a) x 0, (Nichtnegativität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Skalierung)

Transkript

1 Definition 1.20 Ein metrischer Rum besteht us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eine reelle Zhl zuordnet, d.h. (x,y) X X d(x,y) R. Diese Abbildung soll ( x, y, z X) folgende Eigenschften ufweisen: ) d(x, y) 0, (Nichtnegtivität) b) d(x,y) = 0 x = y, (Eindeutigkeit) c) d(x, y) = d(y, x), (Symmetrie) d) d(x, y) + d(y, z) d(x, z). (Dreiecksungleichung) Hben wir nun im ffinen Rum R 2 so einen Abstndsbegriff und dmit die Norm von Vektoren definiert, können wir uch die Multipliktion eine Vektors mit einer reellen Zhl geometrisch einführen: ) Ist = PQ, so ist α = PR für α R und α > 0 ein Vektor, der in Richtung von PQ zeigt und für den α = α gilt. b) Ist α = 0, so ist α = 0. c) Ist α < 0, so gilt dnn α = ( α)( ). Für diese sklre Multipliktion lssen sich nun uch Assozitiv- und Distributivgesetze zeigen, sodss die Art, wie wir Vektoren geometrisch ddieren und mit einem Sklr multiplizieren wirklich zu eiem Vektorrum führt. Mit der Länge bzw. der Norm eines Vektors hben wir einen neuen Begriff, den wir ursprünglich in einem beliebigen Vektorrum noch nicht eingeführt htten. Wir können ber einen beliebigen Vektorrum zu einem normierten Rum mchen, indem wir versuchen die grundlegenden Eigenschften der Länge eines Vektors herus zu destillieren. Definition 1.21 Ein normierter Rum ist ein Vektorrum X über R oder C, uf dem eine Abbildung. : X R erklärt ist, die jedem Element us X eine reelle Zhl zuordnet und ( x X und α R (C)) folgende Eigenschften besitzt: ) x 0, (Nichtnegtivität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Sklierung) 39

2 d) x + y x + y. (Dreiecksungleichung) Bemerkung Ein normierter Rum ist gleichzeitig uch ein metrischer Rum mit Metrik d(x,y) := x y. d(.,.) wird die, durch die Norm. induzierte Metrik gennnt. Beispiel 1.34 Auf R n stellt der übliche Betrg eines Vektors x = x 2 1 +x x 2 n =: x eine Norm dr. Beispiel 1.35 Auf C n stellt eine Norm dr. z = z z z n 2 Beispiel 1.36 L 2 (,b) sei der Vektorrum der komplexwertigen Funktionen uf dem Intervll (,b) R, für die ds Lebesgue-Integrl b dx f(x) 2 existiert und endlich ist (kurz Rum der qudrtintegrierbren Funktionen uf dem Intervll (,b) ). Auf diesem Rum ist durch b f := f(x) 2 dx eine Norm definiert. Quntenmechnische Systeme werden durch solche qudrtintegrierbren Funktionen beschrieben. f gibt dnn die Whrscheinlichkeit dfür n, ein quntenmechnisches Teilchen im Intervll (, b) vorzufinden. Wenn wir Vektoren im R 2 und R 3 mit Pfeilen ssoziieren, welche Prllelverschiebungen der Ebene oder des Rums chrkterisieren, so knn mn diesen Pfeilen nicht nur eine Länge, oder mthemtisch gesprochen eine Norm zuordnen, sondern mn knn sich uch nsehen, ws der Winkel zwischen jeweils 2 Pfeilen ist. Ds führt zum 40

3 Begriff Sklrprodukt (oder inneres Produkt) von Vektoren. Wir definieren ds Sklrprodukt zwischen zwei Vektorpfeilen folgendermßen: b : = b cosθ = Projektion von b uf = b Projektion von uf b θ b b cos(θ) wobei θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren und b ist. Wir sehen sofort, dss b b cos θ=1 b = b, cos θ=0 b = 0, ist orthogonl zu b. Dieses Sklrprodukt weist einige grundlegende Eigenschften uf, die mn uch von llgemeinen Sklrprodukten uf beliebigen reellen oder komplexen Vektorräumen fordert. Definition 1.22 X sei ein Vektorrum über C (oder R). Ein Sklrprodukt (.,.) uf X ist eine Abbildung, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eindeutig ein mit (x,y) bezeichnetes Element us C (oder R) zuordnetund x,y,z X, λ C(R)folgendeEigenschftenufweist: ) (x,y) = (y,x), b) (x,λy) = λ(x,y), c) (x,y +z) = (x,y)+(x,z), d) (x,x) 0, e) (x,x) = 0 x = 0. Bemerkung Mn spricht dvon, dss uf Grund dieser Eigenschften eine Sklrprodukt eine positive hermitesche Form ist. Aus den Eigenschften b) und c) fogt mittles ) sofort, dss (λx,y) = λ (x,y) ist und (x+y,z) = (x,z)+(y,z) gilt. Mn spricht dvon, dss ds Sklrprodukt liner im zweiten Argument und ntiliner im ersten Argument ist. 41

4 Bemerkung Für Sklrprodukte mit den obigen Eigenschften gilt die Cuchy-Schwrz-Ungleichung: (x,y) 2 (x,x)(y,y) und die Minkowski-Ungleichung: (x+y,x+y) (x,x)+ (y,y). Beide Ungleichungen lssen sich mit Hilfe unserer geometrischen Definition des Sklrproduktes im R 2 sehr leicht vernschulichen. Bemerkung Ist uf einem Vektorrum X ein Sklrprodukt (.,.) definiert, so induziert dieses Sklrprodukt mittels x := (x,x), x X, eine Norm (und dmit uch eine Metrik). Definition 1.23 Ein Vektorrum X über R, uf dem ein Sklrprodukt (.,.) definiert ist, wird euklidischer Vektorrum gennnt. Ein Vektorrum X über C, uf dem ein Sklrprodukt (.,.) definiert ist, wird unitärer Vektorrum gennnt. Beispiel 1.37 R n usgestttet mit dem Sklrprodukt (, b) b = 1 b b n b n = n i b i i=1 ist ein euklidischer Vektorrum. C n usgestttet mit dem Sklrprodukt (, b) b = 1b 1 + 2b nb n = n ib i i=1 ist ein unitärer Vektorrum. 42

5 Beispiel 1.38 L 2 (,b), der Rum der komplexwertigen qudrtintegrierbren Funktionen uf dem Intervll (, b) (siehe Beispiel 1.36), usgestttet mit dem Sklrprodukt (f,g) = b dxf (x)g(x) ist ein unitärer Vektorrum. Sobld mn in einem beliebigen Vektorrum ein Sklrprodukt eingeführt ht, knn mn uch feststellen, ob zwei Elemente des Vektorrums orthogonl zueinnder sind, d.h. norml ufeinnder stehen. Definition 1.24 Zwei Elemente und b eines euklidischen oder unitären Vektorrums X heißen orthogonl zueinnder (mn schreibt dnn b), wenn (,b) = 0 gilt. Eine Teilmenge M = {f 1,f 2,...,f n } von X, 0 / M, heißt Ortogonlsystem, wenn lle Elemente von M zueinnder prweise orthogonl sind, d.h. (f i,f j ) = 0, i j, gilt. Ein Orthogonlsystem, dessen Elemente lle uf Eins normiert sind, heißt Orthonormlsystem. Für die Elemente eines Orthonormlsystems gilt (f i,f j ) = δ ij, i,j = 1,2,...,n. Bemerkung Der Begriff Orthogonlität hängt von der Whl des Sklrproduktes b! Beispiel 1.39 {sinx,sin2x,sin3x,...,sinnx...}ist hinsichtlich des Sklrproduktes (f,g) = π π dxf(x)g(x) eine orthogonle Teilmenge des L 2 ( π,π). Als Nächstes wollen wir uns überlegen, ws Prllelverschiebungen der Ebene bzw. des Rums, die wir durch Vektorpfeile mit bestimmter Länge und Richtung geometrisch chrkterisieren, mit Vektoren us dem R 2 bzw. R 3, lso reellen Zhlenpren und -tripeln zu tun hben. Dzu stellen wir fest, dss wir in der Ebene (im Rum) immer 2 (3) Vektorpfeile, b ( c) finden können, mit deren Hilfe sich lle nderen Vektorpfeile ls Linerkombintionkombintion drstellen lssen. Diese Vektorpfeile sind zudem voneinnder liner unbhängig. 43

6 βb c=α+βb b α Mn spricht dvon, dss die Menge {, b} ({, b, c}) eine Bsis des R 2 (R 3 ) drstellt. Die Bsis des R 2 (R 3 ) ist offenbr eine mximle liner unbhängige Teilmenge des R 2 (R 3 ), mit deren Hilfe mn den gnzen R 2 (R 3 ) mittels Bilden von llen möglichen Linerkombintionen ufspnnen knn. Ds sind ber genu die definierenden Eigenschften einer Bsis in einem beliebigen Vektorrum. Definition 1.25 Sei X ein K-Vektorrum und B = {v 1,v 2,v 3,...} eine Teilmenge von X, deren Elemente liner unbhängig sind. B heißt dnn Bsis von X, wenn sich jedes Element X ls Linerkombintion von Bsiselementen schreiben lässt: X α i K : = α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v Bemerkung Je nch Vektorrum knn eine Bsis enbdlich viele, ber uch unendlich viele Elemente enthlten. Um etw den L 2 (,b) ufzuspnnen, benötigt mn unendlich viele Bsiselemente. Mittels Lemm von Zorn lässt sich zeigen, dss jeder Vektorrum eine Bsis besitzt. Bemerkung Eine Bsis stellt eine grösste liner unbhängige Teilmenge eine Vektorrums dr un dist i.. keineswegs eindeutig. Die Anzhl der Bsiselemente, sofern diese endlich ist, bleibt ber immer dieselbe. Folgende Definition mcht dher Sinn: Definition 1.26 X sei ein K-Vektorrum mit Bsis B. Die Dimension des Vektorrums X ist durch die Anzhl der Bsiselemente d gegeben, sofern diesezhlendlichist(dimx = d).besitztx jedochkeineendlichebsis, so heißt X unendlich dimesnionl und mn setzt dimx =. 44

7 Definition 1.27 Sei X ein K-Vektorrum mit Sklrprodukt (.,.) und B = {v 1,v 2,v 3,...} eine Bsis von X. Gilt für beliebige Bsiselemente (v i,v j ) = δ ij, so bezeichnet mn B ls Orthonormlbsis. Bemerkung Orthonormlbsen werden sich in der Folge ls besonders nützlich erweisen. Bemerkung Hben wir in einem n-dimensionlen K-Vektorrum X eine Bsis B = {v 1,v 2,...,v n } gegeben, so lässt sich ein beliebiges Element X in eindeutiger Weise ls Linerkombintion der Bsiselemente schreiben: = α 1 v 1 +α 2 v 2 +α 3 v 3 + +α n v n, α i K. Bei vorgegebner Bsis existiert lso ein eineindeutiger Zusmmenhng zwischendemn-tupelvonkoeffizienten(α 1,α 2,...,α n )unddemvektor. Wir können lso uch in der Form α 1 α = 2. α n B schreiben. Die rechte Seite dieser Gleichung wird ls Koordintenvektor von (bezüglich der Bsis B) bezeichnet. Wenn klr ist, welche Bsis mn meint, wir ds B oft uch weggelssen. 45