gehört ebenfalls zu einem Paar. Da 5 eine Primzahl und kein anderes Quadervolumen ein Vielfaches von 5 V o

Transkript

1 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg 999 Runde ufge Ein Würfel wird durh je einen Shnitt rllel zur order-, Seiten und Dekflähe in ht Quder zerlegt (siehe Skizze) Können sih die Ruminhlte dieser Quder wie : : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 verhlten? Lösung oremerkung: Betrhtet mn die neenstehende Skizze, so erkennt mn, dss durh den Shnitt rllel zur orderflähe vier Pre von Qudern entstehen, die wie und hintereinnder liegen Betrhten wir die gemeinsme Flähe von und ls Grundflähe, so verhlten sih ihre Ruminhlte wie ihre dritten Knten Dieses erhältnis ( ) : der dritten Knten ist für jedes der vier Pre gleih - Behutung: Die Ruminhlte der Quder können sih niht wie : : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 verhlten Beweis ( mit Widersruh ): erhlten sih die Ruminhlte wie : : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8, so sind sie gnzzhlige ielfhe des Ruminhltes o des kleinsten Quders D nun der Quder mit dem kleinsten Ruminhlt zu einem der oigen vier Pre gehört, knn ds erhältnis der Ruminhlte eines Pres nur von der Form : oder 3 : oder : ist lso gnzzhlig 8 : sein Ds erhältnis ( ) Der Quder mit dem Ruminhlt 5 o gehört eenflls zu einem Pr D 5 eine Primzhl und kein nderes Qudervolumen ein ielfhes von 5 o ist, müssen dieser Quder und der Quder mit dem kleinsten Ruminhlt o ein Pr ilden und hintereinnder liegen Die Ruminhlte der Quder der nderen drei Pre müssen sih dnn eenflls wie 5 : verhlten uh der Quder mit dem Ruminhlt o kommt in einem dieser Pre vor Sein Prtner muss dnn den Ruminhlt 5 ( o ) 0 o oder ( 5 o ) hen, woei die zweite Möglihkeit niht zutreffen knn, d die Ruminhlte gnzzhlige ielfhe von o sind Einen Teiluder mit dem Ruminhlt 0 o git es er uh niht, d der größte Ruminhlt eines Teiluders 8 o ist Lösung Ohne Einshränkung für die Lösung können wir die Kntenlänge des Würfels ls Längeneinheit verwenden Ds olumen des Würfels ist die olumeneinheit nnhme: Es git geeignete Shnitte, so dss sih die Ruminhlte der Teiluder wie : : 3: 4 : 5: 6 : 7 : 8 verhl- 8,,, ten Wegen esitzen diese Quder die Ruminhlte LWM 999 Runde Seite von 9

2 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg Durh die drei Shnitte werden jeweils vier Knten in zwei Teilstüke der Längen und zw und zw und geteilt Die Benennung der Knten wird so vorgenommen, dss gilt,, und Dnn gilt uh Mit dieser Benennung ht der Quder mit den Kntenlängen, und ds kleinste olumen, der mit den Kntenlängen, und ds zweitkleinste Der kleinste Quder Q, der zweitkleinste Quder Q,, der zweitgrößte Quder Q 7 und der größte Quder Q 8 hen dnn folgende Kntenlängen zw olumin: Somit gilt: Q,, Q,, ( ) Q 7,, ( ) ( ) 7 Q 8,, ( ) ( ) ( ) und us und folgt der Widersruh lso ist die nnhme flsh; es git lso keine 8 Shnitte, so dss sih die Ruminhlte der Teiluder wie : : 3: 4 : 5: 6 : 7 : 8 verhlten 8 3 Lösung: oremerkungen: Die Kntenlänge des Würfels wird ls Längeneinheit verwendet Wenn es eine geeignete Zerlegung des Würfels git, so sind lle olumin der Teilkörer vershieden, denn die ht Ruminhlte sollen zueinnder im erhältnis : : 3: 4 : 5: 6 : 7 : 8 stehen Die Quder 8 hen die olumin,,, Der Würfel wird nun so gedreht, dss der kleinste Quder links, vorne, unten liegt (siehe Bild) Die Bezeihnungen für die Teilstreken werden so gewählt, dss gilt Es gilt dnn uh LWM 999 Runde Seite von 9

3 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg Für die drei Strekenlängen, und gilt dnn sogr < < Wären nämlih eisielsweise und gleih groß, so wären die olumin von und dem hinter liegenden Quder gleih, denn es würde ( ) ( ) und ( ) ( ) gelten Dies steht im Widersruh dzu, dss die olumin der ht Teilkörer rweise vershieden sind Für die eiden nderen ergleihe und zw und folgt dies entsrehend Betrhten wir die sihtren Flähen der vier vorn liegenden Quder ls Grundflähen, so hen lle vier die gleihe Höhe, nämlih Ordnen wir die Ruminhlte der Größe nh, so stimmt die nordnung mit der der Fläheninhlte der sihtren Rehteke uf der orderseite üerein Quder Quder Quder Quder ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die nordnung < < < ergit sih eim ersten und eim dritten Kleiner-Zeihen us der Produktdrstellung, eim mittleren us der Summendrstellung der Fläheninhlte Dmit gilt uh < < < Die entsrehende nordnung gilt uh für die olumin der dhinter liegenden Quder, die lle die gemeinsme Höhe ( ) esitzen Es wird nun gezeigt, dss die drei Quder, und, dies ist der hinter liegende Quder, in dieser Reihenfolge die kleinsten ller ht Quder sind Dzu muss noh nhgewiesen werden, dss ds olumen des kleinsten Quders der hinteren Shiht größer ls ds olumen von und kleiner ls ds von ist Für ds olumen des Quders gilt: ( ) Wegen < gilt < und dmit uh < Wegen < gilt < und dmit uh < Betrhten wir nun die Ruminhlte der drei Teilkörer, und und ilden rweise die Quotienten, so folgt:, worus durh Umformen ( ), worus durh Umformen ( ) 3 3 Durh Einsetzen dieser eiden Werte in erhlten wir der Eigenshft ls uh zu der orge < folgt 3 folgt 4 Dies steht im Widersruh sowohl zu 3 Es ist lso niht möglih, dss die olumin der drei kleinsten Quder sih wie : : 3 verhlten LWM 999 Runde Seite 3 von 9

4 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg ufge Einem rehtwinkligen Dreiek wird uf zwei rten ein Qudrt eineshrieen Beweise: Ds Qudrt, ei dem zwei Seiten uf den Ktheten liegen, ht immer einen größeren Fläheninhlt ls ds Qudrt, ei dem eine Seite uf der Hotenuse liegt Lösung Zunähst werden die Seitenlängen der Qudrte durh Bestimmungsstüke des rehtwinkligen Dreieks B usgedrükt E - F - D B K h - G H B h Fll Mit den Benennungen in der linken ildung erhlten wir: Berüksihtigen wir, dss die Dreieke DF und DBE ei F zw E einen rehten Winkel hen, so folgt: ( ) ( ) ( ) () Fll Mit den Bezeihnungen in der rehten ildung erhlten wir: B B DEF GHK DF K DBE Die zur Grundseite K gehörende Höhe im rehtwinkligen Dreiek K ht die Länge h Dher gilt: ( h ) ußerdem gilt: K GK HB G HB ( G HB ) ( B GH ) ( ) GK HB LWM 999 Runde Seite 4 von 9

5 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg Folglih ist: ( h ) ( ) B h ( h ) () h Ein ergleih von () und () zeigt, dss die zu eweisende Behutung > äuivlent zu der Bedingung < h ist Zwishen den Strekenlängen,, und h esteht die Beziehung h Die Gültigkeit der Ungleihung > wird nun nhgewiesen: > B h, lso < h, d lle vier rilen ositiv sind, gilt uh ( ) < ( h ) < h h, wegen und h, folgt 0 < h Diese letzte Ungleihung ist für jedes rehtwinklige Dreiek erfüllt D jede Umformung eine Äuivlenzumformung wr, ist dmit uh die erste Ungleihung für jedes rehtwinklige Dreiek erfüllt Lösung Der Fläheninhlt des Dreieks B knn uf zwei vershiedene rten erehnet werden, ds Dreiek B wird jeweils us den Teildreieken und dem Qudrt zusmmengesetzt m ersten Dreiek gilt: D DE rllel zu und DF rllel zu B ist, sind die Dreieke B, DF und DBE ähnlih Für die erhältnisse der Seitenlängen ergit sih mit der Benennung in der Zeihnung: DF : B : DE : : Die Fläheninhlte der Dreieke verhlten sih zueinnder wie die Qudrte der Seitenlängen Dmit ergit sih für den Fläheninhlt des Dreieks B: F E D B () m zweiten Dreiek gilt: D die eiden Qudrtseiten GK und H uf der Hotenuse senkreht stehen, folgt mit Hilfe des Winkelsummenstzes im Dreiek, dss die vier Dreieke B, KG, BH und K ähnlih sind K G H B LWM 999 Runde Seite 5 von 9

6 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg Die erhältnisse ihrer Seitenlängen ergeen sih us der Zeihnung: : B : GK : : H : B : K Dmit ergit sih für den Fläheninhlt des Dreieks B: () Gleihsetzen der rehten Seiten der eiden Gleihung () und (), sowie nshließendes ereinfhen ergit: zw ( ) Die linke Seite der Gleihung und der zweite Fktor der rehten Seite sind ositiv, d lle rilen Strekenlängen sind Deshl ist uh ( ) ositiv D und ositive Werte sind, folgt drus > 3 Lösung Wenn zwei Dreieke in zwei Winkeln üereinstimmen, dnn sind sie ähnlih Mit den Benennungen der eiden Dreieke in den folgenden Bildern gilt: ) GK DF ) BH DBE Zwishen den Fläheninhlte und von zwei ähnlihen Dreieke mit dem Ähnlihkeitsfktor k esteht die Beziehung k Für die oen ngegeenen ähnlihen Dreieke ist k, lso k Ferner gilt nh orussetzung: 3 nnhme:, lso k Dnn ist und und 3 < Dies ist ein Widersruh zur orussetzung Die nnhme ist flsh Somit ist > D B E F α α β β G H B K 3 α β α LWM 999 Runde Seite 6 von 9

7 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg ufge 3 Beginnend mit einer gerden Zhl ( > ) wird durh die orshrift von Zhlen definiert Zeige, dss n durh mindestens n vershiedene Primzhlen teilr ist n n ( ) n eine Folge Lösung ist größer ls, d > ist ist selst eine Primzhl oder durh mindestens eine Primzhl teilr lso ist durh mindestens eine Primzhl teilr Nun wird gezeigt, dss jede Zhl dieser Folge mindestens einen Primteiler mehr esitzt ls die vorhergehende Zhl Dzu weisen wir llgemein nh, dss die Zhl n mindestens einen Primteiler mehr ht ls n Dnn esitzt mindestens einen Primteiler mehr ls, lso mindestens zwei Primteiler; 3 ht mindestens einen Primteiler mehr ls, lso mindestens drei Primteiler, usw Es gilt nh dem Bildungsgesetz in der ufgenstellung: ( )( ) lle Primteiler von n sind uh Primteiler von n n n n n Es leit noh zu zeigen, dss n mindestens einen Primteiler esitzt, der kein Teiler von n ist D n größer ls n ist, ist n ein Teiler von n, der niht ereits in n enthlten ist st n selst eine Primzhl sind wir fertig, denn dnn esitzt n den Primteiler n zusätzlih Wenn n keine Primzhl ist, so git es einen Primzhl ls Teiler von n Es wird nun gezeigt, dss kein Teiler von n ist Dies geshieht durh einen Widersruhseweis Es sei ein gemeinsmer Primteiler von n und von n, dnn ist uh Teiler von ( ) ( ) n, lso von Der gemeinsme Primteiler muss lso sein n D er n ungerde ist, knn kein Teiler von n sein lso hen n und n keinen gemeinsmen Primteiler lso ht n > mindestens einen Primteiler, der kein Teiler von n ist Die Zhl ht lso mindestens einen Primteiler mehr ls n n LWM 999 Runde Seite 7 von 9

8 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg ufge 4 Gegeen sind zwei Primzhlen und mit < Bestimme für, und lle Lösungsre ( / ) der Gleihung Lösung Die Gleihung der ufgenstellung lässt sih äuivlent umformen: Fktorisieren ( ) ( ) ( ) ist ein Teiler von und ( ) ist der dzu gehörende Ergänzungsteiler ezüglih D und zwei vershiedene Primzhlen sind, ht der Term,,, und die neun Teiler,,,, Unter Berüksihtigung von < und git es fünf Fälle und den ngegeenen Lösungsren: ( / ()) ( () / () ) ( () / () ) ( () / () ) ( / ) Lösung D und ntürlihe Zhlen sind, gilt : 0 < 0 < < 0 < < Es eistieren r, s N mit r und s mit r s Dmit gilt: r s s r ( r) ( s) ( s r) ( r) ( s) ( r) ( s) s r s r r s s r r s LWM 999 Runde Seite 8 von 9

9 Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg D und nh ufgenstellung zwei vershiedene Primzhlen sind, esitzt Fktorisierungen: ( ) () r und s () () ( ) (3) ( ) (4) ( ) ( ) z und z z r und s z und z r und s z und z r und s z und z nur die folgenden (5) ( ) ( ) r und s z z und z z Bei den restlihen Fktorisierungen ist r > s, ws der nge widersriht 3 Lösung us der Gleihung folgt oder ( ) Löst mn dies nh uf, so ergit sih ( ) Hierei sind sowohl k ls uh ntürlihe Zhlen, lso ist k ein Teiler von k Somit ist jeder Primfktor z von k ein Teiler von oder von k D z uh k teilt, ist z in jedem Fll ein Teiler von lso z oder z Somit ht k die Primfktorzerlegung k mit ntürlihen Zhlen und Zugleih ist k, denn us k > ( k) ( k) < k folgen Ds widersriht der orus- k setzung würde Wir hen lso k ußerdem < Wegen > muss nun < sein Wenn ist, so muss 0 oder sein denn für wäre k > Es leit der Fll 0, lso k Dnn ist für ( ) ( ) ( ) Wäre 3, so müsste ein Teiler von ( ) sein, insesondere uh ein Teiler von Dies ist wegen unmöglih lso ist nsgesmt leien lso fünf Möglihkeiten, die lle uh ttsählih Lösungen der Gleihung ergeen: 0, lso k Dies ergit die Lösung, ( ), 0, lso k Dies ergit die Lösung, ( ) k ( ), ( ) 3, 0, lso Dies ergit die Lösung 4 0,, lso k Dies ergit die Lösung, ( ) 5, lso k Dies ergit die Lösung LWM 999 Runde Seite 9 von 9