definiert ist, heißt an der Stelle x0

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1 1 Stetigkeit 1 Stetigkeit Bei der Behndlung der bschnittsweise deinierten Funktionen km es vor, dss der Grph dieser Funktion n der Nhtstelle einen Sprung ht. Andere dgegen hben keine Sprungstelle! Doch wie knn mn nun rechnerisch zeigen, welcher dieser beiden Fälle vorliegt? Deinition: Eine Funktion, die in der Umgebung von x deiniert ist, heißt n der Stelle x ID stetig, wenn sie 1.) ür x x einen eindeutigen Grenzwert besitzt..) Grenzwert und Funktionswert ür diese Stelle gleich groß sind. Also wenn gilt: lim (x) lim (x) (x ) x x x x Stetig (kontinuierlich) heißt lso, dss n der Stelle x keine Sprungstelle vorliegt. Eine Funktion heißt stetig in einem Intervll, wenn sie n jeder Stelle des Intervlls stetig ist. Beispiele: Untersuche olgende Funktionen u Stetigkeit n der Stelle x 1.) : x x 3 x 1.) 3.) x x x 1 : x x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 : x x x x 1 1 x x x : x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 1

2 1 Stetigkeit Augben zur Stetigkeit (Lösungen) Augbe 1: Untersuche olgende Funktionen u Stetigkeit n ihrer Nhtstelle! Zeichne nschließend die Grphen der Funktionen. ) 1 x ür x 1 : x 1 x ür x 1 b) : x 3 x x ür x 1 1 x ür x 1 c) : x x ür x 1 x ür x 1 1 3

3 1 Stetigkeit d) x x ür x 1 : x 5x ür x 1 ür 1 x Augbe : Bestimme den Prmeter IR so, dss die Funktion n ihrer Nhtstelle stetig wird. ) 1 x ür x 3 : x,5 3x ür x 3 3

4 1 Stetigkeit x 1 ür x : x 1 x ür x b) c) 3x 4x ür x : x oder : x 4 ür x Augbe 3: Gegeben ist die Funktion x 1 x t ür x (x) x 3 ür x x mx 1 ür x 7 ) Bestimme t IR so, dss die Funktion n der Stelle x stetig wird. ( t ) 3 1 b) Für welche m IR ist die Funktion n der rechten Nhtstelle unstetig? ( m ) Augbe 4: Gegeben ist die bschnittsweise deinierte Funktion 1 3 x x x 4 4 ) : x x 5 x 4 4 oder 1 x x 1 x 3 3 b) : x x x 3 oder 1 Schreibe zunächst ls vollständig bschnittsweise deinierte Funktion und bestimmen IR so, dss n der rechten Nhtstelle stetig wird. 4

5 1 Stetigkeit Augbe 5: Gegeben ist die Funktion 11 x x x : x 1 x x 1 x ) Untersuche die Funktion u Stetigkeit n der Stelle x. b) Bestimme sämtliche Nullstellen der Funktion. c) Zeichne den Grphen G im Bereich 5,5 x 5. Augbe 6: Gegeben ist die Funktion 1 3 x x x 4 x 1 4 : x 3 x 3 x 1 4 ) Untersuche die Funktion u Stetigkeit n der Stelle x 1. b) Bestimme sämtliche Nullstellen der Funktion. c) Zeichne den Grphen G im Bereich 5 x 3. 5

6 1 Stetigkeit Augbe 7: Gegeben ist die Funktion 1 4 x x 4 x 1 4 : x 1 x x 1 ) Untersuche die Funktion u Stetigkeit n der Stelle x 1. b) Bestimme sämtliche Nullstellen der Funktion. c) Zeichne den Grphen G im Bereich 3 x 4. 6

7 1 Stetigkeit Eigenschten stetiger Funktionen 1.) Sind zwei Funktionen g und h in einem gemeinsmen Intervll stetig, so sind die Funktionen g h; g h und g h ebenlls in diesem Intervll stetig..) Die Funktionen g : x c c IR und h : x x sind im gnzen Deinitionsbereich stetig. Wrum sind dnn die Funktionen : x x; x ; x ;... stetig? 3.) Jede gnzrtionle Funktion ist in ihrem Deinitionsbereich stetig. 4.) Extremwertstz: Eine in ; b stetige Funktion besitzt in und einen größten Funktionswert. ; b einen kleinsten G b Bemerkung: Entscheidend ist die Abgeschlossenheit des Intervlls ; b, denn : x ist in 1 x ; stetig, ber nicht beschränkt. 7

8 1 Stetigkeit 5.) Zwischenwertstz: Eine in ; b stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen () und (b) mindestens einml n. G () (b) Bemerkung: Ist die Funktion unstetig, dnn muss es solch einen Wert nicht geben. 6.) Nullstellenstz: Ht eine stetige Funktion n den Rndstellen eines bgeschlossenen Intervlls ; b einen positiven und einen negtiven Funktionswert, so gibt es mindestens eine Nullstelle von in diesem Intervll. G () (b) b () (b) 3 Beispiel: Bei der Funktion : x x 4x 1; x IR indet mn durch einsetzen () 1 und (1). D in ;1 stetig ist, muss nch dem Nullstellenstz zwischen und 1 mindestens eine Nullstelle der Funktion liegen. Hinweis u Intervllhlbierung zur Nullstellenbestimmung 8