Wir lassen die Funktionen grafisch darstellen: plotfunc2d(dq_f_a(h),dq_f_b(h),dq_f_c(h),h=-1..1)

Transkript

1 Lösungen zum Wochenpln Ableitungen f := -> *^; g := -> -^; k := -> sqrt(); - Wir können den Differenzenquotienten n den Stellen,b,c uch ls Funktion von h definieren dq_f_ := h->(f(+h)-f())/h; dq_f_b := h->(f(+h)-f())/h; dq_f_c := h->(f(-+h)-f(-))/h; h f + h - f h h f + h - f h h f h - - f - h 1 Wir lssen die Funktionen grfisch drstellen: plotfuncd(dq_f_(h),dq_f_b(h),dq_f_c(h),h=-1..1)

2 plotfuncd(dq_f_(h),dq_f_b(h),dq_f_c(h),h=-1..1) h -10 1/h*(*(h + )^ - 8) 1/h*(*(h + )^ - 0) 1/h*(*(h - )^ - 18) oder bestimmen die Werte in Abh von h in Form der in der Schule verwendeten Tbelle oder dq_f_(h) $ h in {-1,-0.,-0.1,-0.001,0.001,0.1,0.,1} 6, 7.0, 7.8, 7.998, 8.00, 8., 9.0, 10 Es ist zu sehen, wie für h->0 der Differenzenquotient gegen 8 strebt. Anlog für die nderen Stellen dq_f_b(h) $ h in {-1,-0.,-0.1,-0.001,0.001,0.1,0.,1}; dq_f_c(h) $ h in {-1,-0.,-0.1,-0.001,0.001,0.1,0.,1} 18, 19.0, 19.8, , 0.00, 0., 1.0, - 1, - 1.0, - 1., , , , , - 10 ) Vermutung: f()=8, f*(b) = 0 und f(c)=-1 Nchweis durch Ausrechnen lssen der Ableitung f(); f();f(-); Anlog die Lösungen für die nderen Funktionen ) Für die Tngente in der Stelle glt: t := ->m*+b; m := f();

3 m := f(); b := f()-f()*; m + b 8-8 Also heisst die Tngente konkret; t := -> 8*-8; 8-8 Für eine beliebige Funktion f n einer bel. Stelle gilt für die Tngente: delete f; t := -> m*+b; m := f(); b := f() - f()*; t(); m + b f f - f f - f + f Jetzt knn mn z.b. die nderen Funktionen und Stellen einsetzen

4 ) Definition der Funktion und Zeichnen des Grphen reset(); g := -> -*^+*^ - Nullstellen solve(g()=0,) 0, -, plotfuncd(g(),=-..,yrnge=-..,gridvisible) Der Grph der Funktion steigt zunächst bis =-1 n, ht dort einen Hochpunkt (-1 ), fällt dnn wieder bis =0, dort ht er einen Tiefpunkt (0 0), steigt dnn wieder bis =1, ht dort den Hochpunkt (1 ) und fällt dnn wieder. Nullstellen liegen c. bei = -1., 0, 1.. Wendepunkte scheinen bei c W1 (-0. 1) und W (0. mnurgerdeeponentenenthälti Grfvonei DderTer Rechts-i Achse. 1).InWgehtder nerli nks-i nerechtskrümungüberundi nw1vonei neli nkskrümung. stdergrphsmetri schzur- b) Anwendung von Summen-,Fktor- und Potenzregel liefert g()= -8* +8* oder

5 oder g(); plotfuncd(g(),g(),=-..,yrnge=-..,gridvisible) *^ - *^ 8* - 8*^ c) Wndertngente Wie bereits unter Aufgbe 1. hergeleitet gilt für die Tngente n den Grpgen von g im Punkt ( g()) t := -> g()* + (g()-g()*) g + g - g Die Tngenten n den Stellen =0,1, lssen sich lso zeichnen durch plotfuncd(g(),t() $ = 0.. step 0.,=-..,YRnge=-..) *^ - *^ 0.0* * * oder ls Animtion

6 oder ls Animtion plotfuncd(g(),t(),=-..,=-..,yrnge=-..) *^ - *^ *^ - *^ - *(8* - 8*^) + *(8* - 8*^) +. Aufgbe siehe Unterrichtsufzeichnungen dzu 1. Ist richtig d der Grph einer lin. Funktion eine Gerde ist und diese eine konstnte Steigung ht. z.b. f()= *+1 ht die konstnte Steigung und f() =. Ist richtig für ntürliche Werte von m, die 1. Abl. von m ist m* (m-1), m- mliges Ableiten liefert lso f m() = m*(m-1)*...* m-m, noch einml bleiten liefert lso 0. Heisst j, dss die Änderungsrte der Funktion genu so groß ist wie der Funktionswert selbst. Könnte lso eine Eponentilfunktion sein d bei denen j die Änderung der Funktionswerte proportionl zum bestehenden Funktionswert ist. 6. Ist richtig, Beispiel ist die Funktion g us der Aufgbe, die ist smm. zur -Achse (ht nur gerde Eponenten) und die Ableitungsfunktion ht nur

7 ungerde Eponenten ist lso sm. zum Ursprung. Mögliche Lösungen bei,b sind für die Funktionen: f := -> -(+)*(-0)*(-); g := -> (+)^*(-0)*(-)^; Zur Überprüfung lssen wir f und g sowie die Ableitungen f und g zeichnen: plotfuncd(f(),f(),=-..,yrnge= ) 7 10

8 *( - )*( + ) - *( - ) - *( + ) - ( - )*( + ) plotfuncd(g(),g(),=-..,yrnge=-60..0) *( - )^*( + )^ ( - )^*( + )^ + *( + )^*(* - ) + *( 8