Logarithmen und Logarithmengesetze

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1 R. Brinkmnn Seite 9.. Logrithmen und Logrithmengesetze Wir betrhten die Gleihung 5 = 5 Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Bsis 5 und dem Eponenten. Auf der rehten Seite der zugehörige Potenzwert 5. Ersetzt mn Bsis, Eponent oder Potenzwert durh die Vrible, so erhält mn folgende Problemstellungen. 5 = Der Potenzwert wird gesuht Lösung durh Potenzieren = 5 = = 5 L = 5 = 5 Lösung durh Wurzelziehen Die Bsis wird gesuht = 5 = 5 L = {} 5 5 = 5 ( Eponentilgleihung) Lösung? Der Eponent wird gesuht { } Die Bestimmung des Eponenten heißt logrithmieren. Mn sgt: Es ist gleih Logrithmus 5 zur Bsis 5 und shreibt kurz: = log 5 ( 5 ) Wir können die Gleihung 5 = 5 zunähst durh probieren lösen: 5 = 5 = log 5 = L = denn 5 = 5 5 { } Definition = log ( b) = b für ; b \ { } ; \ { ; } + + Der Logrithmus ist der Eponent (), mit dem die Bsis () potenziert wird, um den Potenzwert (b) zu erhlten. Mn sgt: ist der Logrithmus von b zur Bsis. Beispiele: log 8 = denn = () log 6 = denn 4 = 6 log 65 = 4 denn 5 = 65 log = denn = log = denn = 4 log (,) = denn = =, log 4 ( ) = denn 4 = 4 = 4 log = denn 4 = = = 4 4 Logrithmen zu gebräuhlihen Bsen. Mit dem Tshenrehner lssen sih Logrithmen zur Bsis und solhe zur Bsis e (Ntürliher Logrithmus) berehnen. Ntürlihe Whstumsvorgänge werden oft durh mthemtishe Terme, in denen Potenzen der Zhl e enthlten sind, beshrieben. Der ntürlihe Logrithmus (Logrithmus Nturlis) wird in Nturwissenshft und Tehnik häufig verwendet. Deshlb ht mn für solhe Logrithmen besondere Shreibweisen eingeführt. log : = lg Logrithmus zur Bsis (dekdisher Logrithmus) e = log : ln Logrithmus zur Bsis e (ntürliher Logrithmus) Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: von 9

2 R. Brinkmnn Seite 9.. Sonderfälle Aus der Definition des Logrithmus = log b = = b folgt unmittelbr: log = denn = log = für den Logrithmus zur Bsis lg = denn = lg = für den dekdishen Logrithmus ln e = denn = ln e = e für den ntürlihen Logrithmus () () () () log = denn = log = für den Logrithmus zur Bsis lg = denn = lg = für den dekdishen Logrithmus ln = denn = ln e = für den ntürlihen Logrithmus Logrithmus im Eponenten. Vielfh sind für Termumformungen folgende Beziehungen nützlih: log ( b) log ( ) = log b = b = b Zhlenbeispiel: = lgb lg( 5) = lg b = b = b Zhlenbeispiel: 5 = ln( b) ln( 9) = ln b e = b e = b Zhlenbeispiel: 9 = e Logrithmengesetze Regel Der Logrithmus eines Produktes ist gleih der Summe der Logrithmen der einzelnen Fktoren. ( ) = + log b log b log lg 5 = lg 5 = lg 5 + lg = lg 5 + Regel Der Logrithmus eines Quotienten ist gleih der Differenz der Logrithmen von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner). b log = log b log 4 log 7 = log 7 ( 4) log 7 ( 7) = log 7 ( 7) log 7 ( 7) = = 7 Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: von 9

3 R. Brinkmnn Seite 9.. Regel Der Logrithmus einer Potenz ist gleih dem Logrithmus der Bsis multipliziert mit dem Eponenten. = log b log b 5 log = 5 log = 5 = 5 D jede Wurzel ls Potenz mit gebrohenem Eponenten geshrieben werden knn, gilt uh für Wurzeln die Potenzregel. Für Wurzeln gilt: log b = log b = log b ln ( e ) = ln e = ln( e) = Umrehnung von einem Logrithmensystem in ein nderes. D mit dem Tshenrehner nur dekdishe und ntürlihe Logrithmen berehenbr sind, ist es von Fll zu Fll notwendig Logrithmen umzurehnen. Regel lg( b) ln ( b) log ( b) = = lg ln lg 5 ln 5 log ( 5) =, oder log ( 5) =, lg ln Beweis: = log b = b y y = log b = b y y = log ( b) lg( b) ln( b) ( b) log ( ) lg( ) ln( ) = log log = log log = y log log = y Für und y die Logrithmen einsetzen und nh log log b log log b : log log = = = b umstellen Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: von 9

4 R. Brinkmnn Seite Beispiele zur Anwendung der Logrithmengesetze: Beispiel : Der Bruhterm soll zur Bsis logrithmiert werden. b d e b b lg = lg = lg + lg b + lg lg d lg e d e d e Beispiel : Die Logrithmenterme sollen zu einem Logrithmenterm zusmmengefsst werden. 4 ln ln y + ln z z z ln ln( y) + ln( z) = ln ln = 5 y y Beispiel Umformungen mit Logrithmus im Eponenten. ln( ) ln( ) lg( 4 ) = = = = ln( ) lg( e) lg( e ) e e 4 ln lg 4 e = e = = = e Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: 4 von 9

5 R. Brinkmnn Seite Logrithmishe Sklierungen Die Grphen der Funktion f() = und g() = e sollen in einem Koordintensystem drgestellt werden e Ein Nhteil dieser Drstellung ist, dss Funktionswerte für kleine Werte niht mehr bgelesen werden können. Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: 5 von 9

6 R. Brinkmnn Seite lg y,5,5 lg y,77 y = y = e,5 =,7,77 - -,5 - -,5 - -,5 -,5,5,5,5 - -,5 lg y =,7 - -,5 - Bei einer logrithmishen Sklierung der y Ahse werden die Grphen zu Gerden. Auf der y Ahse werden die Logrithmen der Funktionswerte bgetrgen. y = lg y = lg = lg = lg y = Gerde durh den Ursprung mit der Steigung = + y = e lg y = lg e = lg + lg e lg e = + Gerde mit der St ge lg y lg e eigung l Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: 6 von 9

7 R. Brinkmnn Seite Die ttsählihen Werte müssen berehnet werden. Der Wert,7 uf der y Ahse bedeutet lg y =,7 y =,,7 Der Shnittpunkt des Grphen der Funktionen f() = mit dem der Funktion g() = e wird bei logrithmisher Sklierung der y Ahse uf den Shnitt zweier Gerden zurükgeführt. f() = g() = e (Eponentilgleihung) Lösung durh logrithmieren: lg = lg e lg = lg + lg e = + lg e lg( e) = ( lg( e) ) = =,77 lg e lg y = lg = lg =,77,77,77 lg y = lg e = lg + lg e = +, 44,77 f() 58,88 S,77 58,88 Shnittpunkt beider Grphen Kontrolle: g() e 58,7 (Abweihungen durh Rundung) Nh Gbe eines medizinishen Präprtes stirbt ein Bkterienstmm nh λ t der Funktion N() t = N e b. Dbei bedeuten: N() t Anzhl der Bkterien nh der Zeit t N Anzhl der Bkterien zum Zeitpunkt t = λ Abklingkonstnte Die Zeit, nh der die Hälfte der Bkterien bgestorben ist, wird Hlbwertzeit τ gennnt. Grphish lässt sih dieser Vorgng wir folgt drstellen: Linere Sklenteilung Logrithmishe Sklenteilung Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: 7 von 9

8 R. Brinkmnn Seite Stellen Sie einen Zusmmenhng zwishen der Abklingkonstnten λ der Hlbwertszeit τ dr. und Hlbwertszeit: N( τ ) = N λ τ N = N e = e λ τ N τ = N e λ τ e = logrithmieren λ τ ln ( e ) = ln umformen λ τ ln e = ln ln λ τ = () ln ln : τ λ τ λ = λ = ln ln ln τ τ () Dmit knn mn uh shreiben: N t = N e ln t τ Bemerkung: Die Hlbwertszeit ist die Zeit, in der sih ein eponentiell mit der Zeit bnehmender Wert hlbiert ht. Zusmmenfssung der wihtigsten Logrithmengesetze Logrithmus zur Bsis = log b = b log b = log b + log b log log ( b) log ( ) log ( b ) log ( b ) = = log ( b) log ( b) log = log = b = b = Logrithmus zur Bsis (Zehner- oder dekdisher Logrithmus) [LOG]-Tste = lgb = b lgb ( ) = lgb + lg b lg lg( b) lg( ) lg( b ) lg( b ) = = lg( b) lg( b) lg = lg = b = b = Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: 8 von 9

9 R. Brinkmnn Seite Logrithmus zur Bsis e (Ntürliher Logrithmus oder Logrithmus Nturlis) = ln b e = b ln b = ln b + ln b ln ln( b) ln( ) ln( b ) ln( b ) = = ln( b) ln( b) ln e = ln = b = e b = e Umrehnung von einem Logrithmensystem in ein nderes. lg b ln b lg 5 ln 5 log ( b ) = = log ( 5) = =, lg ln lg ln Erstellt von R. Brinkmnn p_logrithmen_.do 9.. :9 Seite: 9 von 9