Erfolg im Mathe-Abi. Gruber I Neumann. Prüfungsaufgaben Nordrhein-Westfalen

Transkript

1 Grubr I Numann Erfolg im Math-Abi Prüfungsaufgabn Nordrhin-Wstfaln Übungsbuch für dn Listungskurs mit Tipps und Lösungn für dn wissnschaftlichn Taschnrchnr und dn GTR plus zusätzlich Aufgabn für CAS

2 Vorwort Vorwort Diss Übungsbuch ist spzill auf di Anfordrungn ds zntraln Mathmatik-Abiturs im Listungskurs in Nordrhin-Wstfaln abgstimmt und nthält Übaufgabn auf Prüfungsnivau aus alln Gbitn Analysis, Gomtri und Stochastik. Di Aufgabn sind für Taschnrchnr mit und ohn Grafikfähigkit. Si sind so gstllt, dass di Vrwndung ins grafikfähign Taschnrchnrs kin Vortil mit sich bringt. Dr blau Tipptil Hat man kin Id, wi man in Aufgab anghn soll, hilft dr blau Tipptil in dr Mitt ds Buchs witr: Zu jdr Aufgab gibt s dort Tipps, di hlfn, inn Ansatz zu findn, ohn di Lösung vorwgzunhmn. Wi arbitt man mit dism Buch? Am Anfang bfindn sich di Aufgabn aus dn dri Thmnbrichn. Di Aufgabn sind in dr Rgl in ihrr Schwirigkit gstafflt. In dr Mitt ds Buchs bfindt sich dr blau Tipptil mit Dnk- und Lösungshilfn. Di Lösungn mit ausführlichm Lösungswg bildn dn drittn Til ds Übungsbuchs. Hir findt man di notwndign Formln, Rchnvrfahrn und Dnkschritt sowi sinnvoll altrnativ Lösungswg. In dr Linarn Algbra / Analytischn Gomtri gibt s zwi Schwrpunkt: Abbildungsmatrizn Schwrpunkt 1 und Übrgangsmatrizn Schwrpunkt 2. Alln Schülrinnn und Schülrn, di sich auf das Abitur vorbritn, wünschn wir vil Erfolg. Hlmut Grubr, Grgor Kowalski und Robrt Numann

3 Inhaltsvrzichnis Inhaltsvrzichnis Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Gbrochnrational Funktion Minraldüngr... 9 Gbrochnrational Funktion Hizkostn Gbrochnrational Funktion Baktrinkultur Exponntialfunktion Funktionnschar Exponntialfunktion Schädling Exponntialfunktion Mdikamnt Logarithmusfunktion Schal Logarithmusfunktion Rotwinkaraff Logarithmusfunktion Atmstoßtst Gbrochnrational Funktion Zahnpasta CAS Gbrochnrational Funktion Straßnlatrn CAS Exponntialfunktion Glocknkurv CAS Exponntialfunktion Baumdurchmssr CAS Linar Algbra / Analytisch Gomtri 15 Abbildungsmatrix Plantarium Abbildungsmatrix Pyramid Abbildungsmatrix Antnnnmast Abbildungsmatrix Ttradr Übrgangsmatrix Vrsandkist Übrgangsmatrix Pyramidnstumpf Übrgangsmatrix Haftpflichtvrsichrung Klttrpyramid... 4 Stochastik 2 Wählranalys Cornflaks Rauchr Ostrhasn Glücksttradr Tipps Lösungn Stichwortvrzichnis

4 1. Ganzrational Funktion Windln Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Tipps ab Sit 41, Lösungn ab Sit 65 Ggbn ist di Funktionnschar f a durch f a x = 1 a 2 x + x; x IR, a > 0 a Untrsuchn Si di Graphn dr Funktionnschar auf Symmtri, Schnittpunkt mit dr x-achs, Extrm- und Wndpunkt, Asymptotn sowi das Vrhaltn für x ±. b Skizzirn Si für a = 1 dn Graphn von f a. Ein Firma stllt Babywindln hr. Dis bsthn aus übrinandrglgtn Schichtn, drn Matrialdicht all 0,1mm linar zunimmt. Durch di Funktion f a wird dr Vorgang dr Flüssigkitsaufnahm in Abhängigkit von dr Matrialkonstantn a im Intrvall I = [x E ; x N ], x > 0 in gutr Nährung bschribn dabi ist x E Extrmstll und x N Nullstll von f a. Es gilt für di Längninhitn auf dn Koordinatnachsn: x-achs: Anzahl dr Schichtn y-achs: Saugfähigkit innrhalb inr Schicht in ml pro Flächninhit. c Für wlchn Wrt dr Matrialkonstantn a xistirn di mistn Schichtn? d Für wlchn Wrt dr Matrialkonstantn a kann im Intrvall I di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn? 8

5 Tipps 2. Gbrochnrational Funktion Minraldüngr Tipps Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln a Bi dr Untrsuchung ds Graphn von f a auf Symmtri bachtn Si, dass s sich um in ganzrational Funktion handlt, di nur ungrad Exponntn bsitzt; stzn Si x in f a x in. Gilt f a x = f a x, ist dr Graph punktsymmtrisch zum Ursprung. Um di Schnittpunkt mit dr x-achs zu bstimmn, brchnn Si di Lösungn von f a x = 0. Zur Bstimmung dr Extrm- und Wndpunkt litn Si di Funktion f a drimal ab und stzn di rst bzw. zwit Ablitung glich Null. Prüfn Si jwils auch di hinrichnd Bdingung. Bstimmn Si di Grnzwrt, falls möglich, von f a x für x ±. b Bnutzn Si di charaktristischn Punkt aus Aufgabntil a, um dn Graphn zu skizzirn. Insbsondr di Symmtri kann bi dr Zichnung hilfrich sin. c Bstimmn Si di Grnzn ds Intrvalls I; bachtn Si, dass x > 0 ist. Damit di Anzahl dr Schichtn im Intrvall I möglichst groß ist, muss dr Abstand zwischn dr positivn Extrmstll und dr positivn Nullstll möglichst groß sin. Stlln Si in Funktion Da, di von a abhängt, auf und bstimmn Si drn Maximum mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung von Da. d Di mist Flüssigkit kann aufgnommn wrdn, wnn dr Flächninhalt Fa dr Fläch zwischn dm Graphn von f a und dr x-achs im Intrvall I möglichst groß ist. Brchnn Si Fa mit Hilf ins Intgrals in Abhängigkit von a und bstimmn Si das Maximum von Fa mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung vo Fa. 2 Gbrochnrational Funktion Minraldüngr a Stlln Si mit Hilf dr ggbnn Datn dri Glichungn mit dri Unbkanntn auf und lösn Si das Glichungssystm. b Skizzirn Si das Schaubild von f und übrlgn Si, ob f monoton ist Nachwis mit f. Wo ligt dann das «Maximum»? Brchnn Si dn 1,5-fachn Ertrag und stzn si ihn mit f x glich. Brchnn Si di Diffrnz zwischn f 60 und 980, sowi dn Prozntsatz bzüglich 980. c Ein ganzrational Funktion 2. Grads hat dn Ansatz: gx = rx 2 + sx +t. Di Paramtr a, b und c wurdn schon für di Funktion f vrwndt. Stlln Si dri Glichungn auf und lösn Si das Glichungssystm. Das Maximum von gx rhaltn Si mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung von gx. d Übrlgn Si sich, wi sich dr Gwinn zusammnstzt, stlln Si in Gwinnfunktion Gx auf und bstimmn Si das Maximum von Gx mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung von Gx. 41

6 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Es ist f a x = 1 a 2 x + x; x IR, a > 0 a Da s sich um in ganzrational Funktion handlt, di nur ungrad Potnzn von x und kin Konstant nthält, ist dr Graph dr Funktion f a punktsymmtrisch zum Ursprung. Altrnativ kann man di Symmtri wi folgt nachwisn: f a x = 1 a 2 x + x = 1 a 2 x x = 1 a 2 x + x = f a x Wgn f a x = f a x ist dr Graph von f a punktsymmtrisch zum Ursprung. Um di Schnittpunkt mit dr x-achs zu bstimmn, stzt man dn Funktionstrm von f a glich Null: f a x = 0 führt zu 1 x + x = 0 x 1a x 2 + = 0 mit dn Lösungn x a = 0 und x 2; = ± a 2 = ±a. Damit sind di Schnittpunkt mit dr x-achs: N a,1 0 0, N a,2 0 und N a, a 0. Zur Bstimmung dr Extrm- und Wndpunkt bnötigt man di rstn dri Ablitungn von f a : f a x = a 2 x2 + f a x = 6 a 2 x f a x = 6 a 2 Für di Extrmpunkt gilt als notwndig Bdingung f a x = 0: a 2 x2 + = 0 x 1;2 = ± a 2 = ±a Di zughörign y-wrt sind f a = 1 a 2 a + a = + a 2 = a = a = a 2 = 2 a = 2 a 65

7 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn und wgn dr Punktsymmtri ds Graphn von f a zum Ursprung: f = 2 a Für di hinrichnd Bdingung stzt man di bidn rrchntn x-wrt in f a x in: und f a f a a = 6 a 2 = 6 a 2 a Damit sind di bidn Extrmpunkt: T a 2 a = 6 a > 0 Tifpunkt = 6 a < 0 Hochpunkt und H a a 2a Zur Bstimmung dr Wndpunkt führt di notwndig Bdingung f a x = 0 zu 6 a 2 x = 0 x = 0 Mit f a 0 = 1 a = 0 und f a 0 = 6 a 2 0 hat dr Graph von f a dn Wndpunkt W0 0. Bim Btrachn ds Vrhaltns für x + stllt man fst, dass dr rst Summand 1 a 2 x wgn dr drittn Potnz schnllr ggn ght, als x ggn. Dahr gilt f a x für x und f a x für x. Altrnativ schribt man: lim f a x = lim 1 x ± x ± a 2 x + = Somit bsitzt dr Graph von f a kin Asymptotn. Da s kin Dfinitionlückn und Pol gibt, lign auch kin snkrcht Asymptotn vor. b Um dn Graphn von f 1 zichnn zu könnn, übrlgt man sich di Lag dr Schnittpunkt mit dr x-achs und di Lag dr Extrm- und Wndpunkt ds Graphn von f a für a = 1. Dazu stzt man a = 1 in di brits brchntn Punkt in: N 1,1 0 0, N 1, ,61 0 und N 1, 1 0 0,61 0 Di Extrmpunkt sind T ,5 0,086 und H 1 2 0,5 0,086 Dr Wndpunkt hat di Koordinatn W0 0. Mit Hilf disr Punkt kann man dn Graphn von f 1 x skizzirn: 66

8 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln c Für x > 0 rhält man im Intrvall I = [x E ; x N ] dn Wrt von a, für dn di mistn Schichtn xistirn, indm man das Maximum dr Strck x E x N brchnt: Mit x E = a und x N = a rgibt sich di Strcknmaximumsfunktion Da, di von a abhängt: Da = x N x E = a a Um das Maximum von Da zu bstimmn, muss di rst Ablitung von Da glich Null gstzt wrdn. Zum Ablitn wird Da zurst umgformt: Da = a a 2 = a 1 2 a 1 1 a 2 = a a 2 = 1 a a Mit Hilf dr Produkt- und Kttnrgl rhält man: D a = a a a = D a = a a 1 12 a 2 = a a = 1 1 a a a 1 2 a 67

9 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn Di notwndig Bdingung D a = 0 führt zu a 2 1 a = a = 0 a = 2 Wgn D 2 = = ,077 < 0 handlt s sich um in Maximum. Damit ist di Läng dr Strck x E x N für a = 2 maximal, d.h. für a = 2 xistirn di mistn Schichtn. d Um zu bstimmn, für wlchn Wrt von a di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn kann, brchnt man zurst dn Flächninhalt Fa dr Fläch zwischn dm Graphn von f a und dr x-achs im Intrvall I, wlchr dr aufgnommnn Flüssigkitsmng pro Flächninhit ntspricht: xn Fa = f a xdx = x E xn x E = 1 4a 2 a [ a 2 x + x dx = 1 4a 2 x x 2 2 a 2 1 4a 2 a = 1 4 a2 2a a2 2a a2 2a 1 6 a2 2a = 1 9 a2 2a ] a a a Zur Brchnung ds Maximums von Fa bstimmt man mit Hilf dr Produkt- und Kttnrgl di 1. und 2. Ablitung von Fa: F a = 2 9 a 2a a2 2a 2 = 2 9 a 2a a2 2a = 9 a 2 9 a2 2a 2 F a = a 2a + 9 a 2 9 a2 2a 2 2 = a 4 9 a a2 2a 4 = 9 a2 8 9 a + 2 2a 9 68

10 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln Di notwndig Bdingung F a = 0 führt zu 2 9 a 2 9 a2 2a = a 2 9 a2 = 0 2 a 1 a = 0 9 mit dn Lösungn a 1 = 0 und a 2 = 1. Wgn a > 0 und F 1 = = ,0 < 0 handlt s sich bi a 2 = 1 um in Maximum. Für a = 1 kann also von dr Windl di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn. 69