DIPLOMARBEIT. Titel der Diplomarbeit. Mathematica im Mathematikunterricht am Beispiel Schnittpunkte verschiedener Kurven

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1 DIPLOMARBEIT Titl dr Diplomrbit Mthmtic im Mthmtikuntrricht m Bispil Schnittpunkt vrschidnr Kurvn ngstrbtr kdmischr Grd Mgistr dr Nturwissnschftn (Mg. rr.nt.) Vrfssrin : Mrv Dosdogru Mtrikl-Nummr: Studinrichtung (lt. Studinbltt): Btrur: Lhrmtsstudium UF Mthmtik UF Informtik und Informtikmngmnt Univ. Doz. Dr. Güntr Hnisch Win, m

2 Dnksgung Min llrrstr Dnk ist n min Eltrn, Nvin und Muhsin Dosdogru, grichtt, di mich nicht nur finnzill, sondrn uch in jglichr Art und Wis in minm Studium untrstützt hbn, und mir dis Ausbildung rmöglicht hbn. Ich möcht mich n disr Stll uch bi minn Schwstrn, minm Frundskris und bi lln jnn Mnschn bdnkn, di mir währnd mins Studiums immr zur Sit gstndn sind. Gnz spzill möcht ich minm Btrur, Univ. Doz. Dr. Güntr Hnisch, für sin Untrstützung dnkn. Er stnd mir mit wrtvolln Rtschlägn stts hilfrich zur Sit und r nhm vil positivn Einfluss uf di Arbit. Zultzt gbührt min Dnk Üzir Yıldız für sin gutn Anrgungn.

3 Abbildungsvrzichnis Abbildung-1 Logistischs Wchstum... Abbildung-: Bnutzrobrfläch von Mthmtic Abbildung-3: Tt Erzugn im Mthmtic Abbildung-4: Ellips Abbildung-5: Hprbl Abbildung-6: Prbl Abbildung-7: Prbl in zwitr, drittr und virtr Huptlg Abbildung-8: Sondrfäll

4 Inhltsvrzichnis 1. Einlitung Mthmtik ls Wissnschft Lhrpln dr AHS-Obrstuf Mthmtik Zil disr Arbit Mthmtic im Mthmtikuntrricht Ws vrstht mn untr Computrlgbr? Einstz dr Computr-Algbr-Sstm im Mthmtikuntrricht Untrstützung dr Visulisirung Übrnhm von Routintätigkitn Hilf bi dr Modllbildung Ds Computr-Algbr-Sstm Mthmtic Bnutzrobrfläch Arithmtisch Brchnungn Smbolisch Brchnungn Als Visulisirungswrkzug Als Progrmmirsprch Als Dokumntnvrrbitungssstm Vor- und Nchtil von Mthmtic Mthmtisch Hintrgründ zu Schnittpunkt dr vrschidnn Kurvn Linr Glichungn Linr Glichungssstm mit zwi Vribln Algbrischs Lösn linrr Glichungssstm Grphischs Lösn linrr Glichungssstm Qudrtisch Glichungn Anltisch Glichungn Di Glichung ins Kriss Di Glichung dr Ellips

5 3.4.3.Di Glichung dr Hprbl Di Glichung dr Prbl Schnitt- und Brührufgbn Lgbzihung Kglschnitt und Grd Tngntn n Kglschnitt Konfokl Kglschnitt Bispil für Schnittpunkt dr vrschidnn Kurvn mit Mthmtic Drstllung von Grdn Bstimmung dr Schnittpunkt zwir Grdn Drstllung von vrschidnn Kurvn und ihrr Schnittpunkt Schnittpunkt von Grd mit Prbln Schnittpunkt zwir Prbln Schnittpunkt von Kris mit Grd Schnittpunkt zwir Kris Schnittpunkt von Prbln mit inm Kris Kristngntn Witrführnd Bispil Vktorrchnung, Inkris im Drick Vktorrchnung, Umkris von inm Drick Vktorrchnung, Schnitt Kugl-Grd Zusmmnfssung Litrturvrzichnis Lbnsluf

6 1. Einlitung 1.1. Mthmtik ls Wissnschft Ds Buch dr Ntur ist in dr Sprch dr Mthmtik gschribn. Glilo Glili Im Jhr 1604 bhuptt Johnns Kplr [ ] in inm Aufstz für inn Klndr, dss ll Mnschn sich us dr Mthmtik rnährn. Im Jhr 1996 bschäftigt sich ds Wll Strt Journl mit dr Mthmtik. Thmn diss Artikls wrn Hrshmpoos, Softdrinks und di olmpischn Spil. 1 Di Mthmtik spilt durch di Jhrtusnd in immr größr Roll in unsrm Lbn. Mthmtisch Anwndungn rlichtrn ds Lbn vilr Mnschn. Dis ist möglich, wil Mthmtik Tg für Tg di Grnzn zu ndrn Wissnschftn übrschritt und wsntlich wichtig Biträg zur Witrntwicklung in viln Wissnsgbitn listt. Mthmtik ist di Grundlg llr modrnn Nturwissnschftn. In viln Brichn von Tchnik, Wirtschft und Wissnschft sind mthmtisch Mthodn tblirt. Ein im Alltg oft bnutzt mthmtisch Anwndung ist di Vrschlüsslung lktronischr Kommuniktion. Als dr nglisch Mthmtikr Turing [ ] dn dutschn Ghimcod knckt, ht r gnz wsntlich zum Ausgng ds. Wltkrigs bigtrgn. Hut sind s vor llm Psswörtr ls Zugngsbrchtigungn und Ghimzhln zu EC- 1 vgl. WERNER Bodo. Mthmtik studirn. Stnd Mi 007. Url: [ , 1.10 Uhr] vgl. BEHRENDS Ehrhrd. Mthmtik. Stnd Sptmbr

7 Krtn odr im Hombnking, drn Sichrhit uf mthmtischr Vrschlüsslung bsirt. 3 Mthmtisch Mthodn sind in dn ltztn Jhrn in ndr Brich vorgdrungn, wi z.b. in di Biologi. Dis gilt uch für di orgnisch Chmi und di Phrmzi. So konnt di Squnzirung ds mnschlichn Gnoms, di durch ds Humn Gnom Projct für ds Jhr 010 gplnt wr, brits in dn Jhrn bgschlossn wrdn, d dn Molkulrbiologn mthmtisch Algorithmn zur Vrfügung stndn. 4 Fst jd Brufsgrupp muss in guts Grundwissn in Mthmtik hbn. Dis ist uch dr Huptgrund, wrum Mthmtik wltwit in jdr Stuf dr schulischn Ausbildung in wichtig Roll spilt. An fst lln Schuln und in fst jdr Klssnstuf wird Mthmtik ls Pflichtfch untrrichtt. 5 In tchnischn Brufn spilt di Mthmtik in grundsätzlich Roll, d Mthmtik in Bsis für ll tchnischn Entwicklungn ist. Hutzutg wrdn Produkt und Abläuf mthmtisch modllirt, simulirt und bstmöglich gstltt. Mthmtik wird übrll gbrucht, von dr Optimirung dr Fsrn in Rußfiltrn bis zu dr Auslstung von Produktionsplänn. Mn knn sich vorstlln, dss Optimirungsufgbn in groß Bdutung für ll Btrib hbn. Mit Hilf von Crsh-Simultionn im Rchnr müssn in dr Automobilindustri nicht mhr hundrttusnd Autos ggn di Wnd fhrn. Ohn Mthmtik wär di rst Mondlndung nicht möglich gwsn, bnso ist si hut wichtig in Rumsttionn und Stllitn. Di nustn Ergbniss in dr Diffrnzil- und Intgrlrchnungn sowi dr Vktornlsis hlfn Wissnschftrn dbi, in dr Rumfhrt Routn und Kräftvrhältniss zu brchnn. Großn Wrt hbn uch modrn Numrik, dnmisch Sstm und di Kontrollthori. Ds dutsch-indonsisch Tsunmi-Frühwrnsstm Url: [ , 1.4 Uhr] 3 vgl. WERNER Bodo. Mthmtik studirn. Stnd Mi 007. Url: [ ,.0 Uhr] 4 vgl. Projktgrupp Jhr dr Mthmtik. Mthmtik ls Wissnschft. Url: Downlods/06 Prss/Dossir Wissnschft.p df [ , 3.00 Uhr] 5 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5. Sih Vorwort 7

8 und di nustn Großrumflugzug ghörn zu dn ktulln Anwndungn, di ohn modrn Mthmtik nicht möglich gwsn wärn. Zusmmngfsst knn mn sgn, dss di Angwndt Mthmtik di Bsis ds tchnischn Fortschritts ist. 6 Di Gwisshit dr Mthmtik untrschidt si von dn mistn ndrn Gbitn, wil si kt Dfinitionn und Bwis bsitzt. Vil Wissnschftn nutzn dhr uch mthmtisch Frtigkitn und Dnkwisn, um von disr Sichrhit und Gwisshit zu profitirn. 7 Dzu in Zitt ds brühmtn Schwizr Mthmtikrs Pul BERNAYS: Wnn dr Mnschngist sich bschwrt odr hrbgdrückt fühlt durch ds vil Rätslhft im Dsin, durch dn Eindruck unsrr wit ghndn Unwissnhit in so viln Brichn, dr Mnglhftigkitn dr sprchlichn Widrgb und Vrständigung, dnn wndt r sich wohl grn dm Gbit dr Mthmtik zu, in wlchm in dutlichs und gnus Erfssn von Ggnständlichkit sich findt und Gwinnung von Einsicht durch ngmssn Bgriff in so bfridigndr Wis rricht wird. Hir fühlt dr mnschlich Gist sich himisch, hir rlbt r dn Triumph, dss di Vrwndung und Vrbindung von gnz lmntrn Vorstllungn, wi si uns us dm Kindrspil vrtrut sind, bdutsm, übrrschnd und wittrgnd Rsultt zutg bringt. An Konkrts ls Ausgngspunkt nknüpfnd, btätigt sich ds mthmtisch Dnkn in nschulichr Fiirung und Vrggnwärtigung sinr Ggnständ, und von d führt s durch Bgriffsbildungn und gdnklich Vrflchtung von Fststllungn zu Ergbnissn, di widrum sich uf ds Konkrt nwndn lssn und sich hir in imponirndr Wis ls rfolgrich rwisn. Um disr kompln Aufgb im Schuluntrricht lichtr nchkommn zu könnn, listt dr östrrichisch Lhrpln vrschidn Aspkt dr Mthmtik uf: 6 vgl. Projktgrupp Jhr dr Mthmtik. Ws Mthmtik bwgt? Url: mthmtik.d/cormdi/gnrtor/wj008/d/0 Mthmtik lls ws z_c3_a4hlt/- 01 Ws_0Mthmtik_0bwgt.html [ , 1.14 Uhr] 7 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5. Sih Vorwort 8

9 Aspkt dr Mthmtik 8 Schöpfrisch - krtivr Aspkt: Mthmtik ist in Schulung ds Dnkns, in dr Arbitstchnikn vrmittlt, Strtgin ufgbut, Phntsi ngrgt und Krtivität gfördrt wrdn. Sprchlichr Aspkt: Mthmtik ist in lborirts Bgriffsntz, in ständigs Bmühn um ktn Ausdruck, in dm di Fähigkit zum Argumntirn, Kritisirn und Urtiln ntwicklt sowi di sprchlich Ausdrucksfähigkit gfördrt wrdn. Erknntnisthortischr Aspkt: Mthmtik ist in spzill Form dr Erfssung unsrr Erfhrungswlt; si ist in spzifisch Art, di Erschinungn dr Wlt whrzunhmn und durch Abstrktion zu vrsthn; Mthmtisirung ins rln Phänomns knn di Alltgsrfhrung wsntlich vrtifn. Prgmtisch nwndungsorintirtr Aspkt: Mthmtik ist in nützlichs Wrkzug und Mthodnrsrvoir für vil Disziplinn und Vorusstzung für vil Studin bzw. Brufsfldr. Autonomr Aspkt: Mthmtisch Ggnständ und Schvrhlt bildn ls gistig Schöpfungn in dduktiv gordnt Wlt ignr Art, in dr Aussgn - von fstglgtn Prämissn usghnd - stringnt bglitt wrdn könnn; Mthmtik bfähigt dmit, dm ignn Dnkn mhr zu vrtrun ls frmdn Minungsmchrn und fördrt so dn dmokrtischn Prozss. Kulturll historischr Aspkt: Di mßgblich Roll mthmtischr Erknntniss und Listungn in dr Entwicklung ds uropäischn Kultur- und Gistslbns mcht Mthmtik zu inm unvrzichtbrn Bstndtil dr Allgminbildung. 8 Lhrpln Mthmtik, Sit 1, 9

10 1.. Lhrpln dr AHS-Obrstuf Mthmtik Im Mthmtikuntrricht soll vrständnisvolls Lrnn ls individullr, ktivr und konstruktivr Prozss im Vordrgrund sthn. Di Schülrinnn und Schülr solln durch ign Tätigkitn Einsichtn gwinnn und so mthmtisch Bgriff und Mthodn in ihr Wissnssstm inbun. 9 Um diss Zil zu rrichn, ist im Lhrpln in Rih von didktischn Grundsätzn vrzichnt und bschribn. Dr ltzt disr didktischn Grundsätz (di ndrn didktischn Grundsätz, wi Lrnn in nwndungsorintirtn Konttn, Lrnn in Phsn, Lrnn in soziln Umfld, Lrnn mit mdilr Untrstützung, usw., wrdn hir nicht im Dtil rörtrt, wil si in kinm dirktn Zusmmnhng mit disr Arbit sthn) ist dirkt mit dr Ausrichtung disr Arbit vrbundn und lutt wi folgt: Lrnn mit tchnologischr Untrstützung Mthmtiknh Tchnologin wi Computrlgbr-Sstm, dnmisch Gomtri-Softwr odr Tbllnklkultionsprogrmm sind im hutign Mthmtikuntrricht unvrzichtbr. Schgrchts und sinnvolls Nutzn dr Progrmm durch gplnts Vorghn ist sichrzustlln. Di miniml Rlisirung bstht im Knnnlrnn drrtigr Tchnologin, ds übr mplrisch Einblick hinusght und zumindst glgntlich in wsntlich Roll bim Errbitn und Anwndn von Inhltn spilt. Bi dr mimln Rlisirung ist dr sinnvoll Einstz drrtigr Tchnologin in ständigr und intgrlr Bstndtil ds Untrrichts. 10 Disr im Lhrpln gnnnt didktisch Grundstz btont di Notwndigkit ds Einstzs von Informtionstchnologin im Allgminn, insbsondr Computr im Untrricht. Di Lhr- und Lrnmthodn müssn sich vrändrn. Ein plnmäßigs Vorghn für dn Untrricht ht in groß Bdutung für ds pssnd und zwckmäßig Nutzn von Progrmmn. In dism Grundstz wird ls minimls Lrnzil ds Knnnlrnn drrtigr Tchnologin 9 Lhrpln Mthmtik, Didktisch Grundsätz Sit 10 Lhrpln Mthmtik, Lrnn mit tchnologischr Untrstützung Sit 3 10

11 bstimmt. Dfür ist s nötig, di Computrlgbr-Sstm bim Errbitn und Anwndn von Inhltn zu vrwndn. Auf dis Wis soll druf gzilt wrdn, inn durndn Einstz dr Computrprogrmm zu rlisirn. Für di Lhrndn ist s in groß Hrusfordrung, dn vorgschribnn Grundstz ds Lhrplns in dr Schul um zu stzn Zil disr Arbit Zil dr vorligndn Arbit ist s, mthmtisch Aufgbn us dm Brich dr nltischn Gomtri mit Mthmtic zu brchnn und si so drzustlln, dss si dirkt in dn Mthmtikuntrricht übrnommn wrdn könnn. All Aufgbnstllungn und Mtriln vrsthn sich ls Vorschläg und solln dn Einstz von Mthmtic im Thm Brchnung dr Schnittpunkt vrschidnr Kurvn im Mthmtikuntrricht dr Obrstuf inr llgminbildndn höhrn Schul rmöglichn. Ebnflls wird in disr Arbit uf ds notwndig Grundwissn übr Mthmtic inggngn, d dis Informtion für di Schülr und di Lhrprson rfordrlich ist, di kin Knntnis übr diss Computrlgbr- Sstm hbn. Um ds Vrwndn disr Bispil im Schullltg zu rlichtrn, wrdn di mthmtischn Hintrgründ zu dn Thmn in inm ignn Abschnitt bschribn. 11

12 . Mthmtic im Mthmtikuntrricht.1. Ws vrstht mn untr Computrlgbr? Di Vrrbitung smbolischr mthmtischr Ausdrück uf inm Computr bzichnt mn ls Computrlgbr odr Formlmnipultion. Bid Bgriff wrdn snonm vrwndt, wobi di Bzichnung Formlmnipultion us nchfolgnd gnnntn Gründn dn Schvrhlt bssr trifft. Dr Bgriff Computrlgbr könnt licht zu dm Missvrständnis führn, dss mn sich nur mit dr Lösung lgbrischr Problm bschäftigt. Di Bzichnung Algbr stht br hir für di vrwndtn Mthodn zur smbolischn Mnipultion mthmtischr Ausdrück, d.h. di Algbr lifrt im Wsntlichn ds Wrkzug zum Auflösn von Ausdrückn und zur Entwicklung von Algorithmn. Es lssn sich jdoch nur solch Problm bhndln, drn Brbitung nch ndlich viln Schrittn di gwünscht Lösung lifrt. [ ] Dbi vrstht mn untr inm ndlichn Algorithmus in Vorschrift, di in Problm in ndlich viln Schrittn kt löst. 11 Computrlgbr-Sstm (CAS) sind Rchnwrkzug, di di Ausführung lgbrischr Rchnklkül utomtisirn. CAS könnn Trm vrinfchn, Funktionn smbolisch diffrnzirn und intgrirn, Grphn zichnn, Glichungn und Glichungssstm lösn, Mtrizn brbitn usw. Kurz: Si hlfn bi dn mistn Inhltn, di hut im Fch Mthmtik n dn Schuln glhrt wrdn. 11 BENKER Hns. Mthmtik mit dm PC, S. -3 1

13 .. Einstz dr Computr-Algbr-Sstm im Mthmtikuntrricht Zu Bginn dr 80r Jhr wurd Smour Pprts Buch Mindstorms-Kindr, Computr und Nus Lrnn in dr dutschn Übrstzung publizirt. Zhlrich Mthmtikdidktikr und Mthmtikdidktikrinnn bmrktn durch Pprts Erfhrungsbricht, dss dr Einstz ds Computrs im Mthmtikuntrricht für inn modrnn und zitgmäßn Untrricht unvrzichtbr si. 1 Mitt dr chtzigr Jhr ht ds BMUK di höhrn Schuln mit PCs usgstttt. Zu Bginn dr nunzigr Jhr ht Östrrich ls ds rst Lnd in dr Wlt für ll Gmnsin di Gnrlliznz für in Computrlgbr- Sstm, nämlich DERIVE, rlngt. 13 Drufhin wurd 1993 in Untrrichtsprojkt vom BMUK in dri Bundsländrn gstrtt. Im Rhmn diss Untrrichtsprojkts wurdn di Auswirkungn ds Einstzs von Computrlgbr uf dn Rgluntrricht uf britr Bsis rforscht. Nbnbi wurdn uf dr inn Sit Mtriln zum Einstz von DERIVE im Mthmtikuntrricht rstllt, uf dr ndrn Sit wurdn uch umfngrich bglitnd Mthodnuntrsuchungn von Robrt Nockr sowi vom Zntrum für Schulvrsuch durchgführt. 14 Ein usführlich Drstllung übr di bhndltn Inhlt, di vrwndtn Mthodn und di untrschidlichn didktischn Konzpt wurdn im Sondrhft ds Intrntionl DERIVE Journl mit dm Titl Th Austrin Projct publizirt [d. Asptsbrgr, Fuchs 1996]. Auch im umfngrichn Bitrg Computrlgbr-Sstm im Mthmtikuntrricht dr Allgminbildndn Höhrn Schuln in Östrrich [Hugl 1995] findt sich in inghnd Bschribung diss Thms vgl. FUCHS. Computr im Mthmtikuntrricht Erfhrungn und Gdnkn, S vgl. HEUGL, KLINGER, LECHNER. Mthmtikuntrricht mit Computrlgbr-Sstmn, S vgl. FUCHS. Computr im Mthmtikuntrricht Erfhrungn und Gdnkn, S vgl. FUCHS. Computr im Mthmtikuntrricht Erfhrungn und Gdnkn, S. 5 13

14 Übr diss östrrichisch Computrlgbrprojkt wurdn zwi Bricht rstllt. Dr rst Bricht wurd von Groggr (1995) publizirt, dr di Ergbniss dr Schülrbfrgung binhltt. Di zwit Untrsuchung wurd von Svcnik (1995) durchgführt und si umfsst di Ergbniss dr Lhrrbfrgung im Vrglich zu dn Schülrminungn. Zusmmnfssnd lässt sich zu dn Ergbnissn dr btrffndn Bricht Folgnds sgn: 16 An dr Schülrbfrgung hbn 549 Schülr und Schülrinnn tilgnommn, di us 33 Vrsuchsklssn in 17 Schuln stmmn. Ein dutlich stärkr Zunhm dr Frud m Mthmtikuntrricht bi jnn Schülrn und Schülrinnn wurd bobchtt, di uch zu Hus jdrzit mit dm CAS rbitn könnn ggnübr dnn, di dis Möglichkit nicht nutzn odr nicht hbn. Nch dr Ergbniss dr Schülrbfrgung wolln 84% llr bfrgtn Schülr und Schülrinnn dn Einstz von Driv. Di Schülr und Schülrinnn dr Skundrstuf I gbn ihr Zustimmung stärkr ls di Skundrstuf II, dss si mit dm Einstz von Driv dn Mthmtikuntrricht bssr vrsthn und intrssntr findn, sich mit mthmtischn Problmn bschäftign wolln, sich intrssirn, wi Driv rbitt. Di Schülr und Schülrinnn dr Skundrstuf II zign wnigr Bgistrung ggnübr dm Einstz ds CAS, dnnoch ht di Frud m Mthmtikuntrricht zugnommn. Di Ergbniss dr Schülrbfrgung zign, dss gut Notn sich fördrnd uf di Einstllung zum Einstz von CAS im Mthmtikuntrricht uswirkn. Gut Schülr und Schülrinnn wolln häufigr uch bi Husübungn und bi Prüfungsrbitn mit dm CAS rbitn. Di Schülrbfrgung rgibt inn dutlich untrschidlichn Zugng dr bidn Gschlchtr zum Einstz von CAS im Mthmtikuntrricht. Di männlichn Schülr zign ggnübr ihrn Mitschülrinnn in dutlichrs Anstign dr Frud n Mthmtik. Di männlichn Schülr wünschn häufigr ds CAS uch zu Hus und bi Prüfungn inzustzn. 16 vgl. HEUGL, KLINGER, LECHNER. Mthmtikuntrricht mit Computrlgbr-Sstmn, S. 93 ff. 14

15 Di männlichn Schülr fühln sich durch Driv stärkr gfördrt und si tiln mit, dss Mthmtik durch ds CAS vrständlichr und intrssntr wird. Si nhmn dn Umgng mit Driv ls wnigr blstnd ggnübr ihrn Mitschülrinnn whr. In inm Til dr Bfrgung wurdn offn Frgn gstllt und di Schülr und Schülrinnn httn di Möglichkit ihr Minungn nidrzuschribn. 40% llr bfrgtn Schülr und Schülrinnn bmrktn dn Nutzn im Einstz von Driv hinsichtlich Arbitsrlichtrung und Zitrsprnis nchdrücklich. Ds Witrn wurdn nch Häufigkit gordnt: di Möglichkit dr grfischn Drstllung, ds Ausrchnn und Umformn von Trmn, di Infinitsimlrchnung, di Hilf bim Erknnn und Vrmidn von Fhlrn. An dr Lhrrbfrgung hbn 7 Lhrr dvon 8 Frun tilgnommn. Di Ergbniss dr Lhrrbfrgung lssn sich folgndrmßn zusmmnfssn: 17 Di Lhrr und Lhrrinnn sind dr Minung, dss sich durch di Nutzung von Driv ls Rchnwrkzug di Chnc rgibt, ds rworbn Wissn zu vrtifn, lso uch mhr mthmtischs Grundwissn zu vrmittln. Dnn dr Zitufwnd für ufwändigs mchnischs Rchnn ht dutlich bgnommn. Mit dr Abnhm ds Zitufwnds wird s nun uch möglich, ufwändigr Rchnoprtionn durchzuführn. Es wird nicht rwrtt, dss wnigr intrssirt odr wnigr bgbt Schülr mhr profitirn. Di bfrgtn Lhrr und Lhrrinnn vrnintn, dss di Schülr nun nicht mhr übr di mthmtischn Hintrgründ nchdnkn müssn. Di Ergbniss dr Lhrrbfrgung zign, dss di Lhrr und Lhrrinnn btontn, dss mit dr Möglichkitn dr grfischn Drstllung ds CAS in Einstig in in nus Kpitl motivirnd sin knn. 17 vgl. HEUGL, KLINGER, LECHNER. Mthmtikuntrricht mit Computrlgbr-Sstmn, S. 95 ff. 15

16 di Möglichkit bstht, in kurzr Zit vil Bispil brbitn zu könnn und ddurch forml Gstzmäßigkitn bssr zu rknnn. Di Möglichkitn in dr Phs ds Übns wrdn uch ngdutt. Lhrr und Lhrrinnn stlln dn in dr Schülrbfrgung signifiknt sichtbr gwordnn gschlchtsspzifischn Untrschid zwischn Schülrinnn und Schülrn nicht so dutlich fst. Di bfrgtn Lhrr und Lhrrinnn minn, dss dr Einstz von Driv di Möglichkit bitt, dn Untrricht motivirndr und intrssntr zu gstltn. Mit dr Computrlgbr wurd dr Computr in nus Wrkzug, dr numrisch, grphisch und smbolisch Fähigkitn nbitt. Im Hinblick uf disr Entwicklung bfssn sich di mistn didktischn Publiktionn zum Thm Computr im Mthmtikuntrricht mit dm Einstz von Computrlgbr-Sstmn. Dr größt Til disr Publiktionn btrifft DERIVE, s wrdn br uch Untrrichtsmodll für Computrlgbr- Sstm wi MATHEMATICA [Kopf 1993] odr MAPLE [Fuchs 1995] drgstllt. 18 Krin Mri Kmmlithnr ist in ihrr Diplomrbit uf ds Thm Tschnrchnrinstz im Mthmtikuntrricht nähr inggngn. Si bschrib, dss mhrr Wissnschftr di Auswirkung ds Tschnrchnrs uf di Rchnfrtigkit dr Schülr und dr Schülrinnn untrsuchtn. Witrs führt si zwi disr Untrsuchungn n: Alndr Wnnds Untrsuchung in Dortmund von 1979 bis 198 und dn Schulvrsuch von Lothr Fld & Wrnr Wlsch im Rum Mißn und Mrsburg von 1979 bis Aus dr Schülruntrsuchung ziht Alndr Wnnds ltztndlich folgndn Schluss: Dr Tschnrchnrinstz (b dr 7.Klss) ht kinswgs zwngsläufig ngtiv Auswirkung uf di Rchnfrtigkit dr Schülr. 0 Am End ds Schulvrsuchs stlln Lothr Fld & Wrnr Wlsch fst: Es ist möglich, in dr Schul b Klss 7 Tschnrchnr zu vrwndn,. Di Vrwndung von Tschnrchnrn röffnt dn Schülrn 18 vgl. FUCHS. Computr im Mthmtikuntrricht Erfhrungn und Gdnkn, S vgl. KAMMLEITHNER. Tschnrchnrinstz im Mthmtikuntrricht, S

17 gut Möglichkitn, vor llm in dn Fächrn Mthmtik, Phsik, Chmi und ESP höhr Listungn(bssr Ergbniss) zu rrichn. 1 Stoutmr rzählt in sinm Buch, dss ds Auftrtn dr Tschnrchnr Bängstigung hrvorgrufn ht, wil r di Rchnfähigkitn dr Schülr und dr Schülrinnn bzüglich dr Grundrchnrtn vrmindrn würd. Bi dr Diskussion übr dm Einstz ds Tschnrchnrs wurd ls in wichtigr Vortil ngführt, dss dr Tschnrchnr ds Lhrn ds Rchnns vrinfcht und vrbssrt. Andr sind dr Minung, dss dr Tschnrchnr di Möglichkit untrstützt, frühr zu ndrn und ufwändigrn Kpitln witrzughn, z.b. durch dn Wgfll ds Logrithmnbuchs in dr Obrstuf konnt vil Zit gsprt wrdn. Wgn dr ltztn Bgründung sind Tschnrchnr hut übrll zu findn und spiltn in shr groß Roll im Mthmtikuntrricht. 3 Vom trditionlln Tschnrchnr wurdn dr grphisch Tschnrchnr sowi dr lgbrisch Tschnrchnr (wi z.b. TI-9 und ihr Nchfolgr) ntwicklt, dr ds Computrlgbr-Sstm DERIVE qusi im Tschnformt nbitt. Erst dis Entwicklung ht dn Einstz dr Computrlgbr-Sstm im Untrricht rmöglicht, wil jdr Schülr und jd Schülrin in dn Schulklssn übr inn DERIVE-tuglichn Rchnr vrfügt. Di Computrlgbr-Sstm hbn in zntrl Stllung im tchnologigstütztn Mthmtikuntrricht. Dr Einstz von Tchnologi im Mthmtikuntrricht vrurscht in strk Vrändrung in dr Untrrichtskonzption und zwingt nu Mthodn inzustzn. Thsn von W. Dörflr zum Einfluss von Tchnologi uf di Mthmtik 4 hbn n disr Stll in groß Bdutung. Aufgrund ihrr gutn Formulirung möcht ich hir dis Thsn zitirn: 0..O. S O. S. 37 vgl. STOUTEMYER. A rdicl proposl for computr lgbr in duction, S vgl. STOUTEMYER. A rdicl proposl for computr lgbr in duction, S DÖRFLER W. Dr Computr ls kognitivs Wrkzug und kognitivs Mdium

18 Siht mn Kognition ls funktionls Sstm, ds Mnsch und Wrkzug und dn sonstign mtrilln und soziln Kontt umfsst, so könnn nu Wrkzug Kognition qulittiv vrändrn und nu Fähigkitn gnrirn. Lrnn ist dnn nicht nur Entwicklung von vorhndnn Fähigkitn, sondrn sstmisch Konstruktion funktionlr kognitivr Sstm. Computr und Computrsoftwr ist dmnch ls Erwitrung und Vrstärkung unsrr Kognition nzushn. Es kommt zu inr Vrschibung dr Tätigkit vom Ausführn zum Plnn und Intrprtirn. Es ändrt sich nicht nur di Form sondrn uch dr Inhlt dr Tätigkit. Dnkprozss rfolgn oft vortilhft nhnd ggnständlichr Vorstllungn, Rpräsnttionn, Modllirungn dr jwilign Problmsitution. Gut Softwrsstm bitn in Vilzhl grphischr und smbolischr Elmnt n, so dss dr Bnutzr intrktiv vrschidnst kognitiv Modll m Bildschirm rstlln knn. Dr Computr ls Mdium für Prototpn: Allgminbgriff wrdn mittls prototpischr Rpräsntntn kognitiv vrfügbr gmcht. Dr Computr bitt nicht nur in größr Vilflt n Prototpn n, sondrn insbsondr uch solch, di ohn ihn nicht vrfügbr wärn. Modulrität ds Dnkns: Dr Computr knn ls Spichr und Prozssor für vil vrschidn Modul vrwndt wrdn und fördrt somit ds modulr Dnkn und Arbitn Di Vrfügbrkit dr Modul rsprt ntürlich nicht ds konzptionll und oprtiv Vrständnisss dr ntsprchndn Prozss und Oprtionn, br ihr Rlisirung und Ausführung knn mn gtrost dm Computr übrlssn. Di Einstzmöglichkitn ins Computrlgbr-Sstms im Untrricht sind nch dr Funktionlität und dm Listungsumfng inzlnr Sstm vilfältig. Es ist schwr uf inign Sitn drzustlln, mit wlchn Problmn in CAS zurchtkommn knn. Ich wrd hir inig wnig usgwählt Brich bschribn, für di dr Einstz von CAS im Mthmtikuntrricht von Rlvnz ist. 18

19 ..1. Untrstützung dr Visulisirung Im trditionlln Mthmtikuntrricht vrgudt ds Zichnn von Funktionsgrfn vil kostbr Untrrichtszit. Ds Zichnn dr Grfn dint nicht mhr zur Untrstützung dr Anschuung. Nchdm di Schülr und di Schülrinnn brits in pr Funktionn slbst uf in Ppir grfisch drgstllt hbn, lrnn si in dr Tätigkit ds Zichnns nichts mhr dzu. Dr lngwirig Zichnprozss ist nicht dr inzig Wg um diss Zil zu rrichn. Ein Gomtriprogrmm rmöglicht sowohl in unvrglichlich kürzrr Zit gnur Zichnungn drzustlln, ls uch mhrr vrschidn Grfn, wlch mn mitinndr vrglichn knn. Di Grfn, wlch mit inm Computrlgbr-Progrmm rstllt wurdn, hbn dn Vortil, dss vil prktisch und vilsitig Vrändrungn vorgnommn wrdn könnn, wi z.b. di Vrändrung von Prmtrn. GoGbr, in witvrbritt Dnmisch-Gomtri-Softwr, rmöglicht uch ds Vrschibn von Tngntn. 5 In dism Zusmmnhng möcht ich witr Gsichtspunkt rwähnn, di Wignd bschrib: Dr Computr knn dzu bitrgn, dm Aufbu von Fhlvorstllungn zum Funktionsbgriff ntggnzuwirkn, indm s möglich wird, dn Aufbu von Tblln, Digrmmn und Grphikn schrittwis zu vrfolgn, Eingbdtn blibig zu vrändrn und mhrr Drstllungn bzw. Drstllungsformn glichzitig uf dm Bildschirm btrchtn zu könnn. [ ] Durch dn squntilln Bildufbu knn di Eindutigkit funktionlr Zuordnungn sowi di dnmisch Sichtwis inr Funktion vrdutlicht wrdn Übrnhm von Routintätigkitn Dr Einstz dr Computr im Mthmtikuntrricht ist bi dr Ausführung ufwändigr numrischr Routinbrchnungn sinnvoll. Computrlgbr- Progrmm bwältign vil Problm schnllr ls in Mnsch, sogr ls in 5 vgl. WOLF. Wchstumsmodll mit GoGbr 3.. Diplomrbit 009. S WEIGAND. MU 5, Dr Funktionsbgriff im Algbruntrricht, S

20 Mthmtikr odr in Mthmtikrin. Es ist nicht sltn, dss in Mthmtikr odr in Mthmtikrin in Problm rst in inign Montn glöst ht, wofür in Computrlgbr-Progrmm inig Minutn brucht. Hugl, Klingr und Lchnr 7 stlln sich di Frg, inwifrn CAS in numrischr Hinsicht übr di Möglichkitn ins Tschnrchnrs hinusghn. Si rückn dbi vor llm dri Aspkt ins Blickfld: CAS rlubn s rstns, Rchnungn mit Smboln uszuführn. Zwitns sturn CAS im Untrschid zum Tschnrchnr slbst di Gnuigkit n numrischn Approimtionn. Drittns lssn sich binh ll Umformungn, uch mühlos in dr Umgbung ds CAS durchführn. Im Witrn btonn si dn Krnpunkt für dn Einstz von CAS ls numrischs Hilfsmittl im Rhmn ds Mthmtikuntrrichts, dss uf dr inn Sit notwndig und wsntlich 'Hndklkülfrtigkitn' nicht vrlornghn, br uf dr ndrn Sit ntsprchnd 'Strtgiklkülfrtigkitn' ufgbut wrdn. Dr Einstz von CAS bitt di Möglichkit mhr Aufgbn zu stlln, bi dnn dr lgorithmisch-klkülmäßig Antil nicht mhr dr Hupttil ist, sondrn wo ds Erfssn, Vrsthn und Intrprtirn von Dtn bzw. Formlusdrückn im Zntrum sthn. 8 Als in Bispil für disn positivn Aspkt wird in dr Diplomrbit von Wolf 9 ds Thm Kurvndiskussion bnnnt, wi si sowohl in dr AHS, ls uch in dr BHS durchgführt wird. Wolf sgt, dss in dism Thm Schülr und Schülrinnn im Prinzip nch dm Schm Diffrnzirn, Nullstlln, Etrmwrt, Etrmwrtntschidung, Monotonivrhltn, Wndpunkt und Krümmungsvrhltn ohn wichtig gistig Listungn vorghn. Auch di Brchnung von Funktionswrtn, ls in im Mthmtikuntrricht oft widrholt Ausübung, stllt in rin tchnisch Arbit dr. Schülr und 7 vgl. HEUGL, KLINGER, LECHNER. Mthmtikuntrricht mit Computrlgbr-Sstmn, S vgl. CYRMON. Algbrprogrmm und Tbllnklkultion im Untrricht, S. 1. 0

21 Schülrinnn rflktirn di tchnisch Arbit nicht usrichnd. Nch dm Einbindn ds Computrs ist s möglich, di Ergbniss vrschidnr Aufgbn zu vrglichn, Bdutung und Sinnhftigkit dr Aufgbn zu rflktirn. Ds hißt, s ntsthn nu Schwrpunktstzungn, Lhr/Lrnzil, tc., wil nun dr Rchnr dm Schülr di Rchnrbit zumindst tilwis bnimmt und si mist schnllr ls dr Mnsch rldigt. Mn knn lso durch dn Computr nun Lhr/Lrnzil bhndln, di bishr us Zitgründn mist bisitglssn wurdn. 30 Dr Einstz frtigr Softwr rfordrn inrsits vrbssrt Untrrichtsvorbritungn, di mit dn nun Hilfsmittln ds computruntrstütztn Untrrichts umghn könnn, ls uch nu Bispilmtrilin. Computrlgbr-Sstm stlln nun inn großn Til dr Mthmtik uf Knopfdruck zur Vrfügung, druntr vil Mthodn dr Mthmtik, di noch bis vor kurzm ls shr schwirig, odr mühsm btrchtt wurdn. Mit Hilf dr mthmtischn Softwrsstm ist ds smbolisch Rchnn mit Formln, j sogr uch tilwis ds Bwisn dr mistn mthmtischn Sätz möglich, di in dn höhrn Schuln bzw. in dn untrn Smstrn n dn Univrsitätn in Mthmtik untrrichtt wrdn Hilf bi dr Modllbildung Ds didktisch intrssnt Einstzgbit von CAS ligt sichr in ihrm Einstz bi dr Modllbildung. Dr Computr bitt vilfältig Möglichkitn für Simultionn, wi z.b. bi ponntilln Prozssn odr bi ökologischn Sstmn, durch di mn sowohl di btrffndn Rlsitutionn bssr vrsthn ls uch llgmin Einsichtn in Modllbildungsprozss gwinnn knn. 3 Ein usführlich Bschribung übr di Roll ds Computrs bi inm nwndungsorintirtn Mthmtikuntrricht findt mn im Buch 9 WOLF. Wchstumsmodll mit GoGbr 3.. Diplomrbit 009. S CYRMON. Algbrprogrmm und Tbllnklkultion im Untrricht, S vgl. HEUGL, KLINGER, LECHNER. Mthmtikuntrricht mit Computrlgbr-Sstmn, S. 10 1

22 Mthmtikuntrricht mit Computrlgbr-Sstm [Hugl, Klingr, Lchnr, 1996]. Modllbildung ist in zntrls Thm jds nwndungsorintirtn Mthmtikuntrrichts. Dm Schülr solln nbn inr gigntn Arbitsumgbung Grundmodll zur Vrfügung sthn. 33 Abbildung-1 Logistischs Wchstum 34 Zu Bginn diss Jhrhundrts ht Fli Klin di Rformn ds Mthmtikuntrrichts vorgstllt, drn wsntlichs Zil di Schulmthmtik nwndungsorintirtr und prisnähr zu gstltn wr. Sit tw 1970 spiltn dis Rformn widr in ntschidnd Roll, nämlich ls Rktion uf di Nw-Mth-Bwgung. Di Schülr und Schülrinnn solltn inshn, dss Mthmtik zum Vrständnis dr Wirklichkit bitrgn knn und ddurch di Bdutung disr Wissnschft rfhrn. Di Schülr und Schülrinnn solltn uch Problm bssr bschribn und vrsthn, Strtgin ntwickln, um di Problm lösn zu könnn, di bishr nicht glöst wurdn. In dism Zusmmnhng gltn Anwndungsufgbn ls Nutzung von 3 vgl. POSTEL, KIRSCH, BLUM. Mthmtik lhrn und lrnn, S HEUGL, KLINGER, LECHNER. Mthmtikuntrricht mit Computrlgbr-Sstmn, S O. S. 54

23 Rgln und Formln odr ls Algorithmn, di im Zug ins Spirldurchlufs ntwicklt wrdn. Ein ndr Bdutung von Anwndung wär: Britstllung von rln Situtionn, in dnn Problm zu lösn sind. 35 In dism Buch [..O., S. 13] wurd untr dm Titl Problmlösn mit Hilf von CAS di Roll ds Computrs bi inm nwndungsorintirtn Mthmtikuntrricht dutlich gmcht. Hir wird ls ins dr wichtigstn Zil ds Mthmtikuntrrichts di Schulung ds Problmlösns bzichnt. Nch dn Autorn gibt s vil intrssnt Problm, bi dnn di Modllbildung dn Schülrn und Schülrinnn nicht zumutbr ist, wo br ds Untrsuchn von Sondrfälln und ds Intrprtirn lohnnd Zil sind, vor llm uch dnn, wnn durch solch Aufgbn in Bitrg für inn fächrübrgrifndn Untrricht glistt wrdn knn. Häufig sind solch Aufgbn im trditionlln Mthmtikuntrricht nicht zugänglich, wil dr Rchnufwnd für Schülr und Schülrinnn zu kompl ist. Mit dm CAS ls Rchnhilf könnn solch Modll in dr Zukunft dnnoch brbitt wrdn..3. Ds Computr-Algbr-Sstm Mthmtic Im Folgndn wird Mthmtic vorgstllt. Nchdm di rstn Schritt mit Mthmtic dokumntirt wrdn, wrdn jn Funktionn vorgstllt, wlch für di Aufgbn im virtn Kpitl rlvnt sind. Di Softwr Mthmtic ist ins dr mächtign Wrkzug im Mthmtikuntrricht und in wichtigs Computrlgbr-Sstm wi tw Driv, Mpl und MuPAD. Ds Computrlgbr-Progrmm Mthmtic nthält untrschidlich Aspkt mit ntschidndn Bdutungn. Dis Aspkt sind: Mthmtic ls numrisch Rchnmschin Mthmtic ls Wrkzug für smbolisch Mthmtik Mthmtic ls Visulisirungswrkzug für mthmtisch Objkt, 35 vgl... O. S

24 Mthmtic ls Progrmmirsprch und Mthmtic ls mthmtischs Dokumntnvrrbitungssstm. Mthmtic wurd rst im Jhr 1988 von dr Firm Wolfrm Rsrch vröffntlicht. Ds Computrlgbr-Sstm Mthmtic ist in vrbssrt Vrsion von SMP, ds Stphn Wolfrm 36 rstllt ht. Mthmtic wird von sinr Firm `Wolfrm Rsrch` durnd witrntwicklt und vrmrktt. Di rst Vrsion von Mthmtic wr für dn Appl Mcintosh im Juni 1988 rhältlich. Ab Anfng 199 sind Vrsionn für in Vilzhl von Computrsstmn vorhndn, untr ndrn: Microsoft Windows, Linu, Mc OS, NXT. Sin ktull Vrsion lutt In inign Computrsstmn ist Mthmtic ls Stndrd-Softwr nthltn. 37 Mthmtic bstht us zwi voninndr unbhängign Komponntn, dr Bnutzrobrfläch und dm Krnl. Di Aufgbn dr Bnutzrobrfläch Mthmtic Notbook sind di Eingbn n dn Mthmtic Krnl zu gbn und di Rsultt zu formtirn. Außrdm knn mn im Mtmtic Notbook Input, Output, Grfikn, Formln, und Tt mitinndr vrmischn. Dr Krnl hinggn führt mthmtisch Brchnungn durch, di von infchn rithmtischn Brchnungn ngfngn, übr smbolisch Umformungn, bis shr kompln Progrmmsstmn richn könnn. Dzu könnn wir ls dritt Komponnt di Zustzpkt nschlißn. Zustzpkt sind Pckgs für zusätzlich Funktionn, di nicht im Krnl nthltn sind. Bnkr 38 btont in sinm Buch Mthmtik mit dm PC di strk ntwicklt Grfikfähigkit von Mthmtic. Witrs schribt r: Di mistn Vrsionn untrstützn grfisch Animtionn, d.h. dnmischs Vrhltn odr di Vrändrung inr Grfik bi Vrition von Prmtrn könnn vrnschulicht wrdn. Mthmtic ht sich in dn 36 Stphn WOLFRAM Wissnschftlr, Erfindr von Mthmtic, Autor und Gschäftsführr dr Firm Wolfrm Rsrch. Er ist 1959 in London gborn, r wurd in Eton, Oford und Cltch usgbildt. Er vröffntlicht sin rst wissnschftlich Arbit im Altr von 15 und bi dr Vollndung ds 0. Lbnsjhrs htt r sinn Doktortitl in dr thortischn Phsik von Cltch bgnn r dn Bu von SMP-ds rst modrn Computr-Algbr-Sstm. Für dtillirt Informtion sih: 37 vgl. WOLFRAM S. Mthmtic Ein Sstm für Mthmtik uf dm Computr, 199. S BENKER Hns. Mthmtik mit dm PC, S

25 ltztn Jhrn zu dm m mistn vrbrittn Progrmmsstm ntwicklt. Dvon zugn uch di viln Büchr, di virtljährlich rschinnd Fchzitschrift MATHEMATICA- Journl (mit nun Pckgs) und jährlich Fchtgungn Bnutzrobrfläch Nch dm Strt von Mthmtic wird ds folgnd Fnstr sichtbr: Abbildung-: Bnutzrobrfläch von Mthmtic In dr linkn Sit wird ds Mthmtic Notbook göffnt, ds ls Eingbfnstr dint. Di Bsic Mth Assistnt bfindt sich untr dr Mnü Pltts, di im Mthmtikuntrricht für di Formlingb öftrs vrwndt wird. Rchts bfindt sich ds Willkommnsfnstr, wlchs Such von Funktionn und untrschidlich vil Bispil nch dn Thmn rmöglicht. Diss Fnstr vrwist uf in kurzs Vido-Tutoril..3.. Arithmtisch Brchnungn Wir könnn uns Mthmtic ls inn hrvorrgndn Tschnrchnr vorstlln, ds uch mit Zhln blibigr Präzision (Brchnungn mit dn Zhln bis sind fhlrlos) umghn knn. Zusätzlich bfindt sich in Mthmtic in umfssnd Smmlung höhrr mthmtischr Funktionn 5

26 von lliptischn Intgrln, kompln Bssl-Funktionn, übr hprgomtrischn Funktionn bis hin zu gnzzhligr Fktorisirung. 39 Ein wichtigr Hinwis: di Nmn llr Kommndos, vordfinirt Funktionn und Konstntn bginnn mit inm Großbuchstbn. Ds Argumnt inr Funktion wird in ckig Klmmrn ingschlossn. Nch dm Eingbn dr Zhln (Input) zu Mthmtic Notbook, führt Mthmtic di Brchnungn durch Drückn Shift + Entr us. Dr Krnl führt di Brchnungn mit disr Kommndokombintion durch, dnn rschinn di Lösungn in inm ignn Brich (Output). Mit infchn Brchnungn bginnn wir di rithmtischn Fähigkitn von Mthmtic zu ntdckn. Grundrchnungn wrdn wi gwohnt mit dr Eingb +, -, *, / usgführt. Sttt * wird Multipliktion durch in Lrzichn usgführt, wi uch in dr Mthmtic-Ausgb bschribn wird. Wir tippn dn Input *3 + 4 in, dnn drückn wir Shift + Entr; Mthmtic ntwortt mit dm Ergbnis 10. Di nächst Brchnung zigt, dss Mthmtic mit dm Zichn ^ Potnzn rchnt: Für di numrisch Ausgb bnutzt mn ds Kommndo N[ ], wobi [%%] ds Zichn für di vorltzt Ausgb und [%] für di ltzt Ausgb ist: Folgnds Bispil stht für di numrisch Brchnung von 3 mit 50 Stlln: 39 vgl. WOLFRAM S. Mthmtic Ein Sstm für Mthmtik uf dm Computr, 199. S. 6

27 Ebnso infch ist s di 4.Potnz inr kompln Zhl zu brchnn: Mthmtic knn mit dn grundlgnd Konstntn und Funktionn problmlos rbitn, wi z.b. dr ulrschn Zhl, trigonomtrischn Funktionn, Logrithmus (hir ist Log gmint, ws dn ntürlichn Logrithmus bdutt. Ln istirt nicht in Mthmtic). Dbi sind inig Zichn für mthmtisch Konstntn rsrvirt: In dm Bispil müssn wir N nwndn, dmit di numrisch Auswrtung von Log[π] brchnt wrdn knn. Di Gnuigkit ds Rsultts möchtn wir jtzt stigrn: Mthmtic knn sowohl Glichungn ls uch Glichungssstm lösn. Glichungn wrdn in Mthmtic mit Hilf von == inggbn, ds infch = vrwndt mn für di Wrtzuwisung. Dr Bfhl Solv stht für ds Lösn inr Glichung odr uch ins Glichungssstms. Nch dr Eingb dr Glichung muss noch di Vribl nggbn wrdn, nch dr ds Glichungssstm glöst wrdn soll. Ältr Mthmtic-Vrsionn wrn wdr nltisch noch numrisch in dr Lg, di vrglichswis primitiv Glichung Sin[]==Cos[] zu lösn, di di 7

28 kt Lösung Pi / 4 ht. Gnu gnommn gibt s unndlich vil Lösungn: Pi / 4 + n Pi. Mthmtic ist grundsätzlich nicht in dr Lg, mit solchn Lösungsvilfltn zu rbitn; findt br doch di zwi Lösungn Pi / 4 und -3 Pi /4. 40 Solv findt für di obig Glichung kin Lösung, wohl br FindRoot. In dm Bfhl FindRoot muss in rstr Strtwrt für di gsucht Vribl nggbn wrdn. Ein Lösung ligt in dr Näh -6: Im virtn Kpitl bschäftign wir uns mit dr Brchnung dr Schnittpunkt vrschidnr Kurvn durch ds Lösn von Glichungssstmn. In inm Glichungssstm wist mn häufig inn bstimmtn Wrt zu. In dm ltztn Bispil wird ls Lösung ds Glichungssstms { } usggbn. Di glich Schribwis bnutzt mn bi dr Substitutionsrgl. Di Substitutionsrgl funktionirt mit /. Hir wurd für dr Wrt 7 in dn Ausdruck 3-5 ingstzt. Ds Ergbnis ist 16. Folgnds Bispil zigt, wi dr numrisch Wrt von Cos( Cos( )) brchnt wrdn knn. 40 KOFLER M. Mthmtic (Einführung und Litfdn für dn Prktikr); 199. S. 96 8

29 Mthmtic ht spzill Bfhl für vil Artn ktr Brchnungn mit gnzn Zhln. Mit dm Kommndo FctorIntgr rhält mn di Fktorn inr gnzn Zhl. Mit? bzw.?? knn mn jdrzit in kurz Bschribung ds Kommndos zusmmn mit inm Vrwis ins Hndbuch rhltn, in dm oft uch Bispil zu findn sind. Mthmtic vrwndt Listn, um mhrr Elmnt zu gruppirn. Listn wrdn durch gschwift Klmmrn zusmmngfsst. Di Grundrchnrtn rfolgn lmntwis in Listn. Dshlb knn mn sich Listn von Zhln ls Vktorn und Listn von Listn ls Mtrizn vorstlln: Ds Sklrprodukt dr Vktorn bkommt mn mit Hilf ins Punkts zwischn dn Listn: Di nächst Brchnung ist ds Kruzprodukt dr dfinirtn Vktorn u und v: Ein Mtri wird ls List von Listn dfinirt: 9

30 Dr Bfhl //MtriForm lifrt di Mtri in dr bknntn Schribwis. Dr Bfhl Tbl rzugt Wrttblln und ist dmit in ndr Möglichkit zum Erstlln inr Mtri: Mthmtic ht spzill Bfhl zur Brchnung ndrr klssischr Brchnungn n Mtrizn. IdntitMtri[n] lifrt in Einhitsmtri dr Größ n und Invrs[m] brchnt di Invrs. n-t Potnz inr Mtri, Trnsponirt, Eignwrt und Eignvktorn könnn uch mit spzilln Bfhln brchnt wrdn. Hir wird di Dtrminnt von Mtri t brchnt: Dis ist in Bispil zur Mtrizn-Multipliktion. Mit inm Punkt zwischn dn Mtrizn rzilt mn ds Ergbnis:.3.3. Smbolisch Brchnungn Mthmtic knn nicht nur mit Zhln, sondrn uch mit Smboln rbitn: 30

31 Prmuttions lifrt di schs möglichn Prmuttionn dr Elmnt, und z: Simplif lifrt ds vrinfcht Ergbnis: NstList[Sin,, 3] rzugt in List sukzssiv vrschchtltr Sinus- Funktionn. Dmit mn di vrschchtltn Sinus-Funktionn drstlln knn, wird Plot mit dr Kombintion ds Kommndos Evlut vrwndt. Spätr wrdn vilfältig Anwndungn von Plot-Kommndo dmonstrirt wrdn. Mp gibt di nggbn Funktion für jds Elmnt in inr List zurück. 31

32 Einr Funktion knn dr Wrt f zugwisn wrdn und nchhr knn dis Funktion nch intgrirt wrdn: Witrs könnn wir di ltzt Ausgb mit dm % prktisch diffrnzirn: Diss Ablitung knn Mthmtic noch vrinfchn:.3.4. Als Visulisirungswrkzug Mthmtic knn sowohl zwi- und dridimnsionl Grfik ls uch Konturund Dichtdigrmm rzugn. Funktionn sowi Dtnlistn könnn gzichnt wrdn, wobi vil Optionn zur Sturung dr Grfikusgb ngbotn wrdn. Zum Bispil stllt Mthmtic in dri Dimnsionn-Grfik Schttirung, Frb, Bluchtung, Obrflächnglnz und ndr Prmtr zur Vrfügung. In viln Mthmtic-Vrsionn könnn uch nimirt Grfikn rstllt wrdn. Mthmtic vrfügt übr in grfisch Sprch, dis rmöglicht di grfisch Drstllung von primitivn Objktn, wi zum Bispil Würfln, Polgonn und Krisn, di mitinndr kombinirt wrdn könnn vgl. WOLFRAM S. Mthmtic Ein Sstm für Mthmtik uf dm Computr, 199. S. i 3

33 Witghnd Informtionn übr Bfhl und ihr Optionn knn mn sowohl in Mthmtic; Ein Sstm für Mthmtik uf dm Computr von Stphn Wolfrm[199] ls uch im Documnttion Cntr von Mthmtic rhltn. Mthmtic stllt in Vilzhl vrschidnr Möglichkitn zum Erstlln von Grfikn zur Vrfügung. Folgnd Bispil dmonstrirn di huptsächlichn Bfhl und ihr Optionn. Dr rst disr Bfhl ist Plot, dr in odr mhrr Funktionn uf inm rlln Intrvll drstllt. Dis ist dr Grph dr Funktionn Sin[] und Cos[], wobi dr Wrtbrich für di Vribl {- Pi, Pi} ist: Mthmtic umfsst untrschidlich Grfik-Optionn, di vil Möglichkitn zum Fstlgung vom Ausshn inr Grfik bitn. Ltzts Bispil wird durch inig Optionn rstllt: 33

34 Dis ist in ndr Vrsion: RgionPlot zigt dn Brich, wo di Aussgn richtig sind: PolrPlot rzugt in Polr-Kurv ds Rdius r ls Funktion ds Winkls t. In folgndm Bispil wurdn Polr-Kurvn von 4/( Cos[ t]) und 4Cos[ t] drgstllt, wobi dr Wrtbrich von t {0, Pi} usgwählt wird. 34

35 Mthmtic knn uch prmtrisch Kurvn rstlln. Hir wurdn mhrr prmtrisch Kurvn zusmmngzichnt, und zwr von Tn [u] und von Tn [ u] sind. Plot3D rstllt in dridimnsionl Grfik inr Funktion von Vribln. Dis ist in dridimnsionl Zichnung dr Funktion Sin[ 4]. Es gibt vil Optionn für dridimnsionl Grfik. Einig Optionn für dridimnsionl Grfikn sind nlog zu dnn für dn zwidimnsionln Fll. 35

36 PrmtricPlot3D rstllt in prmtrisch Grfik inr dridimnsionln Kurv. Diss Kommndo rzugt in Obrfläch sttt inr Kurv. Es knn uch di Obrfläch mhrrr Kurvn rstlln, wi s im Bispil drgstllt ist. Hir sind di Funktionn Sin [t], Sin [ t] Sin[u ] und Cos [ u] Sin[t ] drgstllt. ContourPlot lifrt in Schichtnlinindigrmm, d.h. in topogrphisch Krt" inr Funktion. Di Schichtnlinin vrbindn Punkt dr Obrfläch, di dislb Höh hbn: 36

37 Dichtdigrmm, di mit dm Kommndo DnsitPlot rzugt wrdn, zign di Wrt Ihrr Funktion in inm rglmäßign Punktrr, wobi hllr Brich höhr lign:.3.5. Als Progrmmirsprch Mthmtic ist in umfngrichs Sstm. Diss Computrlgbr-Sstm fördrt ds Schribn von Mthmtic-Progrmmn, um spzill Problm mit Mthmtic zu lösn. Mthmtic untrstützt vrschidn Artn dr Progrmmirung. Ein dvon ist di prozdurl Progrmmirung, di im Prinzip mittls do, for usw. gschribn wird. Ein witr ist funktionl und rglbsirt Progrmmirung, di ffizintr und infchr zu vrsthn ist. 4 4 vgl. WOLFRAM S. Mthmtic Ein Sstm für Mthmtik uf dm Computr, 199. S. 37

38 Folgnd infch Progrmmirbispil 43 solln kurz in di Vrwndung von Mthmtic ls Progrmmirsprch inführn. Sttt dr llgminn Schlifn for, do und whil könnn uch spzilisirt Oprtionn wi Tbl, Mp, Nst odr Appl vrwndt wrdn: Ds ltzt Bispil zigt, dss di If-Anwisung in ähnlich Funktion ht, wi in ndrn Progrmmirsprchn. 43 Zntrum für Astronomi, Univrsität Hidlbrg. Kompktkurs Mthmtic. S. 8-9 Url: [ , 16:50 Uhr] 38

39 .3.6. Als Dokumntnvrrbitungssstm 44 Mthmtic dint uch ls Dokumntnvrrbitungssstm mit zwi vrschidnn Intrfcs: Di ttorintirt Schnittstll und di Notbook- Schnittstll. Mit inr ttorintirtn Schnittstll führt mn dn Dilog dirkt mit dm Krnl von Mthmtic durch Eintippn von Tt uf dr Tsttur. Dis Schnittstllnrt findt mn uf inign Computrsstmn, di z.b. untr dm Btribssstm Uni lufn. Es ist wichtig zu bchtn, dss zwr di ttorintirt Schnittstll dn Zugriff uf di mistn Funktionn vom Krnl rmöglicht, br Grfikn und dnmisch Intrktivitätn von dr Notbook-Schnittstll nicht zulässt. Ein ndr Schnittstllnrt ist di Notbook-Schnittstll, di in spzill grfisch Bnutzrobrfläch ist. Notbooks sind intrktiv Dokumnt, in dnn mn sowohl Mthmtic-Input ls uch gwöhnlichn Tt und Grfik mitinndr kombinirn knn. Notbooks bitn di Möglichkit mittls ins Ziggräts wi tw inr Mus in Auswhl nzuzign. In inm Notbook wrdn ll Mtriln ls Folg von Zlln orgnisirt. Wnn di Eingb n Mthmtic übrgbn wird, rzugt Mthmtic utomtisch in nu Zll für dn Output. Notbooks-Zlln könnn hirrchisch in Gruppn ngordnt wrdn. Mit Hilf disr Gruppnnordnung knn mn vrwndts Mtril knnzichnn. Di Zllstruktur ins Notbooks wird durch in ckig Klmmr m rchtn Bildschirmrnd ngzigt. Notbook-Schnittstlln bitn vrschidn Hilfn, um dn Aufwnd bi dr Eingb von Mthmtic-Input zu vrmindrn. Ein Stndrd-Hilf ist di Vrvollständigung von Bfhln. 44 vgl. WOLFRAM S. Mthmtic Ein Sstm für Mthmtik uf dm Computr, 199. S. 44 und 61ff. 39

40 Abbildung-3: Tt Erzugn im Mthmtic In dr Notbook-Schnittstill könnn di Dokumnt mit dr Whl ins Stlshts in vrschidnn Formtn rzugt wrdn. Stlshts bsitzn in Vilflt von Schriftrtn, Hintrgrundfrbn, Strichdickn, Bschriftungn usw. Dis Stlshts sind n di ignn Bdürfniss npssbr. Witrs knn mn in inr inzlnn Zll mhrr Stil mischn. Mit dr Vrwndung von Übrschriftn rhält mn in Glidrung sins Dokumnts. Es ist uch möglich, in Zllngrupp zu schlißn. Dnn wird nur di Übrschrift sichtbr. Di Dokumnt könnn in vrschidnn Formtirungn rzugt wrdn, z.b Bildschirm, Präsnttion odr Ausdruck..4. Vor- und Nchtil von Mthmtic Hut spiln Computrlgbr-Sstm in zunhmnd Roll für di Schul, Ausbildung und Studium. Di Bispil für di häufigstn vrwndtn Computrlgbr-Sstm sind DERIVE, MAPLE, MuPAD, Mthcd, wmim und MATHEMATICA. Wnn di Mächtigkit disr Progrmm n dn vrschidnn mthmtischn Gbitn vrglichn wird, ist s offnsichtlich, dss s kin prfkts Progrmm gibt. Jds Progrmm ht 40

41 sin ignn Vor- und Nchtil. Einig Progrmm sind in smbolischr Brchnung stärkr, z.b. Mthmtic, MuPd und Mpl. Widrum knn mn di Progrmm Mtlb, Octv bi numrischn Brchnungn odr bi linrn Sstmn libr vrwndn. Di Vortil von Mthmtic Mthmtic ist in listungsfähigs Progrmm und bitt wirklich umfssnd mthmtischn Möglichkitn n. Dr Bnutzr odr di Bnutzrin knn mit Hilf von Pltts uf di mthmtischn Smbol zugrifn, z.b. Intgrl, Summn, Limits, Brüch. Auch Mtrizn, grichisch Buchstbn, Sondrzichn für Mngn u.ä. sind durch Klickn vrfügbr. 45 Mn ht di Möglichkit sin Arbit zu dokumntirn und mit dr Vrwndung von Writing Assistnt in Vilflt von Stlshts rzugn. Mthmtic stllt Listn nur untr Vrwndung von gschwiftn Klmmrn dr. Als in Ggnbispil gibt s in Mpl vir vrschidn Dtntpn (Listn, Mngn, Fldr und Tblln). Mthmtic ht lso in modrnrs, infchrs und inhitlichs Listnkonzpt zur Drstllung von Dtn. 46 Mthmtic bitt unübrtroffn Grfikmöglichkitn. 47 Ein konkurrnzloss Angbot von Zustzpktn zu dn untrschidlichstn mthmtischn Anwndungn wird zur Vrfügung gstllt. 48 Vrfügt übr modrn inhitlich Snt für di Kommndos vgl. Url: [ , 1.45 Uhr] 46 vgl. Bnkr H. Mthmtik mit dm PC, S O. 48..O. 49..O. 41

42 Nchtil von Mthmtic: Di Snt von Funktionn und Bfhln ist schwirigr ggnübr ndrn CAS wi z.b. Driv. Mthmtic ist in kommrzills Produkt. Für Schuln und Hochschuln gibt s Rhmnbkommn zum Kuf von Liznzn, so gnnnt Clssroomliznzn. 50 Witr Nchtil sind: 51 Mthmtic ist in groß Softwr, us dism Grund bnötigt s inn großn Huptspichr (Bsondrs di notbook-orintirt Vrsion). Es läuft lngsm bi inm klinn Spichr. Di Größ dr Ergbniss, dr Zwischnrgbniss, di Rchnzit sind mist nicht vorhr zu bstimmn. Bi inr Rchnung ist in Huptproblm von Mthmtic di Größ dr uftrtndn Zwischnrgbniss; so trtn bi klinn Ausgngsgrößn und inm klinn Endrgbnis licht Zwischnrsultt uf. Dis Zwischnrsultt sind größr ls di miml drstllbr Zhl in trditionlln Computrsprchn. Einig Bispil, wlch di Listungsfähigkit von Mthmtic übrschritn, sind tw: 5 Arithmtik mit Zhln Entwickln von Polnomn mit mhr ls Trmn Fktorisirn von Polnomn in 3 Vribln mit inign hundrt Trmn fch Rkursion numrisch Invrsion inr Mtri 50 Sih für di dtillirt Informtionn: [ , Uhr] 51 vgl. Einführung in Mthmtic. S. 1 Url: [ , Uhr] 5 vgl. Einführung in Mthmtic. S. Url: [ , Uhr] 4

43 3. Mthmtisch Hintrgründ zu Schnittpunkt vrschidnr Kurvn Zil diss Kpitls ist s, di mthmtischn Hintrgründ zu Schnittpunkt vrschidnr Kurvn zu bschribn. Di Brchnung von Schnittpunktn ist in tpisch Aufgbnstllung dr Anltischn Gomtri. D dr Schnittodr Brührungspunkt von zwi Kurvn di gminsm Lösung dr Glichungn disr bidn Kurvn ist, bnötign di Schülr und Schülrinnn Knntniss übr Glichungssstm. Minr Ansicht nch muss dhr di Lhrprson dis mthmtischn Hintrgründ rnut vrmittln, bvor di Bispil im virtn Til bhndlt wrdn Linr Glichungn Linr Glichungn wrdn bnötigt, um prktisch Problm (Tchnik, Wirtschft, Ntur...) odr uch Frgstllungn im lltäglichn Lbn mthmtisch drstlln bzw. modllirn und lösn zu könnn. 53 Aus dr Volksschul knnn ll Schülr und Schülrinnn Aufgbn wi dis: 17 = 31. In dn Kästchn soll mn di richtig Zhl hininschribn. Ds Kästchn nnnt mn inn Pltzhltr, wil s dn Pltz für in bstimmt Zhl fri hält. Üblichrwis wrdn in dr Mthmtik sttt dm Kästchn Buchstbn (z.b.,, z ) ls Pltzhltr für di unbknntn Zhln vrwndt. Ein solchr Ausdruck wird ls Glichung mit inr Unbknntn bzichnt SCHREINER. Von dr linrn Glichung bzw. Unglichung zur linrn Optimirung im Mthmtikuntrricht untr Einstz ds Computrs. Diplomrbit dr Univrsität Win, 009. S vgl. REICHEL, LITSCHAUER, GROSS. Lhrbuch dr Mthmtik 1, S

44 Um dn Wrt dr Unbknntn zu findn, muss mn di Glichung lösn. All Elmnt dr Dfinitionsmng dr Glichung wrdn gsucht, wlch di Glichung rfülln. Di Lösungn wrdn mit Hilf dr Lösungsmthodn brchnt, wi zb ds Probirn, ds grphisch odr numrisch Nährungsvrfhrn. 55 Di Mng llr Lösungn, wlch di Glichung rfülln, dfinirt mn ls Lösungsmng. Äquivlnzumformungn wrdn bnutzt, um in Glichung in in infchr Glichung mit dr glichn Lösungsmng übrzuführn. Ein Äquivlnzumformung ist di Addition odr Subtrktion ds glichn Trms uf bidn Sitn. Wnn mn uf bidn Sitn mit dm glichn Trm multiplizirt odr durch dn glichn Trm dividirt, rhält mn widr in äquivlnt Glichung. Bi dr Multipliktion odr dr Division muss vorusgstzt wrdn, dss dr Trm nicht dn Wrt 0 ht. Äquivlnzumformungn führn nicht immr zur Lösung. Nch dm Tp dr Glichung knn s nötig sin, bid Sitn inr Glichung zu qudrirn odr uf bidn Sitn di Qudrtwurzl zu zihn. Bid Umformungn sind kin Äquivlnzumformungn. 56 Ein Glichung vom Tp + b = 0 mit, b, 0 bsitzt in im b Allgminn gnu in Lösung, nämlich. Wnn di Dfinitionsmng von vrschidn ist, knn di Lösungsmng dr linrn Glichung di lr Mng sin Linr Glichungssstm mit zwi Vribln Ein Glichung dr Burt b c, wobi, b, c, und b nicht zuglich null sind, hißt linr Glichung mit zwi Vribln und. Im Fll c 0 hißt di Glichung homogn, im Fll c 0 inhomogn vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S vgl...o. S vgl...o. S

45 Di Lösungn inr Glichung mit zwi Vribln bsthn us Zhlnprn ( ). Durch Probirn könnn unndlich vil Zhlnpr gfundn wrdn, di dis Glichung rfülln. Um in gnu Lösung zu rhltn, brucht mn zusätzlich Bdingungn gstllt, di uch rfüllbr sind. Durch Hinzunhm zusätzlichr Bdingungn ntstht in linrs Glichungssstm. Währnd in linr Glichung + b = 0 gnu in Lösung (Punkt) in bsitzt, ht in linr Glichung + b = c in Mng von Punktn ls Lösungn im, drn Koordintn di Glichung rfülln. Di Punktmng wird ls Grd im zwidimnsionln Vktorrum bzichnt. Di Lösungn inr linrn Glichung + b + cz = d wird im dridimnsionln Vktorrum Ebn gnnnt Algbrischs Lösn linrr Glichungssstm All lgbrisch Vrfhrn, um in linrs Glichungssstm zu lösn, bruhn druf, us dn n Glichungn mit n Unbknntn in Glichung mit inr Unbknntn zu mchn. Es gibt dbi dri lgbrisch Vrfhrn: Ds Glichstzungsvrfhrn ( Komprtionsvrfhrn) Bispil: Lös mittls ds Glichstzungsvrfhrns für G =! I: + = -1 II: 3 + = -5 Lösung: I`: = -1 II`: = 5 3 Di Glichungn I und II wrdn nch ufglöst. D di bidn linkn Sitn disr umgformtn Glichungn übrinstimmn, müssn uch di rchtn 58 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S vgl. SCHREINER. Von dr linrn Glichung bzw. Unglichung zur linrn Optimirung im Mthmtikuntrricht untr Einstz ds Computrs. Diplomrbit dr Univrsität Win, 009. S

46 Sitn übrinstimmn; somit könnn di rchtn Sitn dr Glichungn inndr glichgstzt wrdn. Ddurch rduzirt sich di Aufgb uf ds Lösn inr Glichung mit inr Vribln 60 : 5 3 = = - = -3 Durch Einstztn ds Wrts von in in dr ggbnn Glichungn rhält mn dn Wrt von : I : = -1 (-3) = L = {(-3 )} Ds Einstzungsvrfhrn ( Substitutionsvrfhrn) Ds Glichstzungsvrfhrn bruht - kurz gsgt - druf, Glichs glichzustzn. Ebnso knn mn in Glichungn Glichs durch Glichs rstzn. Druf bruht in zwits Vrfhrn, wlchs ds Lösn ins linrn Glichungssstms mit zwi Vribln uf ds Lösn inr linrn Glichung mit inr Vribln zurück führt. 61 Wir lösn ds vorig Bispil durch ds Einstzungsvrfhrn: Lösung: I`: = -1 II: 3 + = -5 Ein dr Glichungn (hir di Glichung I) wird in di Huptform = k + d umgformt, und di so rhltn Glichung wird in di ndrn Glichung ingstzt. Ddurch ntstht in linr Glichung mit inr Vribln, nämlich : 3 + (-1-) = -5 3 = -5 = -5 = vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S O. S

47 Aus disr Glichung wird dr Wrt von rrchnt, ds Einstzn ds Wrts von in in dr ggbnn Glichungn lifrt dn Wrt von : I`: = -1 (-3) = L = {(-3 )} Ds Additionsvrfhrn ( Guss`schs Elimintionsvrfhrn) Bispil: Lös mittls ds Additionsvrfhrns für G =! Lösung: I: + = -1 II: 3 + = -5 I`: - - = II: 3 + = -5 Di Glichung I wird mit - multiplizirt, dmit di Koffizintn dr Vribln in dn Glichungn I` und II btrgsglich wrdn, br vrschidn Vorzichn rhltn. Bim Addirn dr bidn Glichungn wird in Unbknnt (hir ) liminirt. Drus folgt in linr Glichung, wlch nur noch di Vribl nthält: I`: = -1 (-3) = L = {(-3 )} All Vrfhrn lssn sich in nlogr Wis durchführn: Bim Glichstzungsvrfhrn und Einstzungsvrfhrn könnn bid nggbnn Glichungn nch ufglöst wrdn. Bim Elimintionsvrfhrn knn mn sttt gnuso di Vribl ntfrnn. 47

48 3... Grphischs Lösn linrr Glichungssstm Wi knn mn ds obn glöst Bispil gomtrisch intrprtirn? Wir ghn widr von unsrm Bispil us: I: + = -1 II: 3 + = -5 Es ist bknnt, dss di zu findndn Lösungn für und bid Glichungn glichzitig rfülln müssn. Jn Punkt im, di di Glichung + = -1 rfülln, lign uf inr Grdn (bn uf dr Grdn mit Glichung + = -1). Jn Punkt, di di Glichung 3 + = -5 rfülln, lign uf dr Grdn mit dr Glichung 3 + = -5. Di Lösungsmng ds Glichungssstms nthält ll Punkt, di uf bidn Grdn lign. Wnn di bidn Grdn nicht prlll sind, so gibt s gnu inn Punkt, dr uf bidn Grdn ligt, nämlich dn Schnittpunkt dr bidn Grdn. Disr Schnittpunkt ist in dism Bispil dr Punkt (-3 ). 6 Es ist nützlich, di Lösung ds linrn Glichungssstms mit Mthmtic drzustlln. Nchdm di Glichungn grfisch drgstllt wrdn, wird s offnsichtlich, dss di Grdn inn Schnittpunkt hbn. Mit dr Drstllung könnn wir glich bginnn. Hir vrwndn wir ds Plot- Kommndo (ds Plot-Kommndo ist nicht di inzig Möglichkit, z.b. knn uch ImplicitPlot vrwndt wrdn. Vor dr Vrwndung muss mn diss Kommndo mit Nds ldn. Sih Kpitl ), dswgn müssn wir di Glichungn umformn, d.h. nch uflösn: 6 AICHINGER, MAYR. Untrlgn zur Vorlsung Algbr, 007. S

49 Di Glichungn findn Si untn grfisch drgstllt, mit dr Mrkirung ds Schnittpunkts, d disr brits brchnt wurd. Ds obig Glichungssstm wr indutig lösbr und di Lösungsmng bstht us inm Punkt. Di Glichungssstm sind br nicht immr indutig lösbr. Bim Lösn ins Glichungssstms in dr Grundmng G könnn dri vrschidn Lösungsfäll intrtn. Dr Huptfll ist, dss di Grdn inndr in inm Punkt schnidn. Außr dm Huptfll knn ds Glichungssstm ntwdr unlösbr sin, d.h. di Lösungsmng ist lr. Es si dnn, ds Glichungssstm ist mhrdutig lösbr, dmzufolg ist di Lösungsmng unndlich. Folgnd Bispil dmonstrirn dis Sondrfäll: Bispil 63 : Suchn Si ll Lösungn ds Glichungssstms! I: + 3 = -1 II: -3-9 = Lösung: Di Glichung I multiplizirt mn mit 3, dnn rhält mn = -3. Nch dm Prinzip vom Additionsvrfhrn ddirt mn bid Glichungn, dnn ntstht in Glichung 0 = -1. Dis Aussg ist immr flsch, dhr ht ds Glichungssstm kin Lösung. Di Lösungsmng ist lr. Ds siht mn uch mit Hilf von Mthmtic: 63 AICHINGER, MAYR. Untrlgn zur Vorlsung Algbr, 007. S

50 Um dis grfisch drzustlln wrdn di Glichungn umgformt: Dis umgformtn Glichungn knn mn mit dm Kopirn-Einfügn prktisch in di Input-Zil infügn. D ds Glichungssstm unlösbr ist, hbn di bidn Grdn kinn gminsmn Punkt. Wi di Zichnung zigt, sind si zwi prlll Grdn. Bispil 64 : Lös fürg! I: + 4 = 9 II: - - = -4,5 Lösung: Di Glichung II multiplizirt mn mit, dnn ist di umgformt Glichung = -9. Bim Addirn von bidn Glichungn rhält mn di Glichung 0 = 0. Jdr Punkt ( ), dr di rst Glichung rfüllt, ist uch in Lösung ds Sstms, d.h. s gibt unndlich vil Lösungn für diss Glichungssstm. In dism Fll sgt mn, dss di Grdn idntisch sind. 64 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S

51 Mthmtic lifrt kin Ergbnis für diss Glichungssstm: Um ds Ergbnis grfisch zu übrprüfn, wrdn di Glichungn umgformt: Im Bildschirm rschint nur in Grd. Wnn mn uf di Grd dopplklickt und di Grd vrschibt, dnn siht mn, dss untrhlb noch in Grd vrstckt ist. 51

52 Im Mthmtik Lhrbuch 5 65 wurdn di Lösbrkitskritrium für linr Glichungssstm mit zwi Glichungn und zwi Vribln bschribn, ws ds Mrkn dr inzlnn Fäll rlichtrt: Ein linrs Glichungssstm mit zwi Vribln ist für G gnu dnn indutig lösbr, wnn di homognn Glichungn nicht proportionl sind, unlösbr, wnn di homognn, nicht br di inhomognn Glichungn proportionl sind, mhrdutig lösbr, wnn di inhomognn Glichungn proportionl sind. Minr Ansicht nch ist s hir notwndig drn zu rinnrn, dss in Glichung in dr Form + b = c homogn hißt, wnn c = 0 ist. Im Fll c 0 hißt di Glichung inhomogn Qudrtisch Glichungn Qudrtisch Glichungn mit inr Vribln sind ähnlich wi linr Glichungn, hbn jdoch zusätzlich inn qudrtischn Antil (odr in qudrtischs Glid), dr ihr Chrktristikum für dn zwitn Grd ist. Ihr llgmin Form lutt: + b + c = 0, b, c ; 0 Ein qudrtisch Glichung knn kin, in, zwi odr gnz ls Lösungsmng in bsitzn. 66 Im Allgminn knn mn vrschidn Lösungsmthodn vrwndn, wnn di Koffizintn b odr c dn Wrt 0 hbn. Allrdings knn mn di Groß Lösungsforml in jdm Fll vrwndn, uch wnn z.b. b und c nicht glich Null sind. J nch dm Fll knn mn di günstigst Lösungsmthod wähln, wi in dn Bispiln dmonstrirt wird. 65 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S vgl. SCHILLY H. Glichungn & Unglichungn, Glichungssstm, 006. S.3 5

53 Bispil zum Fll b = 0: Lös di Glichung 5-80 = 0 in! 67 Lösung: Solch Glichungn könnn nch inr dr bidn folgndn Mthodn glöst wrdn: I. Mthod: 5-80 = 0 :5-16 = = 16 1 = 4, = -4 II. Mthod: 5-80 = 0 :5-16 = ( 4)( + 4) = 0 4 = = 0 1 = 4 = -4 Di Mthod I ist bidsitigs Wurzlzihn und si lifrt nur in - di positiv Lösung - 1. Di ngtiv Lösung rhält mn us dr Übrlgung: Sowohl ls uch rgbn bim Qudrirn. Di Mthod II ist di Zrfällungsmthod und vrwndt di Forml ( - b) = ( + b)( b). Mit disr Zrfällungsmthod spltt mn di nggbn qudrtisch Glichung in zwi linr Glichungn uf, drn Lösungn di Lösungn dr qudrtischn Glichung sind. Zrfälln ist in Äquivlnzumformung im Ggnstz zum bidsitign Wurzlzihn GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S

54 Lösung mit Mthmtic: Aus dr Zichnung wird sofort rsichtlich: Di zughörig Funktion = 5-80 bsitzt zwi Nullstlln, d.h. zwi Schnittpunkt mit dr -Achs. Bispil zum Fll c = 0: Lös di Glichung = 0! 69 Lösung: Diss Bispil wurd widr mit zwi üblichn Lösungsmthodn glöst. I. Mthod: = 0 : = = -6 : 3 = - L = {-} II. Mthod: = 0 ( + 6) = 0 = = 0 1 = 0 = - L = {0; -} Bi dr I. Mthod dividirt mn di qudrtisch Glichung durch, dnn rhält mn in linr Glichung, di nur in Lösung ht. Bi dr II. Mthod zrfällt mn di qudrtisch Glichung in zwi linr Glichungn durch ds Hrushbn von. Dis Mthod lifrt bid Lösungn. Hrushbn dr 68 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S O. S

55 Vribln ist Dividirn. 70 in Äquivlnzumformung im Ggnstz zum bidsitign Lösung mit Mthmtic: Di llgmin Vorghnswis ist di, dss Zil für Zil Äquivlnzumformungn gmcht wrdn. Dbi ist zu bchtn, dss di Lösungsmng kt dislb blibt. Ist ds nicht zu 100% gwährlistt, muss in Flluntrschidung gmcht wrdn, m Schluss durch in Prob di Lösung vrifizirt odr dr Schritt vollständig vrworfn wrdn. Di Bsisschritt sind glichzitigs ddirn odr subtrhirn, multiplizirn odr dividirn von Wrtn uf bidn Sitn dr Glichungn. Dbi ist zu bchtn, dss zum Bispil nicht durch 0 dividirt odr mit dr Vribln multiplizirt wrdn drf. Hir folgt in Auswhl von Umformungn, di kin Äquivlnzumformungn sind: Division durch 0 ist nicht dfinirt Multiplizirn mit dr Vribln knn zusätzlich (flsch!) Lösungn rzugn Wurzlzihn knn di Lösungsmng vrklinrn 70 vgl...o. S

56 Multiplizirn mit 0 lässt bid Sitn 0 wrdn. Ds ist dnn zwr immr richtig, ht br kinn Sinn, wil di Informtion dr Glichung vrlorn ght. 71 Bispil zum Fll, b und c 0: Lös di Glichung = 0! Lösung: Diss Bispil wird mit dr Mthod ds Ergänzn uf in vollständigs Qudrt glöst. Disn Trick knn mn zum Lösn dr llgminn qudrtischn Glichung vrwndn = 0 : = = ( 3) = 5 3 = ±5 +3 = 3 ± 5 1 = 8 = - In dism Vrfhrn wird di link Sit zu inm vollständign Qudrt rgänzt und dnn ls Qudrt ngschribn. Dr nächst Schritt ist ds Wurzlzihn untr Bchtung bidr Vorzichn. Nch dr Auswrtung von bidn möglichn Fälln bkommt mn zwi Lösungn. Di Möglichkit, in gignt Ergänzungszhl zu findn, bstht drin, di ggbn Glichung mit dr bknntn Formln ( b) = - b + b bzw. ( + b) = + b + b zu vrglichn. Also spilt dr Koffizint b in ntschidnd Roll, um in gignt Zhl zu findn. 71 SCHILLY H. Glichungn & Unglichungn, Glichungssstm, 006. S vgl...o. S

57 Lösung mit Mthmtic: Bi Schwirigkitn di gignt Ergänzungszhl zu findn, ist di Groß Lösungsforml immr nwndbr: b b 4c Groß Lösungsforml: + b + c = 0 1,, 0 Dis Glichung kommt so zustnd, dss di Glichung + b + c = 0 zurst vrinfcht und dnn uf in vollständigs Qudrt rgänzt wird. Anschlißnd knn uf bidn Sitn di Wurzl gzogn wrdn und nch inign Umformungn rhält mn di groß Lösungsforml 73 : b c b c b c b ( ) ( ) 1, b b 4 Di Zhl D = b - 4c wird ls Diskriminnt dr Glichung + b +c = 0 dfinirt. Aus D rhält mn di möglichn Lösungsfäll: Wnn D > 0 ist, so ht di Glichung zwi Lösungn. Wnn D = 0 ist, so gibt s in Lösung dr Glichung und wnn D < 0 ist, dnn ht di Glichung kin (rll) Lösung. c 73 SCHILLY H. Glichungn & Unglichungn, Glichungssstm, 006. S.4 57

58 Im Fll D < 0 rhält mn wgn dr Wurzl us inr ngtivn Zhl zwi kompl Lösungn. D s kin (rll) Lösung gibt, bsitzt di zughörig Funktion kinn Schnittpunkt mit dr -Achs. Klin Lösungsforml: Wgn 0 knn mn dis Glichung stts durch dividirn und rhält ls Ergbnis di sognnnt normirt qudrtisch Glichung: 74 p q 0 1, p p q 4 Bispil: (1) Lös di Glichung ( 3) = 4 7 mittls dr Großn Lösungsforml in G = und führ in Kontroll us! () Gib in Grundmng n, in dr di Glichung unlösbr ist! 75 Lösung: 76 (1) = = , 1 Di Glichung ht in in Lösung, di = ist. Gnur sgt mn: Di Glichung ht in di Doppllösung 1, =. Kontroll: Link Sit: = 1 Rcht Sit: 4 7 = 1 () Unlösbr wär di Glichung z.b. in u. 74 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S O. 58

59 Lösung mit Mthmtic: Di Funktion ( 3) = 4 7 wird umgformt, dnn rhält mn di zughörig Funktion = Wi in dr Zichnung rsichtlich, bsitzt dis Funktion in inzig Nullstll, d.h. inn Schnittpunkt mit dr -Achs. Dr Stz von VIETA 77 ist in witr und bknnt Hilf bim Lösn qudrtischr Glichungn. Mit ihm knn mn, in qudrtisch Glichung in linr Trm zrlgn, lso in Form dr Produktglichung )( ) 0 ( 1 drstlln. Bi dr Hrlitung ds Stzs vrwndt mn nicht di Glichung + b + c = 0, sondrn dividirt si durch. Hir sthn 1und für di bidn Lösungn dr Glichung: 78 p q ( )( p q p q ( p 1 1 q ) ) Bispil: Stll di qudrtisch Glichung = 0 in dr Form ( 1 )( ) dr! Frnziscus VIETA ( ), frnzösischr Advokt und Mthmtikr. 78 vgl. SCHILLY H. Glichungn & Unglichungn, Glichungssstm, 006. S vgl. MALLE, RAMHARTER, ULOVEC, KANDL. Mthmtik vrsthn 5, 005. S

60 Lösung: Wil 1und di Lösungn dr Glichung sind, rmittlt mn si zurst mit Hilf dr Lösungsforml: , Di ggbn Glichung lässt sich in dr Form ( 3)( ) = 0 drstlln. Lösung mit Mthmtic: 3.4. Anltisch Glichungn Di durch Schnitt ins grdn Dopplkgls mit inr Ebn ntsthndn (bnn) Kurvn wrdn ls Kglschnitt bzichnt. Untr dr Bzichnung Kglschnitt wrdn Kris, Ellips, Hprbl und Prbl zusmmngfsst. All Kglschnitt könnn durch in lgbrisch Glichung. Grds vom llgminn Tp A + B + C + D + E + F = 0 (1) bschribn wrdn. Di Art und Lg ds Kglschnitts hängt von dr konstntn Koffizintn A, B, C, D und E in dr Glichung b. 60

61 Anhnd disr Koffizintn knn di Art ds Kglschnitts fstgstllt wrdn: 80 Ellips: B < 4AC Hprbl: B > 4AC Prbl: B = 4AC Bwis: 81 Um fstzustlln, ob di Glichung (1) in Ellips, Hprbl odr Prbl drstllt, untrsucht mn ds Vrhltn ggnübr dm Unndlichn. Di Hprbl ht ins Unndlich ghnd Richtungn (di dr Asmptotn), di Prbl ht in solch Richtung (di Achs). Di Ellips dggn ligt gnz im Endlichn. Zur Bstimmung dr Stigung dr durch di Glichung (1) drgstlltn Kurv bi unbgrnzt wchsndr Absziss dividirt mn zunächst di Glichung D 1 F durch und rhält A B C( ) E 0. Strbt tg bi wchsndm inm bstimmtn Grnzwrt zu, dnn ist D 1 F lim A B C( ) E 0. Für wrdn di Glidr mit dn Koffizintn D, E, F glich 0. Dhr sind di Richtungn nch dm Unndlichn durch di Wurzln dr qudrtischn Glichung A + B tgα + C tgα = 0 bstimmt: B tgα= B 4AC C Es gibt dmnch Richtungn ins Unndlich, kin odr nur in, j nchdm B - 4AC größr, klinr odr glich 0 ist. Dhr ist di Glichung.Grds in Ellips, wnn B < 4AC; in Hprbl, wnn B > 4AC und in Prbl, wnn B = 4AC. 80 vgl. TOMASITZ D. Zur Gschicht dr Kglschnitt ls Thm im Mthmtikuntrricht, 008. Diplomrbit dr Univrsität Win. S

62 Obwohl jd llgmin Glichung. Grds A+B+C+D+E=0 sich in in bknnt Kglschnittsglichung übrführn lässt, könnn di Schülr und Schülrinnn mist dn Zusmmnhng zwischn Kglschnittn und Glichungn.Grds nicht rknnn. So schrib Tomsitz in sinr Diplomrbit übr diss Thm: In dr Pris wird br dr Schülr mist nur mit dr bknntn Prblglichung in rstr Huptlg konfrontirt (.Huptlg ls Funktion.Grds). Ebnso ist s schd, dss s shr vil Schülr gibt, di kinn Zusmmnhng zwischn Prbln und qudrtischn Funktionn shn, wil j im Allgminn in solch Funktion im Mthmtikuntrricht vollkommn ndrs ls in Prbl bhndlt wird (Brchnn dr Nullstlln, ds Etrmwrts, tc.)...mn soll in Kpitl nicht vollkommn isolirt btrchtn, sondrn sollt vrsuchn, Bzihungn mit ndrn Brichn hrzustlln, um möglichrwis ddurch ds Vrständnis und Intrss ggnübr dr Mthmtik zu rhöhn Di Glichung ins Kriss Dfinition: Di Mng llr Punkt X (dr Ebn), di von inm ggbnn Punkt M dn Abstnd r hbn, ist di Krislini k mit Mittlpunkt M und Rdius r: k[m;r] = { X XM r } Di bgschlossn Krisschib ist di Punktmng { X XM r } ( Innrs plus Rnd Di offn Krisschib ist di Punktmng { X XM r } ( Innrs ohn Rnd ) TOMASITZ D. Zur Gschicht dr Kglschnitt ls Thm im Mthmtikuntrricht, 008. Diplomrbit dr Univrsität Win. S TOMASITZ D. Zur Gschicht dr Kglschnitt ls Thm im Mthmtikuntrricht, 008. Diplomrbit dr Univrsität Win. S GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

63 63 Krisglichung in Koordintnform: 84 Dr Kris ] ; [ r M k M M wird nggbn. Lut Dfinition dr Krisglichung hbn ll Punkt X von M dn Abstnd r. Wgn M X MX gilt: r M X. Für ll Punkt X( ) inr Krislini gilt dhr: r M M Durch Qudrirn und Zusmmnfssn rgibt sich di llgmin Krisglichung: ) ( r M M Lgt nun jd Glichung dr Form A + A + B + C + D = 0, A 0 inn Kris fst? Um dis Glichung in dr llgminn Krisglichung uszudrückn, dividirt mn zurst di Glichung durch A, dnn rgänzt mn ll Glidr mit und zu inm vollständign Qudrt: 85 0 A A D C B A C A B A D A C A B A C A B A D A C A B Folgnd Ergbniss lssn sich us disr Glichung blsn: Wnn 0 A D C B ist, dnn istirt in Kris mit dm Mittlpunkt. A C A B Wnn 0 A D C B ist, dnn istirt in Punkt. (r = 0) Wnn 0 A D C B ist, dnn istirt kin rllr Kris. (r < 0, r Di Glichung dr Ellips Dfinition: Untr inr Ellips vrstht mn dn gomtrischn Ort llr Punkt, für di di Summ von zwi ggbnn fstn Punktn konstnt glich 84 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S. 166

64 64 ist. Di bidn fstn Punkt sind di Brnnpunkt dr Ellips und wrdn mit F 1 und F bzichnt. 86 Abbildung-4: Ellips 87 Aus dr obign Dfinition knn mn di Glichung dr Ellips hrlitn. Für jdn Punkt P( ) inr Ellips, wobi F 1 0 bzw. F 0 sind, gilt: ) ( ) ( ) ( ) ( 1 PF PF 4 ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( 4 Mit Hilf ds Stzs von Pthgors, stzt mn b (vgl. Abbildung-4), dhr rhält mn di Glichung inr Ellips in rstr Huptlg: b b bzw. 1 b D Qudrirn im Allgminn kin Äquivlnzumformung ist, muss mn zign, dss us dr Ellipsnglichung di Brnnpunktsdfinition folgt: Url: [ ; Uhr] 87 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S. 183

65 PF 1 ( ) b 1 ( b) Aus 1 folgt 1 b b ( ) b Dhr ist stts 0 und s ist PF Anlog ist PF und wgn folgt. 1 Insgsmt gilt lso wi bhuptt: PF1 PF ( ) ( ). Wi di Abbildung-4 zigt, hbn di Brnnpunkt und di Punkt dr Ellips folgnd Koordintn: F 1 (- 0), F ( 0), A(- 0), B( 0), C(0 b) und D(0 - b). Nch dr Brnnpunktsignschft dr Ellips gilt insbsondr uch CF1 CF. D ds Drick ( F 1 CF ) glichschnklig ist, gilt CF 1 CF. An dm grünn rchtwinklign Drick (sih Abbildung-4) brchnt mn mit Hilf ds Stzs ds Pthgors: = - b Di Glichung dr Hprbl Dfinition: Untr inr Hprbl vrstht mn dn gomtrischn Ort llr Punkt, für di di Diffrnz dr Abständ von zwi ggbnn fstn Punktn konstnt glich ist. Di bidn fstn Punkt sind di Brnnpunkt dr Hprbl und wrdn mit F 1 und F bzichnt. Ein Punkt P ligt lso uf dr Hprbl, wnn di Bzihung F P F P rfüllt ist. Disr Schvrhlt ist 1 in dr folgndn Abbildung bispilhft für inn Punkt P ngdutt. 89 Aus dr obign Dfinition knn mn di Glichung dr Hprbl hrlitn. Für jdn Punkt P( ) inr Hprbl, wobi F 1 0bzw. F 0 sind, gilt: 89 Url: [ , Uhr] 65

66 66 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 PF PF 4 ) ( ) ( 4 4 ) ( ) ( 4 Mit Hilf ds Stzs von Pthgors, stzt mn b (vgl. Abbildung-5), dhr rhält mn für di Glichung inr Hprbl in rstr Huptlg: b b bzw. 1 b D Qudrirn im Allgminn kin Äquivlnzumformung ist, muss mn hir uch di Umkhrung zign: b b b b PF ) ( 1 ) ( ) ( 1 Aus 1 b folgt 1 und wgn folgt. Dhr ist stts 0 und s ist PF 1 Anlog ist PF Insgsmt gilt lso wi bhuptt:. ) ( ) ( 1 PF PF Auf Grund von nlogn Rchnungn wird di Hprblglichung in zwitr Huptlg rhltn: 1 b bzw. b b

67 Mn knn di Glichungn dr Asmptotn mit Hilf dr Zwi-Punkt-Form bstimmn, di ls gschribn wird. Di rst Asmptot dr Hprbl ght durch dn Mittlpunkt M(0 0) und durch dn Punkt P( b). Also: b. 0 Durch Umformungn rhält mn folgnd Glichung: u 1 : Aufgrund nlogr Rchnungn rgibt sich di Glichung dr zwitn Asmptot: u b : b Abbildung-5: Hprbl 90 Wi us dr Zichnung bglsn wrdn knn, hbn di Brnnpunkt und di Schitl folgnd Koordintn: F 1 (- 0), F ( 0), A(- 0), B( 0), C(0 b) und D(0 -b). Wil dr Rdius ds Kriss dn Wrt ht, ist glich di Hpotnus ds grünn Dricks uch dm Wrt. An dism rchtwinklign Drick brchnt mn mit Hilf ds Stzs ds Pthgors: = + b 90 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

68 Di Glichung dr Prbl Dfinition: Untr inr Prbl vrstht mn dn gomtrischn Ort llr Punkt, di zu inm fstn Punkt dn glichn Abstnd hbn wi zu inr fstn Grdn. Dr fst Punkt hißt Brnnpunkt und wird in dr folgndn Abbildung mit F bzichnt. Di Grd nnnt mn Litlini. In dr folgndn Abbildung wird dr Zusmmnhng bispilhft für inn Punkt P ngdutt. 91 Abbildung-6: Prbl 9 So gwinnt mn di Glichung dr Prbl in rstr Huptlg us dr Dfinition: XF Xl 4 p ist in Prmtr und wgn p = rhält mn di Glichung: = p Aus dr Prblglichung folgt di Brnnpunktsdfinition: 93 Aus 0 folgt, dss uch p 0. D p omuss lso 0 sin. 91 Url: [ , 14.5 Uhr] 9 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S ZWERENZ C. Zugäng zu dn Kglschnittn und ihr fchdidktisch Anls, 000. Diplomrbit dr Univrsität Win. S

69 PF ( p p ) p PF p 4 p Pl Pl PF ( p p p p 4 In nlogr Wis rhält mn di Glichung dr Prbl in zwitr, drittr und virtr Huptlg: Abbildung-7: Prbl in zwitr, drittr und virtr Huptlg Schnitt- und Brührufgbn Lgbzihung Kglschnitt und Grd Ein Grd g knn bzüglich ins Kglschnitts k dri vrschidn Lgn nnhmn, und zwr: Di Grd g knn dn Kglschnitt in zwi Punktn, dn Schnittpunktn, schnidn: g k = {S 1 ; S }. Di Grd ist in Sknt. Di Grd g knn dn Kglschnitt in inm Punkt, dm Brührpunkt, brührn: g k = {T}. Di Grd ist in Tngnt. 94 ERLACHER E. Kglschnitt, 007. S. 7. Url: [ , Uhr] 69

70 Di Grd knn n dm Kglschnitt vorbighn: g k = { }. Di Grd ist in Pssnt. 95 Sondrfäll: Obwohl in Grd kin Tngnt ist, knn si in zwi Fäll dn Kglschnitt in inm Punkt schnidn: ) Wnn di Grd prlll zu inr dr bidn Asmptotn inr Hprbl ist, dnn ht mit dr Hprbl gnu inn Schnittpunkt S. b) Wnn di Grd prlll zur Prblchs vrläuft, dnn ht mit dr Prbl gnu inn Schnittpunkt S. Abbildung-8: Sondrfäll 96 Bispil: Ermittl di Lg dr Grdn g bzüglich dr Ellips ll und brchn ggbnnflls di Koordintn dr gminsmn Punkt! 97 ll: = 5; g: = 5 Lösung: Stz mn us dr Grdnglichung in di Ellipsnglichung in, so rhält mn: = = 5 4 :5 = ll: = = = 0 : = 0 95 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S DENNINGER M. CiMU Anltisch Gomtri, 005. S. 46 Url: [ , Uhr] 97 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

71 , = 4 = S: (4 9/5) und r ist in Brührpunkt. 9 5 Lösung mit Mthmtic: Tngntn n Kglschnitt 98 Di Stigung k dr Tngnt in inm Punkt ins Kglschnitts wird durch implizits Diffrnzirn brchnt. Di Glichung inr Tngnt lutt k ), wobi di Koordintn ds Brührpunkts T ( T T T ) ist. ( T 98 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

72 7 So stllt di folgnd Glichung di Tngnt dr Ellips in rstr Huptlg dr: 0, ' 0 ' T T T b k b dhr ) ( T T T T b b b b b b b b b T T T T T T T T T T T T T T Durch Aufspltn dr ntsprchndn Kglschnittsglichung, bi dr Ellipsnglichung und dr Hprblglichung in T in und in T und bi dr Prblglichung in T, rhält mn Spltform dr Tngntnglichungn für Kglschnitt in rstr Huptlg: Ellips: b b T T Hprbl: b b T T Prbl: ( ) p T T Konfokl Kglschnitt Dfinition: Zwi Kglschnitt hißn konfokl, wnn si gminsm Brnnpunkt hbn DENNINGER M. CiMU Anltisch Gomtri, 005. S. 44 Url: [ , Uhr]

73 In dr folgndn Tbll wrdn di Brnnpunktsignschftn dr Kglschnitt zusmmngfsst: Zichnung 100 Brnnpunktsignschft = - b = + b = p / 100 DENNINGER M. CiMU Anltisch Gomtri, 005. Url: [ , Uhr] 73

74 Bispil: Ein Ellips und in Hprbl hbn dislbn Brnnpunkt und ghn durch dn Punkt X. Brchn di Größ ds Schnittwinkls dr bidn Kurvn! 101 F 1 (-4 0), F (4 0), X (-4 1) Lösung: Ellipsnglichung lutt: b + = b Brnnpunktsignschft dr Ellips: = - b In di Ellipsnglichung ingstzt: b + (16 + b) = (16 + b) b 16 = - b = 16 + b X (-4 1) Ellips: b (-4) + (16 + b) 1 = (16 + b) b b = u u (-4) + (16 + u) 1 = (16 + u) u u u 7056 = 0 u 1, ( 7056) = 16 + b 3 u b b 1 7 und u 7 Hprblglichung lutt: b - = b Brnnpunktsignschft dr Hprbl: = + b 16 = + b = 16 - b b - (16 - b) = (16 - b) b X (-4 1) Hprbl: b (-4) - (16 - b) 1 = (16 - b) b b = u u (-4) - (16 - u) 1 = (16 - u) u u u 7056 = 0 u 1, ( 7056) u 1 7 b b 7 und u GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

75 = 16 - b 3 Ellipsnglichung: = Hprblglichung: 7-9 = 63 Winkl: Di Stigung dr Tngnt dr Ellips t im Punkt X (-4 1): b k T T 1008 ( 4) Bzw. di Stigung dr Tngnt dr Hprbl t im Punkt X (-4 1): b k T T 7 ( 4) Di Normlvktorn: n n ll hp Winkl zwischn bidn Normlvktorn: 8 9 cos = 0 α =

76 4. Bispil für Schnittpunkt vrschidnr Kurvn mit Mthmtic Di Grd ist so wichtig, dss si in shr untrschidlichn Konttn und vrschidnn Drstllungsformn vorkommt. Durch di folgndn Glichungn knn mn in Grd bschribn 10 : Di Huptform dr Grdnglichung: = k + d o k ist di Stigung o k und d sind rll Zhln Di llgmin Grdnglichung: c = + b o, b und c sind rll Zhln Di Prmtrdrstllung dr Grdn: X = A + t AB o X ist in vriblr Punkt uf dr Grdn o A,B sind fst Punkt uf dr Grdn o AB ist dr Richtungsvktor von g o t ist in Prmtr 10 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S

77 4.1. Drstllung von Grdn Mthmtic bnutzt voll usgschribn nglisch Wörtr ls Nmn von Bfhln, di mit großn Anfngsbuchstbn gschribn wrdn. Um in Grd mit dm Kommndo Plot drzustlln, wird di Huptform dr Grdnglichung inggbn. Hir wird in Kurvnfunktion g dfinirt. Bi inr Funktionsdfinition wrdn di Prmtr (hir nur ) mit inm Untrstrich in ckigr Klmmr nggbn. Plot soll inn Funktionsgrph von g im Intrvll [-5,5] rzugn. Nch dm Drückn SHIFT+ENTER Tstn rschint di obn drgstllt Grfik. Mit disr Tstnkombintion führt Mthmtic ds Kommndo us und mrkirt di nächst Eingbzll. 4.. Bstimmung dr Schnittpunkt zwir Grdn Bispil 1: Di Glichungn dr bidn Funktionn sind g: = ½ + 3 und h: = 3. Brchn dn Schnittpunkt und übrprüf ds Ergbnis grfisch! vgl. n.htm 77

78 Lösung 1: Dr Schnittpunkt S ligt uf bidn Grdn. Ds bdutt: Ds Einstzn dr Koordintn ds Schnittpunkts S in di Kurvnfunktionn lifrt in Glichungssstm (vgl. Kpitl 3.): in di Grdnglichung von g: S = ½ S + 3 in di Grdnglichung von h: S = S - 3 In dm Glichungssstm stht di glich Vribl uf dr linkn Sit von bidn Grdnglichungn. Somit gilt: ½ S + 3 = S - 3. Ds Stndrdkommndo für di Lösung von Glichungn lutt Solv. Als Lösungsmng rgibt sich = 4. Ds hißt, dss di -Koordint ds Schnittpunkts dn Wrt 4 ht. Durch ds Einstzn ds -Wrts in in dr bidn Funktionsglichungn, z.b. in f, rhält mn di -Koordint ds Schnittpunkts S. Mit dm Plot Kommndo könnn mhrr Funktionn glichzitig drgstllt wrdn. Dfür müssn di Funktionn in inr List nggbn wrdn. Folgnds Bispil zigt di Vrwndung dr grfischn Optionn von Plot: PlotRng-Option, GridLins-Option und Epilog-Option. Mthmtic brchnt dn -Brich zur Drstllung dr Kurv slbständig. Di PlotRng-Option bitt in Möglichkit dn Brich slbst inzustlln. 104 Mit dr Option GridLins wrdn horizontl und vrtikl Rstrlinin gzichnt. In dism Bispil wird dis bnutzt, um in bstimmts Dtil (Schnittpunkt von Grdn) dutlichr rknnn zu lssn. Di Epilog-Option ht di Bdutung, dss nch dm Zichn ds Funktionsgrphn noch in Grfikobjkt (hir mhrr: Tt und PointSiz) gzichnt wrdn soll. 104 vgl. KOFLER. Mthmtic, 199. S. 5 78

79 Bispil : Ermittl di Lösungsmng für G = = = - 45 grphisch! 105 Lösung : In dism Bispil suchn wir di Lösungsmng ins linrn Glichungssstms mit zwi Glichungn. Di Lösungsmng diss Glichungssstms ist in Zhlnpr ( ), wlchs sowohl di Glichung I ls uch di Glichung II rfüllt. Dis Einsicht lässt sich in in grphischs Lösungsvrfhrn bwndln. Dzu stllt mn di rst Glichung durch in Grd f und di zwit Glichung durch in Grd g dr und schnidt di bidn Grdn. Im Allgminn rhält mn so inn Schnittpunkt S; dssn Koordintn stlln di Lösung dr Glichung dr. 106 Hir sind di Glichungn in dr llgminn Form dr Grdnglichung: c = + b. 105 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S. 155 Aufgb 416 b) 106 vgl. GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 5, 004. S. 153; 79

80 Es gibt zwi Möglichkitn diss Bispil mit Mthmtic zu lösn: I. Mn wndlt di llgmin Grdnglichung in di Huptform um und brchnt dn Schnittpunkt. II. Mit dm Solv-Kommndo knn mn di Glichungssstm kt lösn und di Grdn mit dm Kommndo ImplicitPlot drstlln. Vrsion 1: Allgmin Grdnglichung Huptform Mn knn di Glichung nch uflösn, um di Grd in di Huptform zu bringn. Di Glichungn müssn mit == formulirt wrdn, nicht mit =. Mit dm Dfinitionszichn := wird di rhltn Huptform ls Funktion f dfinirt. Dr glich Arbitsschritt wird für di zwit Glichung widrholt. Di bidn Glichungn wrdn mit dm Kommndo Solv nch ufglöst, dnn wird dr -Wrt in di Funktion f ingstzt. Drus folgn di Koordintn ds Schnittpunkts: (9 7). 80

81 Vrsion : Glichungssstm lösn mit Solv Mit dm Kommndo Plot ist s nicht dirkt möglich, in Grd in dr llgminn Form drzustlln. Di Glichung F(, ) = c (, und c ) wird ls implizit Funktionn dfinirt, tw + b = c. Ds bdutt, dss di llgmin Grdnglichung in implizit Drstllung ins linrn Zusmmnhngs ist. Es gibt in spzills Kommndo ImplicitPlot us dm Pckg Grphics`ImplicitPlot`, um Funktionn disr Art drstlln zu könnn. Solv löst ds linr Glichungs-Sstm, ds ls List inggbn wird. Nds lädt ds Pckg. Bvor Spzilkommndos us dm btrffndn Pckg vrwndt wrdn könnn, muss ds Pckg gldn wrdn. Bi dm Kommndo ImplicitPlot wird ls rstr Prmtr in List von Funktionsglichungn nggbn, dmit bid Funktionn glichzitig drgstllt wrdn könnn. Im zwitn Prmtr wird dr Wrtbrich für in dr bidn Vribln nggbn. Bispil 3: Untrsuch, ob di bidn Grdn inndr schnidn und brchn ggbnflls dn Schnittpunkt! 4 g: X = 6 + t und h: g: X = v

82 Lösung 3: Diss Bispil zigt, wi di Prmtrdrstllungn dr Glichungn zwir Grdn (jwils in Punkt Richtungsform) ufgstllt wrdn könnn. Mit Solv wird dr Schnittpunkt brchnt, zur Kontroll wird ds Ergbnis sowohl in di rst Grd ls uch in di zwit Grd ingstzt. Di Dfinition dr bidn Grdn rfolgt nicht dirkt, sondrn mit Hilf dr Punkt (p 1, p ) und dr Richtungsvktorn (v 1, v ): Solv lifrt in Doppllist von Substitutionsvorschriftn. Um di Übrprüfung ds Schnittpunkts zu rrichn, wrdn di gfundnn Prmtrwrt in di Vktorfunktion ingstzt: ColumnForm bwirkt in Anzig von Vktorn in Spltnform. Durch ds Solv-Kommndo ist in zusätzlich Klmmrbn { } ufgtrtn. Dm Einfügn von Flttn dint ds Auflösn disr Klmmrbn: 8

83 4.3. Drstllung von vrschidnn Kurvn und ihrr Schnittpunkt Schnittpunkt von Grd mit Prbln Mit dm Plot Kommndo knn mn nicht nur Grdn sondrn uch vil vrschidn Kurvn drstlln. Folgnds Bispil 107 zigt uns, wi s ussiht, wnn in Grd in Prbl schnidt: Bispil 3: Di Grphn dr bidn Funktionn f: = und g: = k schnidn inndr im Nullpunkt. Brchn für k= 0,5, k=1 und k= 1,5 jwils dn zwitn Schnittpunkt (flls disr istirt). Übrprüf ds Ergbnis grfisch! Lösung 3: Als rsts müssn di obn ngführtn Funktionn f() und g() in inr für Mthmtic vrständlichn Form dfinirt wrdn. Bi dr Funktionsdfinition ist dr Prmtr mit inm Untrstrich in ckigr Klmmr nzugbn. Bi spätrm Aufrufn dr Funktion ist disr Untrstrich nicht mhr notwndig. In dism Fll wrdn für dri vrschidn k Wrt dri Vrintn von dr Funktion g ls g1, g und g3 dfinirt. Di Glichung muss für dis dri Vrintn dri Ml glöst wrdn. Dzu wird widr Solv ingstzt. Di Lösung dr Glichungn nthält dn gsuchtn Wrt. Di -Wrt ds Schnittpunkts rgbn sich durch ds Einstzn. Di gsuchtn Schnittpunkt sind: (7/ 7/4), (3 3) und (5/ 15/4). 107 DANGL, BINGEL S

84 Ein Grfik vrnschulicht di gfundn Lösung: Schnittpunkt zwir Prbln Di Glichungn von Prbln fsst mn zu inm Glichungssstm zusmmn und mn rmittlt dssn Lösungsmng. Di Lösungsmng knn in, zwi odr kin rll Lösungn hbn. Di Anzhl dr Schnittpunkt ist us dr Lösungsmng blsbr: Di Lösungsmng bstht us nur inr rlln Lösung. In dism Fll brührn sich di Prbln in inm Punkt. Di Lösungsmng bstht us zwi Lösungn. In dism Fll schnidn di Prbln inndr in zwi Punktn. Di Lösungsmng ht kin rll Lösung. In dism Fll hbn di Prbln kinn gminsmn Punkt. Bispil: Ggbn sind di Funktionsglichungn zwir Prbln, von dnn di Schnittpunkt zu bstimmn sind. 108 f() = g() = BRINKMANN Rudolf. Schnittpunkt von Prbl und Prbl. Stnd Fbrur 009. Url: 84

85 Lösung: Bi dr Brchnung ds Schnittpunkts von zwi Prbln, stzt mn uch di Funktionsglichungn glich. Solv bringt di gfundnn Lösungn disr Glichungn in ls inlmntig Substitutionslistn hrvor. Nch dm Einstzn von in inn dr bidn Funktionstrm, z.b. in f, rhält mn di - Koordintn dr Schnittpunkt: S1 (0 1) und S (3 -): Bispil: Brchnn Si di Schnittpunkt folgndr Prbln: f() = + g() =

86 Lösung: In dism Fll rmittlt Solv di Lösungn, di kompl Zhln sind. Mthmtic bmrkt in disr Form nicht, dss s um rll Zhln ght. Aus dr Drstllung dr Funktionsgrphn ist licht zu rknnn, dss di Prbln kin gminsmn Punkt hbn. Mthmtic soll obigs Glichungssstm für di zulässign Wrt lösn. Mit dm Kommndo Rduc bstht di Möglichkit, di Lösungsmng inzugrnzn. Di Glichung soll nch ufglöst wrdn, wobi us dr Mng dr rlln Zhln kommn muss. Dhr rhält mn in lr Lösungsmng: Schnittpunkt von Kris mit Grd Um di Koordintn dr Schnittpunkt ins Kriss k mit inr Grdn g zu brchnn, wrdn di Glichung ds Kriss und dr Grdn zu inm Glichungssstm zusmmngfsst und dssn Lösungsmng rmittlt. Di dbi uftrtnd qudrtisch Glichung knn kin, in odr zwi rll Lösungn hbn; di Grd ist dmnch Pssnt, Tngnt odr Sknt GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

87 Bispil: Ggbn sind dr Kris k: + = 5 und dri Grdn: g 1 : = -1, g : = 3/4 + 6,5 und g 3 : = Ermittl di Lgn dr Grdn bzüglich ds Kriss (1) durch Zichnung, () durch Rchnung! 110 Lösung: Di Lg dr Grdn wrdn bzüglich ds Kriss k durch ds Brchnn dr Koordintn gminsmr Punkt bstimmt. Di Krisglichung ist ls implizit Funktion dfinirt. Di Grdnglichungn sind in dr Huptform. Um ll Funktionn in inm Bild drstlln zu könnn, müssn wir di Glichungn in di glich Form bringn. Hir wird vorgzogn, di Huptform in di llgmin Grdnglichung zu vrwndln. D ImlicitPlot nicht zu dn Stndrdkommndos von Mthmtic ghört, muss s vor dr rstn Vrwndung mit Nds gldn wrdn. Im rstn Prmtr diss Kommndos wrdn di zu zichnndn Funktionn nggbn. Witrs wrdn in inr List zurst di Vribl und dnch dr Wrtbrich nggbn. Als Wrtbrich für di - und -Wrt wird ds Intrvll (-15,15) usgwählt. 110 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

88 Aus dr Figur lässt sich blsn 111 : Di Grd g 1 schnidt dn Kris; si ist in Sknt. Di Grd g brührt dn Kris; si ist in Tngnt. Di Grd g 3 ght m Kris vorbi; si ist in Pssnt. Durch ds Brchnn dr Koordintn gminsmr Punkt wird rwrtt: Di Grd g 1 und Kris k hbn zwi Schnittpunkt. Also ds Glichungssstm ht zwi Lösungn. Di Grd g und k hbn inn Schnittpunkt und ds Glichungssstm ht in Lösung. Di Grd g 3 und k hbn kinn gminsmn Punkt. Ds Glichungssstm lifrt kin Lösung. Mit dm rstn Kommndo wrdn di ltn Dfinitionn glöscht. g 1 schnidt k in dn Punktn S 1 (-3-4) und S (4 3). g brührt k im Punkt T(-3 4) 111 GÖTZ, REICHEL, MÜLLER, HANISCH. Mthmtik Lhrbuch 7, 008. S

89 (Doppllösung). Ds dritt Glichungssstm lifrt in unrwrtt Lösung und s rgbn sich ls Lösung zwi konjugirt kompl Zhln: Hir soll mn widr ds Kommndo Rduc vrwndn. Mit Hilf diss Kommndos wird di Lösungsmng uf di rlln Zhln inggrnzt. Diss Kommndo gibt in Fhlrmldung, dss Rduc nicht in dr Lg ist, ds Sstm mit ungnun Koffizintn zu lösn. Um di Fhlrmldung zu vrmidn, sollt di Bruchdrstllung von 0.5 vrwndt wrdn. Dnn rhält mn in lr Lösungsmng ohn Fhlrmldung: Drus folgt, dss g 3 in Pssnt zu k ist. 89