Schleswig-Holstein 2009 Leistungskurs Mathematik Thema: Analysis. ( x) . (14 P) g mit ( ) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f a und

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Anna Lichtenberg
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1 Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis Aufg Ggn ist di Funktionnschr f mit f ( ) = (, IR ) ) Untrsuchn Si di Funktionnschr f uf Nullstlln, ds Vrhltn im Unndlichn, trmpunkt, Wndpunkt und stimmn Si di Glichungn dr Wndtngntn [Zur Kontroll: Dr Wndpunkt ds Grphn von f lutt W ( )] Zichnn Si dn Grphn dr Funktion f (4 P) ) Bstimmn Si dn Inhlt A dr Fläch, di im Intrvll [ ; ] zischn dm Grphn von f und dr -Achs ligt rläutrn Si ds rgnis für dn Fll, dss ggn Unndlich strt (5 P) c) Ggn ist in zit Funktionnschr und, IR g g mit ( ) = ( ) Brchnn Si di Schnittpunkt dr Grphn von f und g Zign Si, dss für ll > gilt: f ( ) > g ( ) Di Grd mit dr Glichung = c mit c > schnidt di T Grphn von f und g in dn Punktn S und Brchnn Si dn größtmöglichn Astnd zischn S und T in Ahängigkit von [Solltn Si kin Lösung für di Funktion rhltn, di dn Astnd zischn dn Punktn S und T schrit, so vrndn Si d ( ) = ( ) mit, IR ] (8 P) d) Für jds schnid di Ursprungsgrd mit dm Stigungsinkl α ( < α < 9 ) dn Grphn von f ußr im Punkt O ( ) zusätzlich in dm Punkt P Bstimmn Si di Koordintn von P in Ahängigkit von α ( P) M9_ANA_H nur für Lhrkräft Sit von 5

im Intrvll [ ; ] zischn dm Grphn von f und dr -Achs ligt rläutrn Si ds rgnis für dn Fll, dss ggn Unndlich strt (5 P) c) Ggn ist in zit Funktionnschr und, IR g g mit ( ) = ( ) Brchnn Si di

2 Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis Aufg rrtt Listung Zuordnung Brtung ) Ggn ist di Funktion f f mit ( ) =,, IR Bstimmung dr Nullstlln Für di Nullstlln N gilt f ( N ) = N = N = N, d N für ll, N IR ist Dhr ist di inzig Nullstll Vrhltn im Unndlichn Für + lim f = lim = rgit sich ( ) + + schnllr ggn strt ls ächst Für lim f = lim, d rgit sich ( ) = ggn und ggn + strn Alitungn Mit Produkt- und Kttnrgl findt mn f = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = + = = + = f, d trmpunkt Notndig für inn trmpunkt i ist f ( ) = s gilt f ( ) = ( ) = ( ) = =, d für ll IR Hinrichnd für inn trmpunkt i ist f ( ) = und f ( ) f = = <, d s ist ( ) ( ) > für ll R An dr Stll = lign für ll IR Hochpunkt H ( ) vor I II III Wndpunkt Notndig für inn Wndpunkt i W ist f ( ) = s gilt: f ( ) = ( ) = ( ) = =, d W für ll W R ( ) Hinrichnd für inn Wndpunkt i W f W ist ( ) = f und M9_ANA_H nur für Lhrkräft Sit von 5

und ggn + strn Alitungn Mit Produkt- und Kttnrgl findt mn f = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = + = = + = f, d trmpunkt Notndig für inn trmpunkt i ist f ( ) = s gilt f ( ) = ( ) = (

3 Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis f für ll R s ist ( ) = ( ) = Also lign i = di Wndpunkt Wndtngntn W ( ) vor Di Stigung m t dr Wndtngntn ist di rst Alitung von f n dr Stll = f = ( ) = = m Dmit rgit sich: ( ) Dn y -Achsnschnitt dr Wndtngntn rhält mn mithilf dr Wndpunkt W ( ) Aus y m + = folgt = ( ) + Di Grdnglichung dr Wndtngntn ist y = + 4 t, lso 4 = Zichnung von f Bknnt Punkt: N ( ), H ( ), W ( ) Vrhltn im Unndlichn: Für immr klinr rdnd (mit < ) strn di Funktionsrt ggn und für groß ggn Wrttll: f () -54,6 7,4 5,4,5,68 Für ds rrichn dr Brtungspunkt gnügt di Zichnung von f Dr Grph von g us c) ist mit ingtrgn f ( ) g ( ) M9_ANA_H nur für Lhrkräft Sit von 5

Grdnglichung dr Wndtngntn ist y = + 4 t, lso 4 = Zichnung von f Bknnt Punkt: N ( ), H ( ), W ( ) Vrhltn im Unndlichn: Für immr klinr rdnd (mit < ) strn di Funktionsrt ggn und für

4 Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis ) Flächninhlt ( ), d im Intrvll ; ] A = f d = d Nullstlln vorlign s ird in prtill Intgrtion durchgführt s gilt Dmit folgt u ( ) =, u ( ) =, v ) ( ) ( ) ( = und f d = d = ( ) d = [ kin itrn v ( ) = [ ( )] [ ] = [ ] = [( ) ] ( ) = + Für groß strt ( ) ggn, d ggn strt ls ( ) ggn ( ) + schnllr Dmit strt für groß insgsmt ggn Dr Flächninhlt A dr Fläch zischn dn Grphn von f und dr -Achs trägt lso jils D Grnzrttrchtungn nicht gfordrt sind, knn uf di Drstllung lim f ( ) d = vrzichtt rdn c) Schnittpunkt dr Grphn von f und g Dfür ist di Glichung f ( s ) = g ( s ) zu untrsuchn s S S = ( S ) s = s d S für ll, R gilt s inzigr Schnittpunkt ist Q,5,5 s muss gzigt rdn: f ( ) g () s =, > für ll > Rchnung: (Andr Bgründungn sind möglich) f > > > ( ) = > ( ) = g ( ), d > Dr größtmöglich Astnd zischn S und T ntspricht dm Mimum dr Diffrnzfunktion d () = f g () = = ( ) ( ) ( ) M9_ANA_H nur für Lhrkräft Sit 4 von 5

insgsmt ggn Dr Flächninhlt A dr Fläch zischn dn Grphn von f und dr -Achs trägt lso jils D Grnzrttrchtungn nicht gfordrt sind, knn uf di Drstllung lim f ( ) d = vrzichtt rdn c) Schnittpunkt dr Grphn

5 Ministrium für Bildung und Frun Schlsig-Holstin 9 Listungskurs Mthmtik Thm: Anlysis Mithilf dr Produkt- und dr Kttnrgl rhält mn d ( ) = + = soi d ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ) = 5 ( Notndig für ds Vorlign ins trmums ist ( ) = ( ) = ( ) = für ll, IR ist =, d d Hinrichnd für inn trmpunkt i ist d ( ) = und d ( ) ( 5) = d ( ) = <, d > für ll IR d = schrit dn mimln Astnd zischn S und T d) Brchnung dr Koordintn von P Di Grd durch dn Ursprung ht di Glichung h ( ) = m mit m = tnα Um di -Koordint ds Schnittpunkts zu rrchnn, löst mn folgnd Glichung m = D folgt m = ln(m) = = ln(m) Di y -Koordint ist dnn y = m y = ( ln(tn α)) tn α Also ird dr Grph von f in dm Punkt P ln(tn α) ( ln(tn α) tn α) gschnittn, nn ( ) ln(tnα) ist (Für = ln(tnα) rhält mn O ( / ) ) 5 M9_ANA_H nur für Lhrkräft Sit 5 von 5

dr Koordintn von P Di Grd durch dn Ursprung ht di Glichung h ( ) = m mit m = tnα Um di -Koordint ds Schnittpunkts zu rrchnn, löst mn folgnd Glichung m = D folgt m = ln(m) = = ln(m) Di y -Koordint

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