Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2005

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1 Lndeswettewer themtik den-württemerg usterlösungen 1. Runde 005 ufge 1 Ein Stück Ppier wird in oder Stücke zerschnitten. Nun wird eines der vorhndenen Stücke wieder whlweise in oder Stücke zerschnitten; dieser Vorgng wird mehrmls wiederholt. Knn mn uf diese Weise 006 Ppierstücke erhlten? eispiel: Wenn mn ds erste Stück Ppier in Stücke zerschneidet, so ht mn dnch Stücke Ppier. Wenn mn jetzt eins dvon wieder in Stücke zerschneidet, so ht mn nch dem zweiten Schneiden insgesmt 13 Stücke: die sechs lten, die eim zweiten Schneiden nicht zerschnitten wurden, plus die neuen, die us dem einen eim zweiten Schneiden entstnden sind. Schneidet mn nun eim dritten Schneiden eins der 13 in Stücke, so ht mn nch dem dritten Schneiden 9 Stücke mehr, lso insgesmt Stücke. In dem igrmm erkennt mn, wie viele Stücke mn z.. nch jedem Schneiden hen knn. Üer dem Pfeil steht jeweils, in wie viele Stücke eins der vorhndenen Stücke zerschnitten wird Üersicht: Eine genuere Üersicht, wie viele Stücke nch den ersten Schnitten entstnden sind, erhält mn, wenn mn ein umdigrmm zeichnet, denn mn ht j immer zwei öglichkeiten n erkennt dss nicht lle nzhlen von Ppierstücken möglich sind. Wenn mn sich die vorkommenden nzhlen 1,,,13,16,19,,5, nschut, so fällt uf, dss ufeinnder folgende Zhlen den stnd 3 hen, genuer, dss die nzhlen eim Teilen durch 3 den Rest 1 lssen. iese eochtung muss mn er llgemein eweisen. LW 005, 1. Runde Seite 1 von 13

2 Lösung: Nein, uf diese Weise knn mn niemls 006 Ppierstücke erhlten. 1. eweisvorschlg: Wenn ein Stück Ppier in Stücke zerschnitten wird so erhöht sich die nzhl der Ppierstücke um 6, wenn ein Stück Ppier in Stücke zerschnitten wird, so erhöht sich die nzhl um 9. 6 und 9 eide durch 3 teilr sind, erhöht sich die nzhl der Ppierstücke lso ei jedem Schneiden um eine durch 3 teilre Zhl. uch nch zweimligem Schneiden, dreimligem Schneiden usw. ht sich die nzhl insgesmt um eine durch 3 teilre Zhl erhöht. Es knn sich ei diesem Vorgehen lso die nzhl usgehend von einem Ppierstück m nfng insgesmt nur um eine durch 3 teilre nzhl erhöhen. n knn lso nur nzhlen erhlten, die um 1 vermindert durch 3 teilr sind. Nun ist er = 005 nicht durch 3 teilr, denn die Quersumme von 005 ist. lso knn mn niemls 006 Ppierstücke erhlten.. eweisvorschlg: it jedem Schneidevorgng werden us einem Ppierstück oder Ppierstücke, mit jedem einzelnen Schneidevorgng erhöht sich die Gesmtzhl der Ppierstücke lso um 6 oder 9. Ht mn x l in Stücke geschnitten und y l in Stücke, so kmen lso x l 6 Stücke und y l 9 Stücke dzu. m eginn ereits ein Stück vorhnden wr, eträgt die nzhl der Stücke m Ende x + 9y. +. s zeigt, dss die nzhl der erhltenen Stücke immer um eins größer ls eine durch 3 teilre Zhl ist. ie Zhl 006 ist er nicht um 1 größer ls eine durch 3 teilre Zhl, denn 005 ist nicht durch 3 teilr. n knn somit nicht 006 Ppierstücke erhlten. Nun knn mn 3 usklmmern und erhält 1 6x + 9y = ( x + 3y) LW 005, 1. Runde Seite von 13

3 ufge Wie knn mn erechnen, wenn gegeen ist? Lösung: Es ist =. Voremerkung: iese Zeichnung ist nur für >90 möglich. her wird im folgenden immer >90 ngenommen. 1. eweisvorschlg: (it Winkeln in gleichschenkligen reiecken) β (1) er Winkel E ist ein Neenwinkel des δ E Winkels. her gilt β = E = 180. () senkrecht uf steht, ist ds reieck β E rechtwinklig mit dem rechten Winkel ei E. β β δ us dem Winkelsummenstz für dieses reieck ergit sich E = β = 180 (90 + δ) = 90 δ. (3) s reieck ist gleichschenklig mit sis, denn die Schenkel und sind ls Rdien gleich lng. Es ist dher = E = = δ. (4) Nch dem Winkelsummenstz fürs reieck E ist E = 180 (90 + δ ) = 90 δ, d senkrecht uf steht. lso ist nch () E = E = β. (5) s reieck ist gleichschenklig mit sis, denn die Schenkel und sind ls Rdien gleich lng. Es ist dher = =. Nch dem Winkelsummenstz fürs reieck ist 180 β + β = 180, lso =. 180 ( 180 ) (6) Setzt mn (1) in (5) ein, so ergit sich = =. s ist die ehuptete eziehung. Vrinte: (it der ittelsenkrechten im gleichschenkligen reieck) ie Gleichheit E = E = β, die im oigen eweisvorschlg in den Punkten () is (4) gezeigt wird, knn mn uch wie folgt eweisen: s reieck ist gleichschenklig mit sis, denn die Schenkel und sind ls Rdien gleich lng. Im gleichschenkligen reieck ist E eine Höhe, d E senkrecht uf steht. her ist E ittelsenkrechte und Winkelhlierende von. Somit gilt E = E = β. er Rest des eweises ist gleich.. eweisvorschlg: (it Wechselwinkeln und Stz des Thles) (1) Nch Vorussetzung ist die Strecke orthogonl zur Strecke. uf dem Thleskreis üer liegt, ist eenflls orthogonl zu. eshl ist prllel zu. () ie Winkel und sind Wechselwinkel n den prllelen Gerden () und (), deshl ist β = =. (3) s reieck ist gleichschenklig, denn und sind Kreisrdien. her 180 β = =. Wegen der Winkelsumme im reieck folgt =. β + β = 180 (4) Eenso gilt im gleichschenkligen reieck nch dem Winkelsummenstz ( ) oder β = ( 180 ) (5) Eingesetzt in (3) ergit sich jetzt = =. LW 005, 1. Runde Seite 3 von 13

4 4. eweisvorschlg: (it dem Kongruenzstz Ssw) (1) er Winkel E ist ein Neenwinkel des Winkels. her gilt E = 180. E () ie reiecke E und E sind kongruent nch dem β Kongruenzstz Ssw, denn = (Rdien), die Seite E ist gemeinsme Seite eider reiecke und der Gegenwinkel der größeren Seite ist jeweils 90. her ist E = E = β. (3) s reieck ist gleichschenklig, d die Strecken und ls Rdien gleich lng sind. us 180 β der Winkelsumme im gleichschenkligen reieck ergit sich =. 180 ( 180 ) (4) Setzt mn (1) und () in (3) ein, so ergit sich = =. 5. eweisvorschlg: (it dem Stz vom ittelpunktswinkel) (1) ie Winkel und sind Neenwinkel, deshl gilt = 180. () er Winkel ist der ittelpunktswinkel des Winkels üer dem Kreisogen. us dem Stz üer den ittelpunktswinkel folgt =. (3) Nch Vorussetzung ist ds reieck E rechtwinklig mit dem rechten Winkel ei E. Wegen der Winkelsumme in diesem reieck folgt deshl = (4) urch Einsetzen von () und (1) in (3) ergit sich = 90 =. 6. eweisvorschlg: (it dem Umfngswinkelstz) (1) s reieck ist nch Vorussetzung gleichschenklig mit der sis, denn für die Kreisrdien gilt =. Somit ε = =. Wegen der Winkelsumme 180 im reieck folgt ε =. () ie Winkel E und sind ε Umfngswinkel üer dem Kreisogen. us dem Umfngswinkelstz ergit sich mit (1) 180 ε = E = =. (3) Nch Vorussetzung ist ds reieck E rechtwinklig mit dem rechten Winkel ei E. Wegen der Winkelsumme in diesem reieck folgt deshl = 90 ε. 180 (4) Setzt mn () in (3) ein, so ergit sich = 90 =. ε E ε LW 005, 1. Runde Seite 4 von 13

5 ufge 3 Ein Quder mit qudrtischer Grundfläche ist us Würfeln der Kntenlänge 1 cm ufgeut. ie nzhl dieser Würfel ist so groß, wie die nzhl der ußen liegenden Würfelflächen. Welche Kntenlängen knn der Quder hen? Lösung: Es git vier öglichkeiten für einen solchen Quder: 1) Länge und reite 5 cm, Höhe cm. ) Länge und reite 6 cm, Höhe 6 cm. 3) Länge und reite 8 cm, Höhe 4 cm. 4) Länge und reite 1 cm, Höhe 3 cm. eweis: Im Folgenden wird mit die ßzhl der Seitenlänge der Grundfläche und mit h die ßzhl der Höhe des Quders ezeichnet. Lut ufgenstellung sind für und h nur gnzzhlige Werte möglich. Für den Quder werden insgesmt h Würfel verwendet. ie nzhl der Würfelflächen, die ußen n der Unterseite und der Oerseite des Quders liegen, ist jeweils. n jeder der vier Seitenwände efinden sich h Würfelflächen. ie Gesmtzhl der ußen liegenden Würfelflächen ist lso + 4h. Lut ufgenstellung ist nun h = + 4h. Teilt mn diese Gleichung durch, so ergit sich h = für 4. h = + 4h zw. h 4 h =, und somit urch Umformung erhält mn: ( ) h = = = +. h eine ntürliche Zhl ist, muss ein Teiler von 8 sein. für git es die gesuchten vier öglichkeiten: h = nzhl der Würfel h nzhl der ußen liegenden Würfelflächen + 4h ei llen vier Lösungen sind lso die edingungen der ufge erfüllt. Vrinte 1: ie Gleichung h = wird wie oen geleitet. urch Proieren findet mn die vier oen ufgeführten gnzzhligen Lösungen dieser Gleichung. Es sind die einzigen gnzzhligen Lösungen für 1. Nun ist noch zu zeigen, dss für größere Werte von keine weiteren gnzzhligen Lösungen mehr uftreten. zu untersucht mn den ruch : LW 005, 1. Runde Seite 5 von 13

6 Wegen > 8= ( 4) ist der Zähler stets größer ls ds oppelte des Nenners, der ruch ist lso immer größer ls. Für = 1 nimmt er den Wert 3 n. it weiter wchsendem wird der Wert des ruchs immer kleiner. ies knn mn der folgenden Telle mit uf zwei ezimlen gerundeten Werten entnehmen: ,00,89,80,3,6,6,5,53,50,4,44,4,40,38,36 er Wert nähert sich für wchsende immer mehr der Zhl n, ohne dss erreicht werden knn. Somit sind für > 1 keine weiteren gnzzhligen Werte des ruchs möglich und dmit git es für > 1 uch keine gnzzhligen Lösungen mehr. Für einen eweis, genügt es zu zeigen, dss < < 3 für >1 gilt. enn zwischen und 3 git es keine gnzen Zhlen. her knn h = für >1 nicht mehr gnzzhlig sein. Wegen > 8= ( 4) ist stets <. ie Ungleichung < 3 ist für >4 äquivlent zu < 3 4 = 3 1. ies wiederum ist äquivlent zu >1. lso ist die Βehuptung ewiesen. ( ) Vrinte : ie Gleichung h = + 4h wird wie oen geleitet. 4h uflösen nch ergit =. eine positive ntürliche Zhl ist, muss h > gelten. h uflösen nch h ergit wie oen: h =. für h eine positive ntürliche Zhl ist, muss > 4 gelten. 4 Wegen > 4 und h = h gilt 4h 4h = > 4 zw. = 5. (Wenn > 4, dnn muss uch 5 h h sein, d j eine ntürliche Zhl ist.) 4h ie Ungleichung 5 ist er für h > äquivlent zu h. h 4h n muss lso nur für h die ntürlichen Zhlen von 3 is in = einsetzen, und untersuchen, h wnn sich für eine ntürliche Zhl ergit. ies führt genu uf die vier oigen Lösungen. Vrinte 3: ie Gleichung h = + 4h wird wie oen geleitet. ie ivision dieser Gleichung durch h ergit 1 1 = +. ie Summe der eiden rüche knn er nur 1 h ergeen, wenn einer der eiden rüche 1 h zw. mindestens 1 4 ist. ußerdem müssen sie eide kleiner ls 1 sein. Somit muss 3 h 4 oder 5 8 gelten. urch Proieren findet mn drus die vier oigen Lösungen. LW 005, 1. Runde Seite 6 von 13

7 ufge 4 ie Punkte P, Q, R, S sind die Seitenmittelpunkte eines Prllelogrmms. estimme den nteil der mrkierten Fläche n der Gesmtfläche des Prllelogrmms. R S Q Lösung: er Flächeninhlt der mrkierten Fläche eträgt ein Fünftel des Flächeninhlts der Gesmtfläche des Prllelogrmms. P Voremerkung: ie vier Eckpunkte des Prllelogrmms werden,, und gennnt, die vier Eckpunkte der mrkierten Fläche werden U, V, W und X gennnt (vgl. Zeichnung unten). S und Q Seitenmittelpunkte der gegenüerliegenden Seiten eines Prllelogrmms sind, ist S = Q und S Q. ein Viereck mit einem Pr von gleich lngen und prllelen gegenüerliegenden Seiten ein Prllelogrmm ist, ist SQ ein Prllelogrmm, lso S Q. nlog folgt: R P. mit ist gezeigt, dss ds mrkierte Viereck UVWX ein Prllelogrmm ist. 1. eweisvorschlg: (it ittelprllelen) R W S X V Q U T P P, Q, R und S Seitenmitten sind, eträgt der Flächeninhlt der vier reiecke S, P, Q und R jeweils ein Viertel des Flächeninhlts des großen Prllelogrmms. ie Summe der Flächeninhlte dieser vier reiecke ist lso so groß wie der Flächeninhlt des großen Prllelogrmms. ie vier reiecke üerdecken zusmmen ds gnze Prllelogrmm, is uf die mrkierte Fläche UVWX in der itte. ndererseits üerlppen sich die vier reiecke n den Ecken in den vier krierten reiecken VQ, WR, XS, und UP. ie üerlppte Fläche muss genuso groß sein, wie die nicht üerdeckte Fläche. ie Summe der Flächeninhlte der vier kleineren reiecke ist folglich genuso groß wie der Flächeninhlt des mrkierten Prllelogrmms. ehuptung: Es sei x = VQ ( ) der Flächeninhlt des kleinen reiecks VQ und y = WR ( ) der Flächeninhlt des kleinen reiecks WR. nn ist 1 x = y= ( ). 0 eweis der ehuptung: nch Voremerkung VQ U und Q die itte von ist, ist VQ eine ittelprllele im reieck U. Somit ist VQ = U. s reieck U ist lso ähnlich zum reieck VQ mit dem Streckfktor, es ht somit den vierfchen Flächeninhlt U ( ) 4 = x. ies knn mn uch erkennen, wenn mn die eiden nderen ittelprllelen VT und QT im reieck U einzeichnet: LW 005, 1. Runde Seite von 13

8 dnn wird ds reieck U durch vier kleine reiecke prkettiert, die lle zum reieck VQ kongruent sind, so dss U ( ) = 4x (siehe oige Zeichnung). nlog ist V ( ) = 4y. ( ) Es ergit sich P= ( U) + PU ( ) = 4x+ yund ( Q) = V ( ) + VQ ( ) = 4y+ x. die 1 reiecke P und Q den gleichen Flächeninhlt ( ) hen, folgt 4x + y = 4y+ x. Somit ist 4 1 x = y und Q ( ) = 5x. lso 1 ( ) 1 1 x = y = Q = ( ) = ( ). mit ist die ehuptung ewiesen. die Summe der Flächeninhlte der kleinen reiecke so groß ist wie der Flächeninhlt des mrkierten Prllelogrmms UVWX, eträgt der nteil der mrkierten Fläche n der Gesmtfläche lso vier Zwnzigstel oder ein Fünftel.. eweisvorschlg: (it Punktspiegelung) ie Ecken U, V, W, X des mrkierten Prllelogrmms werden n den Seitenmitten des großen Prllelogrmms gespiegelt. Es entsteht eine kreuzförmige Figur U UV VW WX X, deren Flächeninhlt so groß ist wie der Flächeninhlt des ursprünglichen Prllelogrmms, d nch Konstruktion die krierten reiecke gleich groß sind. W' R W X' S X V Q V' U P U' ehuptung: iese Kreuzfigur lässt sich in 5 kongruente Prllelogrmme zerlegen, wovon eins ds mrkierte Prllelogrmm ist. er nteil der mrkierten Fläche ist lso ein Fünftel der Gesmtfläche. eweis der ehuptung: (1) Sei V der ildpunkt von V ei der Spiegelung n Q. nn liegt V uf der Gerden (Q). Wegen VQ U (s. Voremerkung), gilt uch VV ' U () V ist ds ild von V ei der Punktspiegelung n Q, dher ist V ' V. (3) us (1) und () ergit sich, dss UV V ein Prllelogrmm ist, lso V ' (4) it V ' = V folgt UV = V. nlog knn mn zeigen XU = U. = UV. us (3) und (4) ergit sich, dss ds Prllelogrmm UV V kongruent ist zum mrkierten Prllelogrmm UVWX. nlog knn mn zeigen, dss uch die Vierecke U UX, W WV und X XW kongruent zum mrkierten Prllelogrmm sind. mit ist gezeigt, dss sich die Kreuzfigur in 5 kongruente Prllelogrmme zerlegen lässt. ie ehuptung ist lso ewiesen. LW 005, 1. Runde Seite 8 von 13

9 ufge 5 Von vier verschiedenen Primzhlen, die lle größer ls 5 sind, unterscheiden sich die größte und die kleinste um weniger ls. Zeige, dss die Summe dieser vier Primzhlen durch 60 teilr ist. eispiele: ie folgenden eispiele zeigen, dss es unterhl von 00 vier solche Primzhlvierlinge git, wie sie in der ufge eschrieen werden: 1) 11, 13, 1, 19; Summe 60 ) 1, 3,, 9; Summe 40 3) 191, 193, 19, 199; Summe 80 4) 81, 83, 8, 89; Summe 3300 In llen eispielen ist die Summe durch 60 teilr. s muss llgemein ewiesen werden. 1. eweisvorschlg: er llgemeine eweis folgt us den folgenden cht Üerlegungen: (1) lle vier Primzhlen sind ungerde, die ifferenz der größten und der kleinsten der vier Primzhlen ist lso gerde. () je zwei verschiedene ungerde Zhlen mindestens die ifferenz zwei hen, ist die ifferenz der größten und der kleinsten Primzhl mindestens 6. sie nch Vorussetzung kleiner ls sein soll, kommt lso nur 6 oder 8 für diese ifferenz in Frge. (3) Wäre die ifferenz zwischen der größten und der kleinsten Primzhl 6, so würde es sich um vier ufeinnder folgende ungerde Zhlen hndeln. ereits ei drei ufeinnder folgenden ungerden Zhlen ist er eine durch 3 teilr: die drei Zhlen hen eim Teilen durch 3 unterschiedliche Reste, eine von ihnen ht lso Rest 0 und ist somit durch 3 teilr. lso ist die ifferenz zwischen der größten und der kleinsten der vier Primzhlen 8. (4) Wenn p die kleinste der vier Primzhlen ist, so muss die nächst größere Primzhl p+ sein. ndernflls liee für die drei nderen Primzhlen nur noch p+4, p+6 und p+8 ürig. s wären drei ufeinnder folgende ungerde Zhlen. Wie in (3) festgestellt wurde, müsste eine dieser drei ungerden Zhlen durch 3 teilr sein und knn dher keine Primzhl sein. (5) p und p+ Primzhlen sind, knn p+4 keine Primzhl sein, d sonst wieder drei ufeinnder folgende ungerde Zhlen vorlägen. Es leit für die eiden letzten Primzhlen nur p+6 und p+8 ürig. (6) ie Zhl p+4 ist durch 3 teilr: Von den drei ufeinnder folgenden Zhlen p, p+ und p+4 ist eine durch drei teilr. p und p+ Primzhlen sind (siehe (3)), knn nur p+4 durch 3 teilr sein. () ie Zhl p+4 ist durch 5 teilr: ei fünf ufeinnder folgenden ungerden Zhlen ist eine durch 5 teilr, denn die fünf Zhlen lssen eim Teilen durch 5 lle unterschiedliche Reste. lso ist eine der Zhlen p, p+, p+4, p+6, p+8 durch 5 teilr. p, p+, p+6 und p+8 Primzhlen größer ls 5 sind, ist p+4 durch 5 teilr. (8) ie Summe der vier Primzhlen ist p+ ( p+ ) + ( p+ 6) + ( p+ 8) = 4 p+ 16 = 4( p+ 4). p+4 durch 3 und durch 5 teilr ist, ist die Summe durch 3, 4 und 5 teilr. Sie ist lso uch durch 60 teilr.. eweisvorschlg: Vorussetzungen: (1) ie Zhlen p 1, p, p 3 und p 4 sind Primzhlen () 5 < p 1 < p < p 3 < p 4 (3) p 4 p 1 < Nun zum eigentlichen eweis: lle vier Primzhlen größer ls 5 sind (Vorussetzung ()) kommt 5 nicht ls Endziffer von einer der Primzhlen in Frge, denn Zhlen mit Endziffer 5 sind durch 5 teilr. die ifferenz us der größten und der kleinsten der vier Primzhlen kleiner ist ls (Vorussetzung (3)), können nicht zwei der Zhlen die gleiche Endziffer hen. ie Primzhlen können ls Endziffern lso nur die Ziffern 1, 3, und 9 hen. ei git es die folgenden vier öglichkeiten für die Endziffernqudrupel: LW 005, 1. Runde Seite 9 von 13

10 Fll 1: (1/3//9) Fll : (3//9/1) Fll 3: (/9/1/3) Fll 4: (9/1/3/) Nur Fll 1 ist für vier verschiedene Primzhlen möglich: Untersuchung von Fll : Wenn p 1 ei ivision durch 3 den Rest 1 lässt, so ist die um 8 größere Zhl p 4 durch 3 teilr, ist lso keine Primzhl. ies ist nch Vorussetzung (1) usgeschlossen. Wenn p 1 ei ivision durch 3 den Rest lässt, so ist die um 4 größere Zhl p durch 3 teilr, ist lso keine Primzhl. ies ist nch Vorussetzung (1) usgeschlossen. Somit lässt p 1 ei ivision durch 3 den Rest 0 und ist keine Primzhl. s widerspricht Vorussetzung (1). Fll 3 und Fll 4 knn mn uf ähnliche Weise usschließen. Somit ist nur Fll 1 zu untersuchen. Nchweis der Teilrkeit der Summe durch 5 ie Summe der vier Endziffern ist =0. her ht p 1 + p + p 3 + p 4 die Einerziffer 0 und ist folglich durch und somit durch 5 teilr. Nchweis der Teilrkeit der Summe durch 3 Nch Vorussetzungen (1) und () ist keine der vier Zhlen p 1, p, p 3 und p 4 durch 3 teilr. Fll 1 vorliegt, gilt folgendes: Wenn p 1 ei ivision durch 3 den Rest 1 lässt, so ist die um größere Zhl p durch 3 teilr, ist lso keine Primzhl. ies ist nch Vorussetzung (1) usgeschlossen. Wenn p 1 ei ivision durch 3 den Rest lässt, so lässt die um größere Zhl p den Rest 1, die um 6 größere Zhl p 3 den Rest und die um 8 größere Zhl p 4 den Rest 1. ie Summe der vier Primzhlen lässt dher ei der ivision durch 3 den Rest 0, ist lso durch 3 teilr. Wenn lso die vier Zhlen Primzhlen sind, dnn ist die Summe dieser vier Primzhlen durch 3 teilr. Nch weis der Teilrkeit der Summe durch 4 Fll 1 vorliegt, gilt folgendes: Wenn p 1 ei ivision durch 4 den Rest 1 lässt, so lässt die um größere Zhl p den Rest 3, die um 6 größere Zhl p 3 den Rest 3 und die um 8 größere Zhl p 4 den Rest 1. ie Summe der vier Primzhlen lässt dher ei der ivision durch 4 den Rest 0, ist lso durch 4 teilr. Wenn p 1 ei ivision durch 4 den Rest 3 lässt, so lässt die um größere Zhl p den Rest 1, die um 6 größere Zhl p 3 den Rest 1 und die um 8 größere Zhl p 4 den Rest 3. ie Summe der vier Primzhlen lässt dher ei der ivision durch 4 den Rest 0, ist lso durch 4 teilr. ie ivisionsreste 0 und ei ivision durch 4 sind ei ungerden Primzhlen nicht möglich. Zusmmenfssung mit ist gezeigt: Wenn die vier Primzhlen p 1, p, p 3 und p 4 die in der Vorussetzung gennnten Eigenschften hen, dnn ist ihre Summe durch 60 teilr. 3. eweisvorschlg: Streicht mn nch dem Sie des Erthostenes us der Zhlenfolge der ntürlichen Zhlen lle durch, 3, 5 teilren Zhlen, so erhält mn ds rechts stehende Schem ei müssen nicht lle cht Zhlen einer Zeile wirklich Primzhlen sein Primzhlvierlinge können nicht zeilenüergreifend vorkommen, d es eim Zeilenüergng im Schem keine vier Zhlen ht, deren stnd kleiner ist. ies erkennt mn eim Üergng von Zeile 1 zu Zeile. Wegen der periodischen Wiederholung ergit sich dssele ei jedem Zeilenüergng. Primzhlvierlinge können deswegen nur im fettgedruckten ittelteil des Schems vorkommen. Wenn jedoch 4 Primzhlen die fettgedruckte itte des Schems ilden, so ist ihre Summe durch 415 =60 teilr. LW 005, 1. Runde Seite von 13

11 ufge 6 ie Gerden und sind prllele Tngenten n einen Kreis mit ittelpunkt. er Punkt liegt uf der Tngente, der Punkt uf der Tngente. eweise: ie Gerde () ist genu dnn Tngente n den Kreis, wenn senkrecht zu ist. Lösung: Zur Lösung muss mn zwei Schlussrichtungen eweisen: () Wenn die Gerde () eine Tngente n den Kreis ist, so ist senkrecht zu. () Wenn senkrecht zu ist, so ist die Gerde () eine Tngente n den Kreis. 1. eweisvorschlg für die Schlussrichtung (): Vorussetzung: ie Gerde () ist eine Tngente n den Kreis. nn sind die reiecke E und nch dem Kongruenzstz Ssw kongruent: E und sind Kreisrdien, folglich gleich lng; die Strecke ist eiden reiecken gemeinsm; in eiden reiecken liegt der längeren Seite ein rechter Winkel gegenüer, d eine Tngente orthogonl zum zugehörigen Rdius ist. Somit ist δ = β. nlog ergit sich =. ie Winkel und E ergänzen sich er zu 180, d der Wechselwinkel zu n den prllelen Gerden und der Neenwinkel von E ist. Somit: + β = 180 und + β = 90. us der Winkelsumme im reieck folgt dher ( β) zu. Vrinte für diesen 1. eweisvorschlg der Schlussrichtung (): β δ E = = 90. lso ist senkrecht ie Winkelgleichheiten δ = β und = knn mn uch so egründen: er ittelpunkt ist von den Gerden und () gleich weit entfernt, d dieser stnd in eiden Fällen der Rdius des Kreises ist. Somit liegt uf der Winkelhlierenden von E, d.h. δ = β. nlog folgt =.. eweisvorschlg für die Schlussrichtung (): Vorussetzung: ie Gerde () ist eine Tngente n den Kreis. urch eine Punktspiegelung m Kreismittelpunkt, wird () uf die Tngente () geildet, woei uf und uf liegt. s Viereck ist ein Prllelogrmm mit einem Inkreis. Es ist dher ein chsensymmetrisches Prllelogrmm mit den Symmetriechsen () und (). Somit ist es eine Rute. in einer Rute die igonlen senkrecht stehen, ist senkrecht zu. LW 005, 1. Runde Seite 11 von 13

12 1. eweisvorschlg für die Schlussrichtung (): (it ildungen) Vorussetzung: steht senkrecht uf. ie Gerde () schneide die Gerde im Punkt F. ie Winkel werden wie in der Zeichnung ennnt. ei Spiegelung der Tngente m Kreismittelpunkt wird die Gerde uf die prllele Tngente geildet. mit wird uf F geildet und ist der ittelpunkt der Strecke F ist. Folglich ist die Gerde () die ittelsenkrechte von F, denn nch Vorussetzung steht j senkrecht uf F. mit ist gezeigt, dss ds reieck F gleichschenklig mit der Spitze ei ist. ie chsenspiegelung n der ittelsenkrechten () ildet ds gleichschenklige reieck uf sich, lso = (F) uf (). er Kreis wird ei dieser Spiegelung n einer Gerden durch den Kreismittelpunkt eenflls in sich selst üerführt. eine Tngente n den Kreis ist, ist uch ds ild () von eine Tngente n den Kreis. ε F. eweisvorschlg für die Schlussrichtung (): (it stndserechnungen) Vorussetzung: steht senkrecht uf. Sei der Fußpunkt des Lots von E F uf die Gerde ( ) und E der Fußpunkt des Lots von uf die Tngente. Es ist dnn E = r, woei r der Rdius des Kreises ist. ie Gerde ( ) schneide im Punkt F. uf der ittelprllelen zwischen und liegt und diese ittelprllele lle Querstrecken des Streifens hliert, gilt: = F und () ist dher die ittelsenkrechte zu F. Somit ist ds reieck F gleichschenklig mit sis F. mit sind die siswinkel dieses reiecks eide gleich weit: F = =. ie reiecke FE und sind nch dem Kongruenzstz wsw lso kongruent. Es folgt = E = r. Somit ht die Gerde () von gerde den stnd r und sie ist somit eine Tngente n den Kreis. 3. eweisvorschlg der Schlussrichtung (): (it Winkelerechnungen) Vorussetzung: steht senkrecht uf. ußerhl des Kreises liegt, git es neen eine zweite Kreistngente durch. Ihren erührpunkt mit dem Kreis nennen wir. er Rdius ist senkrecht zu (). Es soll gezeigt werden, dss unter der Vorussetzung, dss senkrecht uf steht, der Punkt uf dieser Tngente () liegt. β δ E Sei F der Schnittpunkt der Gerden () mit, der Fußpunkt des Lots von uf und E der Fußpunkt des Lots von uf. von und () gleich weit entfernt ist, liegt uf der Winkelhlierenden von E, d.h. δ = β. ußerdem E F β β F = = (Wechselwinkel n den Prllelen und ). LW 005, 1. Runde Seite 1 von 13

13 ie Winkelsumme im (nch Vorussetzung) rechtwinkligen reieck F liefert = 90 β. eshl gilt im rechtwinkligen reieck : = 90 β =. Es folgt: = = 90 = β. ie Winkelsumme im rechtwinkligen reieck ergit eenflls = 90 = β. Somit sind die reiecke und nch dem Kongruenzstz sws kongruent ( = ist der Kreisrdius, ist gemeinsme Seite und der eingeschlossene Winkel ht in eiden reiecken die Weite β). Es folgt = = =. us der Winkelsumme im reieck ergit sich = 180 β = 180 β = 90. Somit ist = 180 ein gestreckter Winkel und liegt dher uf der Gerden (). 4. eweisvorschlg der Schlussrichtung (): (it dem Stz des Pythgors) E G Es wird gezeigt, dss der ittelpunkt des Kreises von der Gerden () den stnd r ht. In diesem Fll erührt die Gerde den Kreis, ist lso eine Tngente n diesen Kreis. Sei der Fußpunkt des Lots von uf und E der Fußpunkt des Lots von uf. ußerdem sei (G) eine Prllele zu (E) durch, woei G uf zwischen und liege, wie wir us Symmetriegründen nnehmen können. In den rechtwinkligen reiecken und E erechnen wir mit dem Stz von Pythgors: = + = u + r, = u + r, = E + E = v + r, = v + r. Hierei ist u = und v = E. mit erhält mn den Flächeninhlt F des nch Vorussetzung rechtwinkligen reiecks : (*) 1 1 F = = u + r v + r. er Flächeninhlt des reiecks knn uf eine zweite Weise erechnet werden. ie Länge der Strecke ergit sich im rechtwinkligen reieck G nch dem Stz von Pythgors: = G + G = ( u v) + (r). ezeichnet mn den stnd des Punktes von der Gerden durch und mit d, so folgt: 1 1 (**) F = d = ( u v) + ( r) d. er Vergleich von (*) mit (**) und Qudrieren ergit: (***) ( u + r )( v + r ) = [( u v ) + 4r ] d. Einen weiteren Zusmmenhng zwischen u, v und r erhält mn üer die eiden rechtwinkligen reiecke und E. iese reiecke sind ähnlich, d sie in llen drei Winkeln üereinstimmen. her gilt : = E : E, d.h. u : r = r : v oder r = uv. urch Einsetzen in (***) ergit sich ( u + uv)( v + uv) = ( u uv+ v + 4 uv) d. rus folgt durch Umformung d = r. ie Gerde () ht lso von den stnd r und ist dher eine Tngente. LW 005, 1. Runde Seite 13 von 13