5 Grenzwertregel von Bernoulli

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Kristina Färber
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1 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Sit 5-5 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Oft muss man dn Grnzwrt inr Funktion brchnn Ist di Funktion in Quotint zwir Funktionn, so kann di Grnzwrtbildung auf unbstimmt Ausdrück führn In dism Kapitl ghn wir spzill auf zwi Typn in: und g ( ) ± g ( ) Dabi könnn folgnd unbstimmt Ausdrück auftrtn: Falls f( ) und g ( ) folgt g ( ) - g ( ) -- Falls und g ( ) ist, dann folgt ± ± ± 3 Falls und g ( ) ist, dann folgt ± ± ± 4 Falls f( ) und g ( ) folgt g ( ) g ( ) ± ---- g ( ) ± ± ---- g ( ) ± g ( ) - g ( ) --- Bispil Dr Grnzwrt ist zunächst noch unbstimmt Zürchr Hochschul Wintrthur Brnoullifra Maz 94

2 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Sit 5- Bispil Dr Grnzwrt ist bnfalls noch unbstimmt ln( ) -- ln( ) Aufgab Bstimm di obnsthndn Grnzwrt mit Hilf ds Taschnrchnrs und inr ntsprchndn Zahlnfolg --- und ln( ) -- Es könnn noch witr unbstimmt Ausdrück auftrtn, wlch abr durch gschickt Umformungn auf di zwi Haupttypn -- und --- zurückgführt wrdn könnn Es sind di folgndn Ausdrück:,,,, Wir litn nun in Forml hr, mit dr di unbstimmtn Ausdrück -- und --- brchnt wrdn könnn Sin f( ) und g ( ) zwi sttig Funktionn mit f( ) und g ( ), dh f ( ) und g ( ), dann gilt g ( ) - g ( ) -- Wir ntwickln nun bid Funktionn in in Taylorrih um di Stll : g ( ) Wil f( ) und g ( ) ist, folgt Jds Glid dr rchtn Sit wird mit dm Trm f '( ) f ''( ) f ( ) (! ) (! ) g' ( ) g'' ( ) g ( ) (! ) (! ) + g ( ) f '( ) f ''( ) --- (! ) (! ) g' ( ) g'' ( ) --- (! ) (! ) + dividirt: Zürchr Hochschul Wintrthur Brnoullifra Maz 94

3 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Sit 5-3 g ( ) Wir bildn nun dn Grnzübrgang : f '( ) f ''( ) (!! ) g' ( ) g'' ( ) (!! ) + g ( ) f '( ) f ''( ) (!! ) g' ( ) g'' ( ) (!! ) + g ( ) f '( ) f ''( ) (!! ) g' ( ) g'' ( ) (!! ) + f '( ) --- g' ( ) f '( ) --- g' ( ) Für dn Fall, wo und g ( ) gilt, und damit g ( ) - g ( ) ---, bildt man di Funktionn F ( ) und G ( ) Mit disn Funktionn gilt dann g ( ) F ( ) und G ( ) g ( ) Di Auflösung nach dm zwitn Faktor rgibt und damit g ( ) g' ( ) - f '( ) g ( ) G ( ) G '( ) F ( ) F '( ) [ g ( )] g' ( ) [ ] f '( ) [ ] [ g ( )] g ( ) g ( ) [ g ( )] - [ ] [ ] g ( )[ ] [ g ( )] [ g ( )] g ( ) f '( ) --- g' ( ) g' ( ) - f '( ) g ( ) f( ) Wir fassn in inm Satz zusammn Zürchr Hochschul Wintrthur Brnoullifra Maz 94

4 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Sit 5-4 Satz 9 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Für Grnzwrt, di auf dn unbstimmtn Ausdruck -- odr --- führn, gilt di folgnd Rgl: f '( ) f '( ) - ---, g ( ) g' ( ) g' ( ) falls f '( ) und g' ( ) sttig sind und f '( ), g' ( ) in inr Umgbung von Bmrkung Di Grnzwrtrgln gltn nur für di obnsthndn unbstimmtn Ausdrückn All andrn unbstimmt Ausdrück lassn sich jdoch durch spzill lmntar Umformungn auf in disr spzilln Ausdrück zurückführn: Funktion f( ) lmntar Umformung f( ) u ( ) v ( ) odr u ( ) v ( ) odr v ( ) u ( ) f( ) u ( ) v ( ) v ( ) u ( ) u ( ) v ( ) f( ) u ( ) v ( ),, v ( ) ln( u ( )) Bispil 3 Brchn --- Dr Lims lifrt -- nach Brnoulli d L Hospital gilt: ( --- )' ' Bispil 4 ln( ) Brchn ---- Zürchr Hochschul Wintrthur Brnoullifra Maz 94

5 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Sit 5-5 Dr Lims lifrt --- nach Brnoulli d L Hospital gilt: ln( ) [ ln( ) ]' [ ---- ]' ---- ( ) Bispil 5 Brchn sin( ) Dr Lims lifrt ist di Rgl von Brnoulli d L Hospital nicht unmittlbar anwndbar Wir formn zurst gmäss dr obnsthndn Tabll um: sin( ) sin( ) sin( ) Nun ist di Rgl von Brnoulli d L Hospital anwndbar: sin( ) [ sin( ) ]' cos( ) sin( ) [ sin( ) ]' sin( ) + cos( ) Wir müssn di Rgl nochmals anwndn: cos( ) ---- [ cos( ) ]' sin( ) sin( ) + cos( ) [ sin( ) + cos( ) ]' cos( ) sin( ) sin( ) Bispil 6 Brchn a + --ln( + a) Dr Lims lifrt ist di Rgl von Brnoulli d L Hospital bnfalls nicht unmittlbar anwndbar Wir formn zurst gmäss dr obnsthndn Tabll um: a + --ln( + a) Mit dr Rgl von Brnoulli d L Hospital gilt: ln( + a) a + -- Zürchr Hochschul Wintrthur Brnoullifra Maz 94

6 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Sit 5-6 ln( + a) a + -- a ---- [ ln( + a) ]' - + a -- a( + a) ----' - a + ( a + ) a a + --ln( + a) a Bispil 7 Brchn + -- Dr Lims lifrt gmäss dr obnsthndn Tabll zurst umformn: + -- ln + -- ln + -- Dr Eponnt muss gmäss Tabll umgformt wrdn, damit di Rgl angwndt wrdn kann: Di Rgl kann nun angwndt wrdn: Somit ist ln ln + -- ln ln + -- ' ' ln + -- ln + -- Bispil 8 Wir wolln di Stigung dr Kurvntangnt an dr Stll ϕ π r + cos( ϕ), ϕ < π brchnn dr Kardioid mit dr Glichung Drückn wir di paramtrisirt Kurv als Funktion aus, dann gilt: Zürchr Hochschul Wintrthur Brnoullifra Maz 94

7 Grnzwrtrgl von Brnoulli und d L Hospital Sit 5-7 y y r( ϕ) sin( ϕ) r( ϕ) r( ϕ) cos( ϕ) Frnr gilt: Mit und folgt y ( + cos( ϕ) ) sin( ϕ) und ( + cos( ϕ) ) cos( ϕ) y' dy dy d d dy d dy sin ϕ ( ) + ( + cos( ϕ) ) cos( ϕ) cos( ϕ) + cos ϕ sin ϕ cos ϕ + cos( ϕ) d sin( ϕ) cos( ϕ) ( + cos( ϕ) ) sin( ϕ) sin( ϕ) cos( ϕ) sin( ϕ) sin( ϕ) sin( ϕ) dy dy dy cos y' ϕ + cos( ϕ) d d d sin( ϕ) sin( ϕ) Brchnt man damit di Stigung dr Kurvntangnt an dr Stll ϕ π, dann bkommt man inn unbstimmtn Ausdruck: y' ( π) -- Wir vrwndn also di Rgl von Brnoulli d L Hospital: y' ( π) cos ϕ + cos( ϕ) [ cos ϕ + cos( ϕ) ]' ϕ π sin( ϕ) sin( ϕ) ϕ π [ sin( ϕ) sin( ϕ) ]' 4cos( ϕ) sin( ϕ) sin( ϕ) ϕ π cos( ϕ) cos( ϕ) Di Kardioid bsitzt an dr Stll ϕ π in waagrcht Tangnt Zürchr Hochschul Wintrthur Brnoullifra Maz 94

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