diese Integrlfunktion gennnte Funktion ist lipschitz-stetig. Genuer: Gilt f(x) < K für lle x [, b] mit einem K > 0, dnn gilt Beweis. Es gilt für y x F (x) F (y) = F (x) F (y) K x y x, y [, b] x y f(t) dt x y f(t) dt x y K dt = K x y 5.2. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Stz ) Sei f R([, b]) und stetig in x 0 [, b]. Dnn ist F (x) = lle c [, b] differenzierbr in x 0 mit F (x 0 ) = f(x 0 ). Es gilt lso f C 0 ([, b]) F C ([, b]) mit F = f. x f(t) dt für c 24

25 b) Sei F : [, b] K {R, C} differenzierbr und F R([, b]). Dnn ist: Beweis. F (b) F () = und entsprechend für x, c [, b] F (x) = F (c) + x c F (t) dt F (t) dt ) Sei zur Abkürzung I x := [min {x, x 0 }, mx {x, x 0 }] ds Intervll zwischen x 0 und x. Es gilt x x F (x) F (x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) = f(t) dt f(x 0 ) dt x 0 x 0 x = (f(t) f(x 0 )) dt sup f(t) f(x 0 ) x x 0 t I x F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 sup f(t) f(x 0 ) t I x Sei ɛ > 0 gegeben. D f stetig ist, gibt es ein δ > 0, sodss für lle t [, b] mit t x 0 < δ gilt: f(t) f(x 0 ) < ɛ. Folglich gilt F (x) F (x 0 ) f(x 0 ) x x 0 ɛ x x 0 < δ und dmit die Behuptung. b) Sei (Z n ) n N Zerlegungsnullfolge mit Z n = ( = x 0, x,..., x n = b). Dnn gilt für jedes n N F (b) F () = x 0 (F (x k ) F (x k )) k= Nch Mittelwertstz der Integrlrechnung gibt es lso ξ k ]x k, x k [ mit F (b) F () = k= (x k x k ) F (ξ k ) n F (t) dt 25

26 5.2.2 Stmmfunktion Definition Sei J R ein nicht-leeres Intervll, f, F : J R. F heißt Stmmfunktion von f, wenn F uf J differenzierbr ist mit F = f. Bemerkung.. Nch Stz 5.2. folgt lso: Jede stetige Funktion f : J R besitzt eine Stmmfunktion. 2. Eine Funktion G : J R ist Stmmfunktion von f : J R genu dnn, wenn Nottion G(x) = x c f(t) dt, x, c J Somit gilt: Integrle von Funktionen f R([, b]), die Stmmfunktionen besitzen, können über diese berechnet werden: f(x) dx = F (b) F () =: F (x) b Ist G Stmmfunktion von f, so schreiben wir G(x) = f(x) dx + const }{{} unbestimmtes Integrl Achtung. Stmmfunktionen sind nur bis uf eine Konstnte eindeutig bestimmt. Bemerkung.. Eine Stmmfunktion knn nicht immer explizit ngegeben werden, betrchte zum Beispiel f(x) = e x2 x R. 2. Eine nicht-stetige Funktion besitzt im Allgemeinen keine Stmmfunktion, betrchte zum Beispiel die Heviside-Funktion {, x 0 H(x) := 0, x < 0 Sie ist R-integrierbr uf jedem Intervll [, b] R, besitzt ber keine Stmmfunktion, ws mn leicht durch den Zwischenwertstz für Ableitungen einsieht Allgemeines Tylor-Restglied Stz Sei J R ein Intervll, f C n+ (J) für ein n N 0 und, x J. Dnn ist x (x t) n f(x) = T n (f, ) + f (n+) (t) dt n! MWS der Integrlrechnung = T n (f, ) + f (n+) (ξ) n! x (x t) n dt 26

27 für ein ξ ]min {, x}, mx {, x}[. Beweis. durch Induktion über n. n = 0: f(x) = f() + gilt nch Stz 5.2. b). n (n + ): Sei x J fest. Betrchte Dnn ist F (t) = F (t) := (x t)n+ (n + )! x (x t)n+ (n + )! f (n+2) (t) Integriert mn uf beiden Seiten von bis x f (t) dt f (n+) (t) (x t)n n! f (n+) (t) F (x) F () = R n+ (x) R n (x) }{{} =0 R n (x) = F () + R n+ (x) f(x) T n (f, ) = F () + R n+ (x) f(x) = T n (f, ) + F () + R n+ (x) f(x) = T n+ (f, ) + R n+ (x) IV 5.3 Integrtionstechniken 5.3. Prtielle Integrtion Stz Sei I R ein Intervll, f, g : I K {R, C} differenzierbr uf I. Dnn gilt: f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx f(x)g (x) dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x) dx Beweis. Folgt direkt us der Produktregel: (f g) = f g + g f Substitutionsregel Stz Seien I, J R Intervlle, ϕ : I J differenzierbr, f : J K {R, C} stetig und sei F Stmmfunktion von f. Dnn gilt: 27

28 i) d dt F (ϕ(t)) = f(ϕ(t)) ϕ (t) f(x) dx x=ϕ(t) = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt Ist zusätzlich ϕ streng monoton in I, dnn existiert die Umkehrfunktion ϕ und für t = ϕ (x) gilt dnn f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt t=ϕ (x) ii) f(x) dx = β mit α = ϕ () und β = ϕ (b), oder α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = 5.4 Uneigentliche Integrle 5.4. Motivtion Betrchte ϕ(b) ϕ() f(u) du f(x) = x g(x) = x 2 Ws ist f(x) dx und g(x) dx? f(x) dx? := lim c c c g(x) dx? := lim c dx = lim ln c = x c ( dx = lim ) = x2 c c 28

29 Definition Sei R, f : [, + [ R mit f R([, c]) für lle c R, c >. ) Wenn lim c c f(x) dx in R existiert, dnn existiert (oder konvergiert) ds sogennnte uneigentliche Integrl c f(x) dx := lim c f(x) dx In diesen Fll heißt f uneigentlich R-integrierbr uf [, + [. c Flls lim f(x) dx nicht existiert, dnn heißt f(x) dx divergent. c b) Anlog für f(x) dx für eine Funktion f : ], ] R mit f R([c, ]) für lle c <. c) Für f : ], + [ R mit f R([c, d]) für lle c, d R, c < d, heißt f(x) dx konvergent, flls f(x) dx und f(x) dx konvergent sind mit R, d.h. flls lim c c für ein R. In diesem Fll gilt Beispiele f(x) dx := f(x) dx und lim d f(x) dx + f(x) dx d f(x) dx in R existieren x dx = lim c c dx = lim x2 c dx = lim x c ln(x) c = lim (ln(c) ln()) = + c c dx = lim x2 c x x dx existiert nicht (ist divergent), denn 0 nlog x dx = 0 lim c c x dx = 0 lim c x c x dx = + c = lim ( c ) + = c ( ) = lim 0 c2 = + c 2 29

30 Achtung. lim c c c x dx = lim c x 2 2 c c = 0 c > 0 Dies reicht nicht für die Konvergenz des uneigentlichen Integrls us! x dx Bemerkung. Die beknnten Eigenschften wie Linerität, Ordnungserhltung etc. übertrgen sich uf ds uneigentliche Riemnn-Integrl. Sind zum Beispiel f, g uf [, + [ uneigentlich R-integrierbr und f(x) g(x) für lle x [, + [, dnn gilt f(x) dx g(x) dx Klr ist uch: Wenn f : [, + [ R mit f R([, c]) c R, c >, dnn konvergiert f(x) dx genu dnn, wenn f(x) dx konvergiert für ein c R, c. und in diesem Fll ist c c f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c c R, c Cuchy-Kriterium Stz Sei f : [, + [ R mit f R([, c]) f(x) dx konvergiert ɛ > 0 A : Beispiel Sei α > 0. Behuptung: sin(t) t α d c dt konvergiert c >. Be- Der Integrnd ist stetig uf [, [, lso R-integrierbr uf [, c] trchte für d c d c d c sin(t) t α sin(t) t α c R, c. Dnn gilt f(x) dx < ɛ A c d dt = cos(t) d d cos(t) ( α) t α c t α+ dx c dx c α + d d α + α dx = tα+ c α + d α d α + c α = 2 c α c 30

31 2 Sei nun ɛ > 0. Wähle A mit A < ɛ, so folgt für lle d c A: α d sin(t) t α dx 2 c α 2 A α < ɛ c Absolute Konvergenz Definition Sei f : [, [ R mit f R([, c]) c. f(x) dx heißt bsolut konvergent, wenn f(x) dx konvergiert. Stz Ist f : [, [ R mit f R([, c]) c, so gilt i) Ist f(x) dx bsolut konvergent, dnn ist f(x) dx konvergent. ii) Wenn f(x) g(x) x [, [ und g(x) dx konvergiert, dnn kon- vergiert uch f(x) dx (bsolut) (Mjorntenkriterium). Beweis. mit Cuchy-Kriterium: Es gilt i) f(x) dx f(x) dx und ii) f(x) dx f(x) dx g(x) dx Integrlvergleichskriterium für Reihen Stz Sei f : [, + [ R monoton fllend mit f R([, c]) c >. Dnn gilt k=n+ f(k) n f(x) dx f(k) k=n n N, n Mit nderen Worten: Die unendliche Reihe und ds uneigentliche Integrl hben ds gleiche Konvergenzverhlten. 3

32 5.4.7 Vertuschbrkeit von Limes und Integrtion Stz Seien f n, g : [, + [ R mit f n, g R([, c]) c >, n N. Es gelte zudem f(x) g(x) x [, + [, n N ( ) Wenn ußerdem g(x) dx konvergiert und f n f gleichmäßig uf [, c] c >, dnn existieren die uneigentlichen Integrle f n (x) dx und f(x) dx und es gilt lim n f n (x) dx = f(x) dx Beweis. D g lle f n mjorisiert, folgt us der Konvergenz von (bsolute) Konvergenz von g(x) dx die f n (x) dx für lle n N. Mit der punktweisen Konvergenz f n f uf [, + [ folgt us ( ) uch f(x) g(x) x [, + [ und somit nch dem Mjorntenkriterium uch die Konvergenz von f(x) dx. Weiter ist f n (x) dx f(x) dx = D g(x) dx konvergiert, gilt c Sei nun ɛ > 0. Wähle c > mit c lim c c 2 f n (x) f(x) dx c f n (x) f(x) dx + f n (x) f(x) dx + 2 c g(x) dx = 0 g(x) dx < ɛ 2 c c f n (x) f(x) dx g(x) dx c ist nun fest gewählt. Nch Stz über die Vertuschbrkeit von Limes und Integrtion für eigentliche R-Integrle gilt lim c n f n (x) dx = 32 c f(x) dx

33 Also existiert ein n 0 N mit c f n (x) f(x) dx < ɛ 2 Folglich gilt f n (x) dx n n 0 f(x) dx < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ n n Uneigentliche Integrle unbeschränkter Funktionen Wie sieht es mit dem Flächeninhlt unter dem Grphen unseres Eingngsbeispiels von 0 bis us? 0 x 2 dx :=? lim c 0 Definition Seien, b R, < b. c ( dx = lim + ) = + x2 c 0 c i) Sei f eventuell unbeschränkt bei, R-integrierbr uf [c, b] < c < b. Dnn heißt ds uneigentliche Integrl lim f(x) dx c c in R existiert. In diesem Fll definiert mn Andernflls heißt f(x) dx := lim f(x) dx c c f(x) dx divergent. 33 f(x) dx konvergent, wenn

34 ii) Enstprechend definiert mn ds uneigentliche Integrl bei b unbeschränkt ist: flls die rechte Seite existiert. f(x) dx := lim c c b f(x) dx iii) Flls f bei und b unbeschränkt ist, f R([c, d]) heißt f(x) dx konvergent, flls für ein c ], b[ konvergieren; in diesem Fll definiert mn f(x) dx := c f(x) dx + c c f(x) dx, wenn f < c < d < b, dnn f(x) dx und f(x) dx c f(x) dx iv) Ist f uf ], c[ mit eventueller Ausnhme eines Punktes c ], b[ definiert, integrierbr uf jedem bgeschlossenen Intervll [d, e] (], c[ \ {c}) und bei c unbeschränkt, dnn heißt c f(x) dx konvergieren. Dnn ist Beispiele f(x) dx := c f(x) dx konvergent, flls f(x) dx + c f(x) dx c f(x) dx und. 0 x 2 dx = lim c c 0 Substituiere x = ϕ(t) = sin(t) (ϕ (t) = cos(t)): x 2 dx c 0 rcsin(c) dx = cos(t) dt x 2 sin 2 (t) Dmit folgt = rcsin(0) rcsin(c) 0 0 cos(t) dt = cos(t) rcsin(c) x 2 = lim c rcsin(c) = π 2 Ds uneigentliche Integrl ist lso konvergent und gleich π/2. 0 dt = rcsin(c) 34

35 2. Sei α > 0. Für 0 < c < ht mn Folglich ist c 0 dx = lim xα c 0 x α dx c x α dx = lim c 0 x α dx = c ln x c, α =, α x α+ α c +, α = α, 0 < α < +, α > Ds uneigentliche Integrl ist divergent für, konvergent und gleich für 0 < α <. α 3. Sei f : D f = [0, 4] \ {3} R, f(x) := (x 3) x D 2 f, so ist f stetig, in jedem bgeschlossen Intervll D f R-integrierbr und in 3 unbeschränkt. Betrchte Achtung. 3 0 dx = lim (x 3) 2 c 3 Drus folgt, dss 4 0 ist flsch! 4 0 c 0 ( dx = lim ) c = + (x 3) 2 c 3 x 3 0 (x 3) 2 dx divergent ist. ( (x 3) 2 dx = ) 4 = x = 3 = Integrnd und Integrtionsbereich unbeschränkt Bemerkung. Es sollte nun klr sein, wie die Konvergenz eines uneigentlichen Integrls bei gleichzeitigem Auftreten von unbeschränktem Integrnden und unbeschränktem Integrtionsbereich definiert sind. Beispiel 0 0 dx konvergent xα 0 dx und xα x α dx konvergiert für lle 0 < α <, ber es ist dx = lim xα c x α+ α c dx konvergent xα ( ) c α+ = lim = + 0 < α < c α 35

36 lso ist 0 x α dx divergent für lle α > 0. 36

37 6 Topologische Grundlgen 6. Metrische und normierte Räume 6.. Normierte linere Räume Definition 6... Sei X ein {R, C} K-Vektorrum. Eine Abbildung : X R mit den Eigenschften i) x 0 x X und x = 0 x = 0 (Definitheit) ii) α x = α x α R, x X (Homogenität) iii) x + y x + y, x, y X (Dreiecksungleichung) heißt Norm uf X; (X, ) heißt normierter linerer Rum Beispiele. X = R n, n N. Für lle p < definiert x p = (x,..., x n ) p := ( n i= x i p ) p, x = (x,..., x n ) R n eine Norm uf R n, die sogennnte p-norm (die Dreiecksungleichung folgt direkt us der Minkowski-Ungleichung). Im Spezilfll p = 2 erhält mn x 2 = n x i 2, x = (x,..., x n ) R n i= lso die Stndrdnorm uf R n, gennnt die Euklidische Norm. Ebenso definiert x = (x,..., x n ) := mx x i, i=,...,n x = (x,..., x n ) R n eine Norm uf R n, die sogennnte Supremums- oder Mximumsnorm. 2. X = C([, b]) = {f : [, b] R f stetig} ist ein R-Vektorrum und f = mx t [,b] f(t), f X ist Norm uf X, die sogennnte Supremums- oder Mximumsnorm. Auch f p = definiert für p < eine Norm uf X. p f(t) dt, f X 37

38 6..3 Metrische Räume Definition Sei X eine nicht-leere Menge. Eine Abbildung d : X X R mit den folgenden Eigenschften i) d(x, y) 0 x, y X und d(x, y) = 0 x = y (Definitheit) ii) d(x, y) = d(y, x) x, y X (Symmetrie) iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z X (Dreiecksungleichung) heißt Metrik uf X; (X, d) heißt metrischer Rum. Wie im Skript zu Anlysis I schon ngemerkt, genügt es bei der Definition von Norm und Metrik jeweils in i) die Definitheit, d.h. x = 0 x = 0 bzw. d(x, y) = 0 x = y zu fordern. Die Nichtnegtivität folgt us den drei Gesetzen Beispiele. X = R, d(x, y) := x y x, y R ist eine Metrik uf R. Allgemeiner: Ist (X, ) ein normierter linerer Rum, dnn definiert d : X X R (x, y) x y eine Metrik uf X. D.h. jeder normierte linere Rum ist in ntürlicher Weise uch ein metrischer Rum. Andersherum knn mn us einer Metrik uf einem R-Vektorrum X eine Norm zurückgewinnen, flls gilt d ist trnsltionsinvrint, d.h. es gilt d(x z, y z) = d(x, y) x, y, z X d ist homogen, d.h. es gilt d(αx, αy) = α d(x, y) α R, x, y X 2. Ist S X, (X, d) ein metrischer Rum, dnn definiert d S : S S R (x, y) d(x, y) eine Metrik uf S. d s heißt von d uf S induzierte Metrik (oder uch Spurmetrik). 3. Sei X eine Menge. Dnn definiert d : X X R { 0, x = y (x, y), x y eine Metrik, die sogennnte diskrete Metrik uf X. 38

39 6..5 Kugeln, Umgebungen, offen, bgeschlossen Definition (X, d) sei ein metrischer Rum, x 0 X. i) Für ɛ > 0 heißt B ɛ (x 0 ) : {x X d(x, x 0 ) < ɛ} offene Kugel mit Rdius ɛ um x 0. ii) U X heißt Umgebung von x 0, flls ein ɛ > 0 existiert mit B ɛ (x 0 ) U. iii) O X heißt offen, wenn O Umgebung eines jeden Punktes x O ist. iv) A X heißt bgeschlossen, wenn X \ A offen ist Beispiele. i) Betrchte X = R 2 mit d 2 (x, y) = x y 2 x, y R, lso der durch die Euklidische Norm induzierte Euklidische Metrik. { } B (0) = x = (x, x 2 ) R 2 x 2 + x22 < ist die Einheitskugel in X = R 2. ii) d (x, y) := x y B (0) = { x = (x, x 2 ) R 2 mx {x, x 2 } < } 39

40 iii) d (x, y) := x y B (0) = { x = (x, x 2 ) R 2 x + x 2 < } (In den Abbildungen gehören die Ränder jeweils nicht zur Kugel.) 2. Die offenen ɛ-kugeln sind offen. Denn sei y B ɛ (x 0 ), dnn definiere ɛ 0 := d(y, x 0 ) < ɛ. Mit δ := ɛ ɛ 0 gilt für z B δ (y) lso B δ (y) B ɛ (x 0 ). d(z, x 0 ) d(z, y) + d(y, x 0 ) < ɛ ɛ 0 + ɛ 0 = ɛ 3. Bezüglich der diskreten Metrik uf einer Menge X sind lle Teilmengen von X sowohl offen ls uch bgeschlossen. 4. In jedem metrischen Rum (X, d) sind und X sowohl offen ls uch bgeschlossen Metriken induzieren Topologien Stz. Sei (X, d) ein metrischer Rum. i) Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Teilmengen und der Durchschnitt von endlich vielen offene Teilmengen von X ist offen. ii) Die Vereinigung von endlich vielen bgeschlossenen Teilmengen und der Durchschnitt von beliebig vielen bgeschlossenen Teilmengen von X ist wieder bgeschlossen. Beweis. 40

41 i) Seien O i offene Teilmengen von X mit I beliebige Indexmenge. Zu zeigen ist O i = O i offen i I Sei dzu x O i, dnn existiert ein i 0 I mit x O i0. D O i0 offen, existiert ein ɛ > 0, sodss B ɛ (x) O i0 O i, lso ist O i offen. Seien O,..., O n endlich viele offene Teilmengen von X. Zu zeigen ist n O i = O i offen i= Sei dzu x O i, es ist dnn x O i offen ist, existieren i =,..., n. D jedes O i B ɛi (x) O i i =,..., n Mit ɛ := min ɛ i folgt i=,...,n B ɛ (x) B ɛi O i i =,..., n n B ɛ (x) i= O i n O i offen i= ii) Folgt us i) durch Komplementbildung: n n A i = X \ (X \ A i ) A i = X \ (X \ A i ) }{{}}{{} i= i= i I i I offen offen 6..8 Beispiele Der Durchschnitt von beliebig vielen offenen Mengen ist im Allgemeinen nicht offen. Die Vereinigung von beliebig vielen bgeschlossenen Teilmengen ist im Allgemeinen nicht bgeschlossen. O n := ] n, [ n ist für jedes n N offen, ber O n = {0} ist nicht offen. n N A n := [ n, ] ist für jedes n N bgeschlossen, ber nicht bgeschlossen. n N A n = ]0, ] ist 4

42 6..9 Metrische Räume sind husdorffsch Lemm Sei (X, d) ein metrischer Rum. Sind x, y X, x y, dnn gibt es Umgebungen U von x und V von y mit U V =. Mn sgt: Verschiedene Punkte besitzen disjunkte Umgebungen oder lssen sich durch disjunkte Umgebungen trennen. Beweis. Seien x, y X, x y. Definiere d 0 := d(x, y) > 0, so sind U := B ɛ (x), V := B ɛ (y) für 0 < ɛ < d0 2 disjunkte Umgebungen Topologie Bemerkung. Wenn X eine beliebige Menge ist, T Teilmengen mit i), X T, P(X) ein System von ii) Endliche Durschnitte und beliebige Vereinigungen von Teilmengen in T liegen wieder in T. dnn nennt mn T eine Topologie uf X (X, T ) einen topologischen Rum. Die Mengen in T nennt mn die offenen (Teil-)Mengen in X. Eine Teilmenge U von X heißt Umgebung eines Punktes x X, flls es eine offene Teilmenge O T gibt mit x O U. (X, T ) heißt husdorffsch, wenn verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen. Ein metrischer Rum ist lso ein husdorffscher topologischer Rum. 6.. Offene Mengen in Teilräumen Stz Sei (S, d S ) ein Teilrum des metrischen Rums (X, d). O S ist offen in (S, d S ) O offen in (X, d) mit O = O S. Eine solche Teilmenge O von X heißt reltiv S-offen. Anloges für bgeschlossene Mengen. Beweis. Sei O X offen mit O = O S. Zu zeigen ist, dss O in (S, d S ) offen ist. Sei dzu x O = O S; d O in X offen ist, existiert ein ɛ > 0 mit B X ɛ (x) = {x X d(x, y) < ɛ} O B X ɛ (x) S O S = O {y S d(x, y) < ɛ} O {y S d S (x, y) < ɛ} O B S ɛ (x) O D.h. O ist offen in S. Sei nun umgekehrt O offene Teilmenge von (S, d S ). Dnn gilt x O ɛ x > 0 : Bɛ S x (x) O O = Bɛ S x (x) = ( B X ɛx (x) S ) ( ) = Bɛ X x (x) S x O x O x O } {{ } =:O O ist eine offene Teilmenge von X ls Vereinigung offener Teilmengen. 42

43 6..2 Beispiele Betrchte X = R usgestttet mit der Stndrdmetrik d(x, y) = x y, x, y R und S := ]0, [ usgestttet mit der Spurmetrik d S. Dnn ist etw A = [ 2, [ bgeschlossene Teilmenge in (S, d S ) und O = ] 0, 4[ offene Teilmenge in (S, ds ). Achtung. A ist nicht bgeschlossen in (X, d), nur reltiv S-bgeschlossen Inneres, Abschluss, Rnd; Häufungs- und Berührpunkte Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum, S X. i) Die Vereinigung ller offenen Teilmengen von S: S = int(s) := O O S offen heißt Inneres von S ( S ist offensichtlich die größte offene Teilmenge von S). ii) Der Durchschnitt ller bgeschlossenen Obermengen von S: S = cl(s) := A A S bgeschlossen heißt bgeschlossene Hülle oder Abschluss von S (S ist offensichtlich die kleinste bgeschlossene Obermenge von S). iii) Der Rnd von S ist definiert ls S := S \ S. Ein Punkt s S Rndpunkt von S. iv) s S heißt innerer Punkt von S, flls ein ɛ > 0 existiert mit B ɛ (x) S. v) x X heißt Häufungspunkt von S, wenn ɛ > 0 : B ɛ (x) (S \ {x}) vi) x X heißt Berührpunkt von S, wenn ɛ > 0 : B ɛ (x) S Lemm Sei (X, d) ein metrischer Rum, S X. Es gilt i) S = {s s s innerer Punkt} ii) S = {s s s Berührpunkt von S} iii) S = {s s s Berührpunkt von S und von X \ S} und S ist bgeschlossen. Beweis. i) ist trivil. 43

44 ii) Sei M := {s s s Berührpunkt von S}. Zeige zunächst M S: Flls S = X ist nichts zu zeigen. Sei lso x X \ S. D S bgeschlossen ist, ist X \ S offen, d.h. ɛ > 0 : B ɛ (x) X \ S X \ S x ist lso kein Berührpunkt von S, d.h. x X\M. Dmit ist X\S X\M, lso M S gezeigt. Zeige S M: O.B.d.A. sei M X. Sei x S, d.h. x A für lle bgeschlossenen Mengen A S. Sei ɛ > 0 gegeben. Angenommen x sei kein Berührpunkt, d.h. B ɛ (x) S =, dnn ist B ɛ (x) X \ S bzw. S X \ B ɛ (x). X \ B ɛ (x) ist dmit ber bgeschlossene Obermenge von S, die x enthlten müsste, Widerspruch. iii) Es ist S = S \ S ( = S X \ S ) und dmit lso Schnitt bgeschlossener Mengen bgeschlossen. Der Rest der Behuptung folgt ebenso unmittelbr us dieser Drstellung. 6.2 Folgen und Konvergenz in metrischen Räumen 6.2. Konvergenz Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum. i) Sei (x n ) n N eine Folge in X und sei x X. Dnn heißt (x n ) n N konvergent gegen x in (X, d), wenn lim d(x n, x) = 0 n Nottion: ɛ > 0 n 0 N : d(x n, x) < ɛ n n 0 x n x, x n x, (d )lim x n = x d n (x n ) n N heißt konvergent, wenn x X existiert mit x n x. Andernflls heißt (x n ) n N divergent. ii) Eine Folge (x n ) n N in X heißt Cuchy-Folge in (X, d), flls Bemerkung. ɛ > 0 n 0 N n, m n 0 : d(x n, x m ) < ɛ. Wenn (X, ) ein normierter linerer Rum ist, (x n ) n N X, x X, dnn konvergiert (x n ) n N gegen x in (X, ) genu dnn, wenn x n d x in X bezüglich der von der Norm induzierten Metrik d. Nottion: x n x. 2. In metrischen Räumen (X, d) knn Konvergenz von Folgen äquivlent nur mit Hilfe des Umgebungsbegriffs definiert werden: 44

45 Ist (x n ) n N Folge in X und x X, dnn x n d x U(x) n 0 N : x n U(x) n n 0 wobei U(x) eine Umgebung von x bezeichnet. Beweis. Es gelte zunächst x n d x. Sei U Umgegbung von x, dnn existiert ein ɛ > 0 mit B ɛ (x) U. D x n d x, existiert ein n 0 N mit x n B ɛ (x) für lle n n 0, lso x n U n n 0. Die ndere Richtung ist trivil, d B ɛ (x) Umgebung von x für lle ɛ > 0. Die Definition der Konvergenz mit Hilfe des Umgebungsbegriffs lässt sich uf llgemeine topologische Räume erweitern. 3. Wie in Anlysis I zeigt mn, dss konvergente Folgen in (X, d) Cuchy- Folgen sind: x n d x d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < 2ɛ n, m n 0 für in Abhängigkeit von ɛ hinreichend groß gewähltes n 0 N. Aber: Im Allgemeinen sind Cuchy-Folgen in einem metrischen Rum (X, d) nicht notwendigerweise konvergent Vollständigkeit Definition i) Ein metrischer Rum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cuchy-Folge in X konvergiert. ii) Ist (X, ) ein normierter linerer Rum und X bezüglich der von der Norm induzierten Metrik d vollständig, dnn heißt (X, ) Bnchrum. iii) Eine Teilmenge N eines metrischen Rums (X, d) heißt vollständig, flls (N, d N ) vollständig ist Beispiele. (R, ) ist ein Bnchrum, d nch Anlysis I Cuchy-Folgen in R konvergieren. 2. (C([, b]), ) (, b R, < b) ist ein Bnchrum. Beweis. Es ist zu zeigen: (C([, b]), d ) ist vollständig. Sei dzu (f n ) n N Cuchy-Folge bezüglich der d -Metrik, d.h. ɛ > 0 n 0 N : d (f n, f m ) = f n f m < ɛ n, m n 0 ɛ > 0 n 0 N : mx x [,b] f n(x) f m (x) < ɛ n, m n 0 ɛ > 0 n 0 N : f n (x) f m (x) < ɛ n, m n 0, x [, b] 45

46 Dies ist ber ds Cuchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz der Funktionfolge (f n ) n N us Anlysis I, d.h. (f n ) n N konvergiert gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f uf [, b], lso ɛ > 0 n 0 N : f n (x) f(x) < ɛ n n 0, x [, b] und somit f n f in C([, b]). ɛ > 0 n 0 N : f n f < ɛ n n Konvergenz und Vollständigkeit von R bezüglich p-normen Ws ist mit (R N, p )? Lemm Sei X = R N, N usgestttet mit der p-norm p ( p ), (x n ) n N X, x X. Dnn gilt i) (x n ) n N ist Cuchy-Folge in (R N, p ) (x ni ) n N Cuchy-Folge in (R, ) für lle i =,..., N. ii) x n p x in R N x ni x i in R für lle i =,..., N. (Dbei bezeichnet x = (x,..., x N ) und x n = (x n,..., x nn ).) Beweis. Vorüberlegung: Ist x R N, p <, dnn gilt für lle i =,..., N: x i ( N i= x i p ) p = x p ( N ( ) ) p p mx x i i=,...,n i= D i =,..., N beliebig, folgt = ( ( N mx x i i=,...,n ) p ) p = N p x x x p N p x Zum eigentlichen Beweis: i) Sei zunächst Cuchy-Folge in (R N, x p ). Es gilt für lle i =,..., N x ni x mi x n x m x n x m p n, m N wonch sofort folgt, dss (x ni ) n N Cuchy-Folge in (R, ) ist. Sei (x ni ) n N für jedes i =,..., N Cuchy-Folge, d.h. es gilt i =,..., N ɛ > 0 n 0 (i) N : x ni x mi < ɛ n, m n 0 (i) Bei gegebenen ɛ > 0 folgt für n 0 := mx i=,...,n n 0 (i) x ni x mi < ɛ n, m n 0, i =,..., N d.h. x n x m < ɛ für lle n, m n 0, lso ist (x n ) n N Cuchy-Folge in R N bezüglich x. Aus der Vorüberlegung folgt die Betrchtung uch für p <. 46

47 ii) verläuft nlog. Korollr Für N, p ist (R N, p ) ein Bnchrum. Beweis. Sei (x n ) n N Cuchy-Folge in (R N, p ). Nch Lemm ist (x ni ) n N Cuchy-Folge in R für jede Koordinte i =,..., N, lso wegen der Vollständigkeit von (R, ) konvergent. Wieder nch Lemm konvergiert lso (x n ) n N. Merke: Konvergenz in R N ist koordintenweise Konvergenz.. Bemerkung. Zwei Normen, 2 uf einem Vektorrum X bezeichnet mn ls äquivlent, flls c, d > 0 existieren mit c x x 2 d x x X Sind, 2 äquivlente Normen uf X, dnn besitzen (X, x ) und (X, x 2 ) die gleichen Cuchy-Folgen und die gleichen konvergenten Folgen, d.h. (x n ) n N ist Cuchy-Folge/konvergent in (X, ) (x n ) n N Cuchy-Folge/konvergent in (X, 2 ). Wir hben lso gesehen: Alle p -Normen uf R N p sind äquivlent Chrkterisierung topologischer Eigenschften über Folgen In metrischen Räumen können topologische Begriffe wie Häufungspunkt, Berührpunkt, bgeschlossene Hülle etc. mit Hilfe von Folgen beschrieben werden. Lemm Sei (X, d) ein metrischer Rum, S X. i) x X Häufungspunkt von S es gibt eine Folge (x n ) n N (S \ {x}) mit x n d x. ii) x X Berührpunkt von S es gibt eine Folge (x n ) n N S mit x n x. d iii) S = { } x X (x n ) n N S : x n x. Insbesondere gilt: d S ist bgeschlossen (x n ) n N S : x n x X x S d D.h. S ist folgen-bgeschlossen. Beweis. i) Sei x X Häufungspunkt von S, d.h. ɛ > 0 : B ɛ (x) (S \ {x}) n N : B (x) (S \ {x}) n 47

48 Wähle lso für jedes n N ein x n B n (x) (S \ {x}). Dnn ist (x n) n N (S \ {x}) und d(x n, x) < n n N, lso x n d x. Sei nun (x n ) n N (S \ {x}) mit x n d x. Sei dnn ɛ > 0. D x n d d, existiert zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N mit x n B ɛ (x) für lle n n 0. D x n (S \ {x}) für lle n N, folgt B ɛ (x) S für lle n n 0. ii) verläuft nlog. iii) Die Mengengleichheit folgt us Lemm 6..7 und ii), der Zustz us S bgeschlossen S = S und der Mengengleichheit Abgeschlossene Teilräume vollständiger Räume sind vollständig Stz Sei (X, d) vollständiger metrischer Rum und S X. Dnn gilt: S ist vollständig (d.h. (S, d S ) ist vollständig) S ist bgeschlossen. Beweis. Es genügt nch Lemm iii) zu zeigen, dss S folgen-bgeschlossen ist. Sei lso (x n ) n N S mit x n d x. Als konvergente Folge ist (x n ) n N Cuchy-Folge in (X, d). D (x n ) n N S, folgt, dss (x n ) n N uch in (S, d S ) Cuchy-Folge ist. Nch Vorussetzung ist (S, d S ) vollständig, lso x n ds y S. Dmit gilt ber uch x n d y und d der Grenzwert eindeutig ist lso x = y, d.h. x S. S ist folglich folgen-bgeschlossen. Sei (x n ) n N Cuchy-Folge in (S, d S ). Dmit ist sie uch Cuchy-Folge in (X, d). D (X, d) vollständig ist, konvergiert (x n ) n N gegen ein x X. Und weil S folgen-bgeschlossen ist, folgt x S, womit sofort x n ds x S bfällt Bnch scher Fixpunktstz Stz Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Rum (X ), T : X X eine kontrhierende Abbildung, d.h. 0 < q < : d(t (x), T (y)) q d(x, y) x, y X Dnn gilt: i) Es existiert genu ein Fixpunkt ˆx X : T (ˆx) = ˆx. ii) Für lle x 0 X gilt: Die Folge (x n ) n N, rekursiv definiert durch x n+ := T (x n ) n 0, konvergiert gegen ˆx in (X, d) und es gilt die folgende Fehlerbschätzung d(x n, ˆx) qn q d(x 0, x ) n 2 48

49 Beweis. Eindeutigkeit des Fixpunkts: Angenommen, ˆx und ŷ X sind Fixpunkte von T. Dnn gilt d(ˆx, ŷ) = d(t (ˆx), T (ˆx)) q d(ˆx, ŷ) d(ˆx, ŷ) = 0 ˆx = ŷ Zur Existenz: Sei x 0 X, x n+ := T (x n ) n N 0. Dnn gilt d(x n, x n+ ) q n d(x 0, x ) n Beweise dies duch vollständige Induktion: Für n = gilt d(x, x 2 ) = d(t (x 0 ), T (x )) q d(x 0, x ) Induktionsschritt n n + : d(x n+, x n+2 ) = d(t (x n ), T (x n+ )) q d(x n, x n+ ) IV q qn d(x 0, x ) = q n+ d(x 0, x ) Somit folgt für beliebige n, k d(x n, x n+k ) d(x n, x n+ ) d(x n+k, x n+k ) q n d(x 0, x ) q n+k d(x 0, x ) = q n ( q k ) d(x 0, x ) q n q i d(x 0, x ) = q n i=0 q d(x 0, x ) n 0 Somit ist gezeigt, dss (x n ) n N Cuchy-Folge ist. D (X, d) vollständig ist, konvergiert (x n ) n N gegen ein ˆx X. Durch Übergng zum Limes für k in obiger Ungleichung erhält mn d(x n, ˆx) qn q d(x 0, x ) n Hierbei wurde benutzt, dss d(x n, x n+k ) n d(x n, ˆx); dies folgt sofort us der Dreiecksungleichung: d(x n, x n+k ) d(x n, ˆx) d(x n+k, ˆx) Es bleibt zu zeigen, dss ˆx Fixpunkt von T ist. Betrchte dzu d(ˆx, T (ˆx)) d(ˆx, x n+ ) + d(x n+, T (ˆx)) Also ist d(ˆx, T (ˆx)) = 0, d.h. ˆx = T (ˆx). Bemerkung. = d(ˆx, x n+ ) + d(t (x n ), T (ˆx)) d(ˆx, x n+ ) + q d(x n, ˆx) n 0 49

50 . Auf die Vorussetzungen, dss 0 < q < knn nicht verzichtet werden. Ist q =, so besitzt f : X X im Allgemeinen keinen Fixpunkt. Betrchte zum Beispiel f : R R, x x + f(x) f(y) = x + y = x y ber f besitzt ntürlich keinen Fixpunkt. x, y R 2. Auch die Vollständigkeit ist essentiell. Betrchte beispielsweise X = R\{0} usgestttet mit der von R induzierten Stndrdmetrik, und f : R \ {0} R \ {0}, x x 2 f(x) f(y) = x 2 y = x y x, y R \ {0} 2 2 f ist lso kontrhierend, besitzt ber keinen Fixpunkt. 3. Die Vorussetzung, dss T kontrhierend ist, knn ber durch die llgemeinere Vorussetzung ersetzt werden, dss T k kontrhierend ist für ein k N. Denn dnn gibt es nch Fixpunktstz genu ein ˆx X mit f m (ˆx) = ˆx. Dmit gilt d(f(ˆx), ˆx) = d(f(f m (ˆx)), f m (ˆx)) = d(f m (f(ˆx)), f m (ˆx)) q d(f(ˆx), ˆx) worus wegen 0 < q < folgt: d(f(ˆx), ˆx) = 0 f(ˆx) = ˆx. Zur Eindeutigkeit betrchte mn x X mit f(x ) = x. Dnn gilt d(x, ˆx) = d(f(x ), f(ˆx)) =... = d(f m (x ), f m (ˆx)) q d(x, ˆx) lso d(x, ˆx) = 0 und dmit x = ˆx. 6.3 Kompktheit 6.3. Definition Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum, S X. i) Eine Fmilie U = (U i ) i I von offenen Teilmengen von X, die S überdecken, d.h. S i I U i, heißt offene Überdeckung von S. Eine Fmilie V heißt Teilüberdeckung von S bezüglich U, wenn V U und S U i V U i, d.h. es existiert K I, sodss S i K U i. Die Teilüberdeckung V heißt endlich, wenn K endlich ist. ii) Die Teilmenge S heißt kompkt, wenn jede offene Überdeckung von S eine endliche Teilüberdeckung besitzt. iii) S heißt reltiv kompkt, wenn S kompkt ist. 50

51 6.3.2 Beispiele. Sei (X, d) ein metrischer Rum, (x n ) n N X, x X mit x n d x. Dnn ist S := {x n n N} {x} kompkt. Beweis. Sei U = (U i ) i I eine offene Überdeckung von S, lso S i I U i. Insbesondere gilt x i I U i d.h. i 0 I : x U i0. D x n d x und U i0 offen gibt es ein n 0 N x n U i0 n n 0 Seien U i,..., U in0 die offenen Mengen, die die endliche vielen Folgenglieder x,..., x n0 enthlten. Dnn ist V = { } U i,..., U in0, U i0 eine endliche Teilüberdeckung von S. 2. Sei X = R, S = N usgestttet mit der Stndrdmetrik. S ist nicht kompkt, denn U = (]n 2, n + 2 ) [ ist offene Überdeckung von S, die keine endliche Teilüberdeckung von S enthält Kompktheit und Abgeschlossenheit Stz Sei (X, d) eine metrischer Rum, S X. i) Wenn S kompkt, dnn ist S bgeschlossen und beschränkt, wobei S X beschränkt heißt, wenn der Dimeter oder Durchmesser von S n N dim(s) = sup {d(x, y) x, y S} < (S ) Für S = definiert mn dim( ) = 0. ii) Abgeschlossene Teilmengen eines kompkten metrischen Rums sind kompkt. Beweis. i) Sei S kompkt. Zur Abgeschlossenheit: Zeige X \ S ist offen. O.B.d.A. ist X \ S. Sei dnn x X \ S. Bestimme nun ɛ > 0 mit B ɛ (x) X \ S. Bemerke dzu, dss zu jedem k S ein ɛ k > 0 existiert, sodss B ɛ (k) B ɛk (x) = (denn (X, d) ist husdorffsch, d.h. verschiedene Punkte können durch disjunkte ɛ-kugeln getrennt werden). Dnn gilt S k S B ɛk (k) 5

52 d.h. U = (B ɛk (k)) k S ist eine offene Überdeckung von S. D S kompkt ist, existieren k,..., k n S, sodss n S B ɛki (k i ) i= Setze dnn ɛ := min i=,...,n ɛ ki. Klr ist dnn: B ɛki (k i ) B ɛ (x) = i =,..., n lso S B ɛ (x) =, d.h. B ɛ (x) X \ S. D x X \ S beliebig wr, ist lso gezeigt, dss X \ s offen ist. Zur Beschränktheit: O.B.d.A. sei S. Sei x 0 S, dnn gilt S n N B n (x 0 ) d.h. U = (B n (x 0 )) n N ist offene Überdeckung von S. D S kompkt ist, besitzt U eine endliche Teilüberdeckung, d.h. ber gerde, dss ein n 0 N existiert mit S B ɛ0 (x). Somit folgt dim(s) = sup {d(x, y) x, y S} 2n 0 d.h. ber gerde, S ist beschränkt. ii) Sei (X, d) ein kompkter metrischer Rum. Sei S eine bgeschlossene Teilmenge von X. Zeige: S ist kompkt. Sei dzu U = (U i ) i I eine offene Überdeckung von S, d.h. S i I U i. D S bgeschlossen ist, ist X \ S offen, lso ist Ũ := (U i ) i I {X \ S} eine offene Überdeckung von X. D X kompkt ist, besitzt Ũ eine endliche Teilüberdeckung n {U i,..., U in, X \ S} : X U ik {X \ S} k= Dnn ist ber {U i,..., U in } eine endliche Teilüberdeckung von S Folgen-Kompktheit Stz Sei (X, d) eine metrischer Rum. Dnn sind äquivlent: i) S ist kompkt. ii) Jede Folge in S ht einen Häufungspunkt in S, wobei x X Häufungspunkt von (x n ) n N X : ɛ > 0 m N n m : d(x n, x) < ɛ ( in jeder ɛ-kugel liegen unendlich viele Folgenglieder von (x n ) n N es existiert eine Teilfolge von (x n ) n N, die gegen x konvergiert.) iii) S ist folgen-kompkt, d.h. jede Folge in S besitzt eine in S konvergente Teilfolge. Beweis. Die Äquivlenz zwischen ii) und iii) zeigt mn wie in Anlysis I. 52

53 i) ii) Angenommen, ii) gilt nicht, dnn existiert eine Folge (y n ) n N in S, die keinen Häufungspunkt in S besitzt, d.h. s S ɛ s > 0 m N n m : y n B ɛ (s) D S s S B ɛ s (s) und S kompkt, existieren s,..., s n s mit S n i= B ɛ i (s i ). S enthält unendliche viele Folgenglieder von (y n ) n N, die Vereinigung uf der rechten Seite ber nur endliche viele, Widerspruch. ii) i) Zu zeigen ist: Jede offene Überdeckung U = (U i ) i I von S besitzt eine endliche Teilüberdeckung.. Schritt: Zeige zunächst, dss S durch endlich viele ɛ-kugeln überdeckt werden knn m ɛ > 0 x 0,..., x m S : S B ɛ (x i ) Teilmengen S (X, d) mit dieser Eigenschft heißen totlbeschränkt. Klr ist: i=0 S kompkt S totlbeschränkt S beschränkt. Die umgekehrten Impliktionen gelten im Allgemeinen nicht. Zeige lso die Totlbeschränktheit von S. Angenommen, S sei nicht totlbeschränkt. Dnn existiert ein ɛ > 0, sodss S nicht durch endlich viele ɛ-kugeln überdeckt werden knn. Sei x 0 S. Insbesondere existiert dnn x S \ B ɛ (x 0 ). Wiederum überdeckt B ɛ (x 0 ) B ɛ (x ) nicht S, d.h. es existiert x 2 S \ (B ɛ (x 0 ) B ɛ (x )) usw. So finden wir induktiv eine Folge (x n ) n N S mit der Eigenschft x n+ S \ n i=0 B ɛ(x i ). Nch Vorussetzung besitzt (x n ) n N einen Häufungspunkt x S. Insbesondere liegen in der Kugel B ɛ (x) unendlich viele Folgenglieder, etw 2 (x nk ) k. Folglich gilt d(x nk, x nl ) < ɛ l, k N Andererseits gilt nch Konstruktion der Folge (x n ) n N x nl B ɛ (x nk ) l > k lso d(x nk, x nl ) ɛ l > k, Widerspruch. Die Menge ist lso totlbeschränkt. 2. Schritt: Angenommen, S ist nicht kompkt, d.h. es existiert eine offene Überdeckung U = (U i ) i I von S, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. D S totlbeschränkt ist, wissen wir, dss k N S durch endliche viele offene Kugeln mit Rdius k überdeckt werden knn. Für jedes k N gibt es lso eine Kugel B (x k), x k k S, die nicht durch endlich viele der Mengen U i überdeckt werden knn. Nch Vorussetzung besitzt die so gefundene Folge (x k ) k N S einen Häufungspunkt ˆx S. D U Überdeckung von S, existiert ein i 0 I mit ˆx U i0. U i0 ist offen, lso existiert ein ɛ > 0 mit B ɛ (ˆx) U i0. D ˆx Häufungspunkt von (x k ) k N ist, gibt es ein n N, n 2 ɛ, sodss x n B ɛ (ˆx). Für dieses n gilt 2 B n (x n) B ɛ (ˆx) U i0 53

54 weil für lle x B n (x n) gilt d(x, ˆx) d(x, x n ) + d(x n, ˆx) < ɛ }{{}}{{} < n ɛ < ɛ 2 2 D.h. ber, dss B n (x n) durch endlich viele der offenen Mengen U i überdeckt werden knn, Widerspruch Stz von Heine-Borel Stz Sei X = R N für N mit d ls euklidischen Metrik uf X (oder einer der äquivlenten Metriken d p für p ) und A X. Dnn gilt A kompkt A beschränkt und bgeschlossen. Beweis. Die Hinrichtung gilt nch Stz in jedem metrischen Rum. Sei lso A beschränkt und bgeschlossen. Zeige: A ist folgen-kompkt. Sei dzu (x n ) n N A; A ist beschränkt, lso ist (x n ) n N beschränkt, d.h. M > 0: x ni x i i=,...,n ( N i=0 x ni x i 2 ) 2 = d 2 (x n, x ) M n N Also ist jede Komponentenfolge (x ni ) n N beschränkt in R. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß besitzt jede Komponentenfolge lso eine in R gegen ein ˆx i R konvergente Teilfolge. Nch Lemm folgt lso x nk i ˆx = ( ˆx,..., xˆ N ) R N d D A bgeschlossen ist und (x nk ) k N A, folgt ˆx A. Somit ist gezeigt, dss (x n ) n N eine in A konvergente Teilfolge besitzt. Also ist A folgen-kompkt, und dmit kompkt Beispiele. Abgeschlossene Quder der der Form [, b 2 ] [ 2, b 2 ]... [ N, b N ] = { x R N x i b i i =,..., N } für i, b i R i =,..., N sind kompkte Teilmengen in ( R N, d 2 ) mit d2 euklidische Metrik. 2. Sei X = R mit d definiert durch d(x, y) = x y + x y x, y X ls Metrik ist beschränkt, d d(x, y) x, y R. Aber X ist uch bgeschlossen, trotzdem ist x nicht kompkt Kompktheit impliziert Vollständigkeit Stz Sei (X, d) ein metrischer Rum, S X. Ist S kompkt, so ist S vollständig. 54

55 Beweis. Sei (x n ) n N S eine Cuchy-Folge. D S kompkt ist, existiert eine Teilfolge (x nk ) k N die in S gegen ein x S konvergiert. Wie in Anlysis I folgt dnn, dss die gesmte Folge gegen x konvergiert: Sei ɛ > 0. D (x n ) n N eine Cuchy-Folge ist, existiert ein n 0 N, sodss d(x n, x m ) < ɛ 2 n, m n 0 k D x nk x, existiert ein k 0 N, sodss d d(x nk, x) < ɛ 2 k k 0 Für lle n mx {n 0, n k0 } gilt lso d(x n, x) d(x n, x nk ) }{{} < ɛ 2 k k 0,n n 0 + d(x nk, x) < ɛ }{{} < ɛ Verllgemeinerung von Heine-Borel Stz Sei (X, d) ein metrischer Rum, S X. Dnn gilt S ist kompkt S ist vollständig und totlbeschränkt. Beweis. Die Hinrichtung wurde im vorherigen Stz gezeigt. Sei S lso vollständig und totlbeschränkt. Zeige, dss S folgen-kompkt ist. Sei dzu (y n ) n N eine beliebige Folge in S. D S totlbeschränkt ist, knn S für jede k N durch endlich viele offene Kugeln mit dem Rdius k überdeckt werden. Zu jedem k N existiert dnn eine Kugel B (x k), x k k S, die unendlich viele Folgenglieder von (y n ) n N besitzt. Genuer: Für k = existiert eine Kugel B (x ), x S, sodss unendlich viele Glieder, lso etw die Teilfolge (y n ) n N = (y, y 2,..., y n,...) in B (x ) liegt. Für k = 2 gibt es eine Kugel B 2 (x 2), sodss unendliche viele Glieder von (y n ) n N, lso etw die Teilfolge (y 2n ) n N = (y 2, y 22,..., y 2n,...) in B (x 2) liegt usw. 2 So erhlten wir induktiv Kugeln B (x k) und Teilfolgen (y nk ) k k N mit (y nk ) n B (x k). Betrchte nun die Digonlfolge (y k nn ) n N. Dnn gilt y nn B k (x k) n k für lle k N und (y nn ) n N ist eine Cuchy-Folge in S, denn zu ɛ > 0 wähle k N mit k < ɛ 2, dmit gilt n, m k : d(y nn, y mm ) d(y nn, x k ) + d(x k, y mm ) < ɛ }{{}}{{} < k < k 55

56 Klr ist uch, dss nch Konstruktion (y nn ) n N Teilfolge von (y n ) n N ist. D S nch Vorussetzung vollständig ist, ist (y nn ) n N in S konvergent. Dmit ist gezeigt, dss (y n ) n N eine in S konvergente Teilfolge besitzt, lso ist S folgenkompkt. 6.4 Zusmmenhng 6.4. Erinnerung: Intervlle I R heißt Intervll, wenn gilt Beispiele von Intervllen in R:, R, {x} (x R), x, z I, y R : x < y < z y I ], b[ = {x R < x < b}, [, b] = {x R x b} [, b[ = {x R x < b}, ], b] = {x R < x b} Topologische Chrkterisierung von Intervllen Für I R ist äquivlent: i) I ist ein Intervll. ii) und I sind die einzigen Teilmengen von I, die in (I, d I ) sowohl offen ls uch bgeschlossen sind. Beweis. Beweis durch Kontrposition: Sei I sei kein Intervll, d.h. x, z I, y R : x < y < z und y I Setze B := { I < y}. Dnn gilt B, weil x B, B I, z B. Weiterhin gilt: B = I ], y[ = I ], y] lso ist B offen und bgeschlossen in I gleichzeitig, lso gilt i) nicht. Sei I ein Intervll, = B I. Zeige: B ist nicht zugleich offen und bgeschlossen. D B, existiert ein x B; d B I, existiert ein z I \ B, o.b.d.a. x < z. Setze y := sup { B < z} Dnn gilt: x y z. D x, z I und I ein Intervll ist, folgt y I. Ist y B, so ist y < z und ]y, z[ B =, lso ist B nicht offen. Ist y B, so knn B nicht bgeschlossen sein. 56

57 6.4.3 Definition Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum. i) X heißt zusmmenhängend, wenn und X die einzigen Teilmengen von X, die zugleich offen und bgeschlossen sind. ii) Y X heißt zusmmenhängend, flls (Y, d Y ) zusmmenhängend. Bemerkung. Ist (X, d) ein metrischer Rum, so sind äquivlent: i) X ist zusmmenhängend. ii) X knn nicht ls Vereinigung disjunkter, nicht-triviler offener Teilmengen von X geschrieben werden. Ds heißt, wenn A, B offene Teilmengen von X sind mit A B = und A B = X, so ist A = oder B =. iii) Für lle Teilmengen A X gilt A. Beweis. i) ii) Angenommen X knn ls Vereinigung disjunkter, nicht-triviler offener Teilmengen A, B geschrieben werden, dnn ist A = X \ B zugleich offen - nch Vorussetzung - und bgeschlossen, weil B offen ist. Also ist X nicht zusmmenhängend. ii) i) Angenommen X ist nicht zusmmenhängend, dnn gibt es eine offene und bgeschlossene Teilmenge A X. Aber dnn ist uch (X\A) X offen und bgeschlossen, und ntürlich A (X \ A) = X. i) iii) X ist zusmmenhängend genu dnn, wenn und X die einzigen Teilmengen von X sind, die zugleich offen und bgschlossen sind. Die ist äquivlent zu: Für lle Teilmengen A X ist Å verschieden von A, lso A = A \ Å Vereinigung zusmmenhängender Mengen Stz Sei (X, d) ein metrischer Rum. i) Ist (A i ) i I eine Fmilie zusmmenhängender Teilmengen von X und ist i I A i, dnn ist uch i I A i zusmmenhängend. ii) Wenn A zusmmenhängende Teilmenge von X, dnn ist uch A zusmmenhängend. Beweis. i) Angenommen i I A i sei nicht zusmmenhängend, d.h. es gibt eine offene und bgeschlossene Teilmenge A i I A i. Dnn gibt es ein i I mit (A A i ) A i, womit eine nicht-trivile offene und bgeschlossene Teilmenge von A i gefunden ist. Denn wäre (A A i ) = A i oder (A A i ) = für lle i I, dnn wäre entweder A = i I A i, ws ein Widerspruch ist, oder es gälte A A i = A i und A A j = gleichzeitig für bestimmte i, j I, lso A i A j A A j =, womit dnn folgt A i = i I 57

58 ii) Sei B A eine Teilmenge von A, die zugleich offen und bgeschlossen ist. Wäre B A =, so wäre A echte Teilmenge von A \ B. D B offen ist, ist A \ B = A (X \ B) ls Durchschnitt bgeschlossener Mengen bgeschlossen. A ist ber die kleinste bgeschlossene Obermenge von A, lso müsste A A \ B, d.h. B = gelten. Somit ist dnn B A eine nicht-leere offene und zugleich bgeschlossene Teilmenge von A. A ist zusmmenhängend, lso folgt A B = A A B A B bgeschlossen A B A A = B 6.5 Seprbilität 6.5. Definition Definition Sei (X, d) ein metrischer Rum. i) Eine Teilmenge M X heißt dicht in X (oder dichte Teilmenge von X), wenn M = X, d.h. x X (x n ) n N M : x n d x ii) (X, d) heißt seprbel, wenn es eine bzählbre Teilmenge von X gibt, die dicht in X ist. X heißt dnn bzählbr dichte Teilmenge von X Beispiele. (R, d ) ist seprbel, denn Q ist bzählbr dicht. 2. R N für N usgestttet mit einer der äquivlenten Metriken d p, p <, ist seprbel, d Q N bzählbr dichte Teilmenge ist. 3. C ([, b]) usgestttet mit der Supremumsnorm ist seprbel, denn die Menge ller Polynome mit rtionlen Koeffizienten ist bzählbr dichte Teilmenge von (C ([, b]), d ) (Stz von Weierstrß). 4. Die beschränkten reellen Zhlenfolgen { } l (N) := (x n ) n N R sup x n < n N ist ein Vektorrum. (xn ) n N := supn N x n ist eine Norm uf l (N) (Supremumsnorm). d bezeichne die dnn induzierte Norm. Es gilt: (l (N), d ) ist nicht seprbel. Beweis. Angenommen es existierte ein bzählbres A l (N) mit A = l (N). 58

59 Sei M N, definiere (χ M n ) n N durch {, n M χ M n := 0, n M Es gilt χ M n = sup n N χ M n = <, lso ist (χ M n ) n N l (N). Für N ˆM M ist ( d (χ M n ) n, ( ) ) χ ˆM n = sup χm n n χ ˆM n = n N Die Menge = { (χ M n ) n N M N } l ht folglich die Krdinlität der Potenzmenge P(N), ist lso überbzählbr. Wegen A = l (N) gilt (x n ) n N l (N) ɛ > 0 ( n ) n N A d ((x n ) n, ( n ) n ) < ɛ Insbesondere gibt es lso für jedes (χ M n ) n ein ( n ) n A mit d ((χ M n ) n, ( n ) n ) < 4 D verschiedene Elemente us gemessen mit der d -Metrik genu voneinnder entfernt liegen, liegt für jedes ( n ) n A höchstens ein (χ M n ) n in B (( n) 4 n ). Dmit muss es ber mindestens so viele ( n ) n geben wie (χ M n ) n, d.h. A knn nicht bzählbr sein Kompkte Räume sind seprbel Stz i) Jeder kompkte metrischer Rum (X, d) ist seprbel. ii) Eine Teilmenge eines seprblen metrischen Rums ist seprbel. Beweis. i) Wenn (X, d) kompkt ist, dnn ist (X, d) insbesondere totl beschränkt und somit knn X für jedes n N durch endliche viele Kugeln mit Rdius n überdeckt werden: X B (x(n) n )... B (x(n) n k n ) mit gewissen Punkten x (n),..., x(n) k n, k n N. { } Dnn ist M := x (n) i n N, i =,..., k n bzählbre Teilmenge von X. Sei nun x X, dnn gibt es b n N mit b n k n, sodss x B (x b n n ) ( für jedes n N. Für die Folge x (n) b n M gilt dnn )n N lso x (n) b n d x. n N : d(x, x (n) b n ) < n 59

60 ii) Wenn (X, d) seprbel ist, M X bzählbr dichte Teilmenge von X und Y X, dnn ist zu zeigen, dss Y seprbel ist. Achtung. Y M ist im Allgemeinen nicht dicht in Y, betrchte etw Y := X \ M. Für jedes m M und jedes n N, sodss B (m) Y wähle n y mn B (m) Y. Dnn folgt: N := {y mn so gewählt} ist bzählbr n dichte Teilmenge von Y. Denn sei y Y, so gibt es wegen M = X für jedes n N ein m M mit m B (y). Dnn ist B (m) Y, lso 2n n gibt es ein z n := y mn B (m) mit n d(y, z n ) = d(y, y mn ) d(y, m) + d(m, y mn ) 2n + n = 3 2n Für dies so definierte Folge (z n ) n N N gilt z n d y. 6.6 Stetige Abbildungen in metrischen Räumen 6.6. Definition Definition Seien (X, d), (X, d ) metrische Räume. i) Eine Abbildung f : X X heißt stetig in p X, wenn für jede Umgebung U von f(p) in X gilt, dss f (U) Umgebung von p in X ist. ii) f : X X heißt stetig uf X, wenn f in jedem Punkt p X stetig ist. Bemerkung. Die obige Definition lässt sich verllgemeinern uf den Fll, wo (X, τ), (X, τ ) beliebige topologische Räume sind. In metrischen Räumen ist die obige Definition der Stetigkeit zu der us Anlysis I beknnten ɛ-δ-stetigkeit und zur Folgenstetigkeit äquivlent Äquivlente Chrkterisierungen Stz Sind (X, d), (X, d ) metrische Räume, f : X X, p X, dnn ist äquivlent: i) f ist stetig in p. ii) oder ɛ > 0 δ > 0 : d (f(x), f(p)) < ɛ x X, d(x, p) < δ ɛ > 0 δ > 0 : f(b δ (p)) B ɛ (f(p)) iii) f ist folgenstetig in p, d.h. (x n ) n N X : x n d p f(x n ) d f(p) Beweis. ii) iii) zeigt mn wie in Anlysis I. 60

61 i) ii) : Sei ɛ > 0. Dnn ist B ɛ (f(p)) eine Umgebung von f(p). Nch i) ist dnn f (B ɛ (f(p))) eine Umgebung von p in X. D.h. ber gerde, dss ein δ > 0 existiert mit B δ (p) f (B ɛ (f(p))), lso ist f(b δ (p)) B ɛ (f(p)). ii) i) Sei U eine Umgebung von f(p) in X. Dnn existiert ein ɛ > 0 mit B ɛ (f(p)) V. Nch Vorussetzung ii) gibt es ein δ > 0 mit f(b δ (p)) B ɛ (f(p)). Es folgt p B δ (p) f (V ). Somit ist f (V ) Umgebung von p in X Chrkterisierung globler Stetigkeit Äquivlent chrkterisiert mn globle Stetigkeit. Stz Seien wieder (X, d), (X, d ) metrische Räume, f : X X, dnn ist äquivlent: i) f ist stetig uf X. ii) Für lle offenen Mengen O X ist f (O) offen in X. iii) Für lle bgeschlossenen Mengen A X ist f (A) bgeschlossen in X. Beweis. i) ii) Sei O eine offene Teilmenge von X. Sei weiterhin p f (O). D O offen in X und f(p) O, existiert ein ɛ > 0 mit B ɛ (f(p)) O. D f stetig ist nch Vorussetzung, existiert nch Stz ein δ > 0 mit f(b δ (p)) B ɛ (f(p)), d.h. ber dnn lso ist f (O) offen. B δ (p) f (B ɛ (f(o))) f (O) ii) i) Sei p X, ɛ > 0. Dnn ist B ɛ (f(p)) offene Menge in X. Nch Vorussetzung ist f (B ɛ (f(p))) offen in X. Es folgt δ > 0 : B δ (p) f (B ɛ (f(p))) lso f(b δ (p)) B ɛ (f(p)), womit gezeigt ist, dss f in p stetig ist. D p X beliebig wr, ist f stetig uf X. ii) ii) folgt mit f (A) = X \ f (X \ A) Beispiele. Sei (X, d) ein metrischer Rum, p X. d(, p) : X R, x d(x, p) ist stetig (der Beweis findet sich in dem des Bnch schen Fixpunktstzes). 2. Wenn (X, X ) ein normierter Rum ist, so ist die Norm X stetig uf X. 6

62 6.6.5 Verknüpfung stetiger Funktion ist stetig Wie in Anlysis I zeigt mn Stz Sind (X, d X ), (Y, d Y ), (Z, d Z ) metrische Räume und f : X Y stetig in p X, g : Y Z stetig in f(p), so ist g f stetig in. Bemerkung. Sind f, g : (X, d X ) (Y, d Y ) Abbildungen und Y ein normierter (reeller oder komplexer) Vektorrum, so sind Linerkombintionen von f und g stetig, wenn f und g selbst stetig sind. D.h. C(X, Y ) := {f : X Y f stetig} C b (X, Y ) := {f : X Y f stetig und beschränkt} sind Vektorräume. Sei Y eine Norm uf Y und d Y die durch Y induzierte Metrik, dnn gilt { } C b (X, Y ) = f : X Y f stetig und sup f(x) Y < x X f := sup x X f(x) Y heißt Supremumsnorm uf C b (X, Y ), womit C b (X, Y ) ein normierter Vektorrum ist. Ist (Y, Y ) vollständig, so ist uch C b (X, Y ) vollständig, ws mn nlog wie beim Cuchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz us Anlysis I zeigt. Insbesondere ist (C b (X, (R N, p )), ) ein Bnchrum, d (R N, p ) vollständig ist Verllgemeinerung des Zwischenwertstzes Stz Sei (X, d) ein zusmmenhängender metrischer Rum, (X, d ) ein metrischer Rum. Sei f : X X stetig, dnn ist f(x) ein zusmmenhängender Teilrum von X. Beweis. Sei B f(x) offen und bgeschlossen. Dnn gilt O X offen : B = f(x) O A X bgeschlossen : B = f(x) A womit folgt f (B) = f (O) und f (B) = f (A). Nun ist ber f (O) offen und f (A) bgeschlossen, weil f stetig ist, d.h. f (B) ist offen und bgeschlossene Teilmenge von X. D X zusmmenhängend ist, muss f (B) = X, lso B = f(x) sein, ws zu zeigen wr Wegzusmmenhng Mit Hilfe der Definition stetiger Abbildungen können wir nun einen stärkeren Zusmmenhngsbegriff definieren. Definition. Sei (X, d) ein metrischer Rum. Eine Menge M X heißt wegzusmmenhängend, wenn es für je zwei Punkte x 0, x X eine stetige Abbildung ϕ : [0, ] X gibt mit ϕ(0) = x 0 und ϕ() = x. Wegzusmmenhng ist stärker ls Zusmmenhng, ws die Aussge des folgenden Stzes ist. 62

63 Stz. Ist M X in (X, d) eine wegzusmmenhängend, dnn ist M insbesondere zusmmenhängend. Beweis. Seien = U, V M zwei disjunkte offene Mengen, u U, v V. D M wegzusmmenhängend ist, gibt es eine stetige Abbildung ϕ : [0, ] M mit ϕ(0) = u und ϕ() = v. D ϕ stetig ist, sind ϕ (U), ϕ (V ) offen. Ds Intervll [0, ] ist zusmmenhängend, lso gilt ϕ (U) ϕ (V ) [0, ] oder ϕ (U) ϕ (V ), denn keine der beiden Mengen ist leer und keine der beiden ist M (d U, V disjunkt sind). Also muss U V M oder U V gelten Kompktheitsstz Stz (X, d), (X, d ) seien metrische Räume, f : A X kompkt, dnn ist f(a) X kompkt. X X stetig. Sei Beweis. Seien (U i ) i I offene Überdeckungen von f(a), d.h. f(a) i I U i A i I f (U i ) Für jedes i I ist f (U i ) offen, d U i offen und f stetig. D A kompkt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung, sodss A n f (U i ) f(a) k=0 womit eine endliche Teilüberdeckung von f(a) gefunden ist. f(a) ist lso kompkt Stz von Mximum und Minimum für reellwertige Funktionen Korollr Sei (X, d) metrischer Rum, f : X R stetig. Ist A X kompkt, so nimmt f uf A Minimum und Mximum n. Beweis. Nch Stz ist f(a) kompkt, lso insbesondere beschränkt, d.h. sup f(a) <, und es existiert eine Folge (x n ) n N A mit lim f(x n) = sup f(a) n n k=0 U i D A kompkt ist, besitzt (x n ) n N eine gegen x (x nk ) k N. Dmit gilt wegen der Stetigkeit von f A konvergente Teilfolge f(x ) = lim k f(x n k ) = lim n f(x n) = sup f(a) = mx f(a) Gleichmäßige Stetigkeit Definition Seien (X, d), (X, d ) metrische Räume, f : Abbildung. X x eine 63

64 i) f ist gleichmäßig stetig uf X : ɛ > 0 δ > 0 : f(b δ (x)) B ɛ (f(x)) x X, d.h. d(x, x) < δ d (f(x), f( x)) < ɛ x X ii) f ist gleichmäßig stetig uf M X : die Einschränkung von f uf (M, d M ) ist gleichmäßig stetig Gleichmäßige Stetigkeit uf kompkten Mengen Stz Seien (X, d), (X, d ) metrische Räume, f : X X stetig. Sei A X kompkt, dnn ist f gleichmäßig stetig uf A. Beweis. Sei o.b.d.a. A = X (sonst betrchte f A in (A, d A )). Sei ɛ > 0. D f stetig ist, existiert zu jedem x X ein δ x > 0 mit ußerdem gilt f(b δx (x)) B ɛ (f(x)) ( ) 2 X x X B δx 2 D X kompkt ist, gibt es x,..., x n X mit X (x) n B δx (x i ) 2 Sei δ := min { δxi 2 i =,..., n } > 0. Seien x, x X mit d(x, x) < δ. i= x X i {,..., n} : x B δx i 2 (x i ) lso ist d(x, x i ) < δx i 2, mit ( ) lso d(f(x), f(x i)) < ɛ 2. Weiterhin ist d( x, x i ) d( x, x) + d(x, x i ) < δ + δ x i 2 < δ x i lso wieder d(f( x), f(x i )) < ɛ 2. Schließlich ist d(f(x), f( x)) d(f(x), f(x i )) + d(f(x i ), f(x)) < ɛ Gleichmäßig konvergente Funktionen sind stetig Definition und Stz Seien (X, d), (X, d ) metrische Räume und f n : x x für n N stetige Funktionen. Wenn (f n ) n N gleichmäßig uf X gegen eine Funktion f : X X konvergiert, d.h. dnn ist f stetig. ɛ > 0 n 0 N : d (f n (x), f(x)) < ɛ n n 0, x X 64

65 Beweis. Zeige die Stetigkeit in einem beliebigen Punkt p X. Sei dzu (x k ) k X mit x k d p. Sei ɛ > 0. Wähle n 0 N gemäß der gleichmäßigen Konvergenz. D f n stetig ist in p, existiert ein δ > 0 mit d (f n0 (x), f n0 (p)) < ɛ x B δ (p) D x k d p, existiert ein k 0 N mit d(x k, p) < δ für lle k k 0. Dnn gilt b diesem k 0 d (f(x k ), f(p)) d (f(x k ), f n0 (x k )) + d (f n0 (x k ), f n0 (p)) + d (f n0 (p), f(p)) < 3ɛ Linere Abbildungen Betrchte im folgenden Abbildungen f : (X, X ) (Y, Y ) zwischen normierten Vektorräumen. Begriffe wie Stetigkeit und entsprechende Ergebnisse lssen sich uf diesen Fll übertrgen, indem die metrischen Räume (X, d X ), (Y, d Y ) betrchtet werden, wobei d X, d Y die von X, Y induzierten Metriken sind. Definition Seien X, Y K-Vektorräume (K = R, C). Eine Abbildung T : X Y heißt liner, wenn T (α x + β y) = α T x + β T y Nottion für linere Abbildungen: T x sttt T (x) Stetigkeit linerer Abbildungen x, y X, α, β K Stz Seien (X, X ), (Y, Y ) normierte Vektorräume, T : X Y eine linere Abbildung. Dnn sind äquivlent: i) T ist stetig uf X. ii) T ist stetig in 0. iii) M > 0 : T x Y M x X x X. iv) T ist gleichmäßig stetig uf X. Beweis. i) ii) und iv) i) sind trivil. iii) iv) Sei ɛ > 0, wähle δ := ɛ M > 0, dnn gilt für lle x, y X x y X < δ T x T y Y = T (x y) Y M x y X < ɛ ii) iii) D T in 0 stetig ist, gibt es zu ɛ = ein δ > 0 sodss Sei 0 x X beliebig, dnn ist lso gilt x X < δ T x T 0 Y < ( ) δ T 2 x Y x X δ 2 x B δ (0) x X < T x Y < 2 δ }{{} =:M x X 65

66 6.6.5 Linere, stetige Opertoren Definition. Sind (X, X ), (Y, Y ) nomierte K-Vektorräume, dnn setzt mn L(X, Y ) := {T : X Y T liner und stetig} L(X, Y ) ist ein K-Vektorrum. Für T L(X, Y ) sei T L(X,Y ) := sup T x Y (< ) x X x X Mn rechnet leicht nch, dss ddurch uf L(X, Y ) eine Norm definiert wird. Flls (Y, Y ) vollständig ist, d.h. ein Bnchrum ist, so ist uch (L(X, Y ), L(X,Y ) ) ein Bnchrum. Abbildungen T L(X, Y ) bezeichnet mn uch ls Opertoren (genuer: stetige linere Opertoren von X nch Y ). T L(X,Y ) heißt uch Opertornorm von T. Spezilfll: Ist Y = K mit der Norm, so ist L(X, K), L(X,K) ein Bnchrum. Die Elemente T L(X, K) bezeichnet mn uch ls (stetige, linere) Funktionle uf X. Nottion: X := L(X, K), T X := T L(X,K ) Topologische Isomorphismen, Isometrien Definition i) Normierte Vektorräume (X, X ), (Y, Y ) heißen topologisch isomorph, wenn es einen stetigen (lineren) Isomorphismus ι : X Y gibt, sodss uch ι : Y X stetig ist. Solch eine Abbildung heißt dnn topologischer Isomorphismus zwischen X und Y. Nottion: X = Y. ii) Existiert ein isometrischer topologischer Isomorphismus ι : X Y, d.h. gilt zusätzlich ι(x) Y = x X x X dnn heißen X und Y isometrisch isomorph. Bemerkung. Topologisch isomorphe Räume können miteinnder identifiziert werden, insbesondere bildet ein topologischer Isomorphismus Cuchy-Folgen uf Cuchy-Folgen, konvergente Folgen uf konvergente Folgen b. Folglich gilt: Ist (X, X ) = (Y, Y ), so ist X vollständig genu dnn, wenn Y vollständig ist. Stz Sei (X, X ) ein endlich-dimensionler normierter R-Vektorrum, {v,..., v n } eine Bsis von X. Dnn ist die Koordintenbbildung x = T : X R n x j v j x j e j j= ein topologischer Isomorphismus zwischen (X, X ) und (R n, ), d.h. X = R n. j= 66

67 Beweis. Klr: T ist wohldefiniert, liner und bijektiv. Weiterhin gilt für x = xj e j R n. T x X = x j v j x j v j X j= j= X 2 Hölder x j 2 v j 2 X j= j= 2 = M x 2 d.h. es gilt T x X M x 2 x R n, wonch T stetig ist. Um zu zeigen, dss uch T stetig ist, definiert mn x := T x X x R n Mn rechnet leicht nch, dss eine Norm uf R n definiert. Setze c := inf x x Sn wobei S n := {x R n, x 2 = } die Einheitssphäre ist. Angenommen c = 0. Dnn existiert eine Folge (x k ) k S n mit x k 0. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß im R n besitzt die beschränkte Folge l (x k ) k eine konvergente Teilfolge (x kl ) l mit x kl x. D x kl 2 = für lle 2 l N, folgt uch x 2 =. Somit gilt x x x kl + x kl M x x kl 2 + x kl l 0 lso x = 0, d.h. x = 0, ws x 2 = widerspricht. Also muss c > 0 gelten. Für dieses c > 0 gilt somit c x x R n \ {0} ist y := S n, und somit x x 2 c y = x x = T x 2 x = T x 2 X x X 2 x S n. Für d.h. c x 2 T x X, bzw. T y 2 c y X von T folgt. y X, worus die Stetigkeit Korollr Auf R n sind lle Normen äquivlent Im Endlichdimensionlen sind linere Opertoren stetig Stz Sei (X, X ) ein endlich-dimensionler normierter R-Vektorrum, (Y, Y ) ein beliebiger normierter R-Vektorrum, T : X Y liner. Dnn ist T stetig. Beweis. Wegen Stz knn mn o.b.d.a. nnehmen, dss (X, X ) = (R n, 2 ) für ein n N. 67

68 Sei lso T : (R n, 2 ) (Y, Y ) liner, dnn gilt für lle x = x j e j R n T x Y = T x j e j = x j T e j x j T e j Y j= j= j= Y Y Hölder 2 2 x j 2 T e j 2 Y = M x 2 j= j= für konstntes M R, womit die Stetigkeit von T gezeigt ist. 68

69 7 Differentilrechnung in normierten Räumen 7. Definition der Differenzierbrkeit und elementre Eigenschften (X, X ), (Y, Y ) seien im gesmten Kpitel Bnchräume. Weiterhin sei - sofern nicht nders gesgt - U eine offene, nicht-leere Teilmenge des jeweils ngegebenen Bnchrums. 7.. Erinnerung: Reeller Fll Ist U X eine offene, nicht-leere Teilmenge von X, f : U Y. Wnn heißt f differenzierbr in einem Punkt x 0 U? Im Fll X = Y = R wr f differenzierbr in x 0 genu dnn, wenn f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 in R existiert. In dem Fll heißt dieser Grenzwert Ableitung von f n der Stelle x 0. Ds Konzept ist in dieser Form nicht übertrgbr, d durch Vektoren x x 0 X nicht dividiert werden knn. Aber äquivlent gilt in X = Y = R: f ist differenzierbr in x 0 genu dnn, wenn ein k R und eine Abbildung r : U R existieren, sodss f(x) = f(x 0 ) + k (x x 0 ) + r(x) (x x 0 ), x U und sodss lim x x0 r(x) = 0. D.h. f knn lokl in x 0 durch die ffin linere Funktion x f(x 0 ) + k (x x 0 ) pproximiert werden, mit einem Fehler, der schneller ls der Abstnd von x zu x 0 gegen 0 strebt. In diesem Fll ist k =: f (x 0 ) R = L(R, R) wobei ι : L(R, R) R, T T () ein isometrischer Isomorphismus ist Definition Dieses Konzept lässt sich uf llgemeine normierte Räume übertrgen. Definition 7... Sei U X offen. Eine Abbildung f : U X Y heißt differenzierbr in x 0 U, wenn es ein A L(X, Y ) gibt, sodss f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 d.h. f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) lim Y = 0 x x 0 x x 0 X 69

70 7..3 Quotientenfreie Form Lemm Seien die Vorussetzung wie in der obigen Definition gegeben. f ist differenzierbr in x 0 genu dnn, wenn A L(X, Y ) und r : U Y existieren, sodss f(x) = f(x 0 ) + A(x x 0 ) + r(x) x x 0 X, x U und sodss lim r(x) x x Y = 0 0 Beweis. Aus der Bedingung im Lemm folgt trivilerweise die Definition der Differenzierbrkeit. Sei nun ndersherum f in x 0 differenzierbr, so definiere { f(x) f(x0) A(x x 0) x x r(x) := 0, x x 0 X 0, x = x 0 und es folgt sofort ds obige Kriterium Elementre Eigenschften Stz Seien die Vorussetzungen wieder wie oben. i) Ist f differenzierbr in x 0 U, dnn ist f insbesondere stetig in x 0. ii) Ist f differenzierbr in x 0, dnn ist die Abbildung A L(X, Y ) us der Definition eindeutig. Beweis. i) folgt unmittelbr us dem Lemm: lim f(x) = lim (f(x 0 ) + A(x x 0 ) + r(x) x x 0 ) = f(x 0 ) x x 0 x x 0 ii) Angenommen es existieren A, B L(X, Y ) mit dnn folgt f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 X f(x) f(x 0 ) B(x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 X A(x x 0 ) B(x x 0 ) 0 = lim = lim (A B) (x x 0) x x 0 x x 0 x x X 0 x x 0 X Wähle für jedes n N: x n = x 0 + y n für y X \ {0}. Dnn folgt y lim (A B) n n y n = 0 ( ) d.h. ber gerde (A B) y y = 0 für lle y X \{0}, lso (A B) y = 0 für lle y X, konkreter Ay = By, lso insgesmt A = B. 70

71 7..5 Ableitung Definition i) Sei U X offen, f : U Y. Ist f differenzierbr in x 0 U, dnn heißt der eindeutig bestimmte Opertor A us der Definition 7.. Ableitung (oder uch Fréchet-Ableitung, oder (totles) Differentil von f in x 0 ). Nottion: A = f (x 0 ), Df(x 0 ) oder f(x 0 ). ii) Ist f in jedem Punkt x U differenzierbr, so heißt f differenzierbr uf U und die Abbildung f : U L(X, Y ) x f (x) heißt Ableitung von f uf U. Ist f stetig in x 0 (bzw. uf U), dnn heißt f stetig differenzierbr in x 0 (bzw. uf U) und mn setzt Bemerkung. C (U, Y ) := {f : U Y f stetig differenzierbr uf U}. Der besseren Unterscheidbrkeit von nderen Differenzierbrkeitsbegriffen wegen bezeichnet mn eine im Sinn der Definition 7..4 differenzierbre Abbildung uch ls totl differenzierbr oder Fréchet-differenzierbr. 2. Die Begriffe Differenzierbrkeit und Ableitung sind unbhängig von der Whl äquivlenter Normen in X und Y. 3. D L(R, R) = R knn mn lso L(R, R) und R identifizieren. Diese Indetifizierung zeigt, dss die obige Definition 7..4 der Differenzierbrkeit im Flle X = Y = R mit der us Anlysis I beknnten übereinstimmt Beispiele. Für B L(X, Y ) betrchte B : X Y X Bx Dnn ist für x 0, x X lso Bx = Bx 0 + B(x x 0 ) womit A ds Lemm mit A := B und r(x) = 0 ist differenzierbr mit B = B uf gnz X. 2. Betrchte für y 0 Y die konstnte Funktion k y0 : X Y x X erfüllt. D.h. B dnn ist für lle x, x 0 X x y 0 k y0 (x) = k y0 (x 0 ) + A(x x 0 ) + r(x) x x 0 X erfüllt mit A = 0, r 0. Also ist k y0 differenzierbr uf X mit k y

72 7..7 Spezilisierung uf endlich-dimensionle Bnchräume Schon nch der Betrchtung dieser beiden reltiv einfchen Funktionenklssen erkennt mn ds Problem: Wie knn mn im llgemeinen Fll Differenzierbrkeit bequem überprüfen und die Ableitung berechnen? Im Flle X = R n, Y = R m für n, m N ist für eine im Punkt x 0 U differenzierbre Funktion f : U R n R m die Ableitung f (x 0 ) L(R n, R m ). Also knn bei Whl von knonischen Bsen in R n und R m f (x 0 ) mit der diese lineren Abbildung drstellenden m n-mtrix identifiziert werden. Die Frge ist, wie die Einträge dieser Mtrix berechnet werden können Richtungsbleitung Zur Vorbereitung folgende Definition Sei f : U X Y, x 0 U, v X \ {0}. Existiert D v f(x 0 ) := lim t 0 f(x 0 + t v) f(x 0 ) t so heißt D v f(x 0 ) die Richtungsbleitung von f in x 0 in Richtung von v. Grfische Illustrtion im Flle f : U R 2 R. Stz Sei f : U X Y differenzierbr in x 0 U. Dnn existiert die Richtungsbleitung von f in x 0 in jede Richtung v X \ {0} und es gilt D v f(x 0 ) = f (x 0 )v. Bemerkung. Aus diesem Stz folgt im Flle X = R n, Y = R m, dss es genügt, die Richtungsbleitungen von einer in einem Punkt x 0 differenzierbre Funktion in Richtung der knonischen Einheitsvektoren e i = (0,...,,..., 0), i =,..., n zu kennen, um die totle Ableitung zu berechnen. Beweis. f ist differenzierbr in x 0 ; sei v X \ {0}. Dnn existiert nch Lemm über die lterntive Definition der Differenzierbrkeit eine Funktion r : U Y mit f(x 0 + t v) = f(x 0 ) + f (x 0 )(t v) + r(x 0 + t v) t v X für lle t R genügend klein, soll heißen: sodss x 0 + t v U. Drus folgt lim t 0 f(x 0 + t v) f(x 0 ) t f(x 0 + t v) f(x 0 ) t = f (x 0 )v + r(x 0 + t v) t t v X = f (x 0 )v d.h. D v f(x 0 ) existiert und ist gleich f (x 0 )v. Bemerkung. Die Umkehrung des Stzes 7..6 gilt im Allgemeinen nicht, d.h. wenn f : U X Y in einem Punkt x 0 in jeder Richtung v X \ {0} eine Richtungsbleitung besitzt, dnn ist f nicht notwendig uch (totl) differenzierbr in x 0. Betrchte zum Beispiel f : R 2 R { x2 y f(x, y) := x 2 +y, (x, y) (0, 0) 2 0, (x, y) = (0, 0) 72

73 Dnn ist für v = (ξ, ν) R 2 \ {(0, 0)} f(0 + t v) f(0) = f(tv) = t2 ξ 2 t ν t 2 ξ 2 + t 2 ν 2 = t ξ 2 ν ξ 2 + ν 2 = t f(v) Folglich gilt f(0 + t v) f(0) t = t f(v) t = f(v) }{{} =:D vf(0) t R \ {0} D.h. f besitzt in 0 = (0, 0) Richtungsbleitungen in jede Richtung v 0 mit D v f(0) = f(v). Angenommen f wäre sogr differenzierbr in 0, dnn folgt us dem obigen Stz 7..6 f (0) v = D v f(0) = }{{} f }{{} (v) v R 2 \ {(0, 0)} liner nicht liner ws offensichtlich ein Widerspruch ist Prtielle Ableitung Zurück zur Bemerkung: Wir stellen die besondere Bedeutung der Richtungsbleitungen im Fll X = R n, Y = R m, in Richtung der knonischen Bsisvektoren fest und geben Definition Sei f : U R n R m, x 0 U. i) Dnn heißt für k =,..., n f f(x 0 + t e k ) f(x 0 ) (x 0 ) := D ek f(x 0 ) = lim x n t 0 t (sofern existent) die k-te prtielle Ableitung von f in x 0. Existiert in llen Punkten x U die k-te prtielle Ableitung von f, so heißt f x k : U R x f x k (x) die k-te prtielle Ableitung von f uf U. ii) f heißt in x 0 prtiell differenzierbr, wenn lle prtiellen Ableitungen f x (x 0 ),..., f x n (x 0 ) existieren. Anlog heißt f uf U prtiell differenzierbr, wenn lle prtiellen Ableitungen f x,..., f x n uf U existieren. iii) Sind diese stetig in x 0 (uf U), so heißt f in x 0 (uf U) stetig prtiell differenzierbr. Bemerkung.. f ist genu dnn nch der k-ten Koordinte prtiell differenzierbr, wenn die Funktion t R f(x 0,..., x k 0, x k 0 + t, x k+ 0,..., x n ) ls Funktion der reellen Vrible t differenzierbr ist. 73

74 2. Ist f in x 0 totl differenzierbr, dnn ist f in x 0 prtiell differenzierbr (klr, d f nch Stz 7..6 Richtungsbleitungen in jede Richtung besitzt, flls f (totl) differenzierbr ist). 3. Wenn f in x 0 prtiell differenzierbr ist, dnn folgt im Allgemeinen nicht, dss f in x 0 totl differenzierbr ist. 4. Wenn f in x 0 prtiell differenzierbr ist, dnn folgt im Allgemeinen nicht einml, dss f in x 0 stetig ist. Betrchte zum Beispiel Für t 0 gilt f : R 2 R { xy x (x, y) 2 +y, (x, y) (0, 0) 2 0, (x, y) = (0, 0) f((0, 0) + t (, 0)) f(0, 0) t = f(t, 0) 0 t = 0 f x (0, 0) = 0 Völlig nlog sieht mn f x 2 (0, 0) = 0 ein. Aber f ist nicht stetig in (0, 0), denn es gilt f ( n, ) = n ( n n n 7..0 Ableitung ls Jcobi-Mtrix ) 2 ( + 2 = n) 0 = f(0, 0) 2 Wählt mn in R n und R m die knonische Bsis und identifiziert mn A L(R n, R m ) mit ihrer drstellenden Mtrix, so erhält mn die Drstellung der Ableitung einer Funktion f : U R n R m in einem Punkt x 0 : Stz Wenn f : U R n R m in x 0 U differenzierbr ist, dnn gilt f f x (x 0 )... x n (x 0 ) L(R n, R m ) f (x 0 ) =..... R m n f m f x (x 0 )... m x n (x 0 ) Beweis. Wir bemerken zunächst, dss f = (f,..., f m ) in x 0 differenzierbr ist genu dnn, wenn lle Komponentenfunktionen f,..., f m in x 0 differenzierbr sind; in dem Fll gilt f (x 0 ) = (f (x 0 ),..., f m(x 0 )) T (d Konvergenz im R m komponentenweiser Konvergenz entspricht). Folglich reicht es us, den Fll m = zu betrchten und zu zeigen: ( ) f (x 0 ) = f f x (x 0 )... x n (x 0 ) Dies folgt, d für h R n, h = n h j e j mit h j R, e j j-ter Einheitsvektor für j= 74

75 jedes j =,..., n, gilt: f (x 0 )h = f (x 0 ) h j e j = = = = j= h j f (x 0 )e j j= j= h j f x j ( f x (x 0 )... ( f x (x 0 )... ) f x n (x 0 ) ) f x n (x 0 ) h h. h n Definition i) Die im Stz 7..8 definiert Mtrix heißt Jcobimtrix oder Funktionlmtrix von f in x 0 und wird mit J f (x 0 ) bezeichnet. Mit nderen Worten: Die Jcobimtrix ist die Drstellungsmtrix der Ableitung von f in x 0 bezüglich der knonischen Bsen. ii) Ist m =, d.h. f : U R n R, dnn heißt f(x 0 ) := grd f(x 0 ) := ( f x (x 0 )... ) f x n (x 0 ) der Grdient von f in x 0. Bemerkung. Für f : U R n R differenzierbr ist dmit für lle v R n, x 0 U: D v f(x 0 ) = f(x 0 ) v Wenn x 0 U mit f(x 0 ) 0, dnn setze Es gilt: D h0 f(x 0 ) = f(x 0 ) h 0 := f(x 0) f(x 0 ) 2 R n f(x 0 ) f(x 0 ) 2 = f(x 0 ) 2 Für jeden beliebigen Vektor v R n mit v 2 = gilt nun: D v f(x 0 ) = f(x 0 ) v C-S-Ungleichung f(x 0 ) 2 D.h. die Richtung des steilsten Anstiegs von f in x 0 ist in Richtung des Grdienten f(x 0 ). Anlog knn mn zeigen, dss die Richtung des steilsten Abstiegs gegeben ist durch f(x 0 ). 75

76 7.. Aus stetiger prtieller Differenzierbrkeit folgt totle Differenzierbrkeit Erinnerung: Die Existenz ller prtiellen Ableitungen in einem Punkt x 0 U grntiert noch nicht die (totle) Differenzierbrkeit von f in x 0. Aber es gilt Stz Sei f : U R n R m, x 0 U. Dnn sind gilt: i) Ist f in x 0 stetig differenzierbr, dnn ist f in x 0 stetig prtiell differenzierbr. ii) Ist f in x 0 stetig prtiell differenzierbr, dnn ist f in x 0 totl differenzierbr. Beweis. i) folgt leicht mit Stz 7..8: Existiert f x... f =..... f m x... f x n f m x n in einer Umgebung von x 0, dnn existieren die Komponentenfunktionen in einer Umgebung von x 0. Ist die Ableitung dnn in x 0 stetig, dnn sind uch die Komponentenfunktionen in x 0 stetig. ii) Bemerke zunächst, dss f = (f,..., f m ) stetig differenzierbr in x 0 genu dnn, wenn f i stetig differenzierbr in x 0 für jedes i =,..., m. O.B.d.A. sei m =, lso f : R n R stetig prtiell differenzierbr in x 0. Für h = h j e j mit h j R für j =,..., n genügend klein ist n f(x 0 + h) f(x 0 ) = f x 0 + h j e j f x 0 + h j e j j= j= n n 2 + f x 0 + h j e j f x 0 + h j e j +... j= + f(x 0 + h e ) f(x 0 ) j= MWS = f (ξ n )h n + f (ξ n )h n f (ξ )h x n x n x für Stellen ξ,..., x n mit ξ j zwischen x j 0 und xj 0 +h j. Dbei wurde benutzt, dss die prtiellen Ableitungen in einer Umgebung von x 0 existieren. Also gilt f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(ξ) h wobei ξ := (ξ,..., ξ n ). Dmit folgt f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 ) h = f(ξ) h f(x 0 )h = ( f(ξ) f(x 0 )) h C-S f(ξ) f(x 0 ) 2 h 2 76

77 d.h. d f x j f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 ) h h 2 f(ξ) f(x 0 ) 2 h 0 0 stetig in x 0 für jedes k =,..., n und ξ = (ξ,..., ξ n ) x 0, d ξ k zwischen x k 0 und x k 0 + h k liegt. D.h. ber gerde, dss f in x 0 totl differenzierbr ist. Insbesondere gilt ds leichter einprägsme Korollr. f ist uf U stetig differenzierbr f ist uf U stetig prtiell differenzierbr. Bemerkung. Aus der Ungleichung f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 ) h f(ξ) f(x 0 ) 2 h 2 us dem obigen Beweis lässt sich zusätzlich folgendes Resultt blesen: Korollr. Ist f : U R n R m prtiell differenzierbr in einer Umgebung von x 0 U und sind die prtiellen Ableitungen von f beschränkt uf dieser Umgebung, dnn ist f stetig in x Ableitungsregeln und Mittelwertsätze Seien weiterhin (X, X ), (Y, Y ) Bnchräume und U eine offene, nicht-leere Teilmenge des jeweils ngegebenen Bnchrums Differenzieren ist liner Stz Seien f, g : U X Y in x 0 U differenzierbr, λ, µ R. Dnn ist uch λf + µg : U X Y differenzierbr in x 0 und es gilt (λf + µg) (x 0 ) = λf (x 0 ) + µg (x 0 ) Mit nderen Worten: Differenzieren ist eine linere Opertion. Insbesondere ist C (U, Y ) ein Untervektorrum von C(U, Y ). Beweis. Nch Vorussetzung gilt für lle x U f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + r f (x) x x 0 X g(x) = g(x 0 ) + g (x 0 ) (x x 0 ) + r g (x) x x 0 X wobei lim x x0 r f (x) = lim x x0 r g (x) = 0 gilt. Drus folgt L(X,Y ) {}}{ λf(x) + µg(x) = (λf(x 0 ) + µg(x 0 )) + (λf (x 0 ) + µg (x 0 )) (x x 0 ) + (λr f (x) + µr g (x)) x x 0 }{{} X =:r(x) und lim x x0 r(x) = 0, womit folgt: λf + µg ist differenzierbr in x 0 mit der Ableitung (λf + µg) (x 0 ) = λf (x 0 ) + µg (x 0 ) 77

78 7.2.2 Kettenregel Stz Sei (Z, Z ) ein weiterer Bnchrum, = V Y offen. Sei f : U X Y differenzierbr in x 0 U und g : V Y Z differenzierbr in f(x 0 ) und es gilt f(u) V. Dnn ist g f : U Z differenzierbr in x 0 und es gilt (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) }{{}}{{} L(Y,Z) L(X,Y ) Beweis. Es ist g (f(x 0 )) f (x 0 ) L(X, Z). Weiter ist nch Vorussetzung f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + r f (x) x x 0 X x U mit lim x x0 r f (x) = 0, und g(y) = g(f(x 0 )) + g (f(x 0 ))(y f(x 0 )) + r g (y) y f(x 0 ) Y y V mit lim y f(x0) r g (y) = 0. Setzt mn r(x) := g (f(x 0 ))r f (x)+r g (f(x)) f (x 0 ) (x x 0) + r f (x) x x 0 x U \{x 0 } X Y so erhält mn durch Einsetzen von y = f(x) in die Drstellung von g: g(f(x)) = g(f(x 0 )) + g (f(x 0 ))f (x 0 )(x x 0 ) + r(x) x x 0 X x U Es ist klr, dss lim x x0 r(x) = 0: r(x) = g (f(x 0 ))r f (x) + r g (f(x)) f (x 0 ) (x x 0) + r f (x) }{{}}{{} x x 0 X }{{} 0 0 }{{} 0 beschränkt D.h. ber gerde, dss g f im Punkte x 0 differenzierbr ist mit (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ) Y Bemerkung. Flls X = R n, Y = R m, Z = R l, dnn ergibt sich die Kettenregel in Koordintendrstellung und die Jcobimtrix von g f ls Produkt der Jcobimtrizen von g und f: (g f) (x 0 ) = ( m i= g j y i (f(x 0 )) f i x k ) j=,...,l k=,...,n Produktregel, Ableitung bilinerer Funktionen Für reellwertige Funktionen gilt uch eine Produktregel: Stz Seien f, g : U X R in x 0 U differenzierbr. dnn ist uch f g : U X R differenzierbr und es gilt (f g) (x 0 ) = g(x 0 ) f (x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ) 78

79 Der Stz ist ein Spezilfll des Stzes über Ableitung bilinerer Funktionen Stz. Seien (X, X ), (Y, Y ), (Z, Z ) Bnchräume, X, Y nur von endlicher Dimension. Sei β : X Y Z eine bilinere Abbildung, (x 0, y 0 ) X Y, so ist β in (x 0, y 0 ) differenzierbr mit β (x 0, y 0 )(, 2 ) = β(x 0, 2 ) + β(, y 0 ) Beweis. O.B.d.A. knn mn nnehmen: X = R n und Y = R m. Zeige zunächst, dss ein c R existiert, sodss β(x, y) Z c (x, y) 2 (x, y) X Y bezüglich einer Norm uf X Y. Es ist X Y = R n+m ein endlich-dimensionler Bnchrum, und d uf solchen lle Normen äquivlent sind, können wir uns ein spezielle Normen uf X Y wählen. Sei (x, y) = ( λ i e i, µ i e i ), wobei e i die knonischen Bsisvektoren seien. Dnn ist : X Y R definiert durch ( n ) m (x, y) = λ i e i, µ i e i := mx { λ,..., λ n, µ,..., µ m } i= i= eine Norm (klr, mn knn sie ls Supremumsnorm uf R n+m uffssen). Dmit gilt ( n ) β(x, y) Z = β m m λ i e i, µ i e i = λ i µ j β (e i e i ) Z i= i= j= i= j= i= m λ i µ j β (e i e i ) Z i= j= m (mx { λ,..., λ n, µ,..., µ m }) 2 β (e i e i ) Z m β (e i e i ) Z (x, y) 2 i= j= } {{ } =const Nun ist für festes (x 0, y 0 ) X Y und (h, h 2 ) X Y β(x 0 + h, y 0 + h 2 ) = β(x 0, y 0 ) + β(x 0, h 2 ) + β(h, y 0 ) + β(h, h 2 ) Wie mn leicht einsieht, ist β : X Y Z definiert durch liner. Außerdem gilt β(h, h 2 ) Z (h, h 2 ) β(h, h 2 ) := β(h, y 0 ) + β(x 0, h 2 ) c (h, h 2 ) 2 (h, h 2 ) Z = c (h, h 2 ) (h,h2) 0 0 Dmit ist gezeigt, dss β in (x 0, y 0 ) differenzierbr ist mit β (x 0, y 0 ) = β 79

80 7.2.4 Spezieller Schrnkenstz Erinnerung: Flls f : [, b] R stetig und f uf ], b[ differenzierbr ist, dnn existiert ein ξ ], b[ mit f(b) f() = f (ξ) (b ). Für differenzierbre Funktionen f : [, b] Y, wobei (Y, Y ) ein Bnchrum ist, gilt ein nloges Resultt nicht (uch für keinen endlich-dimensionlen Rum Y ), wie wir weiter unten sehen werden. Aber us dem Mittelwertstz der reellen Anlysis folgt f(b) f() sup f (ξ) (b ) ξ ],b[ Dieser Schrnkenstz lässt sich uch für vektorwertige Funktionen beweisen Stz Sei f C([, b], Y ), f differenzierbr uf ], b[. Dnn gilt Beweis. O.B.d.A. knn mn f(b) f() Y sup f (t) L(R,Y ) (b ) t ],b[ M := sup f (t) L(R,Y ) < t ],b[ nnehmen (nsonsten ist nichts zu zeigen). Sei nun ɛ > 0 (so klein, dss + ɛ < b). Wir zeigen f(b) f( + ɛ) M (b ɛ) Angenommen, dies gilt, dnn folgt für ɛ 0 wegen der Stetigkeit von f die Behuptung. Definiere S := {x [, b] f(x) f( + ɛ) Y M(x ɛ)} Dnn gilt S, denn + ɛ S. D f stetig ist, ist S uch bgeschlossen. Folglich existiert s := mx S [ + ɛ, b] Ist s = b, so folgt die obige Ungleichung. Angenommen es gelte s < b. D f uf ], b[, lso wegen < s insbesondere in s differenzierbr ist, gilt f(x) f(s) x s x s f (s) D f (s) M, existiert ein δ > 0 mit s + δ b, sodss Für ein solches x ]s, s + δ[ gilt f(x) f(s) M(x s) x ]s, s + δ[ f(x) f( + ɛ) f(x) f(s) + f(s) f( + ɛ) M(x s) + M(s ɛ) = M(x ɛ) ws der Mximlität von s widerspricht. Also muss doch s = b sein. 80

81 7.2.5 Allgemeiner Schrnkenstz Nun folgt leicht der llgemeine Schrnkenstz Stz Sei f : U X Y differenzierbr. Sind x, y U, sodss uch die gesmte Verbindungsstrecke zwischen x und y noch in U liegt, d.h. dnn gilt Beweis. Definiere [[x, y]] := {x + t (y x) t [0, ]} U f(x) f(y) Y sup f (x + t(y x)) L(X,Y ) x y X t ]0,[ ϕ : [0, ] X t x + t(y x) D [[x, y]] U gilt ttsächlich ϕ([0, ]) U. Die dmit wohldefinierte Komposition f ϕ der differenzierbren Abbildungen ϕ und f ist stetig uf [0, ] und nch Kettenregel differenzierbr mit (f ϕ) (t) = f (x + t(y x))(y x) t [0, ] Somit folgt nch Stz (f ϕ) () (f ϕ) (0) Y sup (f ϕ) (t) L(R,Y ) ( 0) t ]0,[ lso wie gewünscht = sup f (x + t(y x))(y x) L(R,Y ) t ]0,[ sup f (x + t(y x)) L(X,Y ) y x X t ]0,[ f(y) f(x) Y sup f (x + t(y x)) L(X,Y ) y x X t ]0,[ Hier nschließend folgt nun ein Gegenbeispiel für die llgemeine Ungültigkeit des Mittelwertstzes. Betrchte f : R 2 R 2 (x, y) (x 2, y 3 ) Es seien (x, y) = (0, 0) und (ˆx, ŷ) = (, ). Zeige, dss es kein ξ [[(x, y), (ˆx, ŷ)]] gibt, mit (, ) (0, 0) = Df(ξ)((, ) (0, 0)) Es gilt Dmit ist Df(u, u)(, ) = Df(u, u) = ( ) 2u 0 0 3u 2 ( ) 2u 0 0 3u 2 ( ) = u R ( ) 2u 3u 2 ( ) u R 8

82 7.2.6 Konvexe Mengen Bemerkung. Eine Teilmenge U X mit [[x, y]] U für lle x, y U heißt konvex. Mit diesem Begriff lssen sich nun folgende Korollre formulieren: Korollr Seien (X, X ), (Y, Y ) wie immer Bnchräume, U eine offene, konvexe Teilmenge von X, f : U Y differenzierbr. Dnn gilt f(x) f(y) Y sup f (t) L(X,Y ) x y X t U } {{ } =:M x, y U Im Flle M < ist f lipschitz-stetig mit Konstnte M. Korollr Sei U X offen, f : U Y differenzierbr. Dnn gilt f konstnt f (x) = 0 x U Mittelwertstz in Integrlform Im Spezilfll Y = R gilt folgender Mittelwertstz, Stz Sei U X offen, f : U R stetig differenzierbr. Dnn ist für x, y U mit [[x, y]] U f(y) f(x) = 0 f (x + t(y x))(y x) dt Beweis. Seien x, y U mit [[x, y]] U fest. Definiere ϕ : [0, ] R ϕ(t) = f(x + t(y x)) ϕ ist wegen x + t(y x) U für lle t U wohldefiniert und ls Komposition stetig differenzierbrer Funktionen stetig differenzierbr. Nch dem Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung (Stz 5.2.) folgt die Behuptung: ϕ() ϕ(0) = f(y) f(x) = 0 0 ϕ (t) dt d f(x + t(y x)) dt = dt 0 f (x + t(y x))(y x) dt Integrlrechnung mit vektorwertigen Funktionen Um dieses Resultt uf vektorwertige Funktionen zu übertrgen, benötigt mn den Begriff des Riemnn-Integrls für Funktionen f : [, b] Y, die ihre Werte 82

83 in Bnchräumen oder llgemeiner in normierten Vektorräumen nnehmen. Dies wollen wir kurz tun: Für jede Zerlegung Z = { = t 0, t,..., t n = b} von [, b] und jeden Zwischenvektor ξ = (ξ,..., ξ n ) erklärt mn die Riemnn sche Summe σ(z, ξ, f) = (t k t k ) f(ξ k ) k= Eine Riemnn sche Summenfolge ist eine Folge von Riemnn schen Summen σ(z n, ξn, k f) mit (Z n ) n N Zerlegungsnullfolge und (ξk n) n N beliebige zugehörige Zwischenvektorenfolge. Strebt nun jede Riemnn sche Summenfolge gegen einen - und dmit notwendigerweise ein- und denselben - Grenzwert in Y, so nennt mn f Riemnnintegrierbr uf [, b], und den Grenzwert der Riemnn-Folge bezeichnet mn mit Wie im Reellen definiert mn f(t) dt = f(t) dt ( Y ) b f(t), und wie im Reellen gelten uch folgende Sätze f(t) dt = 0. Cuchy sches Integrbilitätskriterium (nur wenn Y ein Bnchrum ist): Stz. f : [, b] Y ist Riemnn-integrierbr uf [, b] ( ) Y ɛ > 0 δ > 0 : σ(z, ξ, f) σ Z, ξ, f < ɛ für lle Zerlegungen Z, Z, für die Z, Z < δ gilt. 2. Jede stetige Funktion f : [, b] Y ist Riemnn-integrierbr. 3. Es gilt die Dreiecksungleichung f(t) dt Y f(t) Y und dmit insbesondere f(t) dt sup f(t) Y (b ) t [,b] Y 4. Für lle p, p 2, p 3 [, b] ist p 2 p f(t) dt + p 3 p 2 f(t) dt = p 3 p f(t) dt 83

84 5. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung für Bnchrum-wertige Funktionen: Stz. Wenn f : [, b] Y stetig ist, F : [, b] Y definiert durch F (x) = x f(t) dt x [, b] Dnn ist F stetig differenzierbr und es gilt F (x) = f(x) für lle x [, b]. Beweis. Es ist für x, x + h [, b] F (x + h) F (x) = x+h x f(t) dt F (x + h) = F (x) + f(x)h + x+h x (f(t) f(x)) dt } {{ } =: r(x+h) D folgt mit dss r(x + h) Y h mx f(t) f(x) Y t [x,x+h] r(x + h) := { r(x+h) h, h 0, 0, h = 0 F (x + h) = F (x) + f(x)h + r(x + h) h x, x + h [, b] und wegen der Stetigkeit von f: lim h 0 r(x + h) = 0. Dmit ist gezeigt, dss F in llen Punkten x [, b] differenzierbr ist mit F = f. Bechten wir weiter, dss für eine stetige Funktion A : [, b] t A(t) L(X, Y ), wobei (X, x ), (Y, Y ) Bnchräume sind, gilt A(t)h dt = A(t) dt h h X Dies folgt us der entsprechenden Beziehung der zugehörigen Riemnn-Summen ( n ) (t k t k ) A(ξ k )h = (t k t k ) A(ξ k ) h k= k= 84

85 7.2.9 Allgemeiner Mittelwertstz in Integrlform Nun können wir den llgemeinen Mittelwertstz in Integrlform formulieren. Stz Sei f : U X Y stetig differenzierbr, x, y U mit [[x, y]] U. Dnn gilt f(y) f(x) = 0 f (x + t(y x)) dt(y x) Beweis. Anlog wie im reellwertigen Fll definieren wir die Hilfsfunktion ϕ : [, b] X ϕ(t) = f(x + t(y x)) t [, b] ϕ ist stetig differenzierbr und mit dem Huptstz der Differenzil- und Integrlrechung für vektorwertige Funktionen folgt ϕ() ϕ(0) = ϕ (t) dt 0 f(y) f(x) = f (x + t(y x)) dt(y x) Höhere Ableitungen und Tylor sche Formel Seien weiterhin (X, X ), (Y, Y ) Bnchräume und U offene Teilmenge des jeweils ngegebenen Rumes Höhere Ableitungen Sei f : U X Y differenzierbr, dnn ist es möglich, dss die Ableitung f : U L(X, Y ) wieder in einem Punkt x 0 U respektive uf gnz U differenzierbr ist. Definition. Die Ableitung (f ) (x 0 ) =: f (x 0 ) heißt dnn entsprechend 2. Ableitung von f in x 0, respektive heißt die Abbildung f : U L(X, L(X, Y )) x (f ) (x 0 ) (flls existent) die 2. Ableitung von f uf U. f heißt in diesem Fll 2-ml differenzierbr in x 0 respektive uf U (und 2-ml stetig differenzierbr uf U, wenn f stetig ist). Nun ist klr, wie mn induktiv die k-te Ableitung und k-fche (stetige) Differenzierbrkeit definieren knn. Die k-te Ableitung ht die Signtur f (k) : U L(X, (X,..., L(X, Y ))...) }{{} k-ml 85

86 Ds Problem ist: Die Räume werden immer komplizierter. Die linere Algebr schfft hier Abhilfe; es gilt nämlich L(X, L(X, Y )) = L(X X, Y ) wobei eine stetige linere Abbildung A L(X, L(X, Y )) der stetigen bilineren Abbildung X X (x, x) (Ax) x entspricht und umgekehrt. Iteriert mn dieses Verfhren, so erhält mn L(X, (X,..., L(X, Y ))...) = L(X X... X, Y ) }{{} stetige multilinere Abbildungen Mehrfche prtielle Ableitungen Bevor wir diese llgemeine Sitution betrchten, wenden wir uns zunächst einml dem einfchen Fll von reellwertigen Funktionen f : U R n R zu und studieren mehrfche prtielle Differenzierbrkeit: Definition. Besitzt eine solche Funktion f prtielle Ableitungen f x,..., f x n, so können diese wieder prtiell differenzierbr sein. In diesem Fll bezeichnet mn die Funktionen ( ) f 2 =: f =: f xix x i x j x i x j i, j {,..., n} j ls prtielle Ableitungen 2. Ordnung von f. Dmit ist klr, wie mn induktiv prtielle Ableitungen k-ter Ordnung definieren knn. Nottion: f xik x ik...x i oder usführlich x ik x ik... x i Beispiel x i f =:... f =: x i x i k x ik x ik... x i f i,..., i k {,..., n} k x k i f i {,..., n} f : R 2 R (x, y) x 2 sin(y) besitzt prtielle Ableitungen beliebig hoher Ordnung, insbesondere ist x f(x, y) = f x(x, y) = 2x sin(y) x, y R 2 y f(x, y) = f y(x, y) = x 2 cos(y) x, y R 2 y x f(x, y) = f yx(x, y) = (2x sin(y)) = 2x cos(y) y x, y R2 x y f(x, y) = f xy(x, y) = x (x2 cos(y)) = 2x cos(y) x, y R 2 86

87 d.h. in diesem Fll gilt f xy = f yx, die gemischten Ableitungen stimmen überein. Dies gilt im Allgemeinen so nicht, betrchte zum Beispiel f : R 2 R {xy x2 y 2 (x, y) x 2 +y, (x, y) (0, 0) 2 0, (x, y) = (0, 0) f ist stetig differenzierbr uf R 2, f xy und f yx existieren uf R 2 und sind stetig in R 2 \ {(0, 0)}, ber es ist f xy (0, 0) = und f yx (0, 0) =. Es ist uch möglich, dss nur eine der beiden gemischten prtiellen Ableitungen 2. Ordnung existiert Stz von Schwrz Solche Situtionen treten nicht uf, wenn die gemischte prtielle Ableitung 2. Ordnung zusätzlich noch im betrchteten Punkt stetig ist. Ds ist die Aussge des Stz Sei f : U R n R. Für eine gewisse Whl von i, j {,..., n} mögen die prtiellen Ableitungen f x i, f x j und 2 f x i x j in einer Umgebung V eines Punktes x 0 existieren. Wenn 2 x i x j f in x 0 stetig ist, dnn existiert uch die gemischte prtielle Ableitung 2 x j x i f in x 0 und es gilt Beweis. Wir wollen zeigen, dss 2 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) x i x j x j x i 2 x j x i f(x 0 ) = lim t 0 f x i (x 0 + t e j ) f x i (x 0 ) t existiert und = 2 x i x j f(x 0 ) ist. Es ist zumindest [ (... = lim t 0 t lim f(x0 + se i + te j ) f(x 0 + te j ) f(x )] 0 + se i ) f(x 0 ) s 0 s s Definieren wir für genügend kleine t R Φ(t) := f(x 0 + se i + te j ) f(x 0 + te j ) dnn ist Φ wohldefiniert und differenzierbr, d f prtiell in einer Umgebung von x 0 nch der j-ten Koordinte differenzierbr ist. Nch dem Mittelwertstz der reellen Anlysis ergibt sich für ein ξ ], [ Φ(t) Φ(0) = Φ (ξt)t ( f = (x 0 + se i + ξte j ) f ) (x 0 + ξte j ) t x j x j 87

88 Dmit ergibt sich 2 x j x i f(x 0 ) = lim lim t 0 s 0 Wir betrchten nun die Funktion f x j (x 0 + se i + ξte j ) f x j (x 0 + ξte j ) ψ(s) = f x j (x 0 + se i + ξte j ) f x j (x 0 + ξte j ) Diese ist für genügend kleine s wohldefiniert und uch differenzierbr, d 2 x i x j f einer Umgebung von x 0 existiert. Somit folgt wieder us dem Mittelwertstz ψ(s) ψ(0) = ψ (ηs)s = für ein η ], [ und es folgt 2 x j x i f(x 0 ) = lim lim t 0 s 0 d 2 x i x j f in x 0 stetig ist. s 2 f x i x j (x 0 + ηse i + ξte j ) 2 f (x 0 + ηse i + ξte x i x j }{{} j ) = 2 f(x 0 ) }{{} x i x j 0 0 Korollr Sei q N, q 2. Wenn f : U R n R q-ml stetig prtiell differenzierbr ( q-ml (totl) differenzierbr uf U) ist, dnn gilt für k q. k x ik x ik... x i f = für jede Permuttion π : {,..., k} {,..., k} Hesse-Mtrix Sei nun f : U R n R differenzierbr, sodss k f x iπ(k) x iπ(k )... x iπ() f : U L(R n, R) = R n x f (x) bezüglich der knonischen Bsis im R m drgestellt durch ( f f(x) = (x),..., f ) (x) x n stetig differnzierbr ist, d.h. f C 2 (U) = C 2 (U, R). dnn ist f = (f ) : U L(R n, L(R n, R)) = L(R n, R n ) 88

89 und f knn mit einer n n-mtrix identifiziert werden. Bezüglich der knonischen Bsis im R n ht diese die Form ( ) ( ) x x f (x 0 )... x n x f (x 0 ) J f (x 0 ) =.... (. ) ( ) x x n f (x 0 )... x n x n f (x 0 ) 2 f(x x 2 0 )... 2 x nx f(x 0 ) = x x n f(x 0 )... 2 x nx n f(x 0 ) Diese Mtrix heißt Hesse Mtrix von f in x 0, bezeichnet mit Hessf(x) oder H f (x). Nch dem Stz von Schwrz ist diese symmetrisch. Wir wollen nun f (x 0 ) ls symmetrische Bilinerform uffssen: f (x 0 ) : R n R n R (u, v) f (x 0 )(u, v) wobei i= u f (x 0 )(u, v) = (f (x 0 )u) v = Hessf(x 0 ). u n 2 x i x f(x 0 )u i i= v = v x i x n f(x 0 )u n i = i,j= 2 x i x j f(x 0 )u i v j = u T Hessf(x 0 )v = v T Hessf(x 0 )u = D u D v f(x 0 ) = D v D u f(x 0 ) v. v n Multiindizes Anlog knn mn für f C k (U) die k-te Ableitung ls k-linere Abbildung uffssen: f (k) (x 0 ) = D k f(x 0 ) : R n R n... R n R (v,..., v n ) D v... D vn f(x 0 ) Nützlich ist nun für höhere Ableitungen folgende Nottion: 89

90 Für α = (α,..., α n ) N n 0 (ein sogennnter Multiindex) setzt mn α := α! := α i = α α n i= n α i! = α!... α n! i= und für x = (x,..., x n ) R n, f : R n R x α := x α... xαn n D α f := D α... Dαn n f = α... x α αn x αn n f = Differentilopertoren, Lplce-Opertor x α α... f xαn n Mn knn nun bequem sogennnte linere Differentilopertoren definieren. Zunächst knn mn mit Hilfe der Multiindizes Polynome in n Vriblen drstellen. Ein Polynom p in n Vriblen ξ,..., ξ n vom Grd m N 0 ht die Form p(ξ,..., ξ n ) = α ξ α... ξn αn α m Ersetzt mn nun in einem solchen Polynom die Vriblen ξ i durch prtielle Ableitungsopertoren x i, so erhält mn einen lineren Differentilopertor genuer p(d) = α m p(d) : C m (U) C(U) f Zum Beispiel erzeugt ds Polynom den Differentilopertor α αn α... x α x αn n α m α α... x α p(ξ,..., ξ n ) = ξ ξ 2 n = den sogennnten Lplce-Opertor. 2 x 2 i= i αn x αn n Eindimensionle Tylor-Formel mit Integrlrestglied Stz. Für f C m (I), wobei I ein Intervll, gilt f m f (k) (x 0 )h k f(x 0 + h) = k! k=0 + 0 ( t) m (m )! ( ) f (m) (x 0 + th) f (m) (x 0 ) h m dt 90

91 Beweis. durch vollständige Induktion: Für m = gilt f (k) (x 0 )h k k=0 k! + = f(x 0 ) + f (x 0 )h ( t) ( )! = f(x 0 ) + f (x 0 )h f (x 0 )h + ( ) f () (x 0 + th) f () (x 0 ) h dt (f (x 0 + th) f (x 0 )) h dt 0 f (x 0 + th)h dt = f(x 0 ) + [f(x 0 + th)] 0 = f(x 0) + f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) Induktionsschritt (m ) m: =:Σ {}}{ m f (k) (x 0 )h k k=0 k! + = Σ f (m) (x 0 )h m 0 0 ( t) m (m )! ( t) m (m )! ( ) f (m) (x 0 + th) f (m) (x 0 ) h m dt dt + 0 ( t) m f (m) (x 0 + th)h m dt (m )! [ ] [ ] = Σ f (m) (x 0 )h m ( t)m ( t) m + f (m ) (x 0 + th)h m m! 0 (m )! 0 = = = 0 ( t)m 2 f (m ) (x 0 + th)h m dt (m 2)! m f (k) (x 0 )h k k=0 + 0 m k=0 + 0 m k=0 k! f (m) (x 0 )h m m! ( t) m 2 f (m ) (x 0 + th)h m dt (m 2)! f (k) (x 0 )h k k! 0 f (m ) (x 0 )h m (m )! ( t) m 2 f (m ) (x 0 )h m dt (m 2)! ( t) m 2 f (m ) (x 0 + th)h m dt (m 2)! f (k) (x 0 )h k IV = f(x0 + h) k! + 0 ( t) m 2 (m 2)! ( ) f (m ) (x 0 + th) f (m ) (x 0 ) h m dt 9

92 7.3.9 Mehrdimensionler Stz von Tylor Stz Seien f C m+ (U), U offene Teilmenge des R n, x 0, x 0 + h U sodss [[x 0, x 0 + h]] U. Dnn existiert ein θ ]0, [ mit Beweis. f(x 0 + h) = α m D α f(x 0 )h α + α!. Schritt: Definiere die Hilfsfunktion g : [0, ] R α =m+ t f(x 0 + th) D α f(x 0 + θh) h α α! Diese ist nch der Kettenregel (m + )-ml stetig differenzierbr und es gilt d k dt k g(t) = n i,...,i k = Beweis durch Induktion Für k = gilt:... f(x 0 + th)h i... h ik k =,..., m + x ik x i g (t) = f(x 0 + th) h = i= i,...,i k = i= x i f(x 0 + th) h i Induktionsschritt k k + : g (k+) (t) = d ( ) g (k) (t) dt IV d =... f(x 0 + th)h i... h ik dt x i,...,i k = ik x i =... f(x 0 + th)h i... h ik h i x i x ik x i i=i k+ = n x i,...,i k,i k+ = ik+ x ik... x i f(x 0 + th)h i... h ik h ik+ 2. Schritt: Kommt unter den Indizes i,..., i k die α -ml vor, die 2 α 2 -ml vor,..., n α n -ml vor, so ist... f = x ik x i x α α... f = xαn n x α k... f xαn n Mit Hilfe eines kombintorischen Arguments überprüft mn, dss es unter k! den k-tupeln (i,..., i k ), wobei i,..., i k n, genu α... α n = k! α! viele gibt, bei denen die Zhl r {,..., n} genu α r -ml vorkommt. Also ist g (k) (t) = k! α! Dα f(x 0 + th)h α α =k 92

93 3. Schritt: Nch dem Stz von Tylor us Anlysis I existiert ein θ ]0, [ mit m g (k) (0) g() = + g(m+) (θ) k! (m + )! lso f(x 0 + h) = m k=0 α =k = α m k=0 D α f(x 0 ) α! D α f(x 0 ) α! h α + h α + α =m+ α =m+ D α f(x 0 + θh)h α α! D α f(x 0 + θh)h α α! Mehrdimensionler Stz von Tylor mit Integrlrestglied Gnz ähnlich beweist mn nun Stz Seien f C m (U), U offene Teilmenge des R n, x 0, x 0 + h U, sodss [[x 0, x 0 + h]] U. Dnn gilt f(x 0 +h) = α m D α f(x 0 )h α α! + 0 ( t) m (m )! α =m (D α f(x 0 + h) D α f(x 0 )) h α dt Beweis. Der. und 2. Schritt verlufen wie im Beweis zuvor nur mit m n Stelle von m +. Im 3. Schritt wendet mn dnn den Stz von Tylor mit Integrldrstellung uf g n: g() = m k=0 g (k) (0) k! + 0 ( t) m (m )! Die Formel für g (k) eingesetzt ergibt die Behuptung. ( ) g (m) (t) g (m) (0) dt Korollr Seien f C m (U), U offene Teilmenge des R n, x 0 U, δ > 0 mit B δ (x 0 ) U. Dnn gilt für lle h R n, h < δ f(x 0 + h) = D α f(x 0 ) h α + r(h) α! mit einem Rest r(h) für den gilt α m r(h) lim = 0 = r(0) h 0 h Beweis. Nch dem Stz von Tylor, Stz 7.3.3, existiert zu jedem h R n, h < δ, ein θ ]0, [ mit f(x 0 + h) = D α f(x 0 )h α + D α f(x 0 + θh)h α α! α! α m = α m α =m D α f(x 0 )h α + (D α f(x 0 + θh) D α f(x 0 )) h α α! α! α =m }{{} =:r(h) 93

94 Für α = m ist h α h m = hα... hαn n h α... h αn D lle Normen uf R n äquivlent sind, knn mn von = usgehen, lso ist h αi = h αi 2 h i αi i =,..., n h Zusmmen ergibt ds: α h. Es folgt m weil f C m (U). Spezilfälle: r(h) h m α =m α =m D α f(x 0 + θh) D α f(x 0 ) α! D α f(x 0 + θh) D α f(x 0 ) α! h α h m h 0 0. m = 0: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + r(h) mit r(h) 0 = r(0), drus folgt gerde die Stetigkeit von f in x m = : f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f(x 0 )h + r(h) mit r(h) h ls in x 0 differenzierbr us. 0; ds zeichnet f 3. m = 2: f(x 0 +h) = f(x 0 )+ f(x 0 )h+ 2 Hessf(x 0)h h+r(h) mit r(h) h 2 0. Es gibt zwei Typen von α-tupeln mit α = 2: α = (2, 0,..., 0), (0, 2, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 2), d.h. α = 2e i für ein i =,..., n und α! = 2 und α = (,, 0,..., 0), (, 0,, 0,..., 0),..., d.h. α = e i + e j für i < j n, lso α! = Allgemeine Tylor-Formel Bemerkung. Für f C m+ (U), U offene Teilmenge des R n, [[x 0, x 0 + h]] U, knn die Tylor-Formel uch äquivlent geschrieben werden ls f(x 0 + h) = k-tupel m+-tupel {}}{{}}{ m f (k) (x 0 ) (h,..., h) + f (m+) (x 0 + θh) (h,..., h) k! (m + )! k=0 oder lterntiv für f C m (U) mit dem Integrlrestglied f(x 0 + h) = + denn es gilt 0 f (k) (x 0 )(h,..., h) k! ( t) m (m )! = ( f (m) (x 0 + th) f (m) (x 0 ) ((... ( f (k) (x 0 )h )... h ) h )! = α =k k! D α f(x 0 )h α α! ) m-tupel {}}{ (h,..., h) dt = D h... D h f(x 0 ) k! 94

95 Beweis. der letzten Gleichung durch Induktion k = : f () (x 0 )h! k k + : = D h f(x 0 ) = f(x 0 )h = f (k+) (x 0 )(h,..., h) (k + )! i= f(x 0 )h i = x i α = D α f(x 0 )h α = D h [D h... D h f(x 0 )] (k + ) k! IV = k + D h α! Dα f(x 0 )h α α =k = k + α! Dα f( )h α h α =k x=x0 = k + x i α! Dα f(x 0 )h α h i i= α =k Wie beim Beweis der Tylor-Formel schon bemerkt, knn mn die innere Summe unter Anpssung des Vorfktors wie folgt uflösen... = x ik... x i f(x 0 )h i... h ik h i k + x i k! = i= i,...,i k,i k+ = = α =k+ x ik+ D α f(x 0 )h α α! i,...,i k = x ik... x i f(x 0 )h i... h ik h ik+ (k + )! In der obigen Form mcht die Tylor-Formel Sinn für llgemeine vektorwertige Funktionen in Bnchräumen. Ohne Beweis folgender Stz Sei U X, f C m+ (U, Y ). Dnn gilt für lle x 0, x 0 + h U mit [[x 0, x 0 + h]] U θ [0, ] : f(x 0 + h) = m k=0 f (k) (x 0 )(h,..., h) k! + f (m+) (x 0 + θh)(h,..., h) (m + )! Bemerkung. Eine nloge Formel gilt mit der entsprechenden Integrldrstellung des Restglieds für f C m (U, Y ). 7.4 Lokle Extrem reellwertiger Funktionen Sei im folgenden Abschnitt U R n offen und stets f : U R. 95

96 7.4. Lokle Extrem Definition f ht in einen Punkt x 0 U ein lokles Mximum (respektive lokles Minimum), wenn es eine Umgebung V von x 0 gibt, sodss Ist sogr f(x 0 ) f(x) x V (respektive f(x 0 ) f(x) x V ) f(x 0 ) > f(x) x V \ {x 0 } (respektive f(x 0 ) < f(x) x V \ {x 0 } ) so ht f in x 0 ein isoliertes (strenges/striktes) lokles Mximum (respektive Minimum). f ht in x 0 ein (isoliertes) lokles Extremum, wenn f in x 0 ein (isoliertes) lokles Mximum oder ein (isoliertes) lokles Minimum besitzt Notwendiges Kriterium Stz und Definition Sei f prtiell differenzierbr. Wenn f in x 0 U ein lokles Extremum ht, dnn ist notwendig f(x 0 ) = 0, d.h. x i f(x 0 ) = 0 für jedes i =,..., n. Ein Punkt x 0 U mit f(x 0 ) = 0 heißt kritischer Punkt von f. Beweis. O.B.d.A. besitze f in x 0 ein lokles Mximum, d.h. es existiert ein ɛ > 0, sodss f(x 0 ) f(x) x B ɛ (x 0 ) Betrchte nun, für i =,..., n, die Funktionen ] ɛ, ɛ[ t g i (t) = f(x 0 + te i ) Nch Vorussetzung besitzt g i in t = 0 ein lokles Mximum und ist differenzierbr, d f prtiell differenzierbr ist. Aus der Anlysis I ist beknnt, dss dnn folgt g i (0) = 0. D.h. ber gerde 0 = g i(0) g i (t) g i (0) f(x 0 + te i ) f(x 0 ) = lim = lim = f (x 0 ) t 0 t t 0 t x i für jedes i =,..., n, lso f(x 0 ) = Erinnerung: Hinreichendes Kriterium im Eindimensionlen Für 2-ml differenzierbre Funktionen f einer reellen Vrible ist ein hinreichendes Kriterium für ds Vorliegen eines Extremums in x 0 : f (x 0 ) 0. Genuer: ist f (x 0 ) > 0, so liegt ein lokles Minimum vor, ist f (x 0 ) < 0, so liegt ein lokles Mximum vor. Für f C 2 (U), wobei nun U R n, erhält mn ein hinreichendes Kriterium für ds Vorliegen eines Extremums mit Hilfe der Hesse-Mtrix Definitheit symmetrischer Mtrizen Definition Sei A eine reelle symmetrische n n-mtrix. Dnn heißt A positiv definit, flls Aξ, ξ > 0 ξ R n \ {0}, 96

97 positiv semidefinit, flls Aξ, ξ 0 ξ R n, negtiv definit, flls A positiv definit, d.h Aξ, ξ < 0 ξ R n \ {0}, negtiv semidefinit, flls A positiv semidefinit und indefinit, flls A weder positiv definit noch negtiv definit ist, d.h. wenn ξ, η R n existieren mit Aξ, ξ > 0 und Aη, η < 0. Aus der lineren Algebr ist beknn, dss eine reelle symmetrische n n- Mtrix n reelle Eigenwert λ 0,..., λ n (gezählt nch Vielfchheit) und eine Orthonormlbsis v,..., v n R n bestehend us Eigenvektoren besitzt: Av i = λ i v i Somit gilt für v = n µ i v i mit µ i R: Also gilt Stz. i= Av, v = Av v = ( i =,..., n A ) µ i v i i= ( n ) = µ i Av i i= ( n ) = µ i λ i v i ONB = i= µ 2 i λ i i= µ i v i i= µ i v i i= µ i v i A ist positiv (respektive negtiv) definit lle Eigenwerte von A sind positiv (respektive negtiv). A ist positiv (respektive negtiv) semidefinit lle Eigenwerte von A sind 0 (bzw. 0). A ist indefinit A besitzt sowohl positive ls uch negtive Eigenwerte. Weiter ist us der lineren Algebr ds sogennnte Huptminorenkriterium beknnt Stz. Für jedes k =,..., n heißt... k A k =..... k... kk Huptminor von A. Es gilt A ist positiv definit det A k > 0 für jedes k =,..., n. A ist negtiv definit ( ) k det A k > 0 für jedes k =,..., n. i= 97

98 7.4.5 Hinreichendes Kriterium Stz Sei f : U R n R zweiml stetig differenzierbr, x 0 U sei ein kritischer Punkt. Dnn gilt i) Ist Hessf(x 0 ) positiv definit, dnn besitzt f in x 0 ein isoliertes lokles Minimum. ii) Ist Hessf(x 0 ) negtiv definit, dnn besitzt f in x 0 ein isoliertes lokles Mximum. iii) Ist Hessf(x 0 ) indefinit, so besitzt f in x 0 kein Extremum. Beweis. i) Sei A := Hessf(x 0 ). Nch Vorussetzung ist Aξ ξ > 0 für lle ξ R n \{0}. Insbesondere folgt drus: Die stetige Funktion {ξ R n ξ 2 = } ξ Aξ ξ nimmt uf ihrem Definitionsbereich, der kompkten Einheitssphäre, ein positives Minimum n. D.h. min Aξ ξ =: α > 0 ξ B (0) Nch der Tylor-Formel für m = 2 für f gilt f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f(x 0 ) h + 2 Hessf(x 0)h h + r(h) für h R n, h 2 klein genug, wobei r(h) 0 für h 0. Somit existiert h 2 2 ein δ > 0 mit r(h) h 2 < α h R n, h 4 2 < δ 2 d.h. r(h) < α 4 h 2 2. Es folgt f(x 0 + h) = f(x 0 ) + Ah h + r(h) 2 = f(x 0 ) + 2 h 2 2 A h h + r(h) h 2 h 2 > f(x 0 ) + 2 h 2 2 α + r(h) f(x 0 ) + α 4 h 2 2 ii) folgt us i) durch den Übergng zu f. iii) Wenn H f (x 0 ) indefinit ist, dnn existieren ξ, η R n mit α := H f (x 0 )ξ ξ > 0, β := H f (x 0 )η η < 0 Sei t R, t genügend klein, sodss x 0 + tξ U, dnn gilt nch Tylor- Formel f(x 0 + tξ) = f(x 0 ) + t f(x 0 ) ξ + t2 }{{} 2 H f (x 0 )ξ ξ + r(tξ) =0 98

99 mit r(tξ) 0, wenn t 0, d.h. r(tξ) tξ 2 t 0, lso existiert ein δ > r(tξ) < α 2 t2 t R, t < δ womit r(tξ) > α 2 t2 = t2 2 H f (x 0 )ξ ξ, lso f(x 0 + h) = f(x 0 ) + t2 2 H f (x 0 )ξ ξ + r(tξ) > f(x 0 ) t R, t < δ gilt, d.h. f knn in x 0 kein lokles Mximum besitzen. Eine nloge Argumenttion für η liefert: f knn in x 0 kein lokles Minimum besitzen. 7.5 Implizite Funktionen 7.5. Motivtion Gegeben sei F : U X Y Z, (X, X ), (Y, Y ), (Z, Z ) Bnchräume, (x 0, y 0 ) U mit F (x 0, y 0 ) = 0. Unter welchen Vorussetzungen n F ht die Gleichung F (x, y) = 0 für jedes x in einer Umgebung von x 0 genu eine Lösung y Y? Existiert eine solche Umgebung V, dnn gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion g : V Y mit F (x, g(x)) = 0 für lle x V. Mn sgt dnn: F (x, y) = 0 lässt sich nch y uflösen und die Funktion g wird durch F (x, g(x) = 0 x V implizit definiert. g heißt dnn uch Auflösung von F (x, y) = 0 nch y Beispiel Betrchte f : R R R (x, y) x 2 + y 2 Ist (, b) R 2 mit b > 0 (respektive b < 0) und f(, b) = 0, dnn existieren offene Intervlle I, J mit I, b J, sodss für jedes x I genu ein y J existiert mit f(x, y) = 0. Die Zuordnung I x y J definiert eindeutig eine Abbildung g : I J mit der Eigenschft f(x, g(x)) = 0 x I 99