8.1 Einführung Das Logarithmieren ist die zweite Umkehroperation des Potenzierens.
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- Thilo Geier
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1 8 8. Einführung Ds Logrithmieren ist die zweite Umkehropertion des Potenzierens. Potenzieren 3 Rdizieren 9 Logrithmieren 3 9 Es ist der Potenzwert gesucht (Ergebnis Kettenmultipliktion). Mn erhält durch Potenzieren (Kettenmultipliktion): 3 9 Es ist die Bsis gesucht. Mn erhält durch Rdizieren (Wurzelziehen): Es ist der Eponent (Logrithmus) gesucht. Mn erhält durch Logrithmieren: 3 log 9 mn liest: «Logrithmus von 9 zur Bsis 3 gleich» Den Logrithmus berechnen heisst den Eponenten einer Potenz bestimmen! 8. Der Begriff des Logrithmus (Definition) Eine Logrithmusgleichung knn immer uch ls Eponentilgleichung umgeschrieben werden. Beim Logrithmieren verwendet mn llerdings ndere Bezeichnungen. log b b Logrithmusform Eponentilform : Bsis : Bsis b: Numerus b: Potenzwert : Logrithmus : Eponent Beispiele log log '000 '000 0 log log
2 8.3 Prktische Anwendung des Logrithmus Der Logrithmus kommt zum Beispiel dort zur Anwendung, wo Gleichungen nch dem Eponent (Hochzhl) umgeformt werden müssen (Eponentilgleichungen). Solche Gleichungen kommen bei der Zinseszinsrechnung, in der Elektrotechnik (Aufldung Kondenstor, Momentnwert des Einschltsstroms von Spulen), bei Wchstums- und Zerfllsgesetzen, Messung von Lutstärke und so weiter vor. Beispiel Zinseszins In wie vielen Jhren verdoppelt sich ein Kpitl bei % Jhreszins? Zhlenbeispiel mit der Annhme eines Anfngskpitls K 0 = 000 und p = %: Abkürzung Kpitl n (Anzhl Jhre) Kpitl Anfng Jhr Zinsertrg Kpitl Ende Jhr K = K K = K K = K 3 usw. Allgemeine Berechnung nlog Zhlenbeispiel: Abkürzung Kpitl n (Anzhl Jhre) Kpitl Anfng Jhr Zinsertrg Kpitl Ende Jhr K 0 0 K 0 K p K p p 0 0 K0 K0 K K K p K K p p K K K K K p K p p K K K K usw. Herleitung Zinseszinsformel: us Zeile : p K0 K 00 us Zeile : p K K 00 p p in : K0 K K somit: K K0 00 llgemein : p p Kn K0 00 n K n : Kpitl m Ende des n-ten Jhres (Endkpitl) K 0 : Kpitl zu Beginn der Lufzeit (Anfngskpitl) p: Zinsstz in Prozenten n: Anzhl Zeitbschnitte (meistens Jhre)
3 Mit Hilfe der Zinseszinsformel knn nun eine Gleichung für ds Problem ufgestellt werden. gegeben: K n = K 0, p = % gesucht: n =? Lösung: n K K :K n n.0 log.0 n Eponentilform Logrithmusform oder mit gesetzen (siehe Skript) umgeformt: n.0 lg lg lg.0 n lg n lg.0 : lg.0 lg n 35 lg.0 Antwort: Bei % Jhreszins verdoppelt sich ein Kpitl in 35 Jhren. 3
4 8.4 Übungen Verwndeln Sie folgende Potenzgleichungen in Logrithmusgleichungen:
5 Verwndeln Sie folgende Logrithmusgleichungen in Potenzgleichungen: 8. log log log3 0. log6 6. log 3. log log
6 Verwndeln Sie in eine Potenzgleichung und berechnen Sie dnn : 5. log3 6. log8 7. log 5 8. log log3 0. log 3. log5 6
7 Bestimmen Sie durch Umwndlung in eine Eponentilgleichung:. log 8 3. log0 4. log6 5. log log log6 8. log 7 3 7
8 3 9. log b 30. log 3. logb b 5 3. log log log 0 8
9 8.5 Spezilfälle log 0 0 weil log weil log log log weil weil weil log b b log : b weil log b b in b 8.6 Gültigkeit Der Zhlenbereich, in dem gerbeitet wird, sind die reellen Zhlen. Der Logrithmus soll in dieser Zhlenmenge bleiben. Dzu müssen für die Bsis und den Numerus einige Bedingungen erfüllt sein. Bedingungen für Numerus b: Der Logrithmus ist für b 0 nicht definiert: log Widerspruch 0 log Widerspruch somit gilt: b > 0 Bedingungen für Bsis : Der Logrithmus ist für 0 und für = nicht definiert: log nicht definiert log nicht eindeutig, könnte beliebige positive Zhl sein 0 log nicht eindeutig, könnte beliebige Zhl sein somit gilt: > 0 und Zusmmenfssung Definition (Grundformel) und Gültigkeit: log b 0,, b 0 b 9
10 8.7 Die Whl der Bsis mit gleicher Bsis bilden ein system. Um bei von gängigen Systemen die Bsis nicht immer mitschreiben zu müssen, werden folgende Kurzschreibweisen benutzt: Logrithmus mit der Bsis Schreibweise Bezeichnung Anwendung Bemerkung log 0 lg (lg = log 0 ) Logrithmus zur Bsis Zehnerlogrithmus (dekdischer L.) lb (lb = log ) Binärlogrithmus e ln (ln = log e ) ntürlicher Logrithmus beliebige Bsis m meisten verbreitet vor llem in der Informtik Wchstum und Zerfll llgemeine Formulierung von Henry Biggs vorgeschlgen uch Logrithmus dulis (ld) Logrithmus nturlis (ln) Ntürliche (ln) Die zu der Grundzhl e ( ) spielen in der Physik und Technik eine wichtige Rolle. Die Eulersche Zhl ist nch Leonhrd Euler bennnt, der e ls Bsis des ntürlichen Logrithmus einführte. Leonhrd Euler wurde in Bsel geboren und wr einer der bedeutendsten Mthemtiker. Euler wr etrem produktiv. Es gibt insgesmt 866 Publiktionen von ihm. Leonhrd Euler wr uf der Schweizerischen 0 Frnken Bnknote bgebildet (Serie von 984): Die beknnteste Drstellung der Eulerschen Zhl lutet wie folgt: e... k0k! 0!!! 3! 4! 5! e
11 8.8 gesetze Logrithmus eines Produktes (Produkteregel) log bc log b log c Ein Produkt wird logrithmiert, indem mn die der Fktoren ddiert. Beweis: Potenzgesetz/Substitution y y y mit b und c drus folgt: bc y log bc y Rücksubstitution mit mit und dmit () in (): b b log b y c log c y log c log b logc Zhlenbeispiel lg0 00 lg0 lg00 3 lg ' '000 Logrithmus eines Quotienten (Divisionsregel) b log log b log c c Ein Bruch wird logrithmiert, indem mn vom Logrithmus des Zählers den Logrithmus des Nenners subtrhiert. Beweis: Potenzgesetz/Substitution drus folgt: Rücksubstitution und dmit () in (): y y mit b und c y b y b log y c c mit b log b y mit c log c y b log log b log c c Zhlenbeispiel '000 lg lg'000 lg0 0 lg
12 Logrithmus einer Potenz (Potenzregel) n log b n logb Eine Potenz wird logrithmiert, indem mn den Logrithmus der Potenzbsis mit dem Eponenten multipliziert. Beweis: setzt mn b log b Potenz mit n potenziert n b n log n b n n und dmit () in (): log b nlog b Zhlenbeispiel 3 lg0 3 lg0 3 lg' '000 3 nschulicher Beweis: log 5 log 555 log 5 log 5 log 5 3 log 5 Achtung bei Summen und Differenzen: log b c log b log c kein Gesetz für Logrithmus einer Summe Ergebnis Multipliktionsregel log b c log b log c kein Gesetz für Logrithmus einer Differenz Ergebnis Divisionsregel Zhlenbeispiel lg7 3 lg0 lg7 lg somit: lg 7 3 lg7 lg3 Fzit: Es gibt keine Logrithmusgesetze für Summen und Differenzen. Eventuell können Summen und Differenzen nch dem Zusmmenfssen logrithmiert werden.
13 Umrechnung in die Bsis b mit Hilfe der Bsis (Bsiswechsel) log c logb c log b Eine Potenz wird logrithmiert, indem mn den Logrithmus der Potenzbsis mit dem Eponenten multipliziert. Beweis: setzt mn: so ist in Potenzform: drus folgt: Potenzregel uf () ngewendet: und dmit (3) in (): log c b b c log b log c log c logb logc 3 log b log c logb c log b log0 8 lg Zhlenbeispiel log log 3 lg Beweisführung mit konkreten Zhlenwerten: lg8 log lg3 lg8 lg3 lg8 4 beide Seiten lg3 Potenzregel logrithmieren mit Zehnerbsis die Berechnung knn mit beliebigen Bsen durchgeführt werden: ln8 log ln3 ln8 ln3 ln8 4 beide Seiten Potenzregel ln3 logrithmieren mit der Bsis e 3
14 8.9 Logrithmieren mit dem TI Ntürlicher Logrithmus Beispiel: ln64 =? Eingbe: Disply: Ergebnis: 6 ln Näherung: Näherung direkt: Eingbe Kontrolle: Disply: Ergebnis: 64 4
15 Zehnerlogrithmus Beispiel: lg300 =? Eingbe: log(300) Die Funktion log() ist über erreichbr! Disply: Ergebnis: log(300) Näherung:.477 Näherung direkt: log Eingbe Kontrolle: Disply: Ergebnis: 300 5
16 Beliebige Logrithmusbsis (nur mit Titnium) Beispiel: log 7 =? Eingbe: log(7,) Die Funktion log() ist über erreichbr! Disply: Ergebnis: log (7) Näherung: Näherung direkt: log Eingbe Kontrolle: Disply: Ergebnis: 7 Hinweis: Mit dem normlen TI muss eine beliebige Bsis über die Umrechnungsformel (siehe Seite 3) berechnet werden: Beispiel: log 7 =? Eingbe: Disply: 6
17 8.0 Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgben: Nummer Seite Bemerkungen 7 (b, c, e, f, i) 60 Kontrolle mit TI üben 73 (lle) 60 Kontrolle mit TI üben 74 (lle) 60 Kontrolle mit TI üben 76 (lle) 6 Kontrolle mit TI üben 78 (lle) 6 79 (e, f, h, i) 6 Kontrolle mit TI üben 80 (lle) 6 Kontrolle mit TI üben 8 (lle) 6 Kontrolle mit TI üben 83 (lle) 6 Kontrolle mit TI üben 84 (b, c, e, f) 6 Kontrolle mit TI üben 85 (e, f, h) 6 Kontrolle mit TI üben 86 (b, h) 63 Kontrolle mit TI üben 87 (c, e, f) 63 Kontrolle mit TI üben Kontrolle mit TI üben 9 (lle) 64 Kontrolle mit TI üben 9 (b, c, d, f, h) 64 Kontrolle mit TI üben 93 (d, e, h, i) 65 Kontrolle mit TI üben 94 (, b, c, e, f) 65 Kontrolle mit TI üben (D im Lösungsbuch flsch) 95 (b, c, f, h, j, l) 65 Kontrolle mit TI üben 96 (, d) 65 Kontrolle mit TI üben 98 (, b, g, i) 66 Kontrolle mit TI üben 0 (lle) 66 Kontrolle mit TI üben 0 (c, e, f) 66 Kontrolle mit TI üben 03 (lle) 67 Kontrolle mit TI üben 04 (lle) 67 Kontrolle mit TI üben 7
18 8. Eponentilgleichungen Gleichungen, in denen die Unbeknnte im Eponenten einer Potenz vorkommt, heissen Eponentilgleichungen. Eponentilgleichungen lssen sich durch Logrithmieren lösen, wenn uf der linken und rechten Seite der Gleichung logrithmierbre Terme vorliegen. Flls sich beide Seiten der Gleichung einfch in die Form = y umformen lssen, knn die Unbeknnte uch durch «Gleichsetzen der Eponenten» bestimmt werden: y 0 y, Gleichsetzen der Eponenten Beispiel (Vrinte mit Logrithmieren) Lösen Sie die Gleichung nch uf. G = R.. Definitionsbereich bestimmen D R 33. Gleichung logrithmieren lg 4 lg 8 3. Potenzgesetz nwenden 3 3 lg 4 lg 8 4. Klmmern wegschffen (usmultiplizieren) 3 lg 4 3 lg 4 lg 8 5. lle Terme mit uf eine Seite schffen 3 lg 4 lg 8 3 lg 4 6. usklmmern 3 lg 4 lg 8 3 lg 4 3lg 4 7. isolieren 3lg 4 lg 8 8. Kontrolle mit ursprünglicher Gleichung Lösungsmenge L w 8
19 Beispiel (Vrinte mit Gleichsetzen der Eponenten) Lösen Sie die Gleichung nch uf. G = R.. Definitionsbereich bestimmen D R Gleichung uf gleiche Bsis umformen 3. Potenzgesetz nwenden Eponenten gleichsetzen isolieren bestimmen Kontrolle mitursprünglicher Gleichung Lösungsmenge L w Fzit: Flls es eine gemeinsme Bsis gibt oder durch einfche Umformung eine gemeinsme Bsis geschffen werden knn, dnn ist diese Methode sehr einfch und schnell! Es lohnt sich zuerst die Gleichung uf «gemeinsme Bsis» zu untersuchen (nicht druflos rechnen )! 9
20 Beispiel Lösen Sie die Gleichung 3 6 nch uf. G = R.. Definitionsbereich bestimmen D R 3. Gleichung logrithmieren lg 6 lg 3. Potenzgesetz nwenden 3 lg 6 lg lg 4. isolieren lg 6 5. bestimmen Kontrolle mit ursprünglicher Gleichung w 7. Lösungsmenge L
21 Beispiel 3 Lösen Sie die Gleichung nch uf. G = R.. Definitionsbereich bestimmen D R. Gleichung logrithmieren lg 0.75 lg Potenzgesetz nwenden 5 4 lg 0.75 lg Klmmer Klmmer notwendig notwendig lg geteilt durch lg lg isolieren 5 4 usrechnen 6. bestimmen Kontrolle mit ursprünglicher Gleichung Lösungsmenge L w
22 Beispiel 4 Lösen Sie die Gleichung nch uf. G = R, > 0 und Definitionsbereich bestimmen D R. Wurzel ls Potenz schreiben Eponenten gleichsetzen Brüche wegschffen isolieren 3 6. Kontrolle mit ursprünglicher Gleich n u g w 7. Lösungsmenge L 3
23 8. Übungen Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf. G = R
24
25 3. 3lg 0.0 BM-Prüfung, Fruenfeld 996 5
26 BM-Prüfung, Uri 999 6
27 8.3 Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgben: Nummer Seite Bemerkungen 359 (, c, d, f) 8 Kontrolle mit TI üben 360 (lle) 8 Kontrolle mit TI üben 36 (lle) 8 Kontrolle mit TI üben 36 (b, c) 8 Kontrolle mit TI üben 363 (, c, e) 8 Kontrolle mit TI üben 364 (, b, c, d) 8 Kontrolle mit TI üben Kontrolle mit TI üben Kontrolle mit TI üben 369 (für Elektrofchleute ) 9 Kontrolle mit TI üben Kontrolle mit TI üben 7
28 8.4 Logrithmische Gleichungen (gleichungen) Gleichungen, in denen die Unbeknnte ls Argument des Logrithmus vorkommt, heissen logrithmische Gleichungen. Zur Lösung von logrithmischen Gleichungen muss oft uf die Grundformel zurückgegriffen werden oder beide Seiten werden eponiert. Ds Umformen mit der Grundformel und ds Eponieren können zu einer nicht äquivlenten Gleichung führen. Es können Scheinlösungen entstehen. Um Scheinlösungen uszuschliessen, muss bei logrithmischen Gleichungen unbedingt die Probe durchgeführt werden. Flls sich beide Seiten der Gleichung einfch in die Form log = log y umformen lssen, knn die Unbeknnte uch durch «Gleichsetzen der Numeri» bestimmt werden: log log y y 0,, 0, y 0 Gleichsetzen der Numeri Beispiel (Vrinte mit Grundformel) Lösen Sie die Gleichung lg nch uf. G = R.. Definitionsbereich bestimmen D R Grundformel nwenden Potenzwert usrechnen isolieren berechnen Kontrolle mit ursprünglicher Gleichung lg w 7. Lösungsmenge L.078 8
29 Beispiel (Vrinte mit Eponieren) Lösen Sie die Gleichung lg nch uf. G = R.. Definitionsbereich bestimmen D R 3 lg 3 log Eponieren zur Bsis 0 es gilt lg Potenzwert usrechnen isolieren berechnen Kontrolle mit ursprünglicher Gleichung lg w 7. Lösungsmenge L
30 Beispiel Lösen Sie die Gleichung lg lg 3 lg nch uf. G = R.. Definitionsbereich bestimmen 0 D 0 3. Produktregel nwenden lg lg lg lg 3 3. Numeri gleichsetzen 3 4. isolieren 5. berechnen 6. Kontrolle mit ursprünglicher Gleichung lg lg3lg w 7. Lösungsmenge L 30
31 Beispiel 3 Lösen Sie die Gleichung log 4 log nch uf. G = R. 8. Definitionsbereich bestimmen D 0. Bsiswechsel uf der linken Seite log8 4 log 8 3. in ursprüngliche Gleichung einsetzen log log 8 log 4 4. log 8 umformen: log8 3 log Bruch wegschffen log 4 3 log log 4 log 6. Potenzregel uf rechter Seite nwenden log 4 log Numeri vergleichen lle Terme mit uf eine Seite schffen Fktorzerlegung Lösungen bestimmn e 0,, D D. Übereinstimmung mit Definitionsbereich prüfen D. Kontrolle mit ursprünglicher Gleichung log 4 log 8 log 8 log 8 w 3. Lösungsmenge L 3
32 8.5 Übungen Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf. G = R.. lg lg lg lg BM-Prüfung, Bern 996 3
33 . lg lg lg BM-Prüfung, Wetzikon
34 3. e BM-Prüfung, Wetzikon 996 ln 4 34
35 4. log 6 log BM-Prüfung, Wetzikon
36 5. lg lg 00 3 p 0 log p BM-Prüfung, Thun
37 6. lg 3 lg 4 5 lg Lndwirtschftliche BM, Zollikofen 37
38 7. lg lg 0 Frommenwiler, Aufgbe 375 d 38
39 8. ln ln mit Substitution lösen Frommenwiler, Aufgbe 376 e 39
40 9. log lg 3.5 BM-Prüfung, Uri
41 0. lg lg 3 0 BM-Prüfung, Uri 000 4
42 log BM-Prüfung, Uri 000 4
43 . lg 4 BM-Prüfung, Wetzikon
44 3 log5 3. log5 log BM-Prüfung, Wetzikon
45 4. lg 0.7 lg BM-Prüfung, Wetzikon
46 5. lg lg BM-Prüfung, Wetzikon
47 6. lg lg ln e BM-Prüfung, Wetzikon
48 8.6 Übungen, Frommenwiler Lösen Sie die folgenden Aufgben: Nummer Seite Bemerkungen 37 (d, e, f) Kontrolle mit TI üben 37 (c, d) Kontrolle mit TI üben 374 (, c, e) 3 Kontrolle mit TI üben 375 (, c, h) 3 Kontrolle mit TI üben 376 (, c) 3 Kontrolle mit TI üben 377 (b, c, d) 3 Kontrolle mit TI üben 378 (, b) 3 Kontrolle mit TI üben 48
8.1 Einführung Das Logarithmieren ist die zweite Umkehroperation des Potenzierens.
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