I. Zahlen. II. Funktionen. Direkt proportionale Zuordnungen. Indirekt proportionale Zuordnungen. Funktion. Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 8 ---

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1 Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 I. Zhlen --- II. Funktionen Direkt proportionle Zuordnungen x und y sind direkt proportionl zueinnder, wenn... zum n-fhen Wert von x der n-fhe Wert von y gehört die Wertepre quotientengleih sind, d.h. es x 1 gilt: x 2 zw. y 2 y 1 y 2 x 1 x 2 y k x, woei k der Proportionlitätsfktor ist ds Digrmm eine Ursprungsgerde ist y 1 2 Gurken kosten 3, 5 Gurken kosten 7, zw. 7, ,50 5 y1,5 x Indirekt proportionle Zuordnungen x und y sind indirekt proportionl / umgekehrt proportionl, wenn... zum n-fhen Wert von x der 1 n -fhe Wert von y gehört die Wertepre produktgleih sind, d.h. es gilt: x 1 y 1 x 2 y 2 Die Verpflegung reiht für 6 Personen 15 Tge. Die Verpflegung reiht für 10 Personen 9 Tge y 90 x y k x ds Digrmm eine Hyperel ist Funktion Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung: Sie ordnet jedem zulässigen x-wert genu einen y-wert zu. Shreiweisen: f : x y oder f x y f : x 1 2 x 2 oder f : f x y 1 2 x 2 Der von x hängige Wert f(x) zw. y heißt Funktionswert. Wegen der Eindeutigkeit liegen eim Grphen G f der Funktion Punkte nie üereinnder. Die Definitionsmenge ist die Menge ller zulässigen Werte von x. Die Wertemenge ist die Menge ller Funktionswerte. Funktion keine Funktion Gisel-Gymnsium Münhen-Shwing Seite 1/7

2 Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 Eine Funktion knn eshrieen werden durh: einen Grphen / ein Shuild einen Funktionsterm f x 1 2 x 2 eine Wertetelle x f(x ) y 0 2 2,5 3 Shnittpunkte der Funktion f(x) mit der x-hse (Nullstelle): y 0 (d.h. lle Punkte liegen uf der x-hse) mit der y-hse: x 0 (d.h. dieser Punkt liegt uf der y-hse) mit einer weiteren Funktion g(x): f(x) g(x) (d.h. lle Punkte die sowohl uf G g ls uh uf G f liegen) Linere Funktion Die Gleihung der lineren Funktion ht die llgemeine Form ymx t woei der Koeffizient m, die Steigung ngit, die Konstnte t hingegen den y-hsenshnitt. y2x 1 Der Grph einer lineren Funktion ist eine Gerde. Die Steigung wird m Grphen gelesen, indem mn ein Steigungsdreiek einzeihnet. Ds Steigungsdreiek ist ein rehtwinkliges Dreiek mit wgerehter Kthete der Längeneinheit 1 und senkrehter Kthete. Mn untersheidet: steigende Gerde mit m>0 (hier: y 2x + 1) fllende Gerde mit m<0 (hier: y 0,5x 0,5) Gerde prllel zur x-hse mit m0 (hier: y 1,3) Gisel-Gymnsium Münhen-Shwing Seite 2/7

3 Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 Linere Gleihungen mit zwei Vrilen Gleihungen der Form 2x y 3 heißen linere Gleihungen mit zwei Vrilen. Es gilt: (1) Jede Lösung esteht us einem Zhlenpr (xiy). (2) Die Lösungsmenge enthält unendlih viele Lösungen. (3) Die grphishe Drstellung der Lösungsmenge ist eine Gerde. Drstellung der Gleihung: Implizite Form: x y 0 ( und niht gleihzeitig 0) Explizite Form: ymx t L {(xiy) y 2x 3} Menge lle Punkte (xiy), für die gilt: y 2x 3 Sonderfälle: (1) 0, er 0 y zw. y Lösungsmenge ist eine Prllele zur x-hse. (2) 0, er 0 x zw. x Lösungsmenge ist eine Prllele zur y-hse. (keine Funktion!) Linere Gleihungssysteme mit zwei Vrilen Ein lineres Gleihungssystem (LGS) von zwei Gleihungen mit zwei Uneknnten x und y lässt sih stets uf die Form Lösungsmethoden: I. x + y e ; II. x + dy f ; (1) Einsetzungsverfhren (2) dditionsverfhren ringen. Eine lineres Gleihungssystem knn - genu eine Lösung - keine Lösung - unendlih viele Lösungen esitzen. (3) Zeihnerishe Lösung I. x + 3y 7 II. 4x y 2 (1) Einsetzungsverfhren II`. y 4x 2 in I: I`. x + 3 (4x 2) 7 x + 12x x 13 x 1 in II`: y 2 L { (1 2) } (2) dditionsverfhren 4 I II : 12y + y y 26 y 2 in II: 4x 2 2 4x 4 x 1 L { (1 2) } (3) Zeihnung Zeihnet mn die zu den eiden Gleihungen gehörenden Gerden, so vernshulihen die gemeinsmen Punkte die Lösung des LGS. Gisel-Gymnsium Münhen-Shwing Seite 3/7

4 Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 Gerohen rtionle Funktionen Funktionen wie f x 1 x, g z 3 z 2 2 oder h x 1 0,5 x, deren Funktionsterm ein x 1,5 Bruhterm ist, nennt mn gerohen rtionle Funktionen. lle Zhlen, für die der Nenner null wird, können niht zur Definitionsmenge der Funktion gehören. h x 1 0,5 x x 1,5 ; D h Q \ {-1,5} Eine Gerde, die sih dem Grphen einer Funktion f elieig genu nnähert, nennt mn eine symptote des Funktionsgrphen G f. Mn untersheidet senkrehte und wgrehte symptoten. senkrehte symptote: x -1,5 wgrehte symptote : y 0,5 Rehnen mit Bruhtermen Kürzen: Merke: Nie us Differenzen und Summen kürzen! Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruhterms jeweils durh denselen Term dividiert. Erweitern: Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruhterms jeweis mit demselen Term multipliziert. ddieren zw. Sutrhieren: Gleihnmige Brühe: zw. Ungleihnmige Brühe werden durh Erweitern uf den Huptnenner (HN) gleihnmig gemht. Der Huptnenner ist ds kleinste gemeinsme Vielfhe (kgv) der Nenner. 2 x 2 3 x 4 x 3 12 x 2 9 x x 2 x 3 x 2 x 3 2 x (2x-3) 1 x 1 x 2 (1+x) 2 2 x x 2 x 2 ; x 2 x 3 x 4 x² 12 x x 3 ; 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x x Gemeinsmer Nenner: ( + ) ( ) 2 2 ( + )( ) HN: 2 3 ( + )( ) Multiplizieren zw. Dividieren: d zw. d : d d x 2 x y : x x 2 y 2 x 2 x y x y x y x x 2 x y x y x y x x x y Gisel-Gymnsium Münhen-Shwing Seite 4/7

5 Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 Negtive Exponenten Die Definition der Potenzen wird durh 1 x n sinnvoll erweitert. x n Es gilt x m x n x m n und x m : x n x m n für m,n Z. x 3 x 4 x 2 x 3 4 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x Bruhgleihungen Eine Gleihung, ei der eine Vrile mindestens einml im Nenner uftritt, heißt Bruhgleihung. Die Definitionsmenge D ist die Grundmenge ohne die Menge ller Nullstellen ller Nenner. Durh die Multipliktion mit dem Huptnenner mht mn die Bruhgleihung nennerfrei. 2 x 2 x x 3 x 2 2 x 1 x 1 x 1 2 x 3 x 2 ; D Q \ {-1;0;1} 2 x 1 2 x 3 x 2 I x 2 x 1 (HN) 2 x 2 2 x x 1 3 x 1 x3 3 D L{3} III. Stohstik Lple-Experimente Bei der Durhführung eines Zufllsexperiments tritt genu ein Ergenis von mehreren möglihen Ergenissen ein. Die Menge ller möglihen Ergenisse eines Zufllsexperiments heißt Ergenismenge. Sie wird mit W ezeihnet. Die einzelnen Ergenisse ezeihnet mn mit w 1, w 2, w 3,.... Jede Teilmenge der Ergenismenge W eines Zufllsexperiments nennt mn Ereignis. Mn sgt: Ds Ereignis ist eingetreten, wenn ei einer Durhführung des Zufllsexperiments ein Ergenis us uftritt. Werfen eines 6-seitigen Würfels Wenn die ugenzhl von Interesse ist: W {1; 2; 3; 4; 5; 6} Ereignis : ugenzhl größer ls 4, lso {5; 6}, {5 ;6 } {1; 2; 3; 4 ;5; 6} W Gegenereignis {1 ;2 ;3 ; 4} siheres Ereignis: W unmöglihes Ereignis: { } oder Bei einem Zufllsexperiment wird jedem Ereignis eine Whrsheinlihkeit P() zwishen 0 und 1 zugeordnet. Die Whrsheinlihkeit P() wird durh ds Experiment oder durh die sih stilisierende reltive Häufigkeit eines Ereignisses nhe gelegt. P( gerde Zhl ) 0,5 P P {5;6} Gisel-Gymnsium Münhen-Shwing Seite 5/7

6 Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 Zufllsexperimente, ei denen lle Ergenisse gleih whrsheinlih sind, heißen Lple- Experimente. Mn sgt: Die Lple-nnhme ist erfüllt. Beispiele für Lple-Experimente: Werfen eines Würfels, der niht gezinkt ist. Werfen einer niht mnipulierten Münze. Beispiele für Niht-Lple-Experimente: Werfen von zwei Würfeln und etrhten der ugensumme des Wurfes. Drehen des folgenden Glüksrds: Ht ein Lple-Experiment n Ergenisse, so eträgt die Whrsheinlihkeit für jedes Ergenis 1 n. Ds Werfen eines 6-seitigen Würfels, der niht gezinkt ist, ht sehs gleih whrsheinlihe Ergenisse: P {1} 1 6 Für Lple-Experimente gilt: nzhl der für ds Ereignis günstigen Ergenisse P nzhl der möglihen Ergenisse Beispiel: Würfeln: W {1; 2; 3; 4; 5; 6} ugenzhl gerde {2; 4; 6} P 3 6 0,5 Zählprinzip: Bei einem mehrstufigen Zufllsexperiment erhält mn die nzhl der möglihen Ergenisse, indem mn die nzhl der Möglihkeiten der einzelnen Stufen miteinnder multipliziert, lterntiv: Zieht mn us k vershiedenen Mengen mit m 1, m 2, m 3... m k Elementen jeweils ein Element, so git es insgesmt m 1 m 2 m 3... m k Möglihkeiten. Möhte mn n Ojekte nordnen, d.h. n Ojekte nheinnder us einer Urne ziehen, so git es dfür n (n - 1) (n - 2) n! (sprih: n Fkultät). Von nh B führen 8 Wege, von B nh C führen 5 Wege und von C nh D verlufen 6 Wege. Es git lso Möglihkeiten, um von nh D zu kommen. 6 Personen sollen sih uf 6 Stühlen nordnen. Mn ht insgesmt ! 720 möglihe Sitzordnungen. IV. Geometrie Der Kreis (Umfng und Flähe) Die Kreiszhl π 3,14... Für den Kreisumfng gilt: U 2 π r Umfng und Rdius sind direkt proportionl. Die Kreisflähe wird wie folgt erehnet: π r² Der Fläheninhlt ist eine qudrtishe Funktion des Rdius, d.h. verdoppelt sih der Rdius, so vervierfht sih der Fläheninhlt. Eine 2 -Münze ht den Rdius r 1,3m. Ihr Umfng ist U 2 π 1,3m 2,6m π 8,17m Ihre Flähe ist π (1,3m)² 1,69 m² π 5,31m² Gisel-Gymnsium Münhen-Shwing Seite 6/7

7 Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 Strhlenstz und Ähnlihkeit Bei einer zentrishen Strekung mit dem Strekzentrum Z und dem Strekfktor k (dei sei k 0 ) gilt für den Bildpunkt ' zu einem Punkt ( Z ): (1) ' [Z (2) Z' k Z Ist der Strekfktor k 1, so wird vergrößert, ist 0 k 1, so wird verkleinert. Strhlensätze Werden zwei Gerden, die sih in einem Punkt Z shneiden, von zwei Prllelen ußerhl von Z geshnitten, so verhlten sih (1) je zwei shnitte uf der einen Gerden wie die entsprehenden shnitte uf der nderen Gerden, (2) die shnitte uf den Prllelen wie die von Z us gemessenen entsprehenden shnitte uf der einen Gerden (zw. uf der nderen Gerden) Z Z ' ' (k2) Z B' B B' B ' Z Z ZB ZB Z B Z B 1. Strhlenstz 2. Strhlenstz ' ' Figuren F und G nennt mn zueinnder ähnlih (in Zeihen: F ~ G), wenn mn F durh eine zentrishe Strekung so vergrößern oder verkleinern knn, dss ihr Bild F' zu G kongruent ist. Für ähnlihe Figuren gilt: entsprehende Seiten hen ds gleihe Längenverhältnis, entsprehende Winkel sind gleih groß. Sind die Seitenlängen von G k-ml so groß wie die von F, so ist der Fläheninhlt von G k²-ml so groß wie der von F. Dreieke sind ereits dnn ähnlih, wenn sie in zwei (und dmit in llen) Winkeln üereinstimmen (WW-Stz), oder wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten üereinstimmen (S:S:S-Stz). d d ' F ' ', ',... ', ', g g' g ' C g... g' G ' d' d' F ~ G ' C' g' B ' ' ' ' ' ' Gisel-Gymnsium Münhen-Shwing Seite 7/7