Wirsberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe. -fache

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1 Wirsberg-Gymnsium Grundwissen Mthemtik. Jhrgngsstue Lerninhlte Fkten-Regeln-Beispiele Proportionlität Gehört bei einer Zuordnung zum r-chen der einen Größe ds r-che der nderen Größe, so spricht mn von einer proportionlen Zuordnung. Beispiel: 6 9 y m m ist der Proportionlitätsktor. Die Punkte des Grphen liegen u einer Ursprungsgerden. Die olgenden Zhlenpre sind quotientengleich: { 9);6 );9 7); 6)} Es gilt nämlich: Allgemeine Zuordnungsvorschrit: Gehört bei einer Zuordnung zum r-chen der einen Größe ds r -che Funktionen der nderen Größe, so spricht mn von einer umgekehrt proportionlen Zuordnung. Beispiel: 6 4 y 6 64 Die olgenden Zhlenpre sind produktgleich: { 6);6 ); 64);4 )} Es gilt nämlich: p Allgemeine Zuordnungsvorschrit: Die Punkte des Grphen liegen u einer Hyperbel. Eine Zuordnung, die jedem Wert ür jeweils nur einen einzigen Wert ür y zuordnet, Beispiel: heißt Funktion. Gehrene Strecke Benzinverbruch Gegenbeispiel: Benzinverbruch gehrene Strecke Jeder Term ) legt eine Funktion : ) est. Die Menge ller Zhlen, ür die ein Funktionswert berechnet werden soll, heißt Deinitionsmenge Deinitionsmenge Beispiele: ) c) D m. Diejenigen Elemente us D, ür die der Funktionswert Null ergibt, heißen Nullstellen von. U : r π r Kreisumng) b) A : r π r Kreisläche) : 5 D m Q \{ } Nullstelle: ) 0 ; 5 0 ; + + D. Die größtmögliche Deinitionsmenge heißt mimle 5 ; + ;, + 5 p Seite von

2 Linere Funktionen Eine Funktion : m + t mit m t Q, heißt linere Funktion. Der Grph einer lineren Funktion ist eine Gerde. Die Zhl m gibt die Steigung, die Zhl, t den y-achsenbschnitt des Grphen n. Beispiel: : + Typische Augbe: Bestimme den Funktionsterm der Gerden, die durch die Punkte Q5 6) und P 4) verläut. yq y P 6 4 Lösung: Berechnung des Steigungsktors: m 5 P 4) in y + t eingesetzt: Q P 4 + t t, lso: g : + Wichtige Äquivlenzumormungen bei lineren Ungleichungen: -lle Termumormungen -beidseitige Addition oder Subtrktion einer Zhl oder eines Terms -beidseitige Multipliktion oder Division mit einer positiven Zhl -beidseitige Multipliktion oder Division mit einer negtiven Zhl, wenn zugleich ds Ungleichungszeichen umgekehrt wird. Beispiel: 4 + ) < < < < > > 5 Seite von

3 linere Gleichungssysteme Beispiel: I) + y Ein Zhlenpr heißt Lösung, lls ds Pr jede Gleichung des Systems erüllt. II) 4y 4 Jede Gleichung des Systems knn interpretiert werden ls Gleichung einer Gerden. Lösungsverhlten: Anzhl der Lösungen eine Lösung Keine Lösung Unendlich viele Lösungen Geom. Deutung Die Gerden schneiden sich in genu einem Punkt. Die Gerden sind prllel. Die Gerden sind identisch. Lösungsverhren: ) Einsetzungsverhren: b) Additions bzw. Subtrktionsverhren Wähle eine Gleichung us und löse sie nch einer Vriblen u. Setze diese Gleichung in die ndere ein. Beispiel: Beispiel: I) + y II) 4y 4 I) I) + y II) 4y 4 y -I) 6y 4 II) 4y 4 y ) 4y y -I)+II) 0y 0 III) y III)in I) + I) in II) 4 II) II) in I) I) 4 I) 4 L {4 )} L {4 )} Weiteres Verhren : Gleichsetzungsverhren: Mn löst beide Gleichungen nch einer Vriblen u z.b. nch ) und setzt sie gleich. So entsteht eine Gleichung mit nur einer Vriblen z.b. y). Diese wird gelöst und ds Ergebnis nschließend in eine der beiden, z.b in die nch ugelöste Gleichung, eingesetzt. Bemerkung: Die oben vorgestellten Verhren sind leicht u drei linere Gleichungen mit drei Vriblen übertrgbr. Seite von

4 Lplce- Whrscheinlichkeit Die Menge ller möglichen Ergebnisse eines Beispiele: Zullseperiments heißt Ergebnismenge Ω. Zweimliger Wur einer Münze: Ω {K,K);K,Z);Z,K);Z,Z)} Jede Teilmenge der Ergebnismenge heißt Ereignis. Einmliger Wur eines Würels: Ω {;;;4;5;6} A: Augenzhl ist gerde A{;4;6} B: Augenzhl ist durch 7 teilbr B{} Jedem Ereignis A wird eine Whrscheinlichkeit PA) zwischen null und eins zugeordnet. Zullseoerimente, bei denen lle Ergebnusse gleich Lplce Eperiment: whrscheinlich sind, heißen Lplce-Eperimente. Bei einer Lotterie gibt es 50 von bis 50 nummerierte Lose. Es wird einml blind hineingegrien. Nicht-Lplce-Eperiment: Mn wirt eine Streichholzschchtel und interessiert sich dür, welche Seite oben liegt. Berechnung von Lplce-Whrscheinlichkeiten: Mit welcher Whrscheinlichkeit ist beim Smstgs-Lotto 6 us 49 die erste gezogene Zhl gerde? P A) A Lösung: Es gibt 49 mögliche Ergebnisse, lso gilt Ω 49 Ω Außerdem beträgt die Anzhl der gerden Zhlen zwischen und 49: 4 P A 49 Somit gilt: ) 0, 49 Zählprinzip: Es stehen Stühle nebeneinnder. 6 Personen nehmen Pltz. Wie viele Sitzordnungen sind möglich? Zieht mn us k verschiedenen Mengen mit m ; m;...; mk Lösung: Für die erste Person gibt es Möglickkeiten. Elementen je ein Element, so gibt es insgesmt m m... mk Für die zweite Person gibt es 7 Möglickkeiten. Möglichkeiten. usw. Für die sechste Person gibt es Möglichkeiten Also gibt es insgesmt Möglichkeiten. Seite 4 von

5 Seite 5 von Gebrochen rtionle Funktionen Ws sind gebrochen rtionle Funktionen? Beispiele: Ds sind Funktionen, deren Term ein Bruchterm ist. : : + g : h Ws ist die Deinitionsmenge einer gebrochen rtionlen Funktion? Q \ {0} Q \ {-} Q \ {-;+} Sie enthält diejenigen Elemente, ür die der Nenner nicht Null ist. Wie bestimmt mn die senkrechten Asymptoten? ) ) : + Mn bestimmt sämtliche Nullstellen des Nenners, die nicht gleich- Nennernullstellen:,, zeitig Nullstellen des Zählers sind. Zählernullstelle: senkrechte Asymptoten:, Wie geht mn beim Rechnen mit Bruchtermen vor? Beispiele: Es gelten die Regeln ür ds Bruchrechnen. ) ) ) ) ) ) ) b) ) ) ) ) ) : Ws bedeuten negtive Eponenten? Beispiel: 0 ;, 0 N n n n 7 7 Der Grph der Funktion : +

6 Nenne die Schritte zur Lösung einer Bruchgleichung. Beispiel: ) Bilde den Huptnenner. kgv der Einzelnenner) 4 b) Multipliziere die Gleichung mit dem Huptnenner. Zu ) nicht weiter zerlegbr c) Löse die entstndene bruchreie Gleichung. 4 ) HN: - -) d) Führe die Probe durch. Zu b) Zu c) ) ) ) ) ) ) ) ) bzw. 6 Zu d) linke Seite: 6) rechte Seite: 6 6 6) 4 6 Seite 6 von

7 Ähnlichkeit Zentrische Streckung: ZP' k ZP P P Z Zwei Figuren heißen zu einnder ähnlich, wenn sie durch eine zentrische Streckung us einnder hervorgehen. Für ähnliche Figuren gilt: - entsprechende Strecken hben ds gleiche Längenverhältnis - entsprechende Winkel sind gleich groß - sind die Seitenlängen einer Figur G k-ml so lng wie die von der Figur F, so ist der Flächeninhlt von G k - ml so groß wie der von F. Ähnlichkeitssätze ür Dreiecke: Dreiecke sind bereits dnn ähnlich, - wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen, oder - wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen. Der Strhlenstz:. Strhlenstzigur:. Strhlenstzigur: c b d b c d e e + b c d e e + b e c d Seite 7 von

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