Dirac sche Delta-Funktion

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1 Anhng A Dirc sche Delt-Funktion Die Dirc sche Deltfunktion wurde 927 von Dirc eingeführt, ber erst im Jhre 950 von Schwrtz in seiner Distributionstheorie mthemtisch exkt ls Limes einer Funktionenreihe erklärt. A. Eigenschften der δ-funktion. δx x 0 0 für x x 0 2. x 2 x δx x 0 dx für x < x 0 < x 2 3. fxδx x 0dx fx 0 4. fxδ x x 0 dx f x 0 5. δfx δx x df 0 dx xx 0 Die δ-funktion schließt mit der Achse lso die Fläche ein und ist nur in einem Punkt verschieden von Null. Mthemtisch erklärt ist die δ-funktion ls Grenzwert einer Folge von Funktionen, die lle die Fläche einschließen und deren von 0 verschiedener Bereich über einem immer enger werdenden Intervll liegt. Beispiel für eine δ-funktion ist der Limes einer Reihe von Guß schen Glockenfunktionen Abbildung A. und A.2: δx x 0 lim 0 π x x 0 2 e 2 Auch schon in der klssischen Physik wird die δ-funktion z.b. zur Loklistion einer Punktldung und ihre Ableitung zur Festlegung eines elektrischen Dipols benutzt. 70

2 FUNKTION... f k f k+ f k+2 x Abb. A.: ABLEITUNG f k+2 f k+ f k x Abb. A.2: 7

3 Anhng B Entwicklung in ein Orthogonl-System Ein System von Funktionen u n x ist orthogonl über einem Intervll [, b], wenn: u m xu nxdx δ m,n B. Orthogonlitätsreltion für ein Intervll [, b] Für einen kontinuierlichen Index normiert mn uf Delt-Funktionen: u k xu kxdx δk k B.2 Orthogonlitätsreltion Ein Funktionssystem u n x, ds zur Approximtion einer Funktion fx benutzt wird, fx N n u n x n ist vollständig, wenn für die Größe M N fx n N n u n x 2 dx gilt: ɛ>0 N 0 N > N 0 M N < ɛ d.h. fx wird durch ds System u n x mit den Gewichten n im obigen Sinne beliebig genu pproximiert: fx n u n x n Wende druf von links n: 72

4 dx u m x dx u m x fx u m x fxdx u mx fxdx B. dx u m x n u n x n b n u m x u n xdx n n δ m,n m Dmit sind die Koeffizienten n gewonnen und wir können einsetzen in fx: n fx fx n u n x n dx u n x u n x fx n Ds bedeutet ber nch Eigenschft 3 der δ-funktion siehe Anhng A: u nx u n x δx x n Vollständigkeitsreltion für diskreten Index B.3 Führt mn einen kontinuierlichen Index k ein, so erhält mn: u kx u k xdk δx x Vollständigkeitsreltion B.4 B. Beispiel: Ds System der ebenen Wellen u k x C e ikx bildet ein vollständiges System, wie mn durch Einsetzen in B.4 nchweisen knn. Wir berechnen hier die Normierungskonstnte C und bestätigen gleichzeitig, dss B.4 gilt und dmit die ebenen Wellen ein vollständiges System bilden. Wir integrieren über B.4 mit x 2 x dx: x2 x dx C e ikx C e ikx dk Ds Integrl über x nicht über x! wird usgeführt: x2 x dxδx x dk C C [ ] e ikx x xx 2 ik dk C C ik xx [ e ikx2 x e ikx x ] 73

5 Zur Auswertung der beiden Integrle benötigen wir den Residuenstz. Wir schlgen folgenden Integrtionsweg ein: Außerdem heben wir den Pol P noch um ds Stück iɛ, d.h. wir setzen: k k + iɛ Dmit erhält die Integrtion keinen Beitrg, weil die entstehenden Zustzterme für k gegen 0 gehen, wenn wir den oberen Hlbkreis durchlufen. Im k +iε p Re k Abb. B.: Mit dem Residuenstz ergibt sich: dk ik eikx2 x 2πi 2π i Ds Integrl über den unteren Hlbkreis verschwindet, weil dort kein Pol liegt! Die Normierungskonstnte C ht den Wert 2πC C 2π C 2 C u k x 2π e ikx 2π ist ein vollständiges Orthonormlsystem. q.e.d. 74

6 Anhng C Konfluente hypergeometrische DGL Behuptung: Eine Lösung der Differentilgleichung y f y + c yf y fy 0 C. ist die Funktion fy F ; c; y wobei definiert ist oder, mit der Konvention: F ; c; y + c y + y y 3 + +! cc + 2! cc + c + 2 3! Beweis durch Einsetzen der vermuteten Lösun in C. ν ν ν y ν F ; c; y c ν ν! ν0 y f y ν0 νν ν y ν c ν ν! ν + ν ν+ ν c ν+ y ν ν +! wobei im letzten Schritt ν durch ν + ersetzt wird, gleichzeitig ber bei - ngefngen wird zu summieren dieser erste Term verschwindet. c f y y f y fy ν0 c ν ν y ν c ν ν! ν0 ν0 ν c ν ν c ν y ν! y ν! ν cν + ν+ c ν+ y ν ν +! Die Addition dieser Terme müsste Null ergeben. Wir schuen uns nur eine Potenz von y n. Wenn für diese die Addition Null ergibt, gilt ds für lle Potenzen, lso für die gnze Summe! 75

7 y f y + c f y y f y fy ν y ν ν + + ν c + ν + ν + c ν0 ν ν! c + ν ν + c + ν ν + ν ν y ν ν + ν 2 + c + cν cν ν 2 c ν c ν ν! c + ν ν0 0 q.e.d. Dmit ist nchgewiesen, dss F ; c; y eine Lösung der konfluenten hypergeometrischen Differentilgleichung C. ist. Eine homogene Differentilgleichung ht ber zwei liner unbhängige Lösungen. Die llgemeine Lösung erhält mn durch Linerkombintion dieser liner unbhängigen Lösungen. fy D F ; c; y + D 2 y C F c + ; 2 c; y C.2 Die Bestätigung des zweiten Teils der Lösung erhält mn wieder durch Einsetzen der Potenzreihe. Wichtige Spezilfälle von F ; c; y:. n; n 0,, 2,... F ; c; y F n; c; y n c y nn y 2 +! cc + 2! +... nn n... y n n cc + c c + n n! D irgendwnn der Fktor n n im Zähler uftucht, bricht die Potenzreihe b. Für n ist lso F n; c; y ein Polynom der Ordnung n. 2. y ± : Für y ± geht F ; c; y über in: y ± F ; c; y Γc Γ eν y c b y F ; c; y Γc Γc y Zur Gmmfunktion Γz: Die Funktion Γz ist eine Erweiterung der Fkultät n!, die nur für positive gnze Zhlen definiert ist, uf die komplexe Zhlenebene. Γz ist eindeutig definiert durch die Funktionlgleichung den Zusmmenhng mit der Fkultät zγz Γz + Γn + n! und der Forderung, dss sie in einem Einheitsintervll uf der positiven reellen Achse regulär sein muss. P ht Pole n den Stellen z 0,, 2,..., denn 2. Ordnung 76

8 Γz + Γz + 2 Γz z zz + Γz + n + zz +...z + n Der Pol bei z n ht ds Residuum mn benutze Γ : 3. Lguerre sche Polynome: Diese sind definiert mit: n n! L n m n + m! y F n; m + ; y n!m! Auch hier hndelt es sich wieder um Polynome, d eine gnze Zhl ist. Die Lguerre schen Polynome bilden ein vollständiges Orthonormlsystem uf dem Intervll 0, mit der Belegungsfunktion Gewichts- e y. 4. Hermitesche Polynome: Auch diese knn mn mit der Konfluenten F ; c; y definieren: H 2n y n 2n! n! F n; 2 ; y2 n 2n +! H 2n+ y 2y F n; 3 n! 2 ; y2 gerde Hermitesche Polynome ungerde Hermit. Polynome Sie sind ein vollständiges Orthogonlsystem über den reellen Zhlen, + mit der Belegungsfunktion e y2. H 0 y H y 2y H 2 y 2 y 2 2 4y 2 2! 23 y2 H 3 y 6 2y 8y 3 2y. Mn knn die Hermiteschen Polynome uch erzeugen durch Differenzieren einer Erzeugenden: H n y n dn y2 e dy n e y2 77

9 Anhng D Clebsch-Gordn-Koeffizienten Spezilfll: s 2 In diesem Spezilfll ließ sich jm ls Linerkombintion von zwei Vektoren schreiben: jm l, m 2, 2, 2 C + l, m + 2, 2, 2 C l 2 j m 2, 2, m l 2 j m + 2, 2, m Dfür schreiben wir bkürzend: jm m 2, 2 C+ + m + 2, 2 C Anwenden von j 2 : 2 jj + jm j 2 m 2, 2 C+ + j 2 m + 2, 2 C Von links mit m 2, 2 bzw. m + 2, 2 multiplizieren: 2 jj + C + 2 jj + C m 2, 2 j 2 m 2, 2 C + + m 2, 2 j 2 m + 2, 2 m + 2, 2 j 2 m 2, 2 + m + 2, 2 j 2 m + 2, 2 C + C C Ds ist ds Gleichungssystem zur Bestimmung von C + und C ; ls Mtrizengleichung Eigenwertgleichung sieht es so us: m 2, 2 j 2 m 2, 2 m 2, 2 j 2 m + 2, 2 C + m + 2, 2 j 2 m + 2, 2 m + 2, 2 j 2 m + 2, 2 C 2 C + jj + 2 C A C 2 jj + C 78

10 Ds Problem bei der Digonlisierung dieser Mtrix liegt nur noch in der expliziten Berechnung der Elemente. Dzu bemerken wir: j 2 zerfällt bezüglich des Systems m Σ, Σ in einen digonlen und einen nichtdigonlen Term. Dmit sehen wir sofort in der Huptdigonlen: j 2 l 2 + s 2 + 2l z s }{{ z + l } + s + l s + }{{} digonl nichtdigonl m 2, 2 j 2 m 2, 2 m + 2, 2 j 2 m + 2, 2 l, m 2, 2, 2 j 2 l, m 2, 2, 2 ll m 2 2 ll m 2 2 l, m + 2, 2, 2 j 2 l, m + 2, 2, 2 ll m + 2 ll m Hält mn sich vor Augen, dss ein von Null verschiedenes Ergebnis in der Nebendigonlen nur dnn zu erwrten ist, wenn s + uf 2 oder s uf 2 operiert, so ist klr, dss übrig bleibt: m 2, 2 l s + m + 2, 2 m + 2, 2 l +s m 2, l m + l + m l + m + l m Dbei hben wir benutzt vgl. 6.2 für l 0: l + l, m 2 l l, m + 2 [ ] l m l + m l, m + 2 [ ] l + m + l m + + l, m s Dnn lutet die Gleichung: s ll m 2 l m + 2 l + m + 2 l + m + 2 l m + 2 ll m jj + }{{} µ C + C C + C

11 Auf beiden Seiten hben wir 2 weggelssen. Die Säkulrgleichung zur Bestimmung von µ heißt: ll l + m µ m + 2 l + m + 2 l + m + 2 l m + 2 ll m µ [ ll µ ] 2 m 2 [ l m + 2 ll µ ] 2 l + m l µ l + + ll µ l + + l Setzen wir für µ wieder jj + ein, so hben wir erhlten: 2 jj + l + 2 l + 2 Wir suchen die positiven Lösungen dieser Gleichung. Sie luten hier, wie mn sich sofort überzeugt: j l + 2 j 2 l 2 Ds bedeutet, dss der Bhndrehimpuls genu zwei Möglichkeiten ht, mit dem Spin s 2 zu einem Gesmtdrehimpuls zu koppeln. Eine Ausnhme ist der Fll l 0. Dnn ergibt nämlich die Anwendung von l ± stets 0 und ds lte System ist zugleich Eigensystem des Gesmtdrehimpulses. Setzen wir j l + 2 Koeffizienten: in die Mtrizengleichung ein, so erhlten wir zur Berechnung der Clebsch-Gordn- } {ll m C + + l m + l + m { } 2 l l + 2 C C + Die zweite Gleichung ist liner bhängig, bringt lso nichts Neues. Umformungen: 80

12 { 2 } l m C + l m + l + m + C 2 2 { 2 } l l + C + 2 l + 2 m C + + l m + l + m + C l + 2 m l C m C 0 Ds muss für lle m und l gelten. Dher folgt: C + C l, 2, l + 2 m 2, 2, m N l m C C l, 2, l + 2 m + 2, 2, m N l + 2 m Dbei ist N ein Normierungsfktor. Er wird durch die Forderung jm, jm und C +, C reel bestimmt: Ergebnis: jm, jm C +2 m 2, 2 m 2, +C 2 m + 2 2, 2 m + 2, 2 }{{}}{{} N 2 l m + N 2 l + 2 m N 2 2l + C l, 2, l + 2 m 2, 2, m C l, 2, l + 2 m + 2, 2, m l m 2l + l + 2 m 2l + Wer Lust ht, knn den Fll j l 2 selbst usrechnen. 8