V O R K U R S M A T H E M A T I K

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1 Fchbereich - Informtik und Ingenieurwissenschften V O R K U R S M A T H E M A T I K 100 = u v u v u v u v uv /(u v) u v u v ( + b ) 5 = b + 10 b +10 b + 5 b 4 + b 5 Die Sinus-Funktion sin (x) zwischen x = 0 und x =

2 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 1. Aufgbenbltt: Rechnen mit Klmmern und Brüchen Die Aufgben uf diesem Bltt behndeln elementre Umformungen. Bitte führen Sie diese sorgfältig us. Distributivgesetz: ( b + c ) = b + c ; gelesen von links nch rechts: Ausmultiplizieren, gelesen von rechts nch links: Ausklmmern. Bechten Sie dbei die Vorzeichen! Ferner gilt: + b = b +, b = b ( Kommuttivgesetze ). 1.) Lösen Sie die Klmmern uf und fssen Sie zusmmen: ) 5 ( ) b) 5 ( ) c) b ( 7 c - 5 b ) d) y ( x y) e) x ( (x y) ) + f) - z x + ( 6 y + x z ).) Schreiben Sie die folgenden Summen ls Produkt, in dem Sie lle gemeinsmen Terme usklmmern (Fktorisieren) ) x + y b) x ( + b) y ( + b) c) (u v) + b ( v u) d) ( x y ) ( + b) ( b) ( x y ) Definition der Potenzen: für schreibt mn uch, =, usw. ; 1 =..) Multiplizieren Sie us ) ( x + y) ( x y) b) ( b ) ( b) c) ( x y) (x + x y + y ) d) ( 4 b) ( b ) 4.) Leiten Sie durch Ausmultiplizieren die binomischen Formel her für : ) ( + b ) b) ( + b ) 4 c) ( + b + c ) Tipp: Assozitivgesetze : u + (v + w) = (u + v) + w ; u (v w) = ( u v ) w

3 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Bei der Addition von Brüchen sucht mn systemtisch den Huptnenner: jeder Nenner wird ls Produkt von nicht weiter zerlegbren Fktoren ( irreduzible Fktoren ) geschrieben. Bei Zhlen entspricht dies der Zerlegung in Primfktoren. Im Huptnenner wird jeder (irreduzible) Fktor mit seiner höchsten Potenz berücksichtigt, er ist ds kleinste gemeinsme Vielfche (kgv). Bspl.: 45 = 15 = 5 = 5, 48 = 4 = 1 =... 4 kgv(45,48) = 4 5 Bspl.: x = x x, x 1 = (x + 1)(x 1) ; beide Ausgngsterme lssen sich lso in Fktoren zerlegen. Die Terme x + 1 und x 1 sind nicht weiter (in Fktoren) zerlegbr, sie sind irreduzibel. kgv(x, x 1) = x (x + 1)(x 1). 5.) Addieren Sie die folgenden Brüche ) e) b) c) d) x x x f) g) x x x x u u u 1 u 1 b cd xy uv 6.) Schreiben Sie mit nur einem Bruchstrich: b xy b x y 4 ) b) c) d) cd uv cd u v 1 1 b b b Kürzen heißt, den gnzen Zähler und den gnzen Nenner durch denselben Term zu teilen. Am sichersten ist dies, wenn mn Zähler und Nenner ls Produkte schreibt (den gemeinsmen Fktor lso vorher usklmmert). 7.) Kürzen Sie die folgenden Brüche, wenn dies möglich ist. ) b b b) b c) b b d) b b b e) b b f) b b g) b b b h) b b i) b ( b) j) b ( b) k) b l) uv u u v m) v mn bm n ( u v)

4 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Division durch eine Summe ( Polymomdivision ); Zähler (Dividend) und Nenner (Divisor) müssen nch dem gleichen Schem geordnet sein! Die Polynomdivision verläuft nlog zur schriftlichen Division. Mchen Sie sich diese n folgendem Beispiel klr: 67 : ; und dnn dieselbe Aufgbe geschrieben mit Zehnerpotenzen: ( ) : ( ) 8.) Führen Sie die folgenden Divisionen us ) (4 x + 50 x + x 0) : (x + ) b) (x - 5x + 8) : ( x ) c ) (x y ) : ( x y) d) (49 5x 9b 0bx) : (5x b) Die folgenden Aufgben greifen die vorhergehenden Themen noch einml uf: 9.) Vereinfchen Sie: ) u (14v (8v + 6u v (4v 16u) 16u) ) b) (p q) (q + p) 10.) Fktorisieren Sie: ) x y + b x b y c x + c y b) x n d x n c + b n d b n c 11.) ) Wnn ist y = x x negtiv? b) Bestimmen Sie : 5 = ) Vereinfchen Sie: ) 1 1 5m n 7n 4n 9m b) x 1 1 x m n 15mn 10n x x 1 1.) Bestimmen Sie Q : ) (x y ) = Q ( x y) b) Q : ( u + v) = u v c) ( 5 b 5 ) : ( b) = Q 14.) ) Wie muss mn E wählen, dmit sich 9w 480 w + E ls Qudrt schreiben lässt? E ist die qudrtische Ergänzung. Tipp: binomische Formel! b) Lösen Sie mit Hilfe der qudrtischen Ergänzung die Gleichung : x + 6x 5 = 0.

5 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich. Aufgbenbltt: Potenzen und Logrithmen Definition der Potenzen: n =... ( n gleiche Fktoren ) ; heißt Bsis, n heißt Exponent (Hochzhl). Hier sind die Hochzhlen ntürliche Zhlen. Zustzdefinitionen (n N ) : 0 = 1 ; - n = 1/ n ; 1 n n. Diese Zustzdefinitionen erweitern uf sinnvolle Weise den erlubten Zhlenbereich für den Exponenten. Dfür muss der erlubte Zhlenbereich für die Bsis eingeschränkt werden, insbesondere beim Wurzelziehen. Hinweis: Viele Mthemtikbücher lssen uch die n-te Wurzel us einer negtiven Zhl zu, wenn n ungerde ist. Eine solche Wurzel knn ber nicht mehr ls Potenz mit gebrochenem Exponenten geschrieben werden: die Potenzgesetze gelten dfür nämlich nicht mehr! Bspl: 8 = -, ber dnn wäre uch 8 = (-8) 1/ = (-8) / 6 = ((-8) ) 1 / 6 = +, wenn mn die Potenzgesetze weiter nwendet. 1. Vereinfchen Sie die folgenden Ausdrücke zunächst mit Hilfe der Definition der Potenzen, dnn noch einml mit Hilfe der Potenzgesetze : 5 ; 5 : ; : ; ( ) Verdeutlichen Sie ebenso: b = ( b ) ; / b = ( / b ). Fssen Sie zusmmen: u v 5 u v + 8 v u u v + 9 u v. Schreiben Sie ls Dezimlzhl: 10 ; 1 ; - ; 5 - ; 8 1/ ; 16 1/ 4. Schreiben Sie ls Zehnerpotenz der Einheit m (die einzige Ziffer vor dem Komm soll keine Null sein): 0,048 mm ; 7451 km ; 0,456 cm 5. Beseitigen Sie die negtiven Exponenten: - ; b -1 ; - / b -5

6 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 6. Bestimmen Sie x in: x = 7 ; 5 x = ; - 4 x = ; - / x = 4 Bestimmen Sie dnch so dss x = (d die Exponenten gnzzhlig sind, sind uch negtive Bsen zulässig! ). 7. Vereinfchen Sie: ) 5 x n - x m - 4n + 7 / x m - n ; ws ergibt sich für x =, n = 1, m = 5? b) ( x / y ) (y / x ) Addieren Sie: ) 5 b) 1 1 m4 m1 m Welche Gleichung ergibt sich jeweils für, wenn ds Ergebnis 1 sein soll? Bestimmen Sie jeweils, wenn ds Ergebnis 0 sein soll. 9. Schreiben Sie mit einem Exponenten (>0, b>0) : 4 b 4 ; 9 / b 9 ; ; b b ; ; 5 ; ( ) 5 5 ; 10. Schreiben Sie mit einem Wurzelzeichen (x > 0, > 0, b > 0) : b b ; 4 b b ; x x ; 1 ; k k b 7 ; x ; x 11. Qudrieren Sie ( x>0, >0, b>0) : x x ; 4 x ; x x ; b ; b 1. Ziehen Sie (sofern möglich) die Wurzel (x>0,y>0,>0, b>0) : 4 b ; 4 4 y x ; b ; b b ; ws ergibt sich, wenn mn ds Vorzeichen der Größen nicht kennt? Tipp: Betrg einer reellen Zhl! 1. Bestimmen Sie x in: x = 7 ; x = -15 ; x = 8 ; x = - ; x = Wird ein Kpitl K jährlich mit p% verzinst und werden die Zinsen ngesmmelt (Zinseszins), ergibt sich nch n Jhren ein ngesprter Betrg B = K q n, q = 1 + p/100. Ws wird us 1000 nch 10 Jhren, wenn p = 1 bzw. p = bzw. p = 5?

7 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Wenn x = b, dnn heißt x der Logrithmus von b zur Bsis. Der Logrithmus ist lso eine Hochzhl. Mn schreibt: x = log (b). In Worten: Derjenige Exponent, mit dem mn potenzieren muss, um b zu erhlten, heißt Logrithmus von b zur Bsis. b heißt in diesem Zusmmenhng uch Numerus. Für die Bsis wird vorusgesetzt: > 0, 1 ; für den Numerus: b > Bestimmen Sie mit Hilfe der obigen Definition: log (16) ; log (7) ; log 5 ( 5 ) ; log 5 (1/5) ; log (1/4 ) ; log 10 (8) log (5) 10 ; 16. Es gilt: log (b y ) = y log (b). Bestimmen Sie dmit x in : () x = 5 ; (b) 4 x = 8 ; (c) 5 x = ; (d) x = 0.. Tipp: beide Seiten zur Bsis 10 logrithmieren. Ermitteln Sie den numerischen Wert mit dem Tschenrechner. Mchen Sie die Probe. 17. Formen Sie mit Hilfe der Logrithmengesetze um: x y ) log ( 4 u v ) b) log ( 4 ) c) log (u) log (v) + 4 log (z) d) log ( x ) log 4 ( x ) 18. Wenn eine Volkswirtschft jedes Jhr um % wächst, wnn ht sie sich dnn verdoppelt? Tipp: Aufgben 14 und 16!

8 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich. Aufgbenbltt: Linere und qudrtische (Un-)Gleichungen, Wurzelgleichungen Linere Gleichungen: die Unbeknnte kommt nur in der ersten Potenz vor 1. Bestimmen Sie lle Lösungen (die Lösungsmenge) der folgenden Gleichungen: ) 14 + x = 11 7x b) 17 ( x) 8 (1-7x) = 5 (x + 1) c) ( + b) x = (b - ) x (c + b x) d) 5x x x 4 4x e) 8 (1-7x) 5 (x + 1) = 17(x -) 4 Bruchgleichungen: die Unbeknnte kommt im Nenner vor. Vorgehen: Definitionsbereich festlegen und dnn mit dem Huptnenner multiplizieren.. Die folgenden Bruchgleichungen führen uf linere Gleichungen: ) 1 1 x x b 5x 4x 9 b) 7x 9 9 7x Qudrtische Gleichungen: die Unbeknnte kommt uch in der zweiten Potenz vor. Solche Gleichungen knn mn mit der qudrtischen Ergänzung lösen. Liegt die Gleichung in der Normlform vor, lso x + p x + q = 0, knn mn uch die p-q-formel nwenden.. Bestimmen Sie lle reelle Lösungen der folgenden Gleichungen: ) 4x = 5 6x b) x 4 x 1 = 0 c) 16x x 1 x 4 97x + 85 = 0 d) x 1 x 1 x x 1 4. Bestimmen Sie den Prmeter t so, dss die Gleichung x + 4x = t genu eine Lösung ht.

9 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich (Qudrt-) Wurzelgleichungen: hier muss mn zunächst die Wurzel isolieren und dnn qudrieren. Dbei können Scheinlösungen uftreten: Probe (oder vorheriges Nchdenken) ist unerlässlich. 5. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: ) 0 - x = x b) x + = 6x 5 c) x - 8x 5 = - 4 d) x 4 + = x Ungleichungen: hier muss mn vor llem bechten, dss sich ds Reltionszeichen umdreht, wenn mn mit einer negtiven Zhl multipliziert. Mn knn uch hilfsweise die zugehörige Gleichung lösen und dnn nchdenken. 6. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen: ) x x b) 1 x c) 9x 5 < 0 d) x 8x + 8 > 1 4 Treten in einer lineren Gleichung zwei Vriblen uf, beschreibt diese Gleichung in einem zweidimensionlen Koordintensystem eine Gerde: x + b y + c = 0 y = c/b (/b) x (für b 0). Werden zwei linere Gleichungen kombiniert, erhält mn ein lineres Gleichungssystem mit Unbeknnten. 7. Zeichnen Sie die durch die folgenden Gleichungen bestimmten Gerden. Geben Sie uch die Schnittpunkte mit den Koordintenchsen, die Steigung und den Schnittwinkel mit der x-achse n: ) x + y + 1 = 0 b) x y 6 = 0 8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden lineren Gleichungssysteme und interpretieren Sie ds Ergebnis geometrisch. ) x + y + 1 = 0 ; x y 6 = 0 b) x 4y = ; -x +8y + 4 = 0 c) x 4y = ; -x +8y + 6 = 0 Eine qudrtische Gleichung der Form y = x + b x + c beschreibt in einem zweidimensionlen Koordintensystem eine Prbel. 9. Bestimmen Sie für die folgenden Prbeln die Schnittpunkte mit den Koordinten- chsen und den Scheitelpunkt: ) y = x 6x + 8 b) y = x + 7x 6

10 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 4. Aufgbenbltt: Geometrie und Trigonometrie Wird ein Grdenkreuz von zwei Prllelen geschnitten, entstehen zwei ähnliche Dreiecke. Ähnliche Dreiecke hben gleiche Seitenverhältnisse. Druf bsieren die Strhlensätze. 1. Gegeben sei die folgende Sitution: OC cm, OA 4cm, OB 7cm, AC. cm. Gesucht sind die Längen der Strecken OD und BD. C D O A B In jedem Dreieck gelten der Sinus-Stz und der Cosinus-Stz. In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten: der Stz des Pythgors, der Höhenstz und der Kthetenstz.. In einem rechtwinkligen Dreieck mit c ls Hypotenuse sind gegeben: die Länge der Seite b = 9 cm sowie q = 1 cm. Bestimmen Sie die Länge der übrigen Seiten. b c q Kreis und Bogenmß. Aus einem Kreis mit Rdius cm wird ein Sektor mit dem Öffnungswinkel 74 usgeschnitten. Wie lng ist der Bogen des Sektors und wie groß ist seine Fläche? Bestimmen Sie uch den Öffnungswinkel im Bogenmß. 4. Bestimmen Sie die Bogenmße der Winkel 0, 45, 60, 90, 10, 15, 150 und 180 in Bruchteilen von.

11 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Die trigonometrischen Funktionen werden zunächst im rechtwinkligen Dreieck definiert. Anschließend wird diese Definitionen mit Hilfe des Einheitskreises erweitert uf Winkel zwischen 0 und Bestimmen Sie die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel 0, 45, 60, 90, 10, 15, 150 und 180. Sie sollten dies zunächst ohne Tschenrechner durch Betrchtung geeigneter Dreiecke (und dnn mit Hilfe des Einheitskreises) versuchen. 6. Bestimmen Sie die Winkel im Dreieck us Aufgbe. 7. Bestimmen Sie in einem Würfel den Winkel zwischen Rum- und Flächendigonle. 8. Eine regelmäßige qudrtische Pyrmide hbe die Grundknte = 4 cm und die Seitenknte s = 8 cm. Berechnen Sie ihre Höhe, ihr Volumen und ihre Oberfläche. 9. Eine Seilbhn überwindet uf einer Strecke von 50 m (längs des Seiles gemessen) den Höhenunterschied von 60 m. Wie groß ist der Steigungswinkel? 10. Berechnen Sie die fehlende Seite in einem Prllelogrmm, wenn die Grundlinie AB 8cm, der Winkel bei B mit 4 und die Länge der von A usgehenden Digonlen mit 1.5 cm ngegeben ist.

12 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Lösungen zum 1. Aufgbenbltt: Rechnen mit Klmmern und Brüchen 1. ) 11- b) 4- c)1b-14c d) 4y-x e) x-y f) 6y. ) (x+y) b) (+b)(x-y) c) (u-v)(-b) d) (x-y)(+b). ) x²-y² b) -²+b-b² c) x³-y³ d) -4³+1²b-b² 4. ) ³+²b+b²+b³ b) 4 +4³b+6²b²+4b³+b 4 c) ²+b²+c²+ b + c + bc 5. ) 5 / 70 b) (55+ 7) / 60 c) (8x+5) / ( x(x+1) ) d) (buv+cdxy) / ( cduv ) e) - / ( x(x-) ) f) x / (² -x²) g) (u³+u²-6u-) / (u (u -1) (u+1) ) 6. ) bxy / (cduv) b) b(x+y) / ( cd(u+v) ) c) 4b / (+b) d) b / (b²-²) 7. ) / b) b / (+1) c) geht nicht d) ² / (²+1) e) geht nicht f) 1 g) -1 h) geht nicht i) 1 / (b-) j) (+b) / (-b) k) geht nicht l) u² m) (u-v)bm / (4n²) 8. ) 1x²+7x-10 b) x+1+10/(x-) c) x²+xy+y² d) 7-5x-b 9. ) 9u-5v b) -4pq 10. ) (+b-c)(x-y) b) n(x+b)(d-c) 11. ) x < / b) 4/1 1. ) (5m²+7) / (5n) b) -1/x 1. ) x²+xy+y² b) u 4 v-u²+u²v²-v c) 4 +³b+²b²+b³+b ) 6400 b) x 1 = , x =

13 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Lösungen zum. Aufgbenbltt: Potenzen und Logrithmen 1. 8 ² 1/ 6. 11u²v³ - 7u³v² + 9uv³ , m, m 4, m 5. 1/³ ²/b b 5 /³ 6. x = 4 ; x = = ± 1/4 = ± 4 x = - ; x = = ± ( ½ ) ½ = ± 1 / = ± / x = 6 ; x = = ± () 1/6 = ± 6 x = -6 ; x = = ± (½) 1/6 = ± / = ± / 7. ) 10 x n+5 = t ; x=,n=1,m=5 t=790 b) (xy)³ = x³y³ 8. ) s= (³+1)/ 5 ; s=1 ³+1 = 5, s=0 = -1 b) s= (³-1)/ m+1 ; s=1 ³-1 = m+1, s=0 = 1 9. (b) 4 (/b) 9 / b 7/ / 5/ 5/ 8/ k b 5 b b 7 4 x 8 x 4 9 x x ² + x x + x x x 4 x 7/ + x / +b + b + b 1. b b x y stehen lssen +b; ohne die Einschränkungen: b b (für b<0 nicht def.) x y stehen lssen +b 1. x = x = -5 x = 64 keine Lösung x = 0, p = 1 : B = 1104,6 p = : B = 14,9 p = 5 : B = 168,89

14 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 15. 4; ; ½; -1; -; 8; ) x=lg(5) / lg() 1,465 b) x= lg(8) / lg(4) =1,5 c) x= lg() / lg(5) 0,41 d) x= lg(0.) / lg() -, 17. ) log (x) + log (y) 4 log (u) log (v) b) ¾ c) log (uz 4 / v²) d)1 18. n= lg() /lg (1,0),45

15 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Lösungen zum.aufgbenbltt: Linere und qudrtische (Un-)Gleichungen, Wurzelgleichungen 1. ) x = -1/ b) unlösbr c) x = (+c)/b d) x = 1/ e) x ist beliebig. ) x = (-b)/(+b) ; d x 1 sein muss, muss b 0 sein b) x = 6. ) x 1 = 1, x = -1 b) x 1 = 7, x = - c) x 1 =17/16, x = 5 d) x = 6 4. ) t = - 5. ) x = 5 b) x = 4 c) x 1 =, x = - d) keine Lösung 6. ) x > 7/5 b) x c) -5/ < x < 5/ d) x < 1 oder x > 7 7. ) y = -x 1 S1 = ( 0, -1 ) b) y = 1/ x S1 = ( 0, - ) S = ( -1, 0 ) S = ( 6, 0 ) α = -45 α 18,4 8. ) L = { (x = ¾, y = -7/4) } ; zwei Gerden, die sich in ( ¾, - 7/4 ) schneiden. b) Durch die beiden Gleichungen wird dieselbe Gerde beschrieben, nämlich y = x/4 ½. Alle Punkte uf dieser Gerden lösen ds Gleichungssystem: L = { (x,y) y = x/4 ½ } c) Es ergibt sich ein Widerspruch, L = { } ; die Gleichungen beschreiben prllele Gerden, nämlich y = x/4 1/ und y = x/4 /4, die sich nicht schneiden. 9. ) S1 = ( 0, 8 ) Scheitelpunkt, hier tiefster Punkt: (, -1 ) S = (, 0 ) S = ( 4, 0 ) 10. b) S1 = ( 0, -6 ) Scheitelpunkt, hier höchster Punkt: ( 7/4,1/8 ) S = (, 0 ) S = ( /, 0 )

16 Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich Lösungen zum 4.Aufgbenbltt: Geometrie und Trigonometrie 1. OD.5cm, BD 5. 6cm. = 14.1 cm, c = 16.8 cm. Bogenlänge:.87 cm, Fläche: 5.81 cm, Öffnungswinkel (Bogenmß): /6 /4 / / / /4 5 /6 5. s. Formelsmmlung , Höhe: 7.48 cm, Volumen: 9.91 cm, Oberfläche: cm cm Hinweis: uch wo ds Gleichheitszeichen steht, sind die Ergebnisse u.u. gerundet.