Rechner in C - Version 2.0

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1 Rchnr in C - Vrsion Inhlt. Vorwort. Einlitung 3. Gross Zhln und drn Brchnungn. Binär Rlzhln. Wissnschftlich Drstllung rllr Zhln 3. Ds Spichrformt dr Zhln 4. Addition und Subtrktion 5. Multipliktion 6. Division 7. Ivrtirung 8. Qudrtwurzl 9. Potnzirn 0. Vrglich zwir Rlzhln. Ausgb dr Zhln. Eingb dr Zhln 3. Konstntn 4. Aufwndigr Funktionn (ln; sin;...) 5. Komplx Zhln und Oprtionn 4. Syntxnlys und Intrn Spichrung von Trmn. Listn. Trm 3. Anlys dr Eingb 4. Ausrchnn / Zusmmnfssn 5. Ausmultiplizirn und Wurzlzihn 6. Bnutzrdfinirt Konstntn 7. Glichungn 5. Vrglich mit Mpl. Gnuigkit. Drstllung von Trmn 3. Gschwindigkit 4. Funktionn 5. Witrs 6. Schluss 7. Zusmmnfssung 8. Anhng. Turbo Pscl - Kurz Sprchrläutrung. Potnzrihnntwicklungn 3. Brchnungn mit komplxn Zhln Sit

2 . Vorwort Diss Progrmm hir soll in kinr Wis irgndin gängigs Mthmtik-Progrmm konkurrnzirn. Mir ging s bi dr Entwicklung nicht drum, tws nus, wltbwgnds zu schffn. Abgshn dvon wär mir ds wohl kum möglich, und schon gr nicht in disr kurzn Zit. Dr Grund, wshlb ich diss Progrmm schrib ist vilmhr, um zu lrnn, wi mthmtisch Problm mit Hilf ds Computrs glöst wrdn könnn und wi Computr - bispilswis dr mthmtisch Coprozssor odr dr Tschnrchnr - intrn rchnn könntn. So wär s dnn uch bi viln Routinn und Brchnungn licht gwsn, dn Coprozssor zu Hilf zu nhmn, ws ds Progrmm shr whrschinlich um inigs schnllr gmcht hätt; dr igntlich Sinn ds Progrmms wär br ddurch vrlorn ggngn. Anfäng Di Id, Routinn zu progrmmirn, di Zhln mit inr grössrn Gnuigkit brchnn solln, wr bi mir schon vor Jhrn vorhndn. Dort fhlt mit jdoch noch ds mthmtisch Wissn, um in solchs Vorhbn in di Tt umzustzn. Ich bgnügt mich dmls mit dm Addirn von übrgrossn Intgr-Wrtn, gb s dnch jdoch uf, d di Fähigkit, gross Zhln zu brchnn nutzlos ist, wnn mn si nur im hxdzimln Formt usgbn knn. Im Frühjhr diss Jhrs stllt dr Mthmtiklhrr di Aufgb, in Progrmm zu schribn, ds Glichungn zwitn Grds komplx lösn knn. D ich schon duznd Progrmm gschribn htt, di uf dm Eingbn dr Koffizintn bruhtn, vrsucht ich, in infch Syntxnlys zu rlisirn: dr Anwndr sollt di Glichung n inm Stück ingbn könnn. D mir dis rst Form dr Syntxnlys glückt, bgnn ich ds Progrmm uszubun und di Id von grossn Rlzhln widr ufzugrifn. Ds rst Rsultt ist nun diss Progrmm hir. Es ist sichrlich noch nicht frtig odr brits fhlrfri, sondrn hr in rst Ausgngslg für Vrbssrungn und Erwitrungn. Währnd dr Entwicklung ds Progrmms km ich zum rstn Ml mit Mpl in Kontkt. Im rstn Momnt wr s hr nidrschlgnd, d Mpl mit noch grössrn Zhln und inigs schnllr rchnt. Auf dr ndrn Sit knn s br uch ls Anrgung dinn, um zu zign, ws möglich ist, und ws minm Progrmm noch hinzugfügt wrdn könnt. D di rst Vrsion noch inigs n Fhlrn und Kompromissn nthält, progrmmirt ich lls nochmls nu. Mnch Elmnt übrnhm ich dbi :, ndr wurdn völlig nu gstltt, j nchdm wi gut sich di vorhndnn Routinn bwährtn. An disr Stll möcht ich uch lln dnjnign dnkn, di mich untrstütztn. Bsondrs hrvorhbn möcht ich min Mthmtiklhrr Rto Schuppli und Thoms Thorwstn, di in mir di Frud n dr Mthmtik wcktn und mir hlfn, di mthmtischn Grundlgn für in solchs Projkt zu rrbitn. Auch bi konkrtn Problmn htt ich hir gut Ansprchprtnr. Auch minn Vtr Jkob Kohn möcht ich nicht unrwähnt lssn. Ds öftrn nhm r sich di Zit, mir gnu zu rklärn wi dr Computr rbitt und mir Wg zu zign, wi vrschidn Problm bim Progrmmirn uf infchr Wis glöst wrdn könnn. Sit

3 . Einlitung Ds Zil diss Projkts ist, in Progrmm zu schribn, ds komplx Zhln uf mindstns hundrt Dzimlstlln gnu brchnt und Fähig ist, di Syntx zu nlysirn, so dss dr Anwndr gnz Trm und nicht nur Zhln ingbn knn. Ddurch wird ds Progrmm grundsätzlich in zwi Til gglidrt: di Brchnung dr Rlzhln und di Syntxnlys. Di Übrlgungn zum brchnn dr Rlzhln solln dzu bitrgn, zu vrsthn, wi dr Coprozssor odr dr Tschnrchnr intrn rchnn könntn. Im witrn ist s shr intrssnt, inml in inm frmdn Stllnsystm (hir jtzt ds Binärsystm) zu rchnn und tilwis uch zu dnkn. Um inigs im Binärsystm zu vrsthn, wird in Anlys ds Dzimlsystms unumgänglich. Bi dr Syntxnlys ght s drum, in infch Art dr Kommuniktion zwischn Mnsch und Computr knnnzulrnn: wi könnn mnschlich Problm dm Computr vrständlich gmcht wrdn und dssn Lösungn dm Mnschn? Bi dr Entwicklung ds Progrmms bgnn ich von untn hr. Zurst wurdn di grundlgndn Mthmtischn Routinn rstllt, uf ihnn ufbund folgtn dijnign für di komplxn Zhln und trigonomtrisch Funktionn. Erst ls disr rst Til völlig bgschlossn wr, km di Syntxnlys hinzu. Ebnflls widr mit dn infchstn Fälln, noch ohn Klmmrn odr Punktvor-Strich-Rgln zu bchtn, bginnnd. Zu gutr Ltzt fügt ich di Obrfläch mit Dlphi hinzu und korrigirt uch Fhlr, di sich in dn vorhrghndn Tiln noch ingschlichn httn. Als in rst luffähig Vrsion xistirt, bgnn ich nochmls von vorn. Im rstn Durchgng wr mir dr Wg noch nicht bknnt gwsn, ich löst di Problm inzln nch inndr. D ich nun br wusst, wlch Vorusstzungn wo bnötigt wurdn, wr ich in dr Lg, mhrfch vrwndt Routinn uszulgrn odr übrflüssig Til zu strichn. Nbnbi konntn di inzlnn Prozdurn uch bssr gruppirt wrdn. Eigntlich könnt mn n inm solchn Projkt fst unndlich lng witr rbitn, nu Zustzfunktionn inbun odr Vorhndns optimirn. Mit dm vorligndn Produkt wurdn di Vorusstzungn br witghnd rfüllt. Ich möcht s dn Lsrn disr Arbit fri lssn, ds Progrmm noch witr uszubun odr zu optimirn. Ich gh dvon us, dss dr Lsr disr Arbit mit dn Grundbgriffn dr Mthmtik und ds Progrmmirns vrtrut ist. D di Qulltxt in Pscl und Assmblr gschribn wurdn, sind ntsprchnd Knntniss sichr von Vortil, im Anhng bfindt sich jdoch in Til, dr dn Progrmmirrn, di nicht mit Pscl vrtrut sind, ds Lsn dr Qulltxt rlichtrn solln. Sit 3

4 3. Gross Zhln und drn Brchnungn Um in lktronisch Mschin zu bun, di inm Anwndr di Brchnung bnimmt, ist s igntlich nötig, ll Oprtionn uf logisch Schltungn zurückzuführn. Von d hr ufbund knn dis Mschin dnn mit dr Zit immr witr usgbut wrdn, bis si schlisslich zu dm wird, ws wir hut untr inm Computr vrsthn. Diss Projkt stzt nicht gnz m Anfng n, wo s noch drum ght, inzln Bits zu ddirn, sondrn nutzt brits dn Prozssor 80x86, dr sich in dn mistn hut gängign PCs bfindt. Doch ws knn igntlich disr Prozssor lls, ws für Oprtionn sthn von vornhrin zur Vrfügung? Dr 8086 ist in dr Lg, zwi gnz Zhln im Brich von 0 bis mit inr dr vir Grundoprtionn Addition, Subtrktion, Multipliktion und Division zu vrknüpfn (Bim Pntium rstrckt sich dr Zhlnbrich bis zu c. 4, Mi., ws br m Prinzip wnig ändrt). Grössr Zhln müssn zurst in klinr zrlgt wrdn. Gnu dsslb tun wir uch, wnn wir uf Zhln trffn, di für uns zu gross sind. Ein Bispil: * 45 =? Wir zrlgn di Zwölf, multiplizirn di 45 nchinndr mit lln Ziffrn dr Zwölf, und bildn di Summ disr Zwischnrsultt: uch ls ds schriftlich Multiplizirn bknnt. * 45 = 0 * 45 = * 45 = Di Schwirigkit ds Projkts lg nun drin, ffizint Möglichkitn zu findn, mit disn infchn Grundvorusstzungn uch shr gross Zhln brbitn zu könnn. Um uf in rsts Zil hin rbitn zu könnn, vrsucht ich, mit Zhln mit mindstns 00 Dzimlstlln zu oprirn. Di glichn Prinzipin lissn sich br uch blibig rwitrn (Di Gschwindigkit dr Computr stzn dm zwr in dr Prxis shr schnll Grnzn). 3.. Binär Rlzhln Di ntürlichst Art, Zhln drzustlln, bstht drin, dr Zhl ntsprchnd vil Punkt zu zichnn. Für klin ntürlich Zhln ist ds kin Problm, doch ist s shr rmüdnd, 00 Punkt zu zichnn, odr sogr dmit zu rchnn. Di Mnschn bgnnn dhr, gwiss Gruppn von Punktn (bvorzugt 0, 00, 000, usf.) zusmmnzufssn und ihnn in nus Zichn zu gbn (bispilswis inn Kris). Schlisslich wurdn di Zichn uch bstrktr: Schriftzichn in unsrm hutign Sinn ntstndn. Doch ds Vrinfchn ds Schribns von Zhln ging witr. Ansttt für di Zhl 400 vir Hundrtr-Zichn zu schribn, schribt mn in vir und dhintr in Hundrtr-Zichn (Di Chinsn vrwndn hut noch diss Systm). Di Zhl 76 rgäb dnn Mit dr Zit wurdn dnn uch di hir klin drgstlltn Zhln wgglssn: s wr klr, dss di Zhl gnz rchts di inr, di ins witr links di Zhnr usw. drstlltn. Dis Drstllungsformt nnnt mn Stllnwrtsystm. Durch Einführung witrr Zichn (Minus, Komm) wird s möglich, uch gbrochn und ngtiv Zhln drzustlln. Ds uns vrtrut Zhlnsystm mit dr Bsis 0 ist br bi witm nicht di inzig Möglichkit, Zhln in inm Stllnwrtsystm drzustlln. Di ltn Bbylonir zum Bispil vrwndtn ls Grundzhl nicht di Zhn, sondrn di Schzig. Für uns ist ds Rchnn in inm solchn Systm ungwohnt und dmntsprchnd schwirig, doch rgbn sich gross Vortil us dr Vrwndung dr Zhl 60 ls Grundzhl. /3 bispilswis knn im Dzimlsystm nicht richtig drgstllt wrdn: s rgibt sich in priodisch, br unndlich Zhl (0, ). Im bbylonischn Systm säh di glich Zhl ungfähr so us: 0,0. Dr Computr hinggn vrwndt us physiklischn Gründn di Grundzhl. Doch ws hisst ds igntlich, di Grundzhl x vrwndn? D ds Dzimlsystm (Zhnr-Systm) uf dr Grundzhl 0 bruht, bsitzt s 0 vrschidn Ziffrn (0 bis 9). Grössr odr klinr Zhln müssn ls in Kombintion disr Ziffrn drgstllt wrdn. Dis Kombintionn rfolgn nicht infch blibig, sondrn nch fstn Rgln. An dr Stll 0 kommn di Einr, n Stll di Zhnr, n Stll di Hundrtr und so witr. In dr untn ngführtr Tbll wird di Zhl 8.65 in di inzlnn Stlln zrlgt. Es wird rsichtlich, dss di Stll x dn Wrt 0 x rpräsntirt. Zhln hintr dm Komm rhltn in ngtiv Stllnnummr, wodurch sich Stllnwrt zwischn 0 und rgbn. Sit 4

5 Stll: Stllnwrt: = 0 Stll Ziffr: Wrt: Ftt hrvorghobn sind di Ziffrn, di so di Zhl drstlln, wi si sich uns ohn Tbll präsntirt. Dr Wrt rgibt sich jwils us dr Multipliktion dr Ziffr und dm Stllnwrt. Dm Binärsystm (Zwir-Systm) mit dm dr Computr rchnt, ligt nun nicht di Zhl 0, sondrn di zu Grund. Es sind nur grd Ziffrn rfordrlich, dfür sind vil mhr Übrträg nötig. Di obn vrwndt Zhl 8.65 rgäb so folgnds Schm: Stll: Stllnwrt: = Stll Ziffr: Wrt: Widrum Ftt hrvorghobn zigt sich di Zhl, wi si ohn Tbll dsthn würd: in Folg von Nulln und Einsn, di uns ohn Knntnis ds Binärystm und dssn Stllnwrt nichts sgt. Ds Nchrchnn dr Wrt rgibt jdoch widrum di Zhl Wi ds Bispil dr Bbylonir zu Bginn zigt, ist in Grundzhl mit möglichst viln ntürlichn Tilrn von grossm Vortil (60:,3,4,5,6,0,..). Di Zhl bsitzt br nur inn Tilr: sich slbr. Dis führt dzu, dss vil Zhln, di slbst im Dzimlsystm noch gnu drgstllt wrdn könnn, im Binärsystm inn unndlichn Bruch rzugn. Di Brchnungsroutinn und vor llm uch di Ein- und Ausgb müssn dis Abwichungn vom rln Wrt brücksichtign (Sih 3.3). 3.. Wissnschftlich Drstllung dr rlln Zhln Trotz dr grossn Vrinfchung, di ds Stllnwrtsystm mit sich bringt, ist s mnchml zimlich mühsm, gross Zhln zu schribn. Ein Möglichkit wär, nsttt dm dzimln in Systm zu Vrwndn, ds di Grundzhl 000 bnutzt. Ds würd br hissn, dss uch 000 vrschidn Ziffrn notwndig wärn. Dhr schidt dis Möglichkit shr schnll widr us. Di wirklich prktizirt Vrint vrzichtt infch druf, immr di gnz Zhl zu schribn: s wrdn nur di wsntlichn Til dr Zhl notirt. Für di Zhl würd ds dnn hissn, dss nur di 3 notirt wird, di Nulln wrdn wgglssn. Nun ist di Zhl br durch ds widr nicht gnu dfinirt, gibt s doch unndlich vil Zhln, di mit inr 3 bginnn und dhintr nur Nulln hbn (3, 30, 300, usf.). Um di Zhl indutig zu idntifizirn, wird hintr di Zhl noch di Anzhl dr wgglssnn Nulln hingschribn. Um di bidn Zhlntil zu trnnn wird in klins E für Exponnt odr in 0^ vrwndt. Di vorig Zhl rgäb ddurch 3E4. Di Mthmtikr vrinbrtn nun, dss bi Zhln, di mhr ls in rlvnt Ziffr hbn nicht nur di Nulln gzählt würdn, sondrn immr ll Stlln nch dr rstn Ziffr. Durch ds rgibt di Zhl nicht 3E3, sondrn 3.E5. Auch wnn dis im rstn Momnt ls norm komplizirt rschint, bringt diss Formt inig Vortil mit sich. Ein Bispil wär ds Vrglichn von Zhln: Wlch dr bidn Zhln 8.6E4 und 85E ist grössr? Auf dn rstn Blick ist di Frg nicht sofort bntwortbr, stllt mn jdoch uch di zwit Zhl im gfordrtn Formt dr, siht mn schnll, dss bid Zhln idntisch sind. Dis Mthod funktionirt uch für klin Zhln, di zwischn 0 und lign. Dr Exponnt (di Zhl hintr dm E) wird infch ngtiv: 0.05 = 5.E- (Vor dr rstn Ziffr bfindn sich zwi Nulln). Di Zhln im Brich von bis wrdn durch dn Exponntn 0 rgänzt: 4 = 4E0. Auf di slb Art und Wis wi dis im Dzimlsystm möglich ist, wird dis nun uch im Binärsystm gtn. Dr Exponnt gibt br nicht di Zhnrstlln, di wggschnittn wurdn n, sondrn di Zwirstlln, dhr wird zur Trnnung dr Ziffrn uf kinn Fll in 0^, sondrn in ^ odr br uch widrum in E vrwndt. Ich möcht noch druf hinwisn, dss di Exponntn immr gnz Zhln sind (s ist rltiv schwirig, in Zhl um in hlb Stll zu vrschibn). Ob di gnz Zhl ngtiv odr positiv ist, ht kinn Einfluss uf dn Exponntn. Sit 5

6 3.3. Ds Spichrformt dr Zhln Di Zhln wrdn in inm ignn Formt bgspichrt, ds dn Formtn ähnlt, di dr Coprozssor 80x87 bnutzt. Es ist ldiglich inigs grössr. In dn rstn 4 Byt ist dr Exponnt ls Pscl-LongInt-Wrt bglgt. Di Vrwndung ins Pscl-Intrnn Typn rlichtrt divrs Oprtionn um inigs. Di Mntiss mit dm Vorzichn hinggn konnt nicht mhr ls vordfinirtr Typ bglgt wrdn. Zu bchtn ist hir, dss di Byts us unsrr Sicht vrkhrt hrum ngordnt sind: ds Byt Null rpräsntirt di hintrstn Stlln dr Zhl und ds höchstwrtig Byt di vordrstn Stlln. Ds höchstwrtigst Byt binhltt bnflls ds Vorzichn. Ds Komm stht immr nch dm rstn Bit dr Zhl: ds hisst, ds rst Bit dr Zhl ist immr in Eins: Ausnhm: di gnz Zhl ist glich Null. In dism Formt lssn sich Zhln im Brich von +/- 0 +/ mit inr Gnuigkit von ungfähr 30 Dzimlstlln brchnn. Dm Anwndr wrdn br im Normlfll nur 0-0 Stlln sichtbr gmcht. (D in Zichnktt untr Pscl uf 55 Zichn bschränkt ist, wrdn uch von dr Ein- und Ausgb hr gwiss Schrnkn gstzt.) Di Zhl slbr lässt sich dhr wi folgt brchnn: Vorzichn z = ( ) Mntiss Exponnt Ds Spichrformt dr Zhl siht wi folgt us: (In Klmmrn ist di jwilig Gross in Bit nggbn. Di Gröss dr Mntiss ist im Progrmm licht ändrbr und knn von dm hir ngführtn Wrt bwichn.) Ltzts Bit dr Zhl Ersts Bit dr Zhl Exponnt (3) Mntiss (479) Anordnung: Vorzichn () Prktisch ll Routinn übrprüfn ls rsts, ob di Zhln übrhupt gültig sind. Gültig bdutt hir, dss ds rst Bit n dr obn ingzichntn Stll sthn muss. Im rstn Momnt mg dis unsinnig rschinn, br s bringt inig Vortil mit sich: Fhlr sind tilwis lichtr zu loklisirn, di Zhln bsitzn wirklich immr di nggbn Gnuigkit und di Routinn rbitn schnllr und präzisr. In dr rstn Vrsion stllt ich fst, dss Zhln, di Null sin solltn, noch ls 0-30 uf dm Bildschirm rschinn odr bi dn Vrglichsroutinn nicht richtig rknnt wurdn. Dshlb übrprüfn di Vrglichsroutinn uch nicht mhr ll Byts dr Mntiss, sondrn nur in gwiss Anzhl. Dr Rst fällt dr Ungnuigkit dr Brchnungn zum Opfr. Wi gross dis Ungnuigkit gnu ist, vrmg ich nicht zu sgn, doch gh ich ufgrund ds Tolrnzbrichs dvon us, dss dis Ungnuigkit für di Brchnungn kin Roll spilt Addition und Subtrktion Vom Grundprinzip hr rinnrn di infchn Rchnoprtionn (Addition, Multipliktion und Division) n ds schriftlich Rchnn. Im Ggnstz zum schriftlichn Rchnn wrdn br nicht di inzlnn Stlln mitinndr Vrknüpft, sondrn immr glich 8 odr 6 Binärstlln uf inml. Ds rgibt sich us dr Ttsch, dss dr Computr ls klinst Einhit in Byt sinnvoll vrrbitn knn und diss 8 Binärstlln (Bits) nthält. Di Subtrktion wird uf di Addition zurückgführt: si wird in in Addition mit vrändrtm Vorzichn umgwndlt: x-y = x+(-y). Di Additionsroutin rbitt folgndrmssn: Sichrstlln, dss bid Zhln gültig sind. Di rst Zhl soll - flls möglich - di grössr sin. Wnn bid Zhln in tw glich gross sind, spilt ds so gut wi kin Roll. Wnn bid Zhln gnu glich sind, knn di Additionsroutin bgkürzt wrdn, d di Addition zwir idntischr Zhln dr Multipliktion mit glichkommt. Di Vorzichn müssn vom Rst dr Zhl gtrnnt und zwischngspichrt wrdn. Si wrdn spätr noch bnötigt. D sich di Vorzichn br in dr Mntiss bfindn, müssn si us disr ntfrnt wrdn, dmit si nicht ls Mntissn-Byts ngshn und mitddirt wrdn. Sit 6

7 Di zwit Zhl (di zwingnd di klinr dr bidn Zhln ist) wird um so vil Bits nch links vrschobn (durch ds vrkhrt bspichrn dr Byts ist dis jdoch kin rin Linksschibung, sondrn in Kombintion us Linksschibung um inzln Bits und inr Rchtsschibung um inzln Byts), bis di Diffrnz dr Exponntn bglichn ist. Ist di Diffrnz zu gross, ht di Addition dr klinrn Zhl zur grössrn sowiso kinn Einfluss: ds Rsultt ist glich wi di grössr dr bidn Zhln. Wnn bid Vorzichn idntisch sind, wrdn di Zhln nun Word-wis ddirt, bi vrschidnn Vorzichn Subtrhirt. Ds Rsultt nimmt ds Vorzichn dr vom Btrg hr grössrn Zhl n Multipliktion Dr rsultirnd Exponnt wird durch Addition dr bidn Ausgngsxponntn rmittlt. Di Hrlitung dzu rgibt sich dirkt us dn Potnzgstzn und dm Assozitivgstz. ( ) ( c ) = ( c) b d b+ d In inr Schlif multiplizirt di Routin di rst Zhl nchinndr mit lln Byts dr zwitn Zhl und ddirt dis Tilrgbniss. Bispil: * =* =* Division Für di Division wird di zwit Zhl invrtirt und dnch mit dr rstn Zhl multiplizirt. x / y = x * y Invrtirung Ds Invrtirn von Zhln ist für di Division grundlgnd. Es bsirt in dism Progrmm uf inr Art dr Intrvllschchtlung. Di gsucht Zhl wird dbi von untn hr ngnährt (bi vorzitigm Abbruch ds Algorithmus ist ds Rsultt lso noch zu klin), indm dr Computr immr durch vrändrn inr bstimmtn Stll di höchstmöglich Zhl z sucht, di mit dm Argumnt multiplizirt klinr ist ls : z*x Im Dzimlsystm müsstn für jd Stll di Ziffrn 0 bis 9 durchggngn wrdn, im Binärsystm nthält in Stll br nur di Wrt 0 odr. Ddurch gnügt s, zu prüfn, ob di Zhl mit gstztm Bit zu gross wird odr nicht. Als infchn Algorithmus könnt mn dis uch wi folgt schribn: vribln x: Argumnt: zu invrtirnd Zhl. y: Lösung: invrtirt Zhl. i,j: Buffr: dinn dr Zwischnspichrung. C: Gibt di klinst Zhl n, di noch brücksichtigt wrdn soll. strt y := 0 i := j := 0 schlifnbginn j := y + i wnn nicht ((j*x) > ) dnn y := j { Di wurd nicht übrtroffn. } i := i / { Di nächst Binärstll. } wnn (i < C) dnn bnd schlif schlifnnd rsultt := y nd In disr Form funktionirt dr Algorithmus br nur für Zhln, di vom Btrg hr grössr sind ls Eins. Für gross Zhln bräucht r übrdis uch shr lng, strtt r immr mit y =. Aus disn Sit 7

8 Gründn rmittlt di Routin zurst dn Exponntn ds Rsultts: r ist glich dm ngtivn Exponntn dr Ausgngszhl. Dhr wird zu Bginn y = -Exponnt gstzt. Zum Schluss möcht ich zur Vrdutlichung noch in Bispil nfügn: Dr Khrwrt von 7 soll gbildt wrdn. In dr rstn Splt stht di Dzimlstll, di grd brbitt wird (in dn ndrn Spltn ftt drgstllt), di zwit Splt zigt ds Rsultt ds Computrs und in dr drittn Splt ist rsichtlich, dss ds nochmlig Erhöhn dr ntsprchndn Stll zu inm zu grossn Rsultt führn würd. Stll: Rsultt: * 7 = 7 > * 7 =.4 > * 7 =.05 > * 7 =.00 > * 7 =.0003 > 3.8. Qudrtwurzl Di Qudrtwurzl wird mit Hilf ds Hron ) -Vrfhrns brchnt. Für dn Strtwrt nimmt dr Computr dn Exponntn dr Zhl und hlbirt ihn. Di Mntiss wird uf gstzt. Disr Nährungswrt wicht im Binärsystm um mximl dn Fktor vom wirklichn Wrt b. Ddurch ist ds Hron-Vrfhrn rltiv schnll (bi jdm Durchgng wird di Stllnzhl c. vrdopplt). Wi gnu dr Computr hir rchnn soll, wird durch in llgmin Konstnt fstglgt. Dr Algorithmus von Hron lutt folgndrmssn: x = x x = n 3.9. Potnzirn + n x n Für x 0 knn in blibigr Strtwrt gwählt wrdn. Für ds Potnzirn sthn zwi vrschidn Routinn zur Vrfügung. Di in knn di rlln Zhln nur mit gnzn Zhln potnzirn, rbitt dfür um inigs schnllr, di ndr potnzirt di rlln Zhln widrum mit rlln.. Ds Potnzirn mit gnzzhlign Wrtn: In inr Schlif wird ntsprchnd dm Exponntn di Bsis immr mit sich slbr multiplizirt. b =.... Ds Potnzirn mit gnzzhlign Wrtn: Ds Potnzirn mit gbrochnn Wrtn ist uf vrschidn Artn möglich. In dn mistn Fälln ght s mit Hilf dr Funktionn ln(x) und x m schnllstn. Dis bidn Funktionn wrdn folgndrmssn vrknüpft: b b = *ln( ) In inr frührn Vrsion brchnt ich di Potnzn übr in ignn ignn Algorithmus. Dis wr jdoch vil zu lngsm für in Mthmtik-Progrmm Vrglich zwir Rlzhln Für vil Routinn unbdingt rfordrlich ist di Möglichkit, zwi Rlzhln mitinndr zu vrglichn. Dbi sthn zwi vrschidn Prozdurn zur Vrfügung: in, di ds Vorzichn brücksichtigt und in, di s wglässt, lso nur di Absolutbträg mitinndr vrglicht. Als Ergbnis ins Vrglichs sind dri vrschidn Zuständ möglich: klinr, glich odr grössr. Dis Rltionn bzihn sich immr uf di rst Zhl im Vrglich zur Zwitn (grössr: di rst Zhl ist grössr). Hron von Alxndri (c v.chr.) wr in grichischr Mthmtikr und Physikr. Sit 8

9 Di Krnroutin rbitt in tw folgndrmssn: Ds rst Prüfkritrium sind di Vorzichn, d ufgrund vrschidnr Vorzichn shr schnll gsgt wrdn knn, wlchs di grössr Zhl ist. Bi dr vorzichnlosn Prozdur wrdn di Vorzichn infch kurz glöscht. Bi glichm Vorzichn spiln di Exponntn in wichtig Roll. Zu gutr Ltzt muss nun di Mntiss Word-wis übrprüft wrdn. Wnn di bidn Mntissn uch noch glich sind, müssn schlisslich uch di gsmtn Zhln glich sin. Für di spzilln Vrglich mit dn Zhln 0 und xistirn ufgrund ihrs häufign Vorkommns nochmls ign Routinn, di jdoch nch dm slbn Schm blufn. 3.. Ausgb dr Zhln Eins dr Huptproblm bim Brchnn so grossr Zhln mit dm Computr ist di Ein- bzw. Ausgb. Dr Anwndr knn mistns nicht shr vil dmit nfngn, wnn uf dm Bildschirm in Rih Nulln und Einsn rschint. Um mhr Flxibilität zu gwährlistn, hb ich in minm Progrmm nicht dirkt in Prozdur für di Ausgb uf dn Bildschirm gschribn, sondrn in Prozdur, di di Zhl ldiglich in inn Pscl-String umwndlt. Für di wirklich Ausgb könnn dnch di Stndrt-Pscl-Routinn vrwndt wrdn. (Anmrkung: Für di Progrmmirung untr Windows ist in dirkt Ausgb uf dn Bildschirm nicht inml zulässig.) Di Id ist im Prinzip dnkbr infch: zurst wird dm Exponntn nch di rst Zhl in BCD- Formt brchnt ( Exponnt ). Nun wrdn nch inndr ll Bits dr Zhl durchggngn und di Ausgngs-BCD-Zhl jwils immr durch dividirt. Ist nun in Bit gstzt, so wird di BCD- Zwischnzhl zu inn witrn Puffr ddirt. (Sih uch Kpitl 3. und 3.) b = b = 85. d be + 4 = = 0... Flls nun dr Exponnt inr Zhl gross ist (odr shr klin), so würd diss Vrfhrn shr vil Zit bnspruchn. Aus dism Grund prüft ds Progrmm zurst, ob dr Btrg ds Exponntn inn gwissn Wrt übrschritt, und wnn j, dividirt s di uszugbnd Zhl durch 0 x, wobi x so gwählt ist, dss di Zhl widr in inn schnll brchnbrn Brich fällt. Nch dn Potnzgstzn knn x m Schluss infch noch zum Exponntn, dr sich ntürlich rgibt, hinzugrchnt wrdn. In Anbtrcht disr Umrchnungn kommt br di Frg uf, wiso dnn nicht glich ll Brchnungn im BCD-Formt usgführt wrdn solln, ws di Ein- und Ausgb shr vrinfchn würd. Ds Problm ligt drin, dss di BCD-Brchnungn vil lngsmr sind ls Brchnungn mit Binärzhln (dr Computr muss intrn trotzdm lls noch ins Binärformt umrchnn). Bi dn komplxrn Brchnungn wi dn Trigonomtrischn Funktionn spilt ds in ntschidnd Roll. Zudm brucht ds Binärformt vil wnigr Spichrpltz. Di Zhl wird immr so usggbn, dss n zwitr Stll ds Komm stht (flls rfordrlich), hintr dr Zhl in E (= Exponnt) plus dn Zhnrxponntn (Bsp.:.34E+56). Ein Ausnhm bildn di Zhln im Brich von 0. bis 999. Si wrdn in normlr Drstllung usggbn; ohn dn Exponntn. 3.. Eingb dr Zhln Slbstvrständlich muss s uch möglich sin, Rlzhln inzugbn. Ds Grundprinzip ist mit dm dr Ausgb dr Zhln idntisch. Untrschidlich ist hir, dss di BCD-Zhl ls Ausgngslg dint und in Rlzhl rzugt wird. Bispil:.34E+4 = *0 4 + * *0 + 4* Konstntn In kinr Unit wrdn di Konstntn glich von Anfng n brchnt, sondrn dr Progrmmirr muss dis noch usdrücklich tun. Ich ntschid mich zu disr Lösung, d di Brchnung untr Umständn inig Zit in Anspruch nhmn knn und di Konstntn nicht immr bnötigt wrdn. Sit 9

10 Di Eulrsch Zhl wird gnz infch mit Hilf dr Routin x mit x = brchnt. Di Kriszhl Pi brchnt sich durch π = rctn. 6 3 Ebnflls ls Konstntn bglgt sind dr Logrithmus von und 0. Dis Konstntn wrdn für di Funktionn lb und log bnötigt. Dr Logrithmus von zhn spilt ussrdm bi dr Einund Ausgb in wsntlich Roll. Di Physiklischn Konstntn lssn sich lidr nicht durch infch mthmtisch Vrfhrn brchnn; si müssn mnull inggbn wrdn. Im Normlfll solltn dijnign Routinn, di Konstntn bnötign, slbr bmrkn, wnn dis Konstntn noch nicht brchnt sind und dis noch nchholn Aufwndigr Funktionn (ln; sin;...) Di ufwndigrn Funktionn sind in inr witrn Unit untrgbrcht. Dis binhltt in rstr Lini di trigonomtrischn Funktionn, sowi dn Logrithmus. D inig Konstntn mit solchn Funktionn brchnt wrdn, ist uch di Brchnung dr Konstntn hir untrgbrcht. All Routinn, di sich nicht ufgrund von ndrn brchnn lssn, wrdn mit Potnzrihn brchnt. Dr Übrsicht hlbr hb ich dis Formln jdoch in dn Anhng vrlgt. Um di Gnuigkit dr Potnzrihn nzugbn, gnügt s nicht, in konstnt Anzhl Summndn zu brchnn. Di Gnuigkit ist nämlich von dr Gröss dr Ausgngszhl bhängig. Ein konstnt Anzhl Summndn hätt zur Folg, dss klinr Zhln vil zu lng brchnt würdn, gross jdoch ungnur wärn. Trägt mn di Gröss dr Summndn ggn di Summndn-Zhl uf, so rgibt sich in Grph wi in Abbildung skizzirt. Di m Schluss rsultirnd Gnuigkit (G) hängt nun vom Schitlpunkt b. Dr Computr durchläuft in Schlif, in dr r di inzlnn Summndn brchnt. Dbi übrprüft r immr, ob di Kurv noch stignd ist, odr brits widr fällt. Ddurch rknnt r dn Schitlpunkt. All witrn Zhln wrdn nun gtstt, ob si brits um G klinr sind, ls di vorhr rknnt höchst Zhl. Ist dis dr Fll, bricht dr Computr di Rih b: di witrn Summndn sind nicht mhr rlvnt. Bi dn trigonomtrischn Funktionn ist di Anzhl brchntr Summndn fst immr in tw glich, d sich di Argumnt disr Funktionn im Brich 0 bis p bwgn. Schwirigr wird s bim Logrithmus und x. Ist disr Schitlpunkt nämlich wit rchts, so bnötigt dr Computr shr lng, um di gwünschtn Brchnungn durchzuführn. D bid Funktionn für vrschidn ndr, untr ndrm di Ein- und Ausgb grundlgnd sind, ist jdoch grd hir in gross Gschwindigkit rfordrlich. Dis knn durch in künstlichs Vrklinrn dr Argumnt rricht wrdn. Dr Logrithmus lässt sich shr licht zrlgn, so dss r nur noch Argumnt klinr Zhln nthält. Dzu wndt mn infch wi untn gzigt di Potnzgstz n. D sich di Zhln sowiso im Formt * b bfindn, ist in ntsprchnd Auftilung licht rlisirbr. Dr Logrithmus von wird brits bim Strt ds Progrmms brchnt und dnn ls Konstnt bgspichrt; r stht lso brits frtig brchnt zur Vrfügung. ln( b b ) = ln( ) + ln( ) = ln( ) + b ln( ) Bi x ist di gnz Anglgnhit schon komplizirtr. Dis Funktion lässt sich nämlich nicht so licht wi dr Logrithmus zrlgn. Hir nützt ich dn Umstnd us, dss ds Qudrirn in dism Progrmm in rltiv schnll Funktion ist. Wi obn wird di Zhl zurst in Mntiss und Exponnt zrlgt. Di Mntiss wird noch wi vorhr übr di Potnzrih brchnt. Ds übrigblibnd b lässt sich infch in * *... zrlgn, untr ndrm wil b ls Exponnt sichr in gnz Zhl ist. Wi untn ngdutt läuft ds gnz druf hinus, dn Wrt ( ) b ml zu qudrirn. b b = ( ) = (((( ) ) )...) Abb. Sit 0

11 3.5. Komplx Zhln und Oprtionn Komplx Zhln sind vrinfcht usgdrückt zwidimnsionl Vktorn, di dn uns gwohntn Zhlnbrich dr Rlln Zhln so rwitrn, dss uch Wurzln und Logrithmn von ngtivn Zhln gzogn wrdn könnn. Dbi wrdn di komplxn Zhln us zwi rlln Zhln gbildt: dm sognnntn Rl- und dm Imginärtil. Dr Imginärtil wird oft durch in nchgstllts i gknnzichnt (Bsp.: 3+4i). Dbi ist i dfinirt durch i = -. Mit Hilf disr Dfinition sind nun uch di bidn Komponntn inr komplxn Zhl mitinndr vrknüpft. Di rlln Zhln trtn ls Spzilfll uf: bi ihnn ist jwils di Imginärkomponnt Null. Lidr würd s hir dn Rhmn sprngn, disn Zhlnbrich gnur zu rläutrn und so muss ich Si für witr Informtionn uf gignt Fchlitrtur vrwisn. Wi brits in dn vorhrghndn Kpitln müssn di Oprtionn dr komplxn Zhln uf di bishr zur Vrfügung sthndn Oprtionn, ds hisst im wsntlichn uf Oprtionn mit rlln Zhln, zurückgführt wrdn. Di infchrn Oprtionn lssn sich licht hrlitn, wnn dbi ds i wi in Vribl bhndlt wird und zur Vrinfchung ll i durch - rstzt wrdn (Bsp.: (+6i) * (7-3i)=4-6i+4i-8i =3+36i). Für di nspruchsvollrn Hrlitungn bfindn sich di ntsprchndn Formln dr Übrsichtlichkit hlbr im Anhng. Sit

12 4. Syntxnlys und intrn Spichrung von Trmn Im Vrglich zur Vorgängrvrsion wurd disr Til ds Progrmms völlig umgstltt. Währnd in dr rstn Vrsion igntlich übrll mit dn Zigrn slbr grbitt wurd (gross Fhlrqull!), übrnimmt nun dis Arbit in grossn Til in spzilisirts Objkt, wlchs vrschchtlt Listn vrwltt. 4.. Listn Ein List bstht us inr vribln Anzhl inzlnr Elmnt in linrr Abfolg. Ein Elmnt umfsst inn Zigr, dr uf ds jwils nächst Elmnt zigt, inm Dtntil und inm Fld mit dr Grössnngb ds Dtntils. Di Grössnngb ds Dtntils ist nötig, d ds Listnobjkt vrschidn Artn von Listn vrrbitn könnn soll, di jwils untrschidlich Dtn ufnhmn (Listn von Zichnkttn, Zhln usf.). Abgschlossn wird in List, indm dr Zigr ds ltztn Flds uf 0 gstzt wird. Ds Listnobjkt slbr bsitzt nur zwi Fldr: ins mit dr Anzhl dr vorhndnn Elmnt und ins mit inm Zigr uf ds rst Fld. Dfür ist diss Objkt br in dr Lg, di List uf vrschidn Artn zu mnipulirn. Dis richt vom infchn Einfügn, Anhängn und Löschn blibigr Elmnt bis hin zum blibign Sortirn llr Elmnt. Ein Elmnt wird dbi übr in Zhl ngsprochn: ds rst Elmnt trägt di Zhl 0, ds zwit di Zhl, ds dritt, usf. Ein Erwitrung disr Listn bildn di Bäum. Im Ggnstz zu dn Listn nthltn ll Elmnt uch noch Zigr uf in untrgordnt Listn (dis Zigr könnn br uch 0 sin). Jds Elmnt wird sozusgn slbst widr zu inr List. Ds Bum-Objkt slbr rbitt fst idntisch wi ds Listn-Objkt; zwi Ding müssn ldiglich bchtt wrdn: zwischn dm Zigr uf ds nächst Objkt und dm Dtnfld bfindt sich nochmls in witrr Zigr (uf di untrgordntn Elmnt) und bim Löschn ins Elmnts müssn uch ll Untrgordntn Elmnt glöscht wrdn. Dn mistn ist ds Prinzip dr Bäum von dr Vrzichnisstruktur dr Fstpltt hr bknnt: jds Vrzichnis knn Dtn in Form von Dtin und witr Vrzichniss nthltn. 4.. Trm Bvor dr Computr in Zichnktt intrprtirn knn, muss ihm bigbrcht wrdn, ws in Trm übrhupt ist; s wird in Formt bnötigt, mit dm dr Computr in vollständig Rchnung bspichrn und brbitn knn. Um zu dism Formt zu glngn, stllt ich mir di Frg, ws dr infchst Fll ins Trms, inr Rchnung ist. Von dism rstn Fll usghnd wird s dnn möglich, di komplizirtrn Fäll druf ufzubun. Zhln und Vribln Di infchst Form ins Trms ist in llinsthnd Zhl. Wir müssn br druf chtn, dss di klinst Einhit nicht zu ng gfsst wird, d sich di gnz Struktur nsonstn übr unübrschubr Dimnsionn rstrckt und ds Rchnn unnötig rschwrt wird. So kommn zu unsrr Zhl noch Vribln hinzu (Bsp.: x y). Bi dr Zhl hndlt s sich jwils um in komplx Zhl (wi im Kpitl 3 bschribn). Dis Einhit, bsthnd us inr komplxn Zhl und inr List von Vribln bildt dnn uch di klinst Einhit, mit dr wirklich grbitt wird. Im Progrmmqulltxt wird diss Gbild ls Nummr bzichnt. Nicht sltn kommt in Vribl nicht llin vor, sondrn in inr Potnz (Bsp.: x ). Es wär prktisch problmlos möglich, Ein ls Qudrt uftrtnds x ls x*x zu intrprtirn: ds hisst, di Vribl infch ihrr Potnz ntsprchnd n ml in di List ufzunhmn. Doch bi grössrn odr ngtivn Potnzn wird diss Vrfhrn strk rschwrt. Ein Vribl im Computr nthält dhr nicht nur inn Nmn, sondrn uch glich noch di Potnz, in dr si vorkommt. Dis Potnz ist lidr (noch) uf gnz Zhln bschränkt. Sit Listnobjkt Dtn Dtn Dtn Dtn Dtn 00 Zigt ds End dr List Aufbu inr List. Gibt di Anzhl dr Elmnt n. Jds Elmnt bsitzt in Fld, ds uf ds nächst Elmnt zigt. Di Dtnfldr dr Elmnt könnn untrschidlich gross sin.

13 Entggn dn mistn Progrmmirsprchn odr modrnn Tschnrchnrn trgn di Vribln nur inn Buchstbn ls Nmn und kin gnz Zichnktt. Ich ntschid mich dzu, wil s schwirigr wird, di Eingb richtig zu nlysirn, wnn di Vribln mhr ls nur inn Buchstbn ls Bzichnung trgn und in dr Mthmtik di Vribln uch nur durch in Zichn widrggbn wrdn. Klmmrn und Funktionn Di nächst Erwitrung rgibt sich durch di Addition vrschidnr Nummrn. Dis schlisst uch glich di Subtrktion mit in: zur Subtrktion wrdn di Vorzichn dr gwünschtn Nummrn gändrt, ddurch rhltn wir widrum in Summ. Ansttt inr Summ wär br uch ds Produkt vrschidnr Nummrn dnkbr. Ein Elmnt dr nächsthöhrn Einhit brucht lso mindstns inn Zigr uf ds rst untrgordnt Elmnt: di rst Nummr. Nch dm obn bschribnn Listn-Prinzip gnügt disr rst Zigr, d jd Nummr widrum uf di nächst zign knn. Als witrs binhltn dis Objkt in Fld mit dr Oprtionsrt: Addition odr Multipliktion. Dhr gnügt sowit in inzlns Objkt, um di Nummrn uf vrschidn Wisn zusmmnzufssn. Ein Elmnt, wlchs di Nummrn uf irgndin Art und Wis vrknüpft, wird im Progrmm durch dn Ausdruck Ktt widrggbn. Doch uch Kttn könnn widrum kombinirt wrdn. Gnu wi bi dn Nummrn sind in rstr Lini di bidn Möglichkitn Addition und Multipliktion intrssnt. Um nun nicht schon widr nu Elmntrtn inführn zu müssn, könntn di Kttn so modifizirt wrdn, dss si ls Untrlmnt nsttt Nummrn uch ndr Kttn nthltn könntn. In Wirklichkit psst ich jdoch di Nummrn dn Kttn n: di Nummrn sind lso fortn ldiglich in spzill Art inr Ktt, di übr in zusätzlichs Dtnfld vrfügn (Um di Zhl zu spichrn). Jtzt kommt uns zugut, dss di Listnobjkt in dr Lg sind, mit Elmntn untrschidlichr Gröss zu oprirn. Für inn wirklichn Rchnr gnügt jdoch nicht, dss r in dr Lg ist, Zhln zu ddirn, subtrhirn und zu multiplizirn. Mistns sind s dis Oprtionn, di uns noch m wnigstn Müh britn. Di wirklich Stärk inr Rchnmschin ligt nun drin, dss si uch komplxr Oprtionn wi di trigonomtrischn Funktionn odr dn Logrithmus blitzschnll brchnn knn. Dhr wird s nötig, witr Oprtionsmöglichkitn inzuführn. Di Kttn binhltn sowiso brits in Dtnfld, ds di gwünscht Oprtion (bishr Addition odr Multipliktion) widrgibt; wiso diss nicht glich nochmls nutzn? - Ich ordnt lso lln möglichn Oprtionn in Nummr zu, übr wlch di Oprtion indutig idntifizirt wrdn knn. Insgsmt ist s lso möglich mit nur zwi bis dri vrschidnn Elmntn prktisch ll rdnklichn Trm drzustlln. Di Struktur ds Progrmms rlubt s uch problmlos, noch witr Kttntypn hinzuzufügn, flls dis rfordrlich würd. Im folgndn soll dr gnz Aufbu nochmls kurz n inm Bispil vrnschulicht wrdn. Bispil: sin(xy +7.)-6iu 3 + * 9y Summ Sinus Nr: 0-6i Produkt Nr: +0i Nr: 7.+0i u^3 Nr: +0i Nr: 9+0i x^ y^ y^ Sit 3

14 4.3. Anlys dr Eingb Di schönst Art, Trm drzustlln ist zimlich nutzlos, wnn s nicht glingt, blibig Eingbn ds Anwndrs in diss Formt umzuwndln. Widrum gschiht dis in mhrrn Schrittn. Übrprüfung grobr Syntxfhlr: Bispilswis muss zu jdr öffnndn Klmmr ( uch in schlissnd ) vorhndn sin. Hir müssn uch llfällig Eingbbfhl bgfngn wrdn und bi dr Eingb von Glichungn muss ds Glichhitszichn = umgngn wrdn, d s sich bi dism nicht um in Oprtionszichn hndlt. Alls in Nummrn und dzwischnsthnd Oprtionszichn sowi Funktionn zrlgn: dbi müssn br noch di Klmmrn bchtt wrdn. Aus dn Zichnkttn-Stückn, di nur noch Zhln und Vribln nthltn, müssn di Vribln mit ihrn Potnzn usglsn wrdn. Di vrblibndn Zichnkttn nthltn nun Zhln, di wi in Kpitl 3 bschribn nlysirt wrdn. Di Zhln und Vribln widr zu Nummrn zusmmnfügn. Di inzlnn Nummrn wrdn zu Listn zusmmngstzt: hir muss nbn dn Klmmrn uch di Prioritätsrihnfolg dr Oprndn bchtt wrdn (Punkt-vor-Strich-Rgl). Auf dn rstn Schritt will ich hir nicht nähr inghn, d r nicht zur igntlichn Umwndlung ins Txts in inn Trm dint. Dr Computr sucht lso zurst di gnz Zichnktt von vorn hr b, bis r in möglichs Oprtionszichn ( +-*/^ ) findt. Bi inm Potnzzichn muss noch untrschidn wrdn, d s zwi vrschidn Bdutungn bsitzt: s knn inrsits zum Potnzirn inr Klmmr odr inr Zhl dinn, odr br uch nur, um in Vribl zu potnzirn. Ltztrs ist br kin igntlich Oprtion; lso nimmt ds Progrmm hir nur dijnign n, wlch nicht dirkt uf inn Buchstbn folgn. Trifft dr Computr währnd sinr Such uf in öffnnd Klmmr, so sucht r zurst nch dr zughörign schlissndn Klmmr und übrspringt dn Til dzwischn. So wird sichrgstllt, dss di Klmmrn nicht infch übrgngn wrdn. Immr, wnn ds Progrmm in wirklichs Oprtionszichn fnd odr m End dr Zichnktt nglngt ist, trnnt s ds bgsucht Stück b und hängt s ls gnzs n in List n, gfolgt vom zultzt gfundnn Zichn. Jd zwit Zil (bi dr rstn bginnnd) wird nun inr witrn Routin übrgbn, di zurst di Vribln mit ihrn Potnzn uslist und dn Rst dnch in in Zhl umwndlt. Drus ntstht schlisslich in nu List, di kin Zichnkttn mhr nthält, sondrn Nummrn. Währnd dm Umwndln dr inzlnn Ziln in Nummrn sollt ds Progrmm br immr noch in dr Lg sin, mit Klmmrn und Funktionn richtig umzughn. Dnn dr Vrsuch, in Funktion in in Nummr umzuwndln würd sichrlich kläglich schitrn. Offnsichtlich sollt bi jdr Zil gtstt wrdn, ob si in Klmmr nthält. Ist dis dr Fll, so wird dis Zichnktt nicht in in Nummr umgwndlt, sondrn mit dm glichn Vrfhrn nochmls in inn Trm zrlgt. D di Nummrn nur Spzilfäll von Kttn sind, trtn kum Problm uf, wnn nsttt inr Nummr in Funktion in di rsultirnd List ingfügt wird. D uch di Oprtionszichn bgspichrt wurdn, wiss dr Computr jtzt, wlch Nummrn odr Trm (hir wird nicht untrschidn) r wi vrknüpfn soll. Um di Prioritätsrgln inhltn zu könnn, wrdn zurst di Potnzn mitinndr vrknüpft, dnch di Produkt und zultzt di Summn Ausrchnn / Zusmmnfssn Wär ds Progrmm n disr Stll frtig, so wär sin Nutzn sichr frgwürdig. Gibt nämlich in Anwndr bispilswis 3+7 in, so bkommt r ls Antwort uf jdn Fll widr 3+7 und nicht wi rwrtt 0. Dr rst Til - ds Brchnn grossr komplxr Zhln - und dr zwit Til - ds Anlysirn dr Eingb - müssn mitinndr vrknüpft wrdn. Glücklichrwis ist s nicht mhr nötig, uf Oprtionsprioritätn Rücksicht zu nhmn, d dis brits im vorhrghndn Schritt rldigt wurd. Doch wo bginnn wir mit dm Zusmmnfssn ds Trms? Sit 4 Bispil zur Zrlgung inr Zichnktt: 3+4x *sin(7+q)- wird zu: 3 + 4x * sin(7+q) -

15 Di Rchnung si bispilswis ln(3+4). Vrsuchn wir nun zurst dn Logrithmus zu brchnn, so funktionirt ds nicht, d sin Argumnt in Summ ist. Fssn wir zurst ds Argumnt zusmmn, so wndlt s sich von inr Summ zu inr Nummr; di ntsthnd Rchnung lutt nun ln(7) - und dis könnn wir prktisch problmlos mit dn vorhndnn Routinn brchnn. Ds Vrinfchn bginnt lso bi dn untrstn Elmntn: di Nummrn wrdn zurst sowit irgndmöglich zu inr zusmmngfsst. Bi dr Addition müssn dzu di Vribln dr Nummrn übrinstimmn. Angnommn, dis Zusmmnfssung glückt, so ist br nochmls kurz in Aug uf di Vribln zu wrfn: dr Tngns von lässt sich im Untrschid zum Tngns von x shr infch brchnn; bi tn(x) stossn wir n in Grnz ds Vrinfchns. Dis Einschränkung muss uns br nicht gross störn. Wir müssn infch druf chtn, dss wir kin Funktionn brchnn, sofrn drn Argumnt kin Zhl ohn Vribln ist. Ein witr Art dr Vrinfchung bstht drin, dss ll unnötign Klmmrn ntfrnt wrdn. Ein Rchnung wi 3+(x-3) knn igntlich rcht infch zu x vrkürzt wrdn: d di Klmmr jdoch zwi für di Addition inkomptibl Elmnt nthält, wird di Klmmr nicht infch so ntfrnt. Dhr wrdn ll Klmmrn noch spzill ufghobn, di slbr widr Elmnt von Klmmrn sind. Dis gilt uch für dn Fll dr Multipliktion ( 3 * (x * 3) Þ 9x ). Wil in inm rstn Durchgng nicht lls möglich wirklich vrinfcht wird, ist s nötig, jdn Trm glich zwiml hintrinndr zusmmnzufssn Ausmultiplizirn und Wurzlzihn Di infch Rgl, dss di Funktionn nur brchnt wrdn könnn, wnn ds Argumnt in Nummr ist, wird bi zwi wichtigrn Fälln durchbrochn. Dr rst Fll ist ds Multiplizirn von Klmmrn. Ist in Elmnt inr Multipliktion in Klmmr, so multiplizirt si dr Computr us. Bi dr Multipliktion von zwi Klmmrn rfolgt ds gnz in zwi Durchgängn ( (+b) * (c+d) ± * (c+d)+b * (c+d) ± c+d+bc+bd ). Stht in Klmmr odr in Funktion in inr gnzzhlign Potnz, wird dis zurst in in x-fch Multipliktion umgwndlt ( x 3 ± x * x * x ), und dnch mit dn slbn Routinn brbitt. Bim zwitn Fll hndlt s sich um ds Wurzlzihn von Klmmrn. In dn mistn Fälln ist ds sowiso nicht möglich, doch gibt s inn wichtign Spzilfll: di binomischn Trm ( (±b) = ±b+b ). Ich wr nicht in dr Lg, di Routin so zu schribn, dss wirklich ll Trm rknnt und zrlgt wrdn, doch funktionirt s rcht gut, wnn und b Nummrn sind. Dr Anwndr wird wohl hr sltn uf dis Möglichkit dirkt zurückgrifn, doch ist si für ds Lösn von qudrtischn Glichungn shr nützlich. Ein binomischr Trm bstht us dri Glidrn: zwi Qudrtischn ( und b ) und inm Nicht-Qudrtischn ( b ). All dri Glidr müssn Nummrn sin. Ds Progrmm übrprüft nun zurst, ob dis Bdingn rfüllt sind. Di bidn qudrtischn Trm wrdn dnch ls korrkt ngnommn und ds Progrmm vrsucht, dn drittn Trm (b) us dn bidn ndrn zu bildn. Wnn uch disr Schritt glückt, so knn di Routin ihr Rsultt witrgbn, nsonstn blibt di Wurzl wi zu Bginn sthn Bnutzrdfinirt Konstntn Bi grössrn Brchnungn ist di Eingb n inm Stück rltiv unübrsichtlich odr mnchml gr unmöglich (di Zichnktt drf nicht längr ls 55 Zichn wrdn). Ein Möglich Mthod ist, ll Zwischnrgbniss uf in Bltt Ppir zu schribn und nchhr widr inzugbn. D ds Progrmm ll Rchnungn und drn Ergbniss uflistt, wär s möglich, jwils nch obn zu scrolln, ds Rsultt zu kopirn und untn widr inzufügn: bi häufig gbruchtn Wrtn rcht umständlich. Ds Progrmm ist dhr in dr Lg, bis zu 5 Wrt in Vribln zwischnzuspichrn. Eigntlich stünd noch wit mhr Spichrpltz zur Vrfügung, doch bsitzt unsr Alphbt nur 6 Buchstbn, mit Untrschidung von Gross- und Klinschribung insgsmt 5. Im Progrmm bfindt sich in List, drn Elmnt jwils inn Buchstbn und inn Trm nthltn. Nch dm Zusmmnfssn ght in Routin ll Elmnt disr List durch und prüft, ob di ntsprchnd Vribl uch im nun Trm vorkommt. Wnn j, so wird dis Vribl durch dn gspichrtn Trm rstzt. Auch di Potnz dr Vribl wird dbi brücksichtigt. Sit 5

16 4.7. Glichungn In disr Vrsion ist ds Progrmm in dr Lg, Glichungn rstn bis virtn Grds uch llgmin zu lösn (Sinnvoll Ergbniss sind jdoch bi dn Glichungn drittn und virtn Grds nur mit Wrtn zu rwrtn). D nur di Glichungn bis virtn Grds llgmin lösbr sind, könnn höhr Glichungn nicht so infch mit inr Lösungsforml bstimmt wrdn. Ein Nährungsvrfhrn würd jdoch shr whrschinlich bi disn Zhlgrössn zu lng durn. Nch dr Übrprüfung dr Syntx wird übrprüft, ob di Eingb in Glichhitszichn nthält. Ist dis dr Fll, hndlt s sich bi dr Eingb ntwdr um in Zuwisung inr Konstntn odr um in Glichung. Di Glichungn wrdn in di Form...=0 gbrcht, dmit dr rcht Trm bi dr Brchnung wgfällt. Dis gschiht durch ds Erstztn ds Glichhitszichns durch in Minuszichn (um dn linkn und dn rchtn Til wrdn zurst noch Klmmrn glgt). Dr Computr vrsucht, di Glichungn in Normlform zu bringn ( n x n + n- x n- + n- x n x+ 0 ). Glingt ihm dis nicht, so mldt r dn Fhlr, dss r di Glichung nicht lösn könn und bricht b. Di Lösungn wrdn wi brits ngdutt mit Hilf dr Lösungsformln bstimmt: x+b=0 x +bx+c=0 x 3 +bx +cx+d=0 x 4 +bx 3 +cx +dx+=0 b x = b b c x = ± 4 b y = x + 3 c b p = b bc d q = y + 3py + q = 0 3 D = q + p 3 un = q + D ; n =,, 3 p vn = ; n =,, 3 un b y = un + vn x = un + vn 3 b y = x + 4 b c p = b bc d q = b b c bd r = w + pw + ( p 4r) w q = 0 w ; w ; w u = w ; u = w 3 q q y = u + u y u u u u = + ; uu q q y3 = u u y4 u u u u = + + ; u u Sit 6

17 5. Vrglich mit Mpl Wi brits in dr Einlitung rwähnt ist ds hir vorlignd Progrmm nichts nus. Es gibt schon inig, vil profssionllr Progrmm (z.b. Mpl odr Mthmtic). Es ist klr, dss ich mit disr Arbit hir nicht in dr Lg bin, di glich Funktionlität wi di Grossn zu rrichn. Ds Arbitn mit Mpl führt mich jdoch dzu, min igns Produkt nu zu übrrbitn und Lösungn zu suchn, um divrs Brchnungn zu vrbssrn, vor llm in Bzug uf di Gschwindigkit. D mir ldiglich Mpl (Mpl V - Rls 4) zur Vrfügung stht, möcht ich mich hir uf diss Produkt ls Vrglichsbsis bschränkn. Dis soll jdoch nicht hissn, dss ndr Progrmm dswgn schlchtr sin odr unbdutndr. 5.. Gnuigkit Im Ggnstz zu minm Progrmm ist Mpl in dr Lg mit vrschidnn Gnuigkitn zu rchnn. Währnd sich im Crchnr di vrändrbr Stllnzhl nur grd uf di Ausgb bziht, rchnt Mpl offnsichtlich uch mit dr gfordrtn Gnuigkit. Dis zigt in Vrglich dr Dur, di Mpl für Brchnungn vrschidnr Grössn brucht. Dis Arbitswis gwährt in grosss Mss n Flxibilität: dr Anwndr knn slbst zwischn inr hohn Gschwindigkit odr inr hohn Stllnzhl untrschidn. Auch im Crchnr wär dis durchus rlisirbr. Ds Huptproblm ligt hir nicht bi dn Brchnungn, sondrn bi dr Ein- und Ausgb. Ein Zichnktt untr Pscl ist uf 55 Zichn bschränkt. Wär di Zhl nun dmntsprchnd grössr, müsst si uf mhrr Zichnkttn vrtilt wrdn. Zwr ist s mit inm vrtrtbrn Aufwnd möglich, dis bi dr Ausgb zu rlisirn, doch wr ds Zil ds Projkts, Zhln mit inr Gnuigkit von c. 00 Dzimlstlln zu vrwltn, und diss ist rricht. 5.. Drstllung von Trmn Ein grossr Vortil Mpls dm Crchnr ggnübr ligt drin, dss Mpl di Trm in inm Formt usgibt, wi dis uch sonst bi dr mthmtischn Schribwis üblich ist. Min Progrmm hinggn gibt lls linr us, ws brits in gwiss Vrtruthit mit dism Formt vorusstzt, um gut rbitn zu könnn. Vor llm wnn di Brchnungn umfngrichr wrdn (Dopplbrüch, Mhrr Potnzn, usf.) wird dr Vortil von Mpls Ausgbformt schnll rsichtlich. Ein Rlisirung diss nicht-linrn Ausgbformts ist shr wohl möglich, würd jdoch bdingn, dss di Ausgbn nicht mhr im Txt-Formt rfolgn, sondrn in inm slbstdfinirtn odr m infchstn in inm Bild-Formt (z.b. Bitmp). Di Brbitung von Bildrn brucht jdoch jdsml witr Rchnzit und vor llm uch Spichr. Borlnd Dlphi stllt zwr inig Routinn für di Brbitung von Bildrn zur Vrfügung, nicht jdoch in dm Mss, wi dis hir gbrucht würd ). Etws witrs, ws im Crchnr vrbssrt wrdn könnt, ist ds Ausgbn von gnun Trmn. Um bi Mpl inn grundtn Wrt zu rhltn, muss disr Wunsch durch Bfhl nggbn wrdn; von sich us zigt Mpl di Rsultt nur gnu uf dm Bildschirm. Bispilswis gilt sin( 60 ) = Dis wird von Mpl rknnt und uch so usggbn, dr Crchnr hinggn gibt dn ungnun Nährungswrt n Gschwindigkit Will mn in solchs Projkt vrwirklichn, stht mn shr schnll vor dm Problm dr Gschwindigkit. Anfngs wrn vil Brchnungn zu lngsm, um in inm Mthmtik-Progrmm disr Art Vrwndung zu findn. Addition und Subtrktion sind zwr so schnll, dss dm normln Anwndr wohl kum in Vrbssrung zwischn dr rstn und dr vorligndn Vrsion ufflln wird. Erst bi dn Potnzrihnntwicklungn, wo shr vil Rchnoprtionn schnll hintrinndr usgführt wrdn müssn, fällt dr Untrschid uf, dfür um so grvirndr. Dr Kontkt mit Mpl zigt mir schnll, dss s durchus möglich ist, uf dn normln PCs in Mthmtik-Progrmm zu schribn. Ddurch bgnn ich, Lösungn zu suchn, um dn Crchnr zu optimirn. Di rst Optimirung wurd durch in Umstlln von Byt uf Dopplbyt-Vrrbitung rricht. Mit dn hut gängign PCs wär sogr di Vrrbitung von Virfch-Byts möglich, Turbo Pscl und Dlphi stlln jdoch kinrli Bfhl für in solchs Vorghn zur Vrfügung; di Assmblr- Bfhl müsstn ls Prozssor-Zhlncods inggbn wrdn: in Aufwnd, dn ich nicht brit Es ist möglich, dss Dlphi uf irgndin Art dr Problmstllung ntggnkommt. Flls jdoch gignt Routinn vorhndn wärn, so sind mir dis lidr noch nicht bknnt. Sit 7

18 wr ufzuwndn (im Vrglich zum rwrttn Gwinn). Mit Hilf ds Coprozssors wär s sogr fst problmlos möglich, Acht Byts uf inml zu vrrbitn. Di Projktvorusstzungn schlossn br in solchs Vorghn von vornhrin us (ll Oprtionn solltn uf 80x86-Bfhl zurückgführt wrdn). Ds witrn konnt di Gschwindigkit rhöht wrdn, indm di Routinn mhr spzilisirt wurdn. Für di Potnzrihnntwicklungn gnügt oft, in rll Zhl mit inr gnzn, rltiv klinn Zhl zu vrknüpfn. Es luchtt schnll in, dss s im Grund gnommn unsinnig ist, di klin Gnzzhl zurst in in Rll umzuwndln, und dnch dis widrum uf in Rih klinr gnz Zhln zurückzuführn. Ein grossr Dorn im Aug wrn mir di grossn Zhln. Mpl mcht kinn rknnbrn Untrschid in dr Gschwindigkit zwischn Zhln mit grossm Exponntn und solchn mit inm klinn Exponntn. Bim Crchnr littn br huptsächlich di Ein- und Ausgb, sowi ds Brchnn von x und ln(x) strk druntr. Für in gnur Bschribung dr hir vrwndtn Vrfhrn shn si bitt in dn ntsprchndn Kpitln nch (3.. / 3.5.) Funktionn Mpl rlubt ds Dfinirn von Funktionn uf vrschidn Artn. Auch diss Produkt hir sollt dm Anwndr mindstns in Möglichkit zum Eingbn von Funktionn nbitn. Wnn in Forml häufig gbrucht wird, ist s rcht mühsm, dis jdsml von num inzugbn. Von dr Bschffnhit dr Syntxnlys gstltt sich dis br zimlich komplizirt. Ein Ausdruck wi f(x) wird hir ls di Multipliktion von f mit x ngshn, wobi bids Vribln sind. Ds hisst, di Syntxnlys müsst di Eingb vil gnur nlysirn und immr übrprüfn, ob s sich bi inm solchn Ausdruck um in Funktion hndlt, odr nicht. Frnr müsst di Möglichkit gschffn wrdn, in Ktt (sih Kpitl 4) n inr gwünschtn Stll in in ndr Ktt inzufügn. Sind rst inml Funktionn dfinirbr wär s sichr toll, dis wi in Mpl uch grphisch drstlln zu könnn. Lidr würd ds Anzign von dridimnsionln Grphn dn Rhmn disr Arbit bi witm sprngn, doch zwidimnsionl Grphn lägn durchus im Brich ds Mchbrn. Doch wird s uch bi llfällign D-Grphn nicht möglich sin, di Prfktion von Mpl zu rrichn: utomtischs Brchnn ins günsitign Brichs, um di Funktion drzustlln. Es ist uch nicht sichr, ob di Routinn brits gnug schnll rbitn, um von komplizirtrn Funktionn in pr hundrt Punkt zu brchnn Witrs Mpl rlubt s, dn Vribln Nmn von mhr ls inm Zichn zu gbn. Doch dfür ist min Progrmm in disr Bzihung nähr n dr mthmtischn Schribwis, d bispilswis b ls * b intrprtirt wird und Mpl hir in Vribl siht. Schön wär s ntürlich, wnn dr Anwndr hir slbst ntschidn könnt, ws ihm libr ist. Ein nicht unwsntlichs Dtil, ds Mpl inn grossn Vortil dm Crchnr ggnübr vrschfft, ist di Möglichkit, in Brchnung zu stoppn, flls dis zu lng durt. Lidr bin ich mit dr Windows-Progrmmirung zu wnig vrtrut, um zu wissn, wi sich diss Problm bhbn lässt. Untr DOS liss sich dis durch in infch Abfrg dr Tsttur lösn, vor llm nur Windows-Vrsionn kzptirn jdoch kin dirktn Hrdwr-Zugriff mhr. In Mpl xistirt in infch zu bdinnds Hilf-Systm, ds jdrzit brufbr ist, inn Bfhl, sin Syntx und sin Wirkungswis rklärt und oft noch in Bispil bitt. Im Crchnr bschränkt sich ds Hilf-Systm uf in kurz Auflistung dr möglichn Eingb-Bfhl. Sit 8

19 6. Schluss Di vorlignd Vrsion ds Progrmms nthält noch in gnz Rih Ding, di vrbssrt wrdn könntn, doch dis ist wohl in Eignschft, di uf prktisch ll Softwrprodukt zutrifft. Di bis jtzt friglssnn Lückn wärn villicht noch zu schlissn. Dmit min ich z.b. di Vrbssrung inigr Brchnungsroutinn (di Kttn-Wurzlfunktion sollt uch witr Binom rknnn und vrrbitn könnn). Di Ausgb könnt sichrlich inigs bssr gstltt wrdn (nicht-linr Drstllung). Trotzdm rricht ds Progrmm minr Minung nch di Anfordrungn n in infchs Mthmtikprogrmm. Ich bmüht mich uch, lls möglichst llgmin zu hltn und konstnt Wrt n dn Anfng inr Dti zu nhmn, um in Erwitrung odr Vrändrung so infch wi möglich zu gstltn. Oftmls musst ich mhrr vrschidn Vrsionn inr Routin rstlln, um di bst Lösung für in Problm zu findn. Dis mcht di Qulltxt nfänglich jdoch shr unübrschubr und inig Routinn lifn immr noch nicht wirklich problmlos. Dhr ntschid ich mich, nchdm in rst luffähig Vrsion vorlg, lls nochmls nu zu progrmmirn. Di Wg, wi ds Progrmm schlisslich usshn sollt und di Vorusstzungn wrn mir j brits von dr vorhrghndn Vrsion bknnt. In inign Brichn konnt so dr Qulltxt um inigs vrkürzt wrdn, und gwiss Routinn lufn uch schnllr b. Doch di Huptrrungnschftn diss Nuprogrmmirns lign drin, dss di Qulltxt nun hr in Ordnung und Struktur ufwisn und fst durchgängig dokumntirt sind, und dss di Fhlrbhndlung um inigs vrbssrt wurd. Entwicklt wurd ds Progrmm untr DOS uf Turbo Pscl 7.0 von Borlnd. Dbi wurd nicht sltn uf Assmblr zurückggriffn. Erst gnz m Schluss wurd dnn di Bnutzrobrfläch untr MS-Windows 3. rstllt. Dhr ist s möglich, dss s inig Fhlr ufwist, di mit dr Komptibilität zusmmnhängn. Ich stllt fst, dss di 3-Bit Vrsionn von Dlphi Müh hbn, ds Progrmm zu kompilirn. Di Assmblrbfhl LES DI,xxx und LDS SI,xxx schinn in rstr Lini Problm zu britn. Dis ligt whrschinlich drn, dss 3-Bit-Vrsionn mit dm sognnntn Protctd Mod ds Prozssors rbitn. Di Sgmntuftilung fällt dbi br fst vollständig wg, d di Offst-Zigr llin brits 4GB drssirn könnn. Di ntsprchndn Bfhl müsstn dhr durch MOV EDI,xxx bzw. MOV ESI,xxx rstzt wrdn, und ll Spichrzugriff, di in Sgmnt vrwndn wärn noch nzupssn. Di Vrwndung ds 3-Bit-Bfhlsstzs rlubt s nochmls, ds gnz Progrmm inigs schnllr und infchr zu schribn und witr Optionn inzubun. Ich rbit jdoch immr noch in rstr Lini mit PC-DOS und Windows 3., dhr stnd mir disr Bfhlsstz nicht zur Vrfügung (ussr ich hätt di Bfhl ls Hxdziml Wrt inggbn, und ds ist vor llm bi grössrn Routinn rcht zitufwndig, schwrr lsbr und shr Fhlrnfällig). Sit 9

20 7. Zusmmnfssung Tschnrchnr und Computr sind für uns hut zu unntbhrlichn Hilfsmittln gwordn. Di Bdinung ist inzwischn so infch, dss kin gnurn Knntniss drn Arbitswisn mhr nötig sind. Diss Projkt soll inml ufzign, ws igntlich hintr dn Kulissn pssirt, wnn uns dr Tschnrchnr di Arbit bnimmt. D s mir nicht möglich wr, di intrnn Brchnungsmustr ds Tschnrchnrs gnu zu nlysirn, vrsucht ich slbr Wg zu findn, wi di Brchnungn von komplxn Flisskommzhln mit Hilf infchstr Funktionn rlisirt wrdn könnn. Ds hisst untr ndrm uch, dss ll Brchnungn nur uf di Bfhl ds Prozssor zurückgführt wrdn müssn, obwohl brits in mthmtischr Prozssor vorhndn ist. Di ignn Zhln solltn dbi mindstns in Gnuigkit von 00 Dzimlstlln rrichn. Frnr sollt in Möglichkit gfundn wrdn, gnz Trm und Glichungn in inm Formt drzustlln, wlchs dm Computr rmöglicht, di Trm zu vrrbitn, zusmmnzufssn und für di Glichungn Lösungn zu findn. Dr Anwndr gibt dbi di Rchnungn n inm Stück in: r muss si nicht zurst in inzln Til zrlgn. Zhlnformt und Brchnungn Zur Spichrung und Brchnung von Zhln mit dm Computr bitn sich zwi grundsätzlich vrschidn Zhlnformt n: ds Dziml- und Binärsystm. Ds Dzimlsystm ist ds uns vrtrut Systm, mit dm wir ndurn rchnn. Di Ein- und di Ausgb sind shr licht rlisirbr und ll Algorithmn könntn uch im uns bknntn Systm ntwicklt wrdn, ws sichrlich zu Bginn infchr rschint. Dr Computr rbitt br intrn sowiso mit dm Binärsystm. Als in Folg dvon bruchn di Brchnungn, di dirkt im Binärsystm blufn nur inn Bruchtil dr Zit. Bi inr nährn Untrsuchung stllt ich fst, dss vil Algorithmn im Binärsystm vil infchr zu rlisirn sind und bssr lufn. Ds Progrmm nimmt nun di Dtn ds Anwndrs im gwohntn dzimln Systm ntggn, konvrtirt dis Dtn in sin igns Zhlnformt, führt di Brchnungn durch und rstllt us dm Rsultt widr in für uns lsbr Zhl. Dr Prozssor 8086 knnt nur gnz infch mthmtisch Bfhl wi di Addition, Subtrktion und Multipliktion von klinn gnzn Zhln. All Brchnungn von Fliskommzhln musstn dmntsprchnd zurst uf disn Bfhlsstz zurückgführt wrdn. Für di komplxn Zhln wr s dnn nochmls nötig, dis widrum uf Brchnungn mit rlln Wrtn zu vrinfchn. Syntxnlys Wi brits obn rwähnt, soll dm Anwndr nicht nur ds Ausrchnn dr inzlnn Zhln, sondrn di Brchnung gnzr Trm bgnommn wrdn. Ein Rchnung wi sin(3+4) muss nun nicht dr Bnutzr zurst in 3+4 und sin(7) ufspltn, uch dis übrnimmt dr Computr. Drübr hinus kzptirt ds Progrmm nicht nur Zhlnwrt sondrn uch Vribln. Zum Errichn disr Zil ist s nötig, in Formt zu findn, mit dm Rchnungn, Oprtionn, Zhln br uch Vribln drgstllt und brbitt wrdn könnn. Di von mir gwählt Struktur glicht drjnign dr Dtivrwltung mit dn Vrzichnissn, Untrvrzichnissn und Dtin. Jdr Zhl wird in Vrwis mit dn ntsprchndn zu ihr ghörndn Vribln nghängt. So ghörtn zu dr 3 in 3xy+8z di bidn Vribln x und y, zu dr 8 hinggn di Vribl z. Aus disn Zhlnpktn wrdn ls nächsts Listn rstllt. Solch Listn könnn slbr widrum Elmnt inr List sin. Mit disr Vrschchtlung wird s rltiv infch, Klmmrn zu brücksichtign. Listn übrnhmn uch di Aufgbn dr Funktionn: jd gibt n, uf wlch Wis ihr Dtn mnipulirt wrdn solln. Im Bispil sin(3+4) nthilt lso di List nicht nur di Zhln 3 und 4, sondrn noch in Vrwis, dss von disn Zhln zurst di Summ zu bildn und dnch dr Sinus zu brchnn ist. Sit 0