Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung

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1 Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung

2 Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien und us diesen Beschreiungen Eigenschften und Beziehungen dieser Ojekte zueinnder erechnen. Eine Gerde soll durch einen vorgegeenen Punkt P mit dem Ortsvektor und prllel zu einem vorgegeenen Vektor (Richtungsvektor) verlufen. Die Drstellung dieser Gerde lutet dnn: r r Vektorielle Beschreiung einer Gerden in Punkt-Richtungs-Form r ( P) r ( ) r oder in Komponentenschreiweise: Dei edeuten: x x x x + z z z z x,, z : Koordinten des vorgegeenen Punktes P der Gerden x,, z : sklre Vektorkomponenten des Richtungsvektors der Gerden x,, z : Koordinten des lufenden Punktes P der Gerden : reeller Prmeter x z 0 r r P P r

3 Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Beispiel : Bestimme die Gleichung der Gerden, die durch den Punkt P (3; -; ) in Richtung des Vektors 5 3 verläuft: Einsetzen in die Definition ergit: r ( ) r !

4 Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form (3) Beispiel : Liegen die Punkte P (-; 0; 7) und P (; 6; ) uf der Gerden 3? r 4 Wenn P uf der Gerden liegt, so muss es einen estimmten Prmeterwert geen, der die Gerdengleichung erfüllt. Es müsste lso gelten: Aus einer der drei Gleichungen estimmt mn nun diesen Wert whr sind. und prüft nschließend, o die eiden nderen Gleichungen für Aus der ersten Gleichung ergit sich: 3. Dieser Wert erfüllt uch die nderen Gleichungen. Somit liegt P uf der Gerden. Die gleiche Vorgehensweise für P 3 führt uf folgendes Gleichungssstem: Ds Gleichungssstem ht keine Lösung. Dmit liegt der Punkt P 3 nicht uf der Gerden.

5 Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form (4) Beispiel 3: Gegeen sind die Gerden g : r( ) r 0 g : r( ) r 0 ) Mn prüfe, o sich die eiden Gerden schneiden und erechne ggf. den Schnittpunkt. ) Welcher Winkel wird von ihnen eingeschlossen? Lösung: zu ) Zwei Gerden im dreidimensionlen Rum können sich nur schneiden, wenn sie zum einen nicht prllel, lso nicht kolliner, und zum nderen nicht windschief sind sie müssen in einer Eene liegen, lso komplnr sein. Die eiden Gerden sind nicht kolliner, wenn ds Vektorprodukt der Richtungsvektoren nicht verschwindet, ws der Fll ist: e e e3 + 3 ( ) 4 3 O 3

6 Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form (5) Fortsetzung Beispiel 3: Als nächstes ist zu prüfen, o die eiden Gerden in einer Eene liegen. Ds ist genu dnn der Fll, wenn ds Sptprodukt us den eiden Richtungsvektoren und dem r r Differenzvektor der eiden Ortsvektoren verschwindet: und r r ( ) ( ) ( 0 ) ( 0) ( + ) ( ) + ( + ) 0 Ds Sptprodukt verschwindet; dmit sind die eteiligten Vektoren komplnr und der Schnittpunkt der Gerde existiert. Berechnung des Schnittpunktes: Gesucht sind die Prmeterwerte und, die eide Gerdengleichungen erfüllen: Dieses linere Gleichungssstem esitzt genu eine Lösung (Üungsufge): 0, -. r r S Der Ortsvektor des gesuchten Schnittpunktes ergit sich durch Einsetzen der Werte in ihre Gerdengleichungen. Wir setzen - in die Gerdengleichung für g ein: r S ( ) 0 + 0

7 Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form (6) Fortsetzung Beispiel 3: zu Teil ) der Aufge: Der Winkel zwischen den eiden Gerden g und g ist gleich dem Winkel, den die eiden Richtungsvektoren miteinnder ilden. Dieser erechnet sich us dem Sklrprodukt und den Beträgen der oen gennnten Formel: ϕ rccos und Berechnung von Sklrprodukt und Beträgen: Einsetzen in die Formel: + 3 rccos ϕ rccos 3 rccos ( ) + 6

8 Anltische Geometrie Punkt-Richtungs-Form einer Eene () Eine Eene soll durch einen vorgegeenen Punkt P mit dem Ortsvektor und prllel zu zwei nicht-kollineren Vektoren und, gennnt Richtungsvektoren, verlufen. Die Gleichung dieser Eene lässt sich dnn vektoriell wie folgt eschreien: Bezeichnet mn den lufenden Punkt der Eene mit P, so ist der in der Eene liegende Vektor die vektorielle Summe P P us und : P P + und sind dei zwei voneinnder unhängige reelle P Prmeter. Der Ortsvektor zum Punkt P lässt sich dnn ls Summenvektor wie folgt eschreien: r r ( P) r + P P r + 0 Die Lge des lufenden Punktes P uf der Eene ist somit eindeutig durch die Prmeter und festgelegt. Schreiweise: r ( P ) r ( ; ) Jeder Punkt der Eene lässt sich dmit mit geeigneten Prmetern und eschreien. Die Gleichung der Eene E lutet dmit in vektorieller Prmeterform: r P P P r( ; ) E

9 Anltische Geometrie Punkt-Richtungs-Form einer Eene () Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Eene in Punkt-Richtungs-Form r ( P) r ( ; ) r + oder in Komponentenschreiweise: x x x x x x z z z z z + z z x n P r P P P r ( ; ) E Dei edeuten: x,, z x,, z x,, z und : Koordinten des vorgegeenen Punktes P der Gerden x,, z sklre Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der nicht-kollineren Richtungsvektoren der Eene ( ) 0 : Koordinten des lufenden Punktes P der Gerden,, : Voneinnder unhängige reelle Prmeter ( ) 0

10 Anltische Geometrie Punkt-Richtungs-Form einer Eene (3) Ein uf der Eene E senkrecht stehender Vektor n heißt Normlenvektor. Mn erhält einen Normlenvektor eispielsweise us den eiden Richtungsvektoren und durch Bildung des Vektorproduktes: n Beispiel : Gegeen sind die eiden folgenden Vektoren und. Wie lutet die Gleichung der Eene E, die von diesen Vektoren ufgespnnt wird und durch den Punkt P (3; 5; ) verläuft? Wie lutet der Normlenvektor von E? Lösung: r ( ; ) r + So liegt z. B. zu dem Prmeterpr der folgende Punkt Q uf der Eene: n Der Vektor steht dnn senkrecht uf der Eene E: 5 ; ;, 3 + 3, r ( Q) r ( ; ) n 5 ex e ez

11 Anltische Geometrie Punkt-Richtungs-Form einer Eene (3) Beispiel : Gegeen ist die folgende Eene ) Mn zeige: die Eene ist nicht prllel zur x-eene. 3 5 E : r ( ; ) + + r ) Wie lutet die Gleichung der Schnittgerden zwischen E und der x-eene? Lösung: ) E ist nicht prllel zur x-eene, wenn die Flächennormle von E nicht kolliner zur z-achse verläuft: n 3 5 ex e ez ( ) ( ) n, n 0 D, ist der Normlenvektor nicht kolliner zur z-achse. x n z r x

12 Anltische Geometrie Punkt-Richtungs-Form einer Eene (3) Fortsetzung Beispiel : ) D für lle Punkte uf der x-eene die z-koordinte Null ist, ergit sich ls Bedingung für diese Punkte der Eene E: Diese Beziehung zwischen den Prmetern und muss lso für lle Punkte estehen, die sowohl uf E ls uch uf der x-eene liegen, d.h. für lle Punkte Schnittgerden. Mn setzt dher diese Beziehung in die Gerdengleichung ein: 3 5 r ( ) + ( + ) r ( ; ) x n z r 8 r ( ) 4 8