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1 Abiturprüfung Mathmatik 7 Badn-Württmbrg (ohn CAS) Pflichttil - Aufgabn Aufgab : ( VP) Bildn Si di rst Ablitung dr Funktion f mit f () + ( sin ). Aufgab : ( VP) ln Brchnn Si das Intgral d. Aufgab : ( VP) 5 Lösn Si di Glichung. Aufgab : ( VP) Ggbn ist di Funktion f mit f(). + a) Bstimmn Si di Punkt ds Schaubilds von f mit waagrchtr Tangnt. b) Das Schaubild von f hat im Punkt P (/ ) di Normal n. Ermittln Si in Glichung von n. Aufgab 5: (5 VP) Ggbn ist das Schaubild dr Ablitung f dr Funktion f. a) Wlch Aussagn übr di Funktion f rgbn sich daraus im Hinblick auf - Monotoni - Etrmstlln - Wndstlln? Bgründn Si Ihr Aussagn. b) Es gilt f(). Skizzirn Si das Schaubild von f. Zultzt aktualisirt: 7..

2 Aufgab 6: ( VP) Lösn Si das linar Glichungssystm Intrprtirn Si das Glichungssystm und sin Lösungsmng gomtrisch. Aufgab 7: ( VP) Ggbn sind di Ebnn E und F mit E: + r + s ; r,s F: Zign Si, dass di Ebnn E und F paralll sind. Bstimmn Si dn Abstand dr Ebnn. Aufgab 8: ( VP) Von inm snkrchtn Kriskgl knnt man di Koordinatn dr Spitz S, di Koordinatn ins Punkts P ds Grundkriss sowi in Koordinatnglichung dr Ebn E, in dr dr Grundkris ligt. Bschribn Si in Vrfahrn, um dn Mittlpunkt M und dn Radius r ds Grundkriss zu bstimmn. Zultzt aktualisirt: 7..

3 Abiturprüfung Mathmatik 7 Badn-Württmbrg (ohn CAS) Lösungn Pflichttil Aufgab : Di Ablitungsfunktion wird mit dr Kttnrgl rmittlt: f() (+ sin) f () (+ sin) cos Aufgab : ln d ln ln ln Aufgab : 5 Zunächst wird mit 5 durchmultiplizirt, um dn Bruch aufzulösn: Substitution: u u u 5 u, u 5 und u ± ± Rücksubstitution: 5 ln5 nicht lösbar und somit Lösungsmng: L { ln 5 } Aufgab : + Umschribn dr Funktion: f() ( + ) Ablitung mit Produkt- und Kttnrgl: ( ) + + f () ( + ) + ( )( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) a) Punkt mit waagrchtr Tangnt: + f () + ( + ) odr -. ( + ) A(/) und B(-/-) bsitzn in waagrcht Tangnt. b) Glichung dr Normaln n im Punkt P(/ ) : Stigung dr Tangnt in P: f () Zultzt aktualisirt: 7..

4 Stigung dr Normaln in P: m Punkt-Stigungs-Form: Normalnglichung n m tan g y ( ) y + und dis ist di 6 Aufgab 5: a) Monotoni: Das Schaubild von f ist in dn Intrvalln strng monoton wachsnd, in dnn das Schaubild von f obrhalb dr -Achs vrläuft. Dort, wo das Schaubild von f untrhalb dr -Achs vrläuft, ist das Schaubild von f strng monoton fallnd. Damit gilt: Für < ist das Schaubild von f strng monoton wachsnd, für > strng monoton fallnd. Etrmstlln: Das Schaubild von f bsitzt dort Etrmstlln, wo das Schaubild von f Nullstlln mit Vorzichnwchsl aufwist. Das hißt, nur an dr Stll istirt in Etrmstll bi f, gnaur gsagt in Hochpunkt (VZW von + nach -). Wndstlln: Das Schaubild von f bsitzt dort Wndstlln, wo das Schaubild von f Etrmstlln bsitzt. Das hißt, an dn Stlln und bfindn sich bim Schaubild von f Wndstlln. An dr Stll bfindt sich sogar in Sattlpunkt bi f, da dr Etrmpunkt von f noch zusätzlich in Nullstll ist. b) Das Schaubild von f muss nur grob inskizzirt wrdn. In dr Skizz sollt dr Sattlpunkt bi und dr Hochpunkt bi rknnbar sin. Di Höh ds Hochpunkts kann noch nährungswis so rmittlt wrdn, dass di Fläch zwischn dr -Achs und dr vorggbnn skizzirtn Ablitungsfunktion im Intrvall [;] ungfähr Flächninhitn bträgt ( Quadrat). Dis Einhitn kommn zum Ausgangspunkt P(/) noch dazu, so dass dr Hochpunkt nährungswis dn y-wrt 5 bsitzt. Zultzt aktualisirt: 7..

5 Aufgab 6: () 5 () Di dritt Zil kann gstrichn wrdn, da si zwar in wahr Aussag lifrt, abr kin Information übr in Variabl nthaltn ist. Somit lign nur noch Glichungn mit Variabln vor. Es rgbn sich unndlich vil Lösungn. Stz t mit t R Daraus folgt aus dr.zil: 7 7t 5 5 t Aus dr.zil: (5 t) + t 7 t t Lösungsvktor: t 5 t 5 + t t Gomtrisch Intrprtation: Di dri Glichungn könnn als Koordinatnglichungn drir Ebnn im Raum intrprtirt wrdn. Di Lösung ds LGS bdutt anschaulich, dass sich dis dri Ebnn in inr Schnittgrad schnidn. Di Schnittgrad bsitzt di Paramtrform g: 5 + t. Aufgab 7: Di Ebn E ligt in Paramtrform vor, di Ebn F in Normalnform. Zur Kontroll, ob di Ebnn E und F paralll sind muss gprüft wrdn, ob di bidn Richtungsvktorn dr Ebn E orthogonal auf dm Normalnvktor dr Ebn F lign. Es gilt: + und Zultzt aktualisirt: 7..

6 Da sich jwils als Skalarprodukt dr Wrt rgibt, ist di Orthogonalität zwischn dm Normalnvktor von F und dn Richtungsvktorn von E gzigt. Also sind E und F paralll. Dr Abstand dr bidn Ebnn ntspricht dm Abstand ds Punkts P(//), dr auf dr Ebn E ligt, von dr Ebn F. Disr Abstand wird mithilf dr Hss-Normalform rmittlt. Umformung von F als Koordinatnglichung: F: HNF von F: Abstand P von F: + 8 d (P,F) Aufgab 8:.) Aufstlln inr Hilfsgrad h, di durch dn Punkt S ght und di orthogonal zur Ebn E vrläuft, d.h. dr Richtungsvktor von h ist dr Normalnvktor von E..) Bstimmung ds Schnittpunkts dr Grad h und dr Ebn E rgibt dn Mittlpunkt M ds Grundkriss..) Dr Abstand von M zu P, dr mit MP brchnt wird, rgibt dn Radius ds Grundkriss. 6 Zultzt aktualisirt: 7..