Das Rechnen mit Logarithmen

Transkript

1 Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick: Zunächst ein kleiner Abstecher zu den Wurzeln: Die Gleichung x 2 = 6 lässt sich durch Wurzelziehen lösen. Hier sieht mn sehr leicht, dss eine Lösung 4 ist. Sehr oft ist ber die Lösung nicht gnzzhlig und lässt sich uch nicht durch einen Bruch usdrücken. Deshlb ht mn ein spezielles Zeichen entwickelt, ds Wurzelzeichen, und schreibt dnn: x = 6. Bei Aufgben mit einem größeren Exponenten schreibt mn ebenflls die Lösung mit diesem Wurzelzeichen, setzt ber den Exponenten links oben uf die Wurzel druf. Beispiel: x = 024 x = 024 = Allgemein gilt: x = b x = b. Eigentlich ht mn mit dem Hinschreiben der Wurzel noch nicht die Lösung erhlten sondern nur die Aufgbe: Suche die (positive) Zhl, die -ml mit sich selbst multipliziert die Zhl b ergibt. Jetzt ber zu den Logrithmen: Auch die Lösung einer Gleichung wie 2 x = 6, in der x im Exponenten steht, lässt sich meist nicht exkt durch eine gnze Zhl oder einen Bruch ngeben. Eigentlich fände ich es gut, wenn mn uch hier so eine Art Wurzelzeichen benutzen würde, um zu sgen: Deine Aufgbe besteht jetzt drin, eine Zhl zu finden, mit der du 2 potenzieren musst, dmit 6 heruskommt. Vielleicht könnte mn ds Wurzelzeichen einfch uf den Kopf stellen, d j die Orte von 2 und x usgewechselt wurden. Ds sähe dnn etw so us: x= 2 6 Stttdessen ht mn folgende Schreibweise gewählt: x = log 2 6 = 4 oder uch x= 2log6 = 4 und spricht: x ist gleich dem Logrithmus von 6 zur Bsis 2. x Allgemein folgt (gnz ähnlich wie beim Wurzelziehen) us = b x = log b die Aufgbe: Suche eine Zhl x so, dss du b erhältst, wenn du x-ml mit sich selbst multiplizierst. Mit dem Tschenrechner knn mn jeden beliebigen Logrithmus berechnen, wenn mn folgende Formel verwendet: log b logb = log. Dbei steht log für einen Logrithmus mit beliebiger Bsis. Früher benutze mn viel die Logrithmen zur Bsis 0 (uf dem Tschenrechner LOG oder LG). In wissenschftlichen Anwendungen wird meist der Logrithmus zur Bsis e=2, (uch wenn es so ussieht, die Zhl ist nicht periodisch!) verwendet. (LN oder ln x uf dem Tschenrechner). Während heute der Logrithmus oft ein Schttendsein fristet, mussten bis in die 960-er Jhre die Schüler wochenlng ein Trining zum Rechnen mit Logrithmen über sich ergehen lssen. Es gb j noch keinen Computer, keinen Tschenrechner und uch noch keinen Rechenstb (drüber n nderer Stelle mehr). Einfche Rechnungen wie Additionen und Subtrktionen mussten im Kopf erledigt werden. Für schwierigere Aufgben wie z.b. 65, 36 98, 25, 35, 4 24 oder 32, 98 oder 23, 682 oder 532, 945 nhm mn umfngreiche (Logrithmen-)Tfeln zu Hilfe, die je nch gewünschter Rechengenuigkeit mehr oder minder dicke Bücher füllten. Eine Sprversion ist uf den folgenden zwei Seiten bgedruckt. Erläuterungen dzu und Rechenbeispiele sind uf den nschließenden Seiten zu finden. Seite /

2 Logrithmus zur Bsis 0 Zhl Seite 2/

3 Logrithmus zur Bsis 0 Zhl Seite 3/

4 Aufbu der Tbelle: Die Logrithmen zur Bsis 0 (kurz: lg) der Zhlen von,00 bis 9,99 sind im Huptteil der Tbelle ufgelistet. D lle Ergebnisse mit 0,... beginnen, ht mn die 0 und ds Komm weggelssen. Ebenso wird ds Komm der Zhlen unterschlgen. Logrithmieren und Delogrithmieren: Um die Logrithmen sämtlicher Zhlen ermitteln zu können, mcht mn sich zu Nutze, dss gilt: lg 0, 0 = 2 ; lg 0, = ; lg = 0 ; lg 0 = ; lg00 = 2 usw., llgemein: lg0 n = n Zur Berechnung von lg43, überlegt mn sich (mit dem Rechengesetz log( b)=log + log b) : lg43,=lg(0 4,3)=lg0+lg4,3=+lg4,3 Also: Ds Ergebnis fängt mit,... n. Die Nchkommstellen findet mn nun in der Tbelle, indem mn die ersten 2 Ziffern (Ziffer vor und erste Ziffer nch dem Komm, lso 43) in der Splte gnz links sucht. So findet mn die Zeile, in der ds Ergebnis steht. Die Splte erhält mn us der 2.Nchkommstelle der Zhl, hier lso die.splte. Dort stehen die Ziffern: 6405, ds bedeutet: lg4,3=0,6405 und lg43,=,6405. Kennt mn den Wert des Logrithmus und möchte die Zhl ermitteln, geht mn umgekehrt vor. Beispiel: lg x = 4,3945. Mn sucht in der Tbelle die Ziffernfolge 3945 und findet links die Zhl 24 und oben 8, lso 2,48. Die 0-er-Potenz ergibt sich us der 4, lso 0 4 = Die gesuchte Zhl ist lso ,48 = Interpolieren (der Schrecken gnzer Schülergenertionen): Ws mcht mn bei Aufgben wie x = lg 3,486 oder lg y =,4335, wenn ds Ergebnis nicht genu in der Tbelle zu finden ist? Dnn wird der Zhlbereich zwischen zwei gegebenen Werten in 0 gleich große Teile unterteilt und dmit die Genuigkeit der Tbelle in diesem Bereich entsprechend vergrößert. Die Beispielrechnungen zu den ngegebenen Aufgben sollen ds verdeutlichen.. Berechnung von x= lg 3,486 3,486 liegt zwischen 3,48 und 3,49. Dzu gehören die Tbellenwerte 546 und Der Abstnd dieser Werte voneinnder beträgt 2. Wegen der letzten Nchkommstelle der Zhl (der 6) muss mn 6/0 von diesen 2 nehmen und zum ersten Tbellenwert hinzuzählen: 6/0 von 2 sind, ,2=5423,2 oder gerundet Als Ergebnis schreibt mn dmit: lg 3,486 = 0, Berechnung von lg y =, kommt in der Tbelle nicht vor. Die Nchbrwerte sind 4330 und Diese Werte hben den Abstnd 6. D 4335 um 5/6 des Intervlls von 4330 entfernt ist, muss mn zum Wert für 4330 noch 5/6 von /0 im Ergebnis ddieren. Zum Tbellenwert 4330 gehören die Zhlen 2. Es gilt:5/6=0,325. Also ist die Ergebniszhl mit 2+0,325=2,325 oder genähert 2,3 zu berücksichtigen. Wegen,4335 liegt ds Ergebnis zwischen 0 und 00, lso gilt y=2,3. Seite 4/

5 Und wozu nun diese Plckerei? Ht mn erst einml die Benutzung der Tbelle eingeübt, knn mn nur mit deren Hilfe und ein bisschen Addition und Subtrktion die schwierigsten Aufgben lösen. Mn nutzt dzu die Rechengesetze für Logrithmen us: ) Multiplizieren mit der Logrithmentfel Es gilt: lg ( b) = lg + lg b Aufgbe: 65,36 98,24 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: lg (65,36 98,24) = lg 65,36 + lg 98,24 Tbelle benutzen:. lg 65,36 : Suche unter Zhl 6 in linker Splte und (gerundet) 5 in oberster Zeile. Mn findet 25. D 65,36 zwischen 00 und 000 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die 2 (wegen 0 hoch 2 = 00). Also gilt: lg 65,36 = 2,25 2. lg 98,24 : Suche unter Zhl 98 in linker Splte und (gerundet) 2 in oberster Zeile. Mn findet 992. D 98,24 zwischen 0 und 00 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die (wegen 0 hoch = 0). Also gilt: lg 98,24 =,992 {Nur für begeisterte Interpolierer: Unter Berücksichtigung der Nchkommstellen ergeben sich die Werte 2,284 und,9923} Weiter gilt lso: lg (65,36 98,24) = lg 65,36 + lg 98,24 = 2,25 +,992 = 4,2096 Delogrithmieren: 2096 findet mn nicht in der Tbelle, wohl ber die Werte 2095 und 222. Wegen des geringen Abstndes nehmen wir einfch den Wert für Es ist 62. Wegen 4,... liegt ds Ergebnis zwischen 0000 und 00000, lso ist 6200 ds Ergebnis. {Wird uch hier interpoliert, ergibt sich 62+/2=62+0,03, lso gerundet 62,0} Der Tschenrechner sgt 6244,9664. b) Dividieren mit der Logrithmentfel Es gilt: lg (/b) = lg - lg b Aufgbe: 25,35/32,98 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: lg (25,35/32,98) = lg 25,35 - lg 32,98 Tbelle benutzen:. lg 25,35 : Suche unter Zhl 2 in linker Splte und (gerundet) 5 in oberster Zeile. Mn findet D 25,35 zwischen 00 und 000 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die 2 (wegen 0 hoch 2 = 00). Also gilt: lg 25,35 = 2, lg 32,98 : Mn rundet uf 33,0 und sucht unter Zhl 33 in linker Splte und 0 in oberster Zeile. Dort steht 585. D 32,98 zwischen 0 und 00 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die (wegen 0 hoch = 0). Also gilt: lg 32,98 =,585 Weiter gilt lso: lg (25,35/32,98) = lg 25,35 - lg 32,98 = 2,0969 -,585 = 0,584 Delogrithmieren: Seite 5/

6 584 findet mn nicht in der Tbelle, wohl ber die Werte 55 und 586. Wegen des geringen Abstndes nehmen wir einfch den Wert für 586. Es ist 39. Wegen 0,... liegt ds Ergebnis zwischen und 0, lso ist 3,9 ds Ergebnis. Der Tschenrechner sgt 3, c) Potenzieren mit der Logrithmentfel Es gilt lg b = b lg. Aufgbe: ,, 4 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: 2, lg 23, 68 4 = 2, 4 lg 23, 68 Tbelle benutzen: lg 23,68 : Suche unter Zhl 23 in linker Splte und (gerundet) in oberster Zeile. Mn findet 34. D 23,68 zwischen 0 und 00 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die (wegen 0 hoch = 0). Also gilt: lg 23,68 =,34 Nun muss mn rechnen: 2,4,34 (s.o. bei )): lg(2,4,34) = lg 2,4 + lg,34 = 0, ,383 = 0,468 Delogrithmieren gibt 294, lso 2,4,34 = 2,94 (Tschenrechner: 2,94858) Delogrithmieren von 2,9400: 9400 findet mn in der Tbelle, dzu gehört die Zhl 8. Wegen 2,... liegt ds Ergebnis zwischen 00 und 000, lso ist 8 ds Ergebnis. Der Tschenrechner sgt 83, d) Rdizieren (Wurzelziehen) mit der Logrithmentfel b b Es gilt lg = lg = lg. b Aufgbe: 532, 945 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: lg 532, 945 lg 532, 945 = lg 532, 945 = lg 532, 945 = Tbelle benutzen: lg 532,945 : Suche unter Zhl 53 in linker Splte und (gerundet) 3 in oberster Zeile. Mn findet 26. D 532,945 zwischen 00 und 000 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die 2 (wegen 0 hoch 2 = 00). Also gilt: lg 532,945 = 2,26 Nun muss mn rechnen: 2,26/, ds geht hier wohl im Kopf, sonst s. b) : 2,26:=0, Delogrithmieren gibt für die Ziffernfolge 3892 die Zhl 245. Wegen 0,... liegt ds Ergebnis zwischen und 0, lso ist 2,45 ds Ergebnis. Der Tschenrechner sgt 2, Für lle, die es nicht mehr erwrten können und selbst rechnen wollen, jetzt noch ein pr Aufgben (Quelle unbeknnt). Aber wirklich nur mit der Logrithmentfel lösen! ;-) Übrigens: Es hndelt sich um eine Strfrbeit us den 960-er Jhren... Seite 6/

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