Grundwissen Mathematik 7II-III

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1 Grundwissen themtik 7II-III ultipliktion und ivision in QI Rechenregeln c c c d : b d b d b d b c Vorzeichenregeln : + + : + : + + : Potenzgesetze. Potenzgesetz n m n m + eispiel: 7 + Ü: ) b) 5 0,5 0,5 0,5 c) ( ) ( ). Potenzgesetz n m n m ( ) Ü: ) eispiel: ( ) 5 5 (,5 ) b) [(k ) ] c) 7. Potenzgesetz n n n b ( b) eispiel: ( ) 6 Ü: ) 5 b) z c) 7 7 (,5) ( ). Potenzgesetz n m n m eispiel: Ü: ) 7 7 : 7 b) (,) : (,) c) 5 5. Potenzgesetz n n n b b eispiel: 6 6 Ü: ) : b) 5 5 ( 8) : c) 9 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

2 Gleichungen Grundwissen themtik 7II-III Lösen von (Un)gleichungen durch Äquivlenzumformungen ie Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn mn uf beiden Seiten die gleiche hl ddiert oder subtrhiert, beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen hl multipliziert oder durch sie dividiert. eispiele: GI QI : ( ),5 IL {,5} IL { 8} Ungleichungen ie Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn mn uf beiden Seiten die gleiche hl ddiert oder subtrhiert, beide Seiten mit der gleichen positiven hl multipliziert oder durch sie dividiert, beide Seiten mit der gleichen negtiven hl multipliziert oder durch sie dividiert und ds Ungleichheitszeichen umkehrt (Inversionsgesetz). eispiele: GI QI. < : ( ) > 7 Inversion! IL { > 7}. 6 > 7 : 6 >,5 IL { >,5}. + 5 > 5 > 8 ( ) < Inversion! IL { < } Ü: Löse durch Äquivlenzumformungen die folgenden Gleichungen und Ungleichungen mit GI QI : ) b) 67 < c) + < 8 d) > e) (77 0) + 96 f) + < 6 g) > Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

3 Indirekte Proportionlität Grundwissen themtik 7II-III Entspricht bei einer uordnung von Größen ds n-fche der einen Größe dem n-ten Teil der nderen Größe, so heißt diese uordnung indirekte Proportionlität. eispiel: er Flächeninhlt eines Rechtecks beträgt cm². Wenn GI IN IN, ist dies für cht Rechtecke verschiedener Länge cm und reite cm möglich : : :8 Eigenschften: lle hlenpre ( ) einer indirekten Proportionlität sind produktgleich. s Produkt ht immer den gleichen Wert. eispiel: Sprechweise: und sind zueinnder indirekt proportionl Schreibweise: er Grph einer indirekten Proportionlität ist ein + + Hperbelst. ( GI QI 0 QI 0 ) eispiel: O Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

4 insrechnung Grundwissen themtik 7II-III ie insrechnung ist eine nwendung der Prozentrechnung. Unter insen (kurz: ins) versteht mn den Geldbetrg, den mn nch einer bestimmten eit für geliehenes Geld bezhlen muss oder für verliehenes Geld bekommt. Es entsprechen sich: Prozentwert (PW) Prozentstz (p) Grundwert (GW) Jhreszins ( J ) insstz (p) Kpitl (K) ie so berechneten insen J beziehen sich uf ein Jhr (Jhreszins). Wird ein nderer eitrum betrchtet, so muss der Jhreszins uf diesen eitrum umgerechnet werden. Ein Geschäftsjhr ht 65 Tge. ins für Jhr (Jhreszins) J K p ins für Tg t 00 K p ins für n Jhre n K p n ins für T Tge T 00 K p T eispiel: erechne die insen für 9 instge, wenn ein Kpitl 5000,00 zu 8% verliehen wird. T T 960 er ins für 9 Tge beträgt 960,00. Übungen:.0 uf einem Sprbuch, ds mit,75% verzinst wird, sind 90,00.. erechne die insen nch einem Jhr.. erechne den insertrg für ds zweite Jhr, wenn die insen des ersten Jhres dem Kpitl zugerechnet werden. Herr urer gibt 0000,00 zu 6,5% uf die nk und legt lljährlich die gewonnen insen wieder zu seinem Kpitl. mit erhöht sich sein Kpitl Jhr für Jhr um den insertrg. erechne sein Endkpitl nch 5 Jhren. Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

5 ie Prllelverschiebung Grundwissen themtik 7II-III r v Eigenschften: P I P ' ei llen Prllelverschiebungen sind die Verbindungsstrecken von Urpunkt P und ildpunkt P ' prllel, gleich lng und gleich gerichtet. Sie bilden eine Pfeilklsse. Jede Pfeilklsse heißt Vektor. urch jede Prllelverschiebung ist umkehrbr eindeutig ein Vektor bestimmt. lle Prllelverschiebungen hben keinen Fipunkt. lle Prllelverschiebungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzbbildung ). lle Prllelverschiebungen sind gerden- und kreistreu. ' ' Pfeilklsse Vektor r v ' '... r v P (Fußpunkt) P' (Spitze) Jeder Vektor v r lässt sich im Koordintensstem durch seine Koordinten eindeutig festlegen. uuur r ie Koordinten des Pfeils PP ' und dmit des Vektors v werden durch die Koordinten des Fußpunktes P( ) und die Koordinten der Spitze P'(' ') festgelegt. n berechnet sie nch der Regel: ' PP ' ' Spitze minus Fuß z.. P( ) und P '( ) ( ) PP ' 6 PP ' eispiel: r 6 v I ''' mit ( ), ( ) und ( ) ' ' O ' + +6 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

6 Gesetze zur Vektorrechnung Grundwissen themtik 7II-III Kommuttivgesetz und ssozitivgesetz bei der ddition von Vektoren Kommuttivgesetz b b ssozitivgesetz ( b ) c ( b c ) erechnung von Summenvektoren llgemein eispiel r ; b b r ; r b r r b r r + b b b b b + r r r r r + ( ) r r b b b b + Ortspfeil Ortspfeile sind Pfeile, die vom Ursprung des Koordintensstems zu einem Punkt im Koordintensstem führen. ie Koordinten des Ortspfeils sind dieselben wie die Koordinten des Punktes. z..: ( ) O O O ( ) erechnung der Koordinten von ildpunkten llg.: O ' O v ' v ' v z..: ( ) v + O ' O ' + 6 O ' '(6 ) ' + v ' + v ( ) '( + v + v ) '(6 ) + + O 5 erechnung der Koordinten des ittelpunktes der Strecke [] llg.: ( ), ( ), ( ) + + ( ) z..: ( ), ( ) + + (0,5,5) Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule O

7 ie rehung Grundwissen themtik 7II-III ; ϕ Eigenschften: P I P ' Jede rehung besitzt einen Punkt ls rehzentrum und einen Winkel ϕ ls rehwinkel. ie Verbindungsstrecken [P] von Urpunkt P und rehzentrum und [P '] vom zugehörigen ildpunkt P ' und rehzentrum sind gleich lng und schließen den Winkel PP ' mit dem ß ϕ ein. lle rehungen hben nur ds entrum ls Fipunkt. lle rehungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzbbildung ). lle rehungen sind gerden- und kreistreu. positive rehrichtung negtive rehrichtung ' P' P P P' ' ' ϕ 5 ϕ -5 ϕ P ; ϕ 5 I P ' P ; ϕ 5 I P ' ; ϕ I ''' Eine rehung um 80 nennt mn uch eine Punktspiegelung m entrum. ' ; ϕ 80 I '' ' ' ' ϕ erke: Eine Figur heißt punktsmmetrisch, wenn sie durch rehung n einem Punkt um 80 uf sich selbst bgebildet werden knn. Prllelogrmm Rechteck Qudrt Rute Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

8 Regeln für Winkel Grundwissen themtik 7II-III Neben- und Scheitelwinkel β β g Scheitelwinkel sind gleich groß: * * und β Nebenwinkel ergänzen sich zu 80 : + β 80 Winkel n Prllelen ( g ). Stufenwinkel (F-Winkel) g β g β g β g β. Wechselwinkel (-Winkel) g β g β g β g β Innenwinkelsummen. im reieck. im Viereck In jedem reieck beträgt die Summe der Winkelmße der drei Innenwinkel 80 : + β + γ 80 Ü: Gib die fehlenden Winkelmße n und begründe. In jedem Viereck beträgt die Summe der Winkelmße der vier Innenwinkel 60 : + β + γ + δ 60 δ g δ γ δ g 70 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule

9 er Kreis Grundwissen themtik 7II-III Kreis k ie Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte E und F heißt Sehne s. ie Sehne s teilt die Kreislinie in zwei Kreisbögen EF und FE. s von Kreissehne und Kreisbogen begrenzte Flächenstück ist ein Kreissegment. Ein von zwei Rdien und einem Kreisbogen begrenztes Flächenstück ist ein Kreissektor. ie beiden Rdien schließen den ittelpunktswinkel mit dem ß ε ein. E Rdius r urchmesser d Sehne s Segment Sektor ε F Lgebeziehung von Kreis k und Gerde Pssnte p: p k Tngente t: t k {} Tngente t Pssnte p entrle z: z k {; } mit z Seknte s: s k {E; F} entrle z erührrdius Seknte s E F erechnungen m Kreis Für den Kreisumfng u gilt: u r π Für den Inhlt der Kreisfläche gilt: r π r r Für die Kreiszhl π wird vorläufig der Wert π, oder π benutzt. 7 Sttsinstitut für Schulqulität und ildungsforschung bteilung Relschule